写在前面的话——

UP本人并非从业者，只是业余爱好，肯定不可能与专业人士相提并论。另外UP是文科僧出身，对一些技术理论只知其然不知其所以然，故难免有疏漏、不准确乃至理解错误之处，还请读者指正。本文仅供兴趣阅读，为增强可读性，对一些概念进行了简化和通俗的表述，如需了解专业理论还请查阅专业的技术资料。

Part.4 缓和曲线、超高顺坡、夹直线

1.缓和曲线、超高顺坡

（本文承续上篇和上上篇文章（ac34627892和ac34658756），建议在阅读前两篇文章后再阅读，以便能够理解文中提到的一些概念。）

本系列的第三、四篇介绍了高速铁路的曲线半径与超高、欠超高，以及一些相关的设计标准。我们知道高速铁路的线路虽然比较顺直，但也并不是绝对笔直、毫无弯曲的，仍然有直线与曲线之分。在直线路段与曲线路段的连接处，如果两者之间不设置任何过渡段就直接相连，线路的曲率会发生突然的变化（例如由直线进入曲线，曲率由0突然增大为某个正值），导致连接点处车轮与钢轨发生挤压，从而加剧轮轨的磨损，并造成列车运行不平稳，影响安全性和舒适性。此外，铁路在曲线段为了平衡离心力，需要设置一定的外轨超高，如果直线与曲线之间没有任何过渡，则外轨超高也会发生突然的变化（例如由直线进入曲线，外轨超高由0突然抬高为某个正值），列车由水平状态突然转为向内轨一侧倾斜，这肯定也会造成列车运行的不平稳和乘客的不舒适。

如果铁路的直线与曲线直接相连、不设过渡段，则连接处的曲率与超高的变化是不连续的，容易造成车辆不稳定和轮轨的过度磨损

在斯蒂芬孙刚刚发明蒸汽机车的19世纪初，火车的行驶速度很低，当时的铁路直接将直线与曲线相连，并不会造成什么问题。但随着火车速度的提高，人们发现在直线与曲线的连接处，由于车辆的运动方向发生了突然变化，列车的车钩和转向架会产生错动，进而造成车体的振动。铁路工程师们意识到为了解决这些问题，就需要在铁路的直线段与曲线段的连接处设置一个过渡段，使得线路的曲率和外轨超高在这个过渡段内连续、平稳地增大或者减小。这个连接直线与曲线的过渡段，通常采用曲率平缓渐变的曲线，称为“缓和曲线”。同时，在缓和曲线段，外轨超高也要逐渐增大或者减小，形成一个上坡或者下坡，称为“超高顺坡”。从19世纪晚期开始，世界各国的铁路比较普遍地设置了缓和曲线。

铁路的直线与曲线、曲线与曲线之间不能直接连接，而是要在中间设置缓和曲线（图中黄色部分）作为过渡段，使曲率和超高在缓和曲线上连续平缓地增加或减小

超高顺坡通常设置在缓和曲线上，在缓和曲线的长度内，轨道外侧逐渐抬升或者降低，直到达到曲线段的超高值或降低为直线段的0，从而在纵断面上形成了一个坡度。图为公路的超高缓和段，铁路的超高顺坡基本与之同理

很容易想到，如果不考虑其他的因素，单纯为了使缓和曲线的“缓和”效果更好，那么，缓和曲线就应该更长一些（注：超高顺坡设置在缓和曲线上，通常两者长度一致，不需要单独考虑）。因为缓和曲线越长，直线与曲线之间就会有越“充分”的过渡，曲率和超高将在过渡段内平缓地变化，这样列车运行时就越平稳。特别是高速铁路，由于车速大大提高，如果缓和曲线太短，意味着可能在极短时间内就将经历曲率和超高的骤变，这对列车的稳定运行肯定是不利的。因而铁路的设计速度越高，需要设置的缓和曲线也就越长。不过，现实中我们肯定无法忽视其他的因素。过长的缓和曲线不利于适应复杂的地形，会增加线路的建设成本，也给日后的维护带来困难。因此，就像曲线半径的选取一样，只要列车运行的安全性、舒适性能够得到满足，缓和曲线就应该设置得越短越好而非越长越好。

除了缓和曲线的长度，我们还得考虑缓和曲线的几何形状。理论上说，曲率连续、平稳变化的曲线有很多种，曾在铁路领域使用过的就有三次抛物线型、半波正弦型、七次四项式型、一波正弦型等等。世界最早的高速铁路——日本新干线，采用的就是半波正弦型缓和曲线。但是，如果我们对列车运行的平稳性（以列车通过缓和曲线时受到的未被平衡的离心加速度的时变率来衡量）作同样的要求，则半波正弦型缓和曲线需要达到三次抛物线型缓和曲线的1.6倍长度，才能实现与后者同样的“缓和”效果，其他类型的缓和曲线也有类似问题。三次抛物线型缓和曲线不仅需要的长度较短，而且线形简单，便于设计、施工和维护，因此在世界各国的高速铁路中得到了广泛使用，我国高速铁路亦采用三次抛物线型缓和曲线。

和缓和曲线一样，对于超高顺坡，我们同样选择采用形状简单、便于施工和维护的直线型超高顺坡。为了保证列车运行平稳，超高顺坡的坡度一般设置得非常和缓，我国通常规定不大于2‰。不过，三次抛物线型缓和曲线搭配直线型超高顺坡时，在缓和曲线的起、终点处，线路纵断面的坡度会由0突然增加为某一坡度值（或者反之），即在超高顺坡抬起和结束的地方存在两个明显的“折角”。这会使列车在折角处受到竖向力的冲击，仍然会造成列车运行的不稳定，折角处的轨道也会加速磨损。为解决这一问题，可以在超高顺坡的两端各插入一小段竖向的圆曲线，即“削顶补坑”，以消除有害的“折角”、使坡度平缓地发生过渡。这种超高顺坡被称为直线两端改善型超高顺坡，对应的缓和曲线则称为三次抛物线改善型缓和曲线。

在直线型超高顺坡的起止点ZH和HZ处，坡度变化是不连续的，出现了折角（上）。为解决这一问题，可在超高顺坡的两端各插入一段缓冲竖曲线，以“削顶补坑”，消除“折角”，使坡度平缓地发生变化（下）

对于高速铁路，由于一般会采用较高的设计标准，缓和曲线的长度通常比较长，则超高顺坡的坡度值非常小。例如在我国，设计时速350公里高速铁路，半径为7000米、外轨超高为175毫米的曲线，与其连接的缓和曲线的长度可达680米，则超高顺坡的坡度仅为0.175 ÷ 680 ≈ 0.26‰，远小于2‰的最大上限。由于坡度极小，起止点处的“折角”即使存在也是微不足道的。而且，轨道以及列车本身也具有一定的弹性，可以在一定程度上减轻竖向力的冲击，因此就不需要在超高顺坡的两端再插入竖向的缓和圆曲线。实际上根据相关研究，缓和曲线的长度对列车运行平稳性的影响要大于线形的影响，故而只要保证缓和曲线有足够的长度，就能获得比较理想的“缓和”效果，普通的直线型超高顺坡和三次抛物线型缓和曲线，在高速铁路上仍然是适用的。

高速铁路由于缓和曲线的长度相对普速铁路而言很长，超高顺坡的坡度很小，“折角”并不构成严重的不利影响，因此仍可采用普通的直线型超高顺坡

2.超高时变率

我们应该如何确定高速铁路缓和曲线的长度（以L0表示）呢？首先我们想到，缓和曲线段曲率和超高的变化应当不至于使得列车失去稳定而倾覆脱轨。不过实际上，由于高速铁路的曲线半径以及缓和曲线的长度一般已经“足够”大，曲率（= 1/R，R为曲线半径，对高速铁路而言，这个值通常可以达到几千米）既然已经非常小，其变化率就更是微不足道，绝不至于造成列车与轨道相互挤压而脱轨。我们进一步可以推断，曲率的变化对乘客舒适度的影响应该也是不值一提的——人们在原地绕圈时确实很容易感到眩晕，但很难想象有人会因为高速铁路动辄几公里半径的弯道而晕头转向。

高速铁路虽然存在曲线，但通常来说曲线半径都很大，因此曲率的变化一般是比较微小的

我们也无需担心超高的变化会导致列车倾覆脱轨，因为超高顺坡不论纵向还是横向的坡度也同样是很小的。纵向的坡度以h/L0表示，其中h为外轨超高，考虑到各国铁路允许设置的最大外轨超高一般不会超过200毫米，相对高速铁路缓和曲线数百米的长度而言，求得的坡度值必然很微小。横向的坡度衡量了铁路在缓和曲线段向内轨一侧的倾斜，它是一个连续变化的值，以dh/dl表示，l为缓和曲线上任一点到缓和曲线起点的距离。它也同样是很小的，并且不难想到，即便在曲线段上，外轨超高h都不至于导致列车朝内倾覆，在缓和曲线上任意一点的超高都不会大于h，就更不至于造成危险了。因此，防止列车倾覆和脱轨的约束条件，对于确定缓和曲线长度来说并没有太大的意义。

由于外轨超高一般不会超过一定上限（通常为180到200毫米），相对列车的轮径（以复兴号CR400AF动车组为例，为920mm）和轴距（仍以CR400AF为例，为2500mm）来说，外轨抬高的幅度是有限的，因此在缓和曲线段，超高的变化也不至于造成列车的倾覆

但是，不同于曲率，超高的变化率对于乘客舒适度却是有明显的影响的。特别是高速列车因其运行速度较快，假设缓和曲线比较短，列车在很短的时间内就会经历外轨的快速抬升（或下降），车体迅速发生倾斜（或消失），车厢内的乘客受到横向的加速度，从而产生不适感。因此，为了改善舒适度，缓和曲线必须“足够”长，使外轨在这一过渡段上“缓慢”地抬升或者下降，车厢则相应“缓慢”地发生倾斜（或消失）。不过，到底应该怎样“缓慢”呢？我们引入超高时变率（也称超高变化率）的概念，它以f表示，单位为毫米/秒（mm/s），代表了在缓和曲线上每行驶一秒、外轨超高抬升或下降的数值。显然，较小的超高时变率代表着列车发生倾斜（或消失）更缓慢、舒适度更佳。

很容易证明，缓和曲线越长，列车运行速度越慢，超高时变率也就越小。我们假设超高h（单位：mm），列车运行速度V（单位：km/h）和缓和曲线长L0（单位：m）是给定的，则超高时变率的计算如下：

列车通过缓和曲线的时间 = L0 ÷（V ÷ 3.6）

超高时变率 f = h ÷（L0 ÷ V × 3.6）=（h × V）÷（3.6 × L0）

可见，超高时变率与列车运行速度V成正比，与缓和曲线长度L0成反比。但是，降低运行速度V对高速铁路而言是不可取的，外轨超高h也不能随意取值，所以为了改善乘客舒适度，就需要将缓和曲线的长度L0延长。不过，超高时变率f也并不需要压低到无限小，只要不超过“一定”的范围，乘客感受到的倾斜感就不会太强烈而导致不适。根据我国的相关研究，当f ≤ 25mm/s时，乘客舒适度属于“良好”，f ≤ 28mm/s时，乘客舒适度属于“一般”，f ≤ 31mm/s时，乘客舒适度“较差”。给定了满足一定的舒适度条件的f的最大上限，我们就可以计算出所需的缓和曲线最小长度：

L0 =（h × V）÷（3.6 × f）

如果我们“适当”牺牲旅客的舒适度呢？这意味着我们选择的f值变大了，而在速度目标值V不变的情况下，所需的缓和曲线长度L0就相应缩短了。实际上，我们是通过牺牲乘客的舒适度换取了线路建设成本的节约，这与曲线半径的选取是同样的。越高的线路建设标准，意味着列车运行时越高的平稳性和舒适性，但代价是建设成本也变得更高，反之亦然。

3.欠超高时变率、缓和曲线长度

当列车通过曲线时，如果通过速度大于均衡速度，则列车受到未被平衡的离心力，此时存在着欠超高。一定范围内的欠超高是可以接受的，对列车运行的安全性和舒适性并不会造成严重的影响。不过，在欠超高存在的情况下，我们在确定缓和曲线长度时，可能还不得不额外考虑欠超高时变率的因素。列车在直线段运行时的欠超高为0，而在曲线段假设存在一个欠超高hq，那么在缓和曲线段，欠超高由0逐渐增加到hq的这个过程就需要足够和缓。如果缓和曲线过短，欠超高在短时间内急剧增加（或减少），这意味着乘客受到的未被平衡的离心加速度也会骤然变化，容易造成乘客的不舒适。因此，与超高时变率一样，欠超高时变率的数值也需要加以控制。

我们用b表示欠超高时变率，单位仍为毫米/秒（mm/s）。给定欠超高hq（单位：mm）、列车运行速度V（单位：km/h）以及缓和曲线长L0（单位：m），和超高时变率类似：

列车通过缓和曲线的时间 = L0 ÷（V ÷ 3.6）

欠超高变化率 b = hq ÷（L0 ÷ V × 3.6）=（hq × V）÷（3.6 × L0）

可见，延长缓和曲线的长度，也同样可以降低欠超高时变率，改善乘客的舒适度。

如果我们给定欠超高变化率b的标准，我们也可以反推出满足标准的缓和曲线长度：

L0 = （hq × V）÷（3.6 × b）

很显然，允许的欠超高时变率b越大，所需的缓和曲线长度就越短。在我国，欠超高时变率b的标准为23mm/s（良好）和38mm/s（困难）。

然而，欠超高时变率在现实中往往并没有那么重要。这是因为高速铁路通常不会采用太大的欠超高，例如我国的高速铁路允许最大超高一般为175毫米，而欠超高则不大于90毫米（困难条件下）、并且实际上一般还要小于这个数值。如果缓和曲线的长度能够保证超高时变率f不超过允许上限，则欠超高时变率b应该只会更小，因此几乎肯定可以满足相关标准的要求。所以，基本上可以认为，是超高时变率f决定了缓和曲线的长度：

缓和曲线长度 L0 =（h × V）÷（3.6 × f）

为便于施工和维护，实际设置的缓和曲线长度通常在计算结果的基础上以10米为单位进行取整。

我国高速铁路相关设计规范规定的缓和曲线长度表。表的左下方是空的，因为当曲线半径小于一定值时，不论怎样设计超高与缓和曲线，列车在现行条件下都不可能达到设计的最高运行时速；另外，缓和曲线的长度看似随曲线半径减小而增大，但实际上这是因为曲线半径较小时，为保证列车通过曲线的速度不降低，外轨超高必须加大，从而缓和曲线也必须加长、以保证超高时变率不超过允许的上限

以我国的时速350公里高速铁路为例，其最小曲线半径为7000米，此时设置的超高假设按规定允许的最大值175毫米，如果超高时变率遵循舒适度“良好”标准（f = 25mm/s），则缓和曲线长度应为：

L0 =（175 × 350）÷（3.6 × 25）= 680.56米，取整为680米

如果超高时变率按照“较差”标准（f = 31mm/s），则缓和曲线长度可以相应缩短到550米（计算略），可以更好地适应复杂地形和节约建设成本，代价是乘客的舒适度有所恶化。

最后，我们对比一下各国高速铁路在超高时变率f方面的标准：

各国高速铁路对于允许的最大超高时变率规定

总体而言，20~30mm/s似乎是超高时变率的“合适”区间，各国选择的f值虽然有差异，但大多在该范围内。不过，有些国家允许困难条件下采用更大的超高时变率。例如，法国除了新建高速线外，还有大量经过改造的既有铁路也在运行TGV高速列车。既有线在进行提速改造时，为提高列车通过曲线的均衡速度，往往需要加大曲线段的外轨超高，但是缓和曲线的长度随线路而定，无法再事后延长，这意味着超高时变率会变得很大。为此，法国时速160~200公里的提速改造既有线上允许的超高时变率放宽到了40~60mm/s，实际上是通过放宽了对舒适度的要求来满足列车提速的需要。日本新干线也有着较大的超高时变率f，因其采用半波正弦型缓和曲线，不同于三次抛物线型缓和曲线，前者超高的增减不是线性的，在某一点上的瞬时变化率会明显偏大，但平均的时变率仍然较小。

4.夹直线

铁路不仅可能存在直线与曲线连接的情形，还可能存在曲线与曲线的连接。当两个曲线相互连接时，由于进、出曲线都需要设置缓和曲线，实际上是两个不同的缓和曲线相互连接。尽管设置了缓和曲线，但列车在连续通过不同的曲线时，运动方向始终在不断变化，导致车轮与钢轨互相挤压，容易造成轮轨的磨损加剧。此外，不同的缓和曲线段有不同的曲率和外轨超高，列车在通过时产生的横向加速度也会不断变化，造成车辆的横摇。如果两个曲线之间没有任何过渡，不同曲线段产生的横摇未及衰减而相互叠加，容易导致行车不平稳、旅客不舒适。因此，就像直线与曲线之间需要设置缓和曲线一样，曲线与曲线之间也不能直接进行连接，而是需要插入一段直线或者一段圆曲线作为过渡段，称为“夹直线”或“夹圆线”（以下为简化起见，只讨论夹直线，夹圆线的情况基本类似）。

不同的缓和曲线之间需要通过有一定长度的夹直线相互连接，以防止列车运动方向与横向加速度的频繁变化引起轮轨的磨损和车辆的摇晃

与缓和曲线一样，夹直线也必须保证有足够的长度。如果夹直线的长度过短，列车快速地进、出不同的缓和曲线段，其运动方向频繁变化，轮轨的磨损会大大加剧。基于减轻维修负担的目的，夹直线的长度不应短于2至3节钢轨的长度，即50至75米。另一个重要考量是确保行车平稳，列车通过缓和曲线与夹直线的连接点时，车轮与钢轨发生冲击，会造成车体的振动。如果夹直线不够长，列车通过夹直线首端与缓和曲线连接点时产生的振动还未及充分衰减，就要进入夹直线尾端与下一个缓和曲线的连接点，造成的振动会相互叠加。因此，夹直线的长度必须满足使列车通过夹直线的时间大于车辆弹簧振动消失的时间，列车运行速度越高，为保证运行稳定所需要的夹直线长度就越长。

根据试验，列车在缓和曲线起终点处产生的振动，在1.5到2个振动周期内才会基本衰减完。假设车辆自身振动周期为T（单位：秒），运行速度为V（单位：km/h），则夹直线长度Lj（单位：米）为：

Lj ≥（1.5~2.0）×T×V÷3.6

车辆的振动周期T取决于车辆本身的性能，高速列车的T通常为1秒。可见速度V越高，所需的夹直线长度就必须越长，才能保证列车通过夹直线的时间不短于1.5到2倍振动周期。时速200至350公里的高速铁路，夹直线长度通常取0.4V到1.0V不等。例如，法国高速铁路规定夹直线最小长度为0.67V，德国规定为0.6V，日本新干线为0.42V。我国高速铁路通常以0.8V为夹直线的最小长度，选线困难的特殊情形下亦不得低于0.5V. 与缓和曲线一样，夹直线的长度越长，越有利于改善乘车舒适度，但相应增加了选线难度与建设成本，反之亦然。

最后，作为本篇的总结，我们对比各国高速铁路在缓和曲线和夹直线方面的设计标准（注：由于参考文献的记载各有出入，部分数值可能不准确）：

各国高速铁路的缓和曲线、夹直线标准

相比于曲线半径，缓和曲线与夹直线这两个概念并不怎么简单易懂，因此在讨论中也常常被人们所忽视。但实际上，缓和曲线与夹直线对高速铁路的最高运行速度有十分重要的影响，某种程度上甚至比曲线半径的影响更大。高速铁路的曲线半径虽然线路一经建成就无法再作调整，但是，曲线半径是与外轨超高以及欠超高相适配的。外轨超高可以通过一定的工程技术手段在后期进行调整，欠超高由于通常较小、在进一步提速时往往也存在着进一步放宽的可能，从而使得较小的曲线半径也依然可能满足较高的运行速度。因此，高速铁路的曲线半径往往有比较大的选择余地，并且在后期提速时，曲线半径可能也并不会构成难以逾越的障碍。

然而，与曲线半径较大的浮动空间不同，缓和曲线和夹直线的标准则要严苛不少。各国高速铁路的最小曲线半径和欠超高标准有很大差异，但在一般情况下，允许的超高时变率却大同小异。由于超高时变率决定了缓和曲线的长度，这意味着缓和曲线长度的浮动空间是比较有限的，而夹直线也同样如此。缓和曲线与夹直线的长度，在线路建成之后同样是无法改动的，更糟的是，我们越是为了提速而增大曲线段的外轨超高/欠超高，在缓和曲线长度不变的情况下，超高/欠超高的时变率就会越大，从而越加剧稳定性和舒适性的恶化。相比于曲线半径，经常被忽视的缓和曲线与夹直线的长度，更有可能在提速时成为木桶的“短板”。如果考虑到高速铁路未来可能存在着进一步提速需求，在建设时就必须预留较长的缓和曲线和夹直线。

我国设计时速200公里的客货两用铁路的缓和曲线长度规定。200km/h客货混跑铁路为了降低速度低的货车通过曲线时的过超高，曲线段的外轨超高设置得较小，同时又要满足时速200公里动车组的运行，因此曲线半径相当大，甚至接近350km/h级别高速铁路的曲线半径。然而，200km/h客货混跑铁路设置的缓和曲线很短，比高速铁路的缓和曲线要短得多，这意味着即便曲线半径很大，想要进一步提速也仍然会受制于缓和曲线长度不足这一“短板”

【待续】

中外高速铁路的设计标准（5）