数学界神秘的偏微分方程领域，再次被突破了！

来自中科大的陈世炳教授等人，开发了一套全新的数学方法，直接打破了领域内专家 20 多年来的既有认知。

相关论文已被数学四大顶刊之一《数学年刊》接受，将在接下来的某一期正式发表。

这篇论文突破了一个关键的非线性偏微分方程，它与我们机器学习中熟悉的最优传输理论息息相关。

最优传输理论，类似“找出把物品从 A 运到 B 的最佳方法”，用几何方法来衡量概率分布的距离、给概率分布建模。像机器学习中的 W-GAN，就属于最优传输问题。

让丘成桐院士 1982 年获菲尔茨奖的卡拉比猜想证明，就与这个方程相关。

2018 年的菲尔茨奖，再次颁给了在这个方程，以及最优传输问题上做出贡献的 Alessio Figalli。

究竟是什么方程如此关键，这次数学家们又做出了什么重要突破？

一起来看看。

#最优传输“逃不开”的方程

这个关键的非线性偏微分方程，名叫蒙日-安培方程。

它的提出，要从 18 世纪法国数学家加斯帕尔・蒙日（Gaspard Monge）对最优传输问题的研究说起。

最初，这个理论主要用来解决不连续分布的物体运输问题，类似于搬箱子：

将 ABC 初始地的箱子运到 CDE 目的地，确保每个目的地有 1 个箱子，求最佳的运输方法。

后来，蒙日开始思考一类问题：对于连续分布的物体，例如一团沙子，用什么方法将它运输到等体积的洞中，才是最省力的？

他发现，有不少这类连续情形下的最优传输问题，都能转化为一类方程的边值问题。

蒙日之后，安培进一步对它做了深入研究，方程也被命名为蒙日-安培方程：

▲ 蒙日-安培方程一般形式

这个方程要怎么理解呢？

举个例子，我们常见的“以图搜图”功能，其实就与蒙日-安培方程相关。

在通过图像匹配进行搜索时，“搜图”功能会将输入图像与网上的图像进行一个对比。以黑白照片为例，可以将颜色深度看成是一个概率分布（白色为 0，黑色为 1）。

因此，两张照片匹配的问题，可以看成是两个概率分布的匹配问题。

1991 年，Yann Brenier 在研究中发现，这类连续概率分布的匹配问题，对应地可以写成一个梯度映射 y=Du (x), 其中 u 是一个凸函数, 且满足：

根据黑塞矩阵（Hessian Matrix），有：

其中 λ 是 u 的黑塞矩阵的特征根，是 λ 的 k 次初等多项式：

当 k=1 时，它就是我们熟悉的 Laplace 方程；当 k=n 时，它就是蒙日-安培方程。

近几年，深度学习飞速发展，最优传输问题随之成为研究热点，对蒙日-安培方程的研究也进一步兴起。

名噪一时的 Wasserstein GAN，用求 Wasserstein 距离的方法改善了 GAN 的稳定性。

求解 Wasserstein 距离正是一个最优传输问题，需要用到蒙日-安培方程。

纽约州立大学石溪分校的顾险峰教授认为，深度学习用到的数据可以看成是高维数据空间中一个低维流形上的概率分布。

GAN 所学习的正是这个流形的结构，用编码、解码映射来表示，就将 GAN 隐空间中的数据分布转换成了几何上的最优传输问题。

据顾险峰教授介绍，这几年随着医学图像技术、无线通讯技术、3D 打印技术、VR/AR 技术的发展，以蒙日-安培方程为代表的非线性偏微分方程理论，开始广泛用于 CS 和其他工程领域。

那么，这次陈世炳教授等人发表在《数学年刊》上的研究，究竟做出了什么突破？

#打破二十多年的“定论”

研究一个方程的重要思路，就是研究解的性质。

蒙日-安培方程理论也不例外，它主要研究解的存在性、唯一性和光滑性（正则性）。

光滑性（正则性）通常用来描述函数的光滑程度。如果一个函数是光滑的，这个函数在数学定义上无穷可导。

其中，存在性证明已经由 Alexandrov 给出，而弱解（某种精确定义的意义下满足该方程的解）的唯一性也已经得到证明。

对光滑性的研究，自 1996 年来却一直局限在某些条件下。

1996 年，Caffarelli 在他里程碑式的工作中，证明了当两个区域是一致凸、密度函数光滑的时候，最优传输解光滑。

然而这里有一些限制条件：两个区域一致凸、密度函数光滑。

二十多年来，领域里的专家几乎都认为这些条件（尤其是区域一致凸）必不可少。

但陈世炳等人在这次的研究中，去掉了两区域一致凸条件，甚至降低了对边界的光滑性要求，证明了自然边界条件下蒙日-安培方程的整体光滑性。

这对于蒙日-安培方程的研究来说，是一大进步，相当于把一个定理的范围扩大到了更广泛的领域。

#作者介绍

作者陈世炳，现在任中国科学技术大学数学系特任教授，博士生导师。

据镇海中学梓荫山下微博账号消息，陈世炳是宁波镇海中学 2001 届校友。

镇海中学是浙江省强校，除了陈世炳，还有包括 IOI 金牌得主罗煜翔等人也出自这里。

陈世炳本硕毕业于北京大学数学系，博士毕业于加拿大多伦多大学。

曾先后在美国国家数学科学研究所和澳洲国立大学任博士后，与菲尔茨奖得主 Alessio Figalli 以及澳大利亚科学院院士汪徐家教授有长期合作。

他的主要研究领域为非线性偏微分方程，除了蒙日-安培方程之外也在曲率流、不等式以及 Lp Minkowski 问题方面取得了若干成果，目前已发表 SCI 论文十余篇。

作者刘佳堃，澳大利亚伍伦贡大学数学与应用统计学院教授，本科毕业于浙江大学，曾获陈省身数学奖学金。

作者汪徐家，澳大利亚科学院院士，曾获华人数学最高奖“晨兴数学奖”金奖，同样在蒙日-安培方程上有深入研究，尤其是其中的正则性理论。

据顾险峰教授介绍，他与合作者给出了 Ma-Trudinger-Wang 条件，来限定密度函数，传输代价和概率测度支集的几何性质，从而保证最优传输映射的光滑性。

同时，他还厘清了反射曲面设计、自由曲面透镜设计等价于球面上的最优传输问题，也等价于球面上的蒙日-安培方程。

国内学者在这一方程上的突破历程，可以说是非常精彩了。

北大校友“偏微分方程”最新成果登数学四大顶刊之一，现已回国任教中科大