武士如厕为何惊声惨叫

数学大师为何卧床不起

这一切的背后，是人性的扭曲还是道德的沦丧？

点我看看视频怎么说

拓展猫粮

看完视频后，你也许会大叫：“啊哟喂~视频最后出现的那些鬼畜至极的长的跟钱串子似的刀谱到底是什么鬼？？！！”

好了，先不说这些到底是什么鬼，先问你，前面的剧情全都看懂了吗？

嗯，你认真的想了想：“好像也并没有看很懂呀嘻嘻嘻。”

好的，那我们快速的回顾一下视频里提到的几套刀法。

凡夫俗子都能想到的方法

为了让挥刀面积最小，我们不妨把武士刀换成线段，考虑让一条线段在平面上转过180°。多数人的第一反应是让线段绕着一端旋转180° ，即半圈的情形。很显然，此时线段扫过的面积是π/2。

当然，这是很差的一种设计。如果把旋转中心放到线段中点的位置，让线段绕中点旋转180°，情况会好很多，这时线段扫过的面积为π/4。

挂谷宗一的见地

数学家们肯定不会考虑上述这些几乎没有技术含量的东西。在挂谷宗一提出这个问题后，有数学家发现，若这个线段在正三角形（高为 1，边长为 2/√3 ）中每一顶点处都旋转 60°，那么线段扫过面积为 √3 ／3。

挂谷宗一不满足于此，他想到了数学大师欧拉（Euler）发现的那个三尖瓣线（Deltoid curve）。

红色部分即为三尖瓣线

当小圆直径为0.5，大圆直径为1.5时，三尖瓣线内部任何一条切线的长度均为1。

任意切线（蓝色）的长度均为1

这个三尖瓣线的面积刚好是“直径为1的圆的面积的一半（π/8）”。

挂谷宗一猜测，这就是最终答案——长度为1的线段旋转180°，扫过的最小面积为π/8。

我相信，就算有人给出了面积更小的答案，挂谷宗一也不会过于震惊。顶多就是个之前没想到的几何图形嘛，对吧，难道谁还能整出个花儿来不成？

嗯，真就有人整出花儿来了。

终极鬼畜大神——贝西科维奇

这部分内容就是视频最后出现的蜜汁鬼畜图形背后的故事。

1924年，苏联数学家贝西科维奇（Abram Samoilovitch Besicovitch），因为国内革命愈演愈烈，开始了颠沛流离的生活。在满欧洲乱跑的时间段，贝西科维奇接触到了挂谷宗一的研究课题，很快就发现了挂谷问题和自己在1919年发表的一篇论文有着惊人的关联性（贝西科维奇：“惊人？不惊人呀。”），于是开始利用俄罗斯数学家的种族天赋（至于俄罗斯数学为什么这么NB，这里省略10万字），着手解决这个问题。

最终，在1928年，贝西科维奇给出了让人瞠目结舌的答案：“挥刀面积”可以无限小。

（挂谷宗一：Whaaaaaat？）

视频里我们提到了这个答案的基本原理——把线段从右上方移到右下方，想要扫过的面积尽量小，那么只要重复“沿直线滑移——旋转——沿直线滑移”这个步骤就可以了，总结成俩字就是“ 鬼畜”，这个鬼畜的办法最早是一位犹太数学家朱利叶斯·保尔（Julius Pál）发现的。

本着“看看还能不能更鬼畜”的科学精神，贝西科维奇给出了更鬼畜的答案：

某挂谷集（即挂谷问题的答案之一）

基本思路大致是这样的：通过增加线条、缩小旋转角度，我们可以让线段扫过的面积变的无限小。具体的构图过程篇幅太长，大家从下图领略一下精神就好（感兴趣的话可以看一下单墫老师的《十个有趣的数学问题》）：

这个过程中的图形称为“佩龙树”

这部分看不懂就不要看了

至此，挂谷问题基本上就算是解决了，鬼畜刀谱我们也了解的差不多了，但数学家对问题的探索还远没有结束。

如果你亲自画了一下上面的佩龙树，然后把三个佩龙树拼在一起，就能得到贝西科维奇的那个答案。但同时你也会发现几个问题：

1. 贝西科维奇的答案存在很多空隙，可以说是千疮百孔，看起来跟破衣服一样！很扎眼啊！

2. 你构造的佩龙树越“茂盛”，最后形成的图案就越“大”，大到没朋友。如果武士照着这个轨迹挥刀，厕所早炸了。

第一个问题是单连通问题。“单连通”是拓扑几何中的一个基本概念，大家看图应该就能明白了：前两个是单连通区域，后两个不是。

第二个问题是有界问题。有界就是图形的大小范围有上限，无界相反。

数学家们发挥鬼畜无极限的强迫症精神，开始继续完善挂谷问题：

1941年，阿尔芬（A.H. van Alphen）消除了无界性，证明了可在半径为2+ε（ε是任意小的正数）的圆内做出面积任意小的挂谷集。
1952年，沃克（R.J. Walker）给出了一个单连通的、有界的挂谷集，可惜面积有限（约为0.75*π/8 ，比三尖瓣线要小）。
1965年，舍恩伯格（Isaac Jacob Schoenberg）与他的学生坎宁安（F. Cunningham）一起，给出了另一个单连通的、有界的挂谷集，虽然面积仍然有限，但是比沃克的面积要小，为

最终，在1971年，坎宁安完美的解决了挂谷问题，他成功证明：在单位圆内可以做出单连通的、面积无限小的挂谷集。

< 完 >

茅房武士异味录：全球数学家鬼畜刀法研究史略