数学可以建议什么样的选举方法值得尝试，但是并不能揭示它一定会适合特定的国家和机构。但是我们对投票体系的期待是：创造出对人民来说合法的政府，不管是输是赢，都要让人觉得这游戏是公平的。

穆勒在1861年区分了两种政府，一种是理想的“全民所有而且代表全民的政府”，另一种是“全民所有但是只代表大多数人们的政府”，后一种，就是“票多者胜”的产物。

每次到了威尼斯总督选举的时候，一名官员就去圣马可教堂祈祷，然后把他在广场上遇到的第一个男孩带回市政厅，这位男孩的任务是从威尼斯的世家大族里面抽签。这是曲折的、可笑的、老谋深算的威尼斯选举程序的第一步。从1268年一直到威尼斯共和国灭亡的五百多年里，这一选举程序都没有发生根本性的改变。

男孩通过抽签抽出30个人，然后再次抽签把人数缩减为9人，这9个人提出40个候选人，每人至少要获得7张选票。然后进入下一轮，通过抽签减少到12人，由这12人再提名25个人，每个人至少要获得9个人提名。从这25人挑出9人，这9个人提名45个人，每人必须得到7次提名，再从这45个人里面选出11人，由这11人提名41个最终的候选成员，这41人每人提出一名候选人，所有的人都经过集体讨论，必要的话，还要到场接受质询。然后针对每个候选人进行投票，得票最多的胜出，当选为总督，当然得票数必须超过25票。

如果你被绕蒙了，别灰心，复杂和扑朔迷离正是威尼斯选举制度的特点，这么做是为了避免幕后交易和暗箱操作。1179年，在威尼斯呆了两年之后，亚历山大三世教皇对教皇的选举制度进行了改革，废除了当选教皇需要枢机主教全体一致通过的传统，只要2/3多数票通过就可以。

你可能觉得2/3比全体一致更容易达到，但是13世纪的教皇选举好像总也不容易。有6次花了几个月的时间才选出一位教皇。而且1241年，罗马共和国的行政长官威胁说，如果枢机主教再不选出一位教皇，他就挖出已故教皇的尸体游街。最终，枢机主教们掌握了选举的窍门。经过多年的深思熟虑之后，2007年，梵蒂冈教皇重申了2/3原则。

“2/3神圣选举团所做的选择就是圣灵的选择”，1458年庇护二世在他当选教皇的那年如是说，他没有解释为什么2/3就是神圣的标记。自此以后，数学家、经济学家和政治理论家都试图澄清选举中的数学问题，试图建立更好的选举体系。

选举中的数学问题在两个时间段成为显学，一是法国大革命之后，法兰西学院的一些数学家试图推导出合理的选举程序；二是20世纪50年代，经济学家和博弈学家们证明完美的选举制度是不存在的。而在两段时间之间，还有几位数学家也为选举问题献计献策。

■ 大革命的选举法

选举是民主的主要形式，最常见的选举方法是“票多者胜”。如果只有两个人参选，还将就过得去。但如果候选人多于两名，就常常出问题。比如，小布什赢得了2000年美国总统选举。但是，如果当时在佛罗里达州，有几百个纳德尔的支持者改投了戈尔的票，那就是戈尔当总统了。简单地说，当时的数学是这样的：假设有100人投了小布什，99人投了戈尔，3人投了纳德尔——如果让这3人在小布什和戈尔中选择的话，他们是会选择戈尔的。因为纳德尔这一捣乱，改变了世界历史的进程。

法国数学家让 -查理斯 ·波达首先对这种“分票”问题作出了数学说明。对此波达的建议是要求投票人对候选人进行排序，根据排序来计算得分，波达计数法的关键是不但要考虑最喜欢的也要考虑最不喜欢的。

但是，这种方法不会选出大众喜欢的，却会选出谁也不喜欢的。如果你的第二选择是你的第一选择的强劲对手，为了你最喜欢的人当选，你可能要把第二选择排到最后。波达说他的选举方法只对诚实的人有效，法兰西学院就采用波达的方法选举，但是后来在拿破仑·波拿巴的压力下废止了。

杰出的改革家马奎斯 ·孔多塞在法国大革命后当上了国民议会的秘书，对选举制进行了深入调查，他建议所有的候选人都进行一对一对决，这样每个候选人都直接与另外的候选人进行比较。如果一个候选人每次都赢，非常明显他就是冠军，但是即使只有三名候选人，也很难出现孔多塞所说的冠军。

这样的竞赛，会出现类似儿童游戏的困境：石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头，没有一个是最强的。这后来被19世纪的数学家查尔斯 ·道奇森称为“怪圈”。孔多塞本人的命运多舛，在处决路易十五这件事情上他与雅各宾派闹翻了，随后便被宣布为叛徒，后来在牢狱中神秘死去。

法兰西学院放弃了波达的方法之后，采用了天文学家、数学家皮埃尔-西蒙 ·拉普拉斯的简单建议：获胜者要超过半数，至少比半数多一票的选票。如果没有候选人达到这个要求，就不允许进法兰西学院。但是对于政府选举来说，不管怎么样都得选出一个人来，如今的法兰西学院和法国的总统选举把拉普拉斯和孔多塞的方法结合起来，采用两阶段选举法，第一阶段选出两位候选人，淘汰别的候选人。第二阶段保证有一个选举人胜出和得票多于半数。

■ 排序复选制

大家都知道《爱丽丝漫游奇境》的作者是刘易斯·卡罗尔，其实他的真实身份是牛津大学数学家查尔斯 ·道奇森。19世纪70年代他开始对选举问题感兴趣，不过道奇森考虑的不是国家政治，他想的是怎么控制牛津大学基督堂学院的管理层。至于他为什么忽然之间对学院政治开始感兴趣了，后来的研究者认为，部分原因是因为爱丽丝的父亲、基督堂学院的院长禁止他再与自己的女儿接触。在学院管理上玩玩阴谋很可能是道奇森的报复方式。

对于学院选举，道奇森建议采用波达和孔多塞的方法。后来他对政治的兴趣就超越了基督堂学院的围墙，到了19世纪80年代，他致力于探索能够保证少数派利益的议会选举法。另一位比例代表制（按参选各党派的得票比例分配席位）的早期倡导者是英国哲学家经济学家约翰·穆勒。

穆勒在1861年区分了两种政府，一种是理想的“全民所有而且代表全民的政府”，另一种是“全民所有但是只代表大多数人们的政府”，后一种，就是“票多者胜”的产物。当时穆勒想保护的少数派是“精英知识分子”，他害怕这些人会被占大多数的公民票数所淹没。

比例代表制的关键是扩大候选党派，并通过各党派得票的多少来分配席位。对比例代表制的主要批评是将导致不稳定的联合政府，因为不止一个政党在选举中得到支持。现在世界上有3/4的国家采用比例代表制，各地成功与失败的例子太多了，支持者和批评者都可以找到支持自己论点的证据。

虽然西欧国家议会大都采用比例代表制，英国大选采用简单多数制。现在，在全英650个选区中，在每个选区中获得最多选票的候选人，即成为这个选区的议员，至于这名候选人获得的选票数量多少，比获第2名的候选人领先多少，都不影响选举结果。

被称为“排序复选制”(Instant Runoff Voting)的选举法1870年出现在美国，设计者是美国建筑师威廉·威尔，他另外不朽的丰碑是哈佛大学的著名建筑。自1918年开始，澳大利亚的众议院选举就采用这种方法。如今这种选举法在美国也得到发展，2010年的奥斯卡最佳影片就采用这种投票制选出。

“排序复选制”允许每位选民分先后次序，可一次投票给几位候选人，这种选举法的意图是，即使你最喜欢的候选人失败了，你的选票还是算数。如果任何候选人的第一票数超过半数就胜出了，选举结束。但是如果没有人胜出，得到第一票数最少的候选人被淘汰。然后重新排列选民的喜好，再将最少人排在第一位的候选者排除，直到剩下两位候选人为止。除了澳大利亚众议院，爱尔兰总统、斐济众议院、巴布亚新几内亚国会都是用此制度选出来。

乍一看这好像是非常有吸引力的方法，能够产生一位明确的胜者，而且更多人的意愿能够影响选举结果。但是仔细想想，你会发现这背后的逻辑有多奇怪。虽然更多人的选票影响了结果，但是是以非常奇怪的方式，一些人的第二、第三甚至是最低选择与很多人的第一选择等同。如果你最喜欢的候选人在第一轮中就被淘汰了，然后你第二或者更靠后的选择便会变成第一选择。胜利者是靠第一、第二、第三各种不同选票选出来的。

■ 不完美的选举法

到了20世纪50年代，斯坦福大学的经济学家肯尼斯·阿罗以严密的数学推理为工具再次对选举问题进行深入研究，他首先设置了一系列理性的投票系统应该满足的前提条件，然后用数学证明只要候选人超过两个，就没有一种投票方法能够满足这些条件。所以设计一种选举机制就是矮子里面拔将军，选择不完美里面缺陷最少的。

1972年，瑞典皇家科学院授予阿罗诺贝尔经济学奖时称他的结果：“非常令人沮丧，对于完美的民主之梦来说是个打击。”有人甚至说“民主世界从此改变了，”不过阿罗的不可能定理公布后，民主制度还是不断向世界各地扩展。

阿罗的定理有一个适用条件，也就是给候选人排序，如果给候选人打分呢，情况又不相同。实际上“票多者胜”就是一种粗略的给候选人排序的方法。打分法有很多优点，现在在互联网上使用的非常普遍，比如给菜馆、电影、书、文章等打分。这种方法同样可以转换到选举上，可以计算每个候选人得了多少星，得星最多的人胜出。

这种方法被称为“范围投票”，可以追溯到19世纪的拉普拉斯，也与古希腊斯巴达人的欢呼法异曲同工。斯巴达人在选举中越喜欢一个人，就越用劲拍击矛和盾，获得呼声最高的人获胜。最近巴黎的两位数学家采用熟悉的语言而不是打分法来评定候选人，比如“优秀”“非常好”“不错”“差不多”“坏”，用评价葡萄酒的语言，来评判政治家。

最近流行的选举方法除了“范围投票”之外还有一种“赞成投票”，即选民不必选出最喜欢的候选人，可以多选。13世纪晚期的教皇选举开始使用“赞成投票”法，不过到了1621年被废弃了，因为把这种方法和圣灵的2/3原则结合在一起太麻烦了。“赞成投票”在20世纪70年代得到了复兴，美国一些数学家和政治学家不约而同地都推举此法。美国数学学会和美国数学协会的内部选举都采用“赞成投票”制。

虽然阿罗的不可能定理不适用于“范围投票”和“赞成投票”，但是这不意味它们就不存在隐藏的症结和无解的悖论。“范围投票”和“赞成投票”都有可能出现前面提到的分票现象。比如“范围投票”，所有人都给自己打五星，给传达室的老大爷打三星，给其他人打一星。最后，传达室老大爷胜出。

虽然选举是个数学题，但是某种投票方式是否管用，取决于人民如何运用手中的选票，如果他们漫不经心随随便便，就会造成灾难。在采纳“赞成投票”的国家，各政党会较少攻击他们的对手，以减少对手支持者的敌意，批评家担心这会便宜了谁也不得罪的乏味政客，但是支持者认为，这样的中间投机者会弄巧成拙，广泛的吸引力和鲜明的立场并不是相互排斥的。

选举当然不是纯粹的数学题，纯技术层面的讨论不可能考虑到选民的多样性和地域的复杂性。虽然很多投票方法都比“票多者胜”更好，但是想象有一种适合所有情况的选举制度也是不现实的：一个年轻的非洲共和国的立法机构选举、大西洋一个小岛上的总统选举、新英格兰小镇校长的选举和一个被内战撕裂的国家议会的选举不能适用同一种投票方法。如果“票多者胜”是一种糟糕的选举制度，一刀切则是更坏的政治态度。

数学可以建议什么样的选举方法值得尝试，但是并不能揭示它一定会适合特定的国家和机构。我们对投票体系的期待是：创造出对人民来说合法的政府，不管是输是赢，都要让人觉得这游戏是公平的。

本文来自《看历史》杂志社-2011年3月刊

选举：一道政治数学题