忽视数学会伤害所有的知识，因为，对数学无知的人，不可能了解其他科学或这个世界上的其他事物。

——罗杰·培根

从亚洲到欧洲

时间和历史，当然是天衣无缝的整体，就像数学中的连续统一样，任何细分的时期都是人的手工品；但正如坐标系在几何中很有用一样，把事件细分为时期或时代在历史学中也是方便之举。为了政治史的目的，人们习惯上把公元476年罗马的陷落标定为中世纪的开始，而把1453年君士坦丁堡落入土耳其人之手看作是中世纪的结束。撇开政治上的意义不谈，最好是把古代时期的终结定位在524年，这既是波伊提乌去世的年份，也接近于罗马修士狄奥尼修斯·埃克西古提议把年代学建立在基督纪元基础上的时间，打那以后，基督纪元变得常用了。对数学史来说，我们在第11章把529年作为中世纪开始的首选标志，而且，我们将稍嫌武断地把1436年作为中世纪结束的标志。

1436年很可能是阿尔·卡西去世的年份，他是一位非常有能力的数学家，我们已经把他描述得多少有些两面性——回过头看他属于老时代，在某些方面，他又预示了新时代——1436年还标志着另一位杰出数学家的诞生，他就是约翰·谬勒（1436～1476），他更有名的名字是雷格蒙塔努斯，这是他的出生地哥尼斯堡的拉丁文形式。换句话说，1436年象征了这样一个事实：在中世纪，那些在数学上杰出的人物都是用阿拉伯文写作，并生活在伊斯兰非洲和亚洲，而在这个正在破晓的新时代，主要的数学家都用拉丁文写作，生活在基督教欧洲。

关于中世纪，过于简单的看法常常源自于显著以欧洲为中心的历史记述；因此，我们要提醒读者，有五个伟大的文明，五种不同语言的著作，构成了中世纪数学史的主体。在前两章中，我们已经描述了来自中国、印度和阿拉伯的贡献，五种主要中世纪文化中的三种。在这一章，我们将看看另外两种文明的数学：（1）东罗马帝国（或称拜占庭帝国），以君士坦丁堡（或称拜占庭）为中心，在这里，希腊语是官方语言；（2）西罗马帝国，它没有一个中心，没有单一的语言，但在这里，拉丁文是学者们的通用语。

拜占庭的数学

当查士丁尼在529年关闭雅典的异教哲学学校的时候，学者们风流云散，其中有些人在叙利亚、波斯及其他地方永久定居了下来，另一些人则在几年之后卷土重来，其结果是：希腊学术在拜占庭世界并没有严重的断裂。我们已经简略地提到过6世纪几位希腊学者的作品：欧托基奥斯、辛普里丘、伊西多尔和安提米乌斯。正是查士丁尼本人，让后面两位负责圣索菲亚大教堂的建造。在拜占庭学者的名单上，还应该添加约翰·菲洛波努斯的名字，6世纪初叶他活跃在亚历山大城，是他那个时代全世界首屈一指的物理学家。菲洛波努斯不赞成亚里士多德的运动法则及真空的不可能，他提出了一种类似于惯性原理的运算，根据这一原理，运动中的物体将继续移动。像后来的伽利略一样，他拒绝承认自由落体所获得的速度跟它的重量成正比：

如果你让两个物体从同一高度落下，其中一个物体的重量数倍于另一个物体，你会看到，落地所需的时间之比并不等于它们的重量之比，相反，时间差非常小。（克莱杰特，1959，第546页。）

菲洛波努斯是个基督徒科学家（欧托基奥斯和安提米乌斯多半也是），他利用了古代的异教材料，他的观念影响了后来的伊斯兰思想家，因此显示了科学传统的联系性，无关乎宗教和政治的差异。

菲洛波努斯主要不是个数学家，但他的某些作品，比如他论述星盘的专著，可以被认为是应用数学。拜占庭的大多数数学贡献都只有初等水平，主要包括对古代经典的评注。拜占庭的数学跟阿拉伯的数学比起来，其实是一种保护行为，尽可多地能保存古代的文献材料，直到西方做好了接续的准备。菲洛波努斯通过他对尼科马库斯的《算术导论》的评注，帮助了这项工作。新柏拉图学派的思想在东罗马帝国继续发挥着强大的影响力，这解释了尼科马库斯的著作为什么大受欢迎。在11世纪，他的作品再一次成为一部评注的对象，这一次的评注者是普塞洛斯（1018～1080？），雅典和君士坦丁堡的一位哲学家，他的弟子当中包括皇帝米哈伊尔七世。普塞洛斯的另一部作品，一部关于文科四艺的非常基础的概要，在16世纪文艺复兴时期的西方十分流行。两个世纪之后，我们注意到另一部希腊文的数学四门学科的概要，这一次的作者是乔吉奥斯·帕奇梅雷斯（1242～1316）。这样的概要，其意义仅仅在于它们表明了，古老希腊传统的涓涓细流依然在东罗马帝国继续流淌，直到中世纪末。

帕奇梅雷斯还撰写了一本丢番图《算术》的评注，就像他的同时代人马克西姆斯·普拉努得斯（1255？～1301）一样。后者是希腊的一位修道士，也是安德罗尼库斯二世皇帝派到威尼斯的大使，这表明，在东罗马与西罗马之间存在着一定的学术接触。普拉努得斯还写了一本论述印度记数体系的作品，这一体系终于传到了希腊世界。在拜占庭，正如可以预料的那样，字母数字并没有完全废弃，因为它在希腊的法律、行政和教会文件中一直持续到了我们今天。例如，一份文件的第七十八节在亚历山大时代被写作οη。即使是在印度的体系之内，14世纪的拜占庭学者依然保留了老字母体系的前9个字母，加上一个零符号，有点像倒过来的h。例如，7890这个数字被写作ζηθy，这种形式完全像我们自己的记数法一样方便。普拉努得斯的一位弟子曼纽尔·莫斯霍普洛斯（约生活于1300年前后）写过论述幻方的著作，而算术家和几何学家尼古拉斯·拉布达斯（卒于1350年）评注了普拉努得斯关于记数法的介绍。后者还撰写了一本论述“手指计算”的作品；但拜占庭的数学从来都不是很强，到这一时期已经变得可以忽略不计了。到14世纪，希腊世界明显被西罗马的拉丁世界所超越，我们马上就转到拉丁世界。

黑暗时代

第11章里提到了古代时期结束的时候波伊提乌的拉丁文著作，并指出了它们的水平都很初级。甚至从这一水平上，还有可能进一步退化，正如我们在卡西奥多鲁斯（约480～约575）所撰写的那本关于文科四艺的琐碎概要中所看到的那样。卡西奥多鲁斯是波伊提乌的弟子，生命中的最后岁月是在他所创建的一座修道院里度过的。在中世纪早期，卡西奥多鲁斯的那些粗糙作品充当了教会学校的教科书，偶尔也充当了更低水平著作的材料来源，比如塞维利亚的伊西多尔（570～636）的《词源学》（Origines或Etymologies），其20卷当中有一卷是波伊提乌的算术的简短摘要。当我们考虑到他的同时代人都认为伊西多尔是他那个时代最有学问的人时，我们就能充分理解他那个时代的悲哀：“学术研究已经在我们中间死去。”那确实是科学的“黑暗时代”，但我们不要错误地认为，整个中世纪都是这样。接下来的两个世纪里，黑暗进一步加深，以至于到了这样一种程度，据说，在欧洲，除了尊者比德（约673～735）笔下的沙沙声之外，听不到任何学术方面的声息。在英格兰，比德撰写的著作涉及到教会历法所需要的数学，还有通过手指表示数字。

阿尔昆与吉尔伯特

约克的阿尔昆（约735～804）出生于比德去世的那一年；查理曼大帝把他召去复兴法国的教育，取得的进步十分明显，甚至某些历史学家说那是加洛林王朝的文艺复兴。阿尔昆解释道，创造天地万物的行动用了6天时间，这是因为6是完全数；但除了一些阿尔昆自称是为初学者写的算术、几何及天文学作品之外，此后的两个世纪里法国和英国很少有数学著作出现。在德国，拉巴努斯·马鲁斯（784～856）继续了比德那微不足道的数学和天文学努力，尤其是关于复活节日期的计算。但接下来的一个半世纪里，西欧的数学气候没有任何显著的改变，接下来出现了一个人，他最后成了教皇西尔维斯特二世。

吉尔伯特（约940～1003）出生于法国，在西班牙和意大利接受教育，然后在德国效力，先是作为家庭教师，后来作为神圣罗马帝国皇帝奥托三世的顾问。担任大主教（先是在兰斯，后来在拉文纳）之后，吉尔伯特在999年当选为教皇，改名西尔维斯特——可能出自一位以学问著称的早期教皇的文集，但更可能是因为君士坦丁时代的教皇西尔维斯特一世，他象征了教皇职位和帝国的统一。吉尔伯特在政治上很活跃，无论是世俗政治还是教会政治，但他也有时间关注教育问题。他写过论述算术与几何的作品，所依据的大概是波伊提乌的传统，后者的著作统治着西罗马教会学校的教学，一直没有改进过。然而，比这些解释性的作品更为有趣的是这样一个事实：吉尔伯特大概是欧洲第一个讲授如何使用印度—阿拉伯数字的人。他究竟如何接触到这些，我们并不清楚。一个可能的解释是，当他在967年去西班牙的时候，他（多半是在巴塞罗那）接触到了摩尔人的学术，包括有着西方数字形式的阿拉伯记数法，尽管现存文献中很少有阿拉伯影响的证据。一份西班牙文的伊西多尔的《词源学》（出版年代为992年）包含了阿拉伯数字，但没有零，吉尔伯特大概从不知道印度—阿拉伯记数体系中最后这一部分。然而，在波伊提乌作品的某些手抄本中，出现了类似的数字形式，作为算板或算盘上所使用的计数码；大概正是从这些材料，吉尔伯特第一次了解到了这一新的记数体系。另一方面，波伊提乌的计数码可能本身就是后来插入的。阿拉伯数字的引入欧洲，其情形就像大概500年前这一体系发明时的情形一样混乱。此外，我们并不清楚，在吉尔伯特之后的两个世纪里，欧洲是否继续使用过这一新体系。直到13世纪，印度—阿拉伯体系才决定性地被引入到了欧洲，当时，这一成就并不是一个人、而是几个人的工作。

翻译的世纪

欧洲在吉尔伯特时代之前，尚没有为数学的发展做好准备。基督教的态度（像德尔图良所表述的那样），起初跟早期的伊斯兰教大抵是一样的，关于后者，我们在前面说到亚历山大城的图书馆时引述过。德尔图良写道，自耶稣基督的福音被人们接受以来，科学研究就变得多余了。吉尔伯特时代是穆斯林学术的高峰时期，但同时代的拉丁学者很少有人欣赏阿拉伯人的著作，即便他们知道了这些著作。到12世纪初，情况开始改变，其改变的方向让人不由得想到阿拉伯的9世纪。如果不懂得邻居的语言，你就不可能吸收他们的智慧。穆斯林在9世纪推倒了通向希腊文化的语言壁垒，拉丁欧洲人在12世纪克服了通向阿拉伯学术的语言隔阂。在12世纪初，任何一个人，如果没有良好的阿拉伯语知识，他就别指望成为任何真正意义上的数学家或天文学家；在12世纪初期，欧洲不可能自吹有一个不是摩尔人、犹太人或希腊人的数学家。到这一世纪末，全世界最重要、最有原创性的数学家都来自基督教的意大利。这一时期是从老观点向新观点转变的过渡时期。复兴必然从大量的翻译开始。起初，几乎完全是从阿拉伯文翻译成拉丁文，但到了13世纪，出现了很多的变化——阿拉伯文到西班牙文、阿拉伯文到希伯来文、希腊文到拉丁文，或者像阿拉伯文到希伯来文再到拉丁文这样的组合。欧几里得的《几何原本》就是最早从阿拉伯文翻译成拉丁文的数学经典之一，这个版本是在1142年出自巴斯的阿德拉尔德（约1075～1160）之手。我们并不清楚，这个英国人究竟是如何接触到了阿拉伯的学术。那年头，伊斯兰世界与基督教世界之间有三条主要的桥梁——西班牙、西西里和东罗马帝国——其中，西班牙是最重要的桥梁。然而，在很多利用西班牙这座知识桥梁的人当中，阿德拉尔德似乎并不是其中之一。很难说宗教性质的十字军东征是不是这次学术传播的一个积极影响，但很有可能，它们更多的是破坏了交流的渠道，而不是使这些渠道更加便利。无论如何，西班牙和西西里是12世纪最重要的渠道，在1096至1272年十字军东征期间，这两条通道并没有受到劫掠大军太大的干扰。拉丁欧洲的这次学术复兴却是在十字军东征期间发生的，但多半跟十字军东征没有干系。

阿德拉尔德翻译的《几何原本》对另一个世纪并没有很大的影响，但它远非一次孤立的事件。阿德拉尔德早先（1126年）还把花拉子密的天文表从阿拉伯文翻译成拉丁文，后来（约1155年）又把托勒密的《至大论》从希腊文翻译成拉丁文。然而，在早期翻译家中，阿德拉尔德是个例外，因为他不是在西班牙工作的那一大群人之一。在西班牙，尤其是在托莱多（那里的大主教鼓励这样的工作），一所名副其实的翻译学校正在发展。托莱多城曾经是西哥特人的首都，后来落入了摩尔人之手，再过几个世纪，又落入了基督徒之手，是学术中转的一个理想地点。在托莱多的图书馆里，有大量穆斯林手抄本；平民百姓当中，包括基督徒、穆斯林和犹太人，有很多人说阿拉伯语，这使得信息在不同语言之间流动更加便利。西班牙翻译家们的世界性可以从一些名字清楚地看出：切斯特的罗伯特，达尔马提亚人赫曼，蒂沃里的柏拉图，布鲁日的鲁道夫，克雷莫纳的杰勒德，以及塞维利亚的约翰，最后一位是个皈依了的犹太人。这些人当中，只有很少一部分人与西班牙的翻译计划有联系。

西班牙的翻译家当中，最伟大的大概是克雷莫纳的杰勒德（1144～1187）。他为了搞懂托勒密而去西班牙学阿拉伯语，但他的余生全都奉献给了翻译阿拉伯文文献。在翻译成拉丁文的作品当中，库拉的阿拉伯文版《几何原本》修订版的拉丁文版本，是一部比阿德拉尔德的译本更好的作品。1175年，杰勒德翻译了《至大论》，西罗马主要是通过这部作品知道了托勒密。超过85部翻译作品被归到杰勒德的名下，但只有托勒密的翻译有明确的年代。杰勒德的作品包括花拉子密《代数学》的一个拉丁文改编版，但《代数学》的一个更早、更流行的译本，是切斯特的罗伯特在1145年翻译的。这部作品是花拉子密这部专著的第一个译本（正如罗伯特几年之前翻译的《古兰经》标志着另一个“第一”一样），可以被视为标志着欧洲代数学的开始。

1150年，罗伯特回到了英格兰，但西班牙的翻译工作通过杰勒德及其他人毫发无损地继续进行。花拉子密的作品明显属于当时更受欢迎的对象，蒂沃里的柏拉图和塞维利亚的约翰这两个人的名字跟《代数学》其他改编本联系在一起。西欧突然之间更加青睐于阿拉伯的数学，而不是他们从前喜爱的希腊几何，这里面的部分原因多半是，阿拉伯的算术和代数跟罗马共和国和帝国时代的希腊几何比起来，处在更初级的水平上。然而，罗马人对希腊的三角学从未表现出多大的兴趣，尽管它相对而言比较有用，也比较初级；而12世纪的拉丁学者却如饥似渴地阅读出现在天文学著作中的阿拉伯三角学。正是罗伯特对阿拉伯著作的翻译，产生了我们的sine（正弦）这个单词。印度人把jiba这个词赋予给了三角学中的半弦。在阿拉伯语言中也有一个词jaib，意思是“海湾”或“小河湾”。当罗伯特着手翻译jiba这个技术名词的时候，他似乎把它跟jaib这个词给弄混了（大概是因为元音被省略了）；因此，他使用了sinus这个拉丁文中表示“海湾”或“小河湾”的词。有时候使用更明确的术语sinus rectus（正弦）；因此sinus versus这个术语被应用于“正矢”。

正是在12世纪的翻译时期以及接下来的13世纪，关于花拉子密的名字产生了混乱，并导致了algorithm（运算法则）这个词，我们在上一章已指出了。大约在巴斯的阿德拉尔德和塞维利亚的约翰把印度数字介绍给拉丁读者的同一时期，亚伯拉罕·伊本－埃兹拉（约1090～1167）把一套类似的方法介绍给了犹太人，埃兹拉撰写过多部论述占星术、哲学和数学的著作。正如在拜占庭文化中前9个希腊字母数字（后来增补了一个专门的零符号）取代了这一体系中的印度数字一样，埃兹拉也在整数位值记数体系中使用了前9个希伯来字母数字，加上一个圆圈代表零。尽管有很多关于印度—阿拉伯数字的介绍，从罗马数字体系向这一体系转变依然惊人地缓慢。大概是因为用算盘计算十分常见，在这种情况下，新体系的优势并不像在仅用纸和笔计算的情况下那么明显。接下来的几个世纪里，“算盘使用者”与“阿拉伯数字使用者”之间存在激烈的竞争，后者仅仅在16世纪才取得了决定性的胜利。

印度—阿拉伯数字的传播

偶尔有人声称，在中世纪晚期，有两类数学家——教会或大学里的经院数学家，以及关注贸易和商业的数学家——而且，这两者之间产生了竞争。这样一种论点似乎并无多少根据；毫无疑问，印度—阿拉伯数字的传播，这两个群体倒是都参与了。13世纪来自各行各业的作者都帮助了“阿拉伯数字”的普及，但我们要特别提到三个人。其中一位是法国方济各会修士亚历山大·德·维勒迪约（约生活于1225年前后）；另一位是哈利法克斯的约翰（约1200～1256），也被称作萨克罗博斯科，一位英国经院神学家；第三位是比萨的列奥纳多（约1180～1250），他更为人知的名字是斐波那契，意思是“波那乔之子”，他是一位意大利商人。维勒迪约的《算法歌》（Carmen de algorismo）是一首诗，诗中完整地描述了整数的基本运算，使用了印度—阿拉伯数字，并把零当作一个数字来处理。萨克罗博斯科的《普通计算》（Algorismus vulgaris）是一本关于实用计算的介绍，在流行程度上不亚于他的《天体》（Sphaera），后者是一本关于天文学的初级小册子，在整个中世纪晚期的学校里被广泛使用。斐波那契在他的一部著作中也描述了新的记数体系，此书是一部著名的经典，完成于1202年，但它取了一个误导性的标题：《算盘书》（Liber abaci）。它论述的并不是算盘，它是一部非常全面的论述代数方法和问题的专著，其中大力提倡使用印度—阿拉伯数字。

斐波那契的父亲是一个在南部非洲经商的比萨人，儿子在一位穆斯林老师的门下受教，并到过埃及、叙利亚和希腊旅行。因此，斐波那契自然长期浸淫于阿拉伯的代数方法：幸运的是，其中包括印度—阿拉伯数字；不幸的是，使用了文字的表达形式。《算盘书》从一个听上去很现代的观念开始，但实际上，这一观念是伊斯兰教和基督教中世纪思想的典型，这就是：算术与几何密切相关，而且互相支撑。当然，这一观点让人不由得想到花拉子密的《代数学》，但同样被认为符合拉丁世界波伊提乌的传统。尽管如此，但《算盘书》更多地关注的是数，而不是几何。它首先描述了“九个印度数字”，加上符号0，“它在阿拉伯语中被称作zephirum（零）。”顺便提一下，英语中的cipher和zero正是源自于这个zephirum及其变体。在传播过程中，斐波那契对印度—阿拉伯记数法的介绍非常重要；但正如我们已经看到的那样，在诸如此类的介绍中，它并不是最早的，它也没有达到萨克罗博斯科和维勒迪约后来所作，但更初级的描述所达到的那种流行程度。例如，分数中的横杠被斐波那契有规律地使用（之前在阿拉伯就已经被人们所知），但只是到了16世纪，它才开始被普遍使用。（斜线分隔符是德·摩根在1845年提出的。）

格雷戈尔·赖施《哲学珍宝》（Margarita Philosophica，1503，弗赖堡）中的一幅木刻画。算术女神正在指导演算者和算盘使用者，在图中，这两个人被错误地描绘波伊提乌和毕达哥拉斯。

《算盘书》

对现代读者来说，《算盘书》不是一本值得一读的书，因为在阐述了通常的代数和算术步骤（包括求根）之后，着重于商业交易的问题，在计算货币兑换时使用复杂的分数体系。位值记数法的主要优势——它对小数的适用性——在它们存在的第一个千年里，几乎完全没有被印度—阿拉伯数字的使用者所注意，这不能不说是历史的讽刺。在这方面，斐波那契像任何一个人一样难辞其咎，因为他使用了三种类型的分数——普通分数、六十进制分数和单分数。事实上，在《算盘书》中，这些体系中两种最差的——单分数和普通分数——被广泛使用。此外，有大量下面这种类型的问题：若1个帝国苏勒德斯（相当于12个帝国但尼尔）兑换31个比萨但尼尔，那么，用11个帝国但尼尔能兑换多少个比萨但尼尔？在一个菜谱式的假说中，费劲地求出来的一个答案是5/1228（或者，按我们的写法应该是285/12）。斐波那契通常把带分数中的分数部分置于整数部分的前面。例如，他不写115/6，而是写作1/3 1/211，把单分数与整数并列，意味着加法。

斐波那契明显喜欢单分数—要么就是认为他的读者喜欢单分数—因为《算盘书》中从普通分数到单分数的转换表。例如98/100被分解为1/1001/501/5 1/41/2，99/100是1/251/51/41/2。在他的表示法中，一个不同寻常的奇思妙想导致他把1/53/4与1/102/9之和写作1/26/92/101，在本例中，他的意思是1/2·9·10＋6/9·10＋2/10。类似地，在《算盘书》中很多货币兑换问题中，我们还读到了这样一个问题：如果1/42/3个洛图鲁斯价值1/71/62/5个拜占庭币，那么，1/84/97/10个拜占庭币价值3/48/1083/14911/12个洛图鲁斯。可怜的中世纪商人，不得不用这样一套体系来运算！

斐波那契数列

《算盘书》中的很多内容读起来枯燥乏味，但有些难题非常活泼生动，甚至于被后来的作者们所使用。其中一个特别耐久的难题，可能是受到了阿默士纸草书中一个类似问题的启发。按照斐波那契的表述，它是这样的：

七个老妇人去罗马；每个妇人有七匹骡子，每匹骡子驮着七个麻袋，每个麻袋装着七块大饼，每块大饼旁放着七把小刀，每把小刀套着七重鞘。

毫无疑问，《算盘书》中对未来数学最有启发的难题是下面这个：

假定一对大兔子每个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力，问从一对大兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？

这个著名的难题产生了“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…，u^n ，…，这里，u^n ＝u^（n－1）＋u^（n－2），即，在前两项之后，每一项是它相邻前两项之和。这个数列被发现具有很多优美而重要的属性。例如，可以证明：任何连续两项是互素数，且lim^（n→∞） u ^（n－1）／u^n 是黄金分割比这个数列还适用于叶序和有机增长中的问题。

三次方程的解

《算盘书》是斐波那契最有名的书，1228年出现了另一个版本，但它在学校里明显没有得到广泛的重视，直到19世纪才付梓印行。斐波那契无疑是中世纪基督教世界最具原创性、最有能力的数学家，但他的很多作品太超前了，以至于他的同时代人无法理解。除《算盘书》之外，他的其他专著也包含了很多好东西。在1225年问世的《花儿》（Flos）一书中，有一些不定方程的难题，让人不由得想到丢番图；还有一些确定方程的难题，让人不由得想到欧几里得、阿拉伯人和中国人。

斐波那契明显利用了很多不同的材料来源。就其运算与逻辑的相互作用来说，特别有趣的是斐波那契对三次方程x³ ＋2x² ＋10x＝20的处理。作者显示出的态度，接近于现代人在第一次证明不可能有一个欧几里得意义上的根——比如一个整数比，或一个形如a+√b的数，式中，a和b都是有理数——时所采取的态度。对于那个时代来说，这意味着，这个方程可以用代数的手段准确地解出。接下来，斐波那契把正根近似地表达为一个六十进制小数，精确到了六位——1;22,7,42,33,4,40。这是一项引人注目的成就，但我们不知道他是如何做到的。他或许是通过阿拉伯人，学到了我们所谓的“霍纳法”，在这一时期之前，中国人就已经知道了这个方法。到那时为止，这是欧洲所得出的一个代数方程无理根的最精确的近似值，或者说，在接下来的300多年时间里，它依然是整个欧洲最精确的近似值。斐波那契在理论性的数学作品中，而不是在商业问题中使用六十进制小数，这是那个时代的典型特征。或许，这解释了印度—阿拉伯数字为什么及时被用在天文表中，比如13世纪的阿方索星表。在“物理学家的”（六十进制）小数被使用的领域，取代它们的必要性，不如商业领域涉及普通分数和单分数的情况那么紧迫。

数论与几何

1225年，斐波那契不仅出版了《花儿》，而且还出版了《平方数之书》（Liberquadratorum），一部论述不定分析的杰出作品。像《花儿》一样，这本书也包含了各种难题，其中有一些源自于腓特烈二世宫廷里举行的数学竞赛，斐波那契曾应邀参加这样的竞赛。有一道难题，跟丢番图喜欢的那种类型有着惊人的相似——求这样一个有理数：如果把它的平方加上（或减去）5，所得结果是一个有理数的平方。《平方数之书》给出了这道难题和它的解：35/12。这本书经常利用下面这个恒等式：（a² ＋b² ）（c² ＋d² ）＝（ac＋bd）² ＋（bc－ad）² ＝（ad＋bc）² ＋（ac－bd）²

这个恒等式曾出现在丢番图的作品中，并被阿拉伯人广泛使用。就他的某些难题和方法而言，斐波那契似乎是紧跟着阿拉伯人亦步亦趋。

斐波那契主要是个代数学家，但他也在1220年写了一本题为《实用几何》（P ractica ge ometriae）的书。这本书似乎是基于阿拉伯文版欧几里得的《图形的分割》（今佚）以及海伦论述测量的作品。除了其他内容之外，它包括三角形的中线互分为2比1的证明，以及毕达哥拉斯定理的三维等价物。他继续了巴比伦人和阿拉伯人的一个趋势，即用代数解决几何问题。

约丹努斯

从我给出的几个例证来看，有一点很清楚：斐波那契是一个能力非凡的数学家。诚然，在中世纪欧洲文化900年的时间里，他没有一个旗鼓相当的竞争对手，但他也并不完全像人们有时候所认为的那样是孤家寡人。他有一个尽管天赋稍逊但也很有能力的更年轻的同时代人，此人就是约丹努斯·内莫拉里乌斯，或称萨克森的约丹努斯，他是多明我会的领袖，卒于1237年。无论如何，这位约丹努斯跟我们在13世纪遇到的任何其他人比起来，代表了科学中更接近亚里士多德的方面，他成了一个学派的创始人，这个学派有时候被称作中世纪的力学学派。关于斜面定律最早的正确阐述要归功于他，古人曾探寻过这一定律，但无功而返：沿着一条斜径的力与倾斜度成反比，这里，倾斜度通过斜径上给定的一段与这段斜径的垂直投影之比来衡量。用三角学的语言来表示，这意味着F∶W＝1／cscθ，相当于现代的表达式F＝W sinθ，式中，W是重量，F是力，θ是倾斜角。

约丹努斯的著作涉及算术、几何、天文学和力学。特别是他的《算术》（Arithmetica），迟至16世纪，依然是巴黎大学一些深受欢迎的评注的基础；这不是一本论述计算的书，而是一本准哲学著作，遵循的是尼科马库斯和波伊提乌的传统。它包含了一些理论结论，比如这样的定理：一个完全数的任何倍数是盈数，一个完全数的因子是亏数。《算术》之所以重要，尤其是因为它使用了字母而不是数字来代表数，因此使得一般代数定理的陈述成为可能。在欧几里得《几何原本》的七至九卷的算术定理中，用附加了字母的线段来代表数，花拉子密《代数学》中的几何证明使用了标有字母的图示；但《代数学》中使用的所有方程的系数都是明确的数，不管是用数字代表，还是用单词写出来。一般性的观念在花拉子密的表述中得到了暗示，但他没有从代数学上表述在几何中很容易得到的一般命题的方案。在《算术》中，字母的使用暗示了“参数”的概念；但约丹努斯的后辈们普遍忽视了字母的方法。他们似乎对约丹努斯另一本作品中所发现的代数学的阿拉伯方面更感兴趣，这本书就是《论给定的数》（De n umeris da tis），它收集了一些代数法则，为的是从给定的数开始，求符合某些条件的其他数，或证明一个满足特定条件的数是确定的。一个典型的实例是这样的：若一给定的数被分为两部分，使一部分与另一部分的乘积是给定的，那么，每一部分必然是确定的。这一法则被约丹努斯笨拙地表述如下：

设给定的数是abc，且被分为两部分ab和c，设d是ab和c这两部分给定的乘积。设abc的平方为e，d的四倍为f，且g是e减去f的结果。那么，g是ab与c之差的平方。设h是g的平方根。那么，h是ab与c之差。由于h已知，所以c和ab是确定的。

请注意，约丹努斯对字母的使用有点混乱，因为，像欧几里得一样，他也时而用两个字母、时而用一个字母来代表一个数字。他明显仿效了欧几里得，把一个给定的数画作一条线段ac，把它所分成的两部分画作ab和bc；但他使用了两个端点的字母来代表第一部分（或数），只用一个字母c来代表线段bc所表示的数。然而，第一次完全以一般形式来陈述这一法则（相当于解一个二次方程），这在很大程度上是他的功劳。只是在后来，他提供了这一法则的一个特例，用罗马数字表示：把数字X分为两部分，使它们的乘积为XXI。约丹努斯通过上面展示的步骤，求出了这两部分是III和VII。

诺瓦拉的坎帕努斯

图　14.1

约丹努斯还被认为是《算法论证》（Algorismus demonstratus）的作者，这本书阐述了一些流行了300年的算术法则。《算法论证》再一次显示出了波伊提乌和欧几里得的启发，以及阿拉伯代数的典型特征。而在诺瓦拉的约翰尼斯·坎帕努斯（约活跃于1260年前后，教皇乌尔班四世的牧师）的作品中，可以看出欧几里得的影响占更大的优势。中世纪晚期的欧几里得作品的权威译本（从阿拉伯文到拉丁文）要归功于他，这个译本最早以印刷形式出现是在1482年。在翻译的过程中，坎帕努斯使用了各种阿拉伯文的材料，以及阿德拉尔德翻译的早期拉丁文版。约丹努斯和坎帕努斯都讨论了接触角，或称号形角，在中世纪晚期，当数学呈现出更具哲学性和思辨性的面貌时，这一课题引发了非常活跃的讨论。坎帕努斯注意到，如果把接触角——也就是圆上的一段弧与其端点上的切线所形成的角——与两条直线之间的角进行比较，就会出现与欧几里得《几何原本》第十卷命题1（穷举法的基本命题）相矛盾。直线角明显大于号形角。接下来，如果我们从大角上减去一半以上，再从剩下的部分减去一半以上，最终我们应该能得到一个小于号形角的直线角，但这明显不是真的。坎帕努斯得出了正确的结论：这个命题只适用于同一种类的量，号形角与直线角不同。

约丹努斯与坎帕努斯在兴趣上的类似，可以从下面这个事实中看出：坎帕努斯在他翻译的《几何原本》第四卷中描述了一种三等分角的作法，跟约丹努斯的《论三角形》（De triangulis）中提出的方法完全一样。唯一的差别是，坎帕努斯的图示上的字母是拉丁文，而约丹努斯的是希腊—阿拉伯文。这个三等角的作法跟古代的那些作法不同，大抵如下：设我们要三等分的角AOB被置于以其顶点为圆心、以任意长OA＝OB为半径的圆内（图14.1）。从点O画一条半径OC垂直于OB，并通过点A作直线AED，使DE＝OA。最后，通过O画直线OF平行于AED。那么，∠FOB就是我们所要求的∠AOB的三分之一。

十三世纪的学术

跟中世纪早期比起来，13世纪展示了惊人的进步，以至于它曾被（不太公正地）看作是“最伟大的世纪” (1) 。我们已经在斐波那契的作品中看到，就其数学水平而言，西欧已经开始与其他文明一争高下；但这只是整个拉丁文化中所发生的事情的一小部分。很多著名的大学——博洛尼亚、巴黎、牛津和剑桥——在12世纪末和13世纪初建立起来了，这一时期还建造了很多伟大的天主教大教堂——沙特尔、巴黎圣母院、威斯敏斯特、兰斯。亚里士多德的哲学和科学被重新找回，并在大学和教会学校里讲授。13世纪是伟大的学者和教士辈出的时期，比如大阿尔伯特，罗伯特·格罗塞特斯特，托马斯·阿奎那，罗杰·培根。顺便提一句，其中两个人，格罗塞特斯特和培根，特别强调数学在课程中的重要性，尽管两个人在很大程度上都不是数学家。正是在13世纪，很多实用发明在欧洲被人们所了解：火药和罗盘，这二者大概都来自中国，还有来自意大利的眼镜，以及稍后出现的机械钟表。

12世纪已经看到从阿拉伯文到拉丁文的翻译大潮，但这时出现了另外的翻译逆流。例如，阿基米德的大部分作品在中世纪的西方几乎不为人知；但在1269年，穆尔贝克的威廉（约1215～1286）出版了一个译本（原文手抄本1884年在梵蒂冈发现），把阿基米德的主要科学和数学论著从希腊文翻译成了拉丁文。穆尔贝克的威廉来自佛兰德斯，被任命为科林斯的主教，对数学所知甚少；因此，他过度的照字面翻译作用有限（如今对恢复原始希腊文本倒是很有帮助），但从今往后，阿基米德的大多数作品至少是容易得到了。事实上，穆尔贝克的威廉的翻译包括了阿基米德的作品中阿拉伯人明显不熟悉的部分，比如《论螺线》《抛物线的求积》和《论劈锥曲面与回转椭圆体》。然而，穆斯林在理解阿基米德的数学上所取得的进步，比中世纪的欧洲人更大。

在12世纪，阿基米德的作品并没有完全逃过孜孜不倦的杰勒德的注意，他把短篇作品《论圆的度量》的阿拉伯文版翻译成了拉丁文，这个译本在欧洲使用了好几个世纪。在1269年之前，还流传着《论球和圆柱》的部分内容。这两个实例，对于阿基米德所做的工作，只能提供一个非常不充分的观念，所以，穆尔贝克的威廉的译本非常重要，因为它包含了阿基米德很多重要著作。诚然，在接下来的两个世纪里，这个译本只是偶尔被使用，但它至少一直幸存至今。斐波那契及其他文艺复兴时期学者所知道的，正是这个译本，在16世纪首次付梓印行的，也正是这个译本。

中世纪的运动学

数学史不是一份平稳而连续发展的记录；因此用不着大惊小怪，急剧上升的势头在13世纪失去了一些冲劲。拉丁世界没有跟帕普斯旗鼓相当的人来刺激古典高等几何的复兴。帕普斯的作品，无论是拉丁文还是阿拉伯文皆不可得。就连阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》也很少为人所知，除了抛物线的一些最简单的属性之外，这些属性的提出，因为牵涉到无所不在的论述光学的著作，光学是经院哲学家们所痴迷的一个科学分支。力学也吸引着13和14世纪的学者，因为当时，他们手头有了阿基米德的静力学和亚里士多德的运动学。

我们前面已经指出，亚里士多德关于运动的结论并非无人质疑，也有人提出过修改，特别是菲洛波努斯。在14世纪，对一般意义上的变动和特殊意义上的运动的研究，是大学里最受青睐的课题，尤其是在牛津大学和巴黎大学。在牛津的默顿学院，经院哲学家们推导出了计算匀速变动率的公式，今天通常被称作“默顿定理”。按照距离和时间来表述，这个定理大抵是说：一个作匀加速运动的物体在某段时间里所经过的距离，等于另一个作匀速运动、且速度等于第一个物体在这段时间的中点的速度的物体在相同时间长度内所经过的距离。正如我们用公式表示的那样，平均速度等于初始速度与终点速度的算术平均数。与此同时，巴黎大学发展出了一套比菲洛波努斯所提出的更明确、更清晰的动量学说，我们可以从中认出一个概念，它类似于我们今天的惯性。

托马斯·布雷德沃丁

中世纪晚期的物理学家构成了一个很大的大学教师和教士的群体，但我们这里只关注其中两位，因为这两个人还是杰出的数学家。第一位是托马斯·布雷德沃丁（1290？～1349），他是一个哲学家、神学家和数学家，一直升到了坎特伯雷大主教的职位；第二位是尼科尔·奥雷斯姆（1323？～1382），他是巴黎的一位学者，后来成了利雪的主教。一种扩展了的比例观点要归功于这两个人。欧几里得的《几何原本》包含了一套逻辑上很合理的比例理论，或者说是等比理论，这一理论一直被古代和中世纪的学者们应用于科学问题。对于一段给定的时间，匀速运动的物体所经过的距离与速度成正比；对于一段给定的距离，时间与速度成反比。亚里士多德认为（并不正确），一个在阻尼介质中受动力作用的物体，它的速度与动力成正比，与阻力成反比。在某些方面，这一阐述在后来的学者看来似乎与常识相抵触。当动力F等于或小于阻力R的时候，速度V将会被认为符合这样一个法则：V＝KF／R，式中，K是一个非零的比例常量；但是，当阻力等于或大于动力时，你不该指望得出一个速度。为了避免这种荒谬，布雷德沃丁利用了一般化的比例理论。在1328年的《论比例》（Tractatu s de proportionib us）中，布雷德沃丁发展了波伊提乌的二倍、三倍或我们所说的更一般的“n倍”比例理论。他的论证是用文字来表述的，但在现代表示法中，我们会说，在这些情况下，量依据第二、第三或第n次幂而变化。以同样的方式，比例理论也包括二分之一、三分之一或n分之一比例，在这些比例中，量依据二次、三次或n次根而变化。现在，布雷德沃丁准备提出亚里士多德运动定律之外的可选定律。他说，加倍由某个比或比例F／R得出的速度，必须求比F／R的平方，把速度增至三倍，你必须求比F／R的立方，把速度增至n倍，你必须求比F／R的n次幂。这相当于声称：速度被下面的关系给出（用我们的表示法）：V＝Klog F／R，因为log（F／R）n＝nlog F／R。也就是说，若V0＝log F0／R0，那么，Vn＝log Fn／Rn＝nlog F0／R0＝n V0。布雷德沃丁显然从来没有寻求过这一定律的经验证实，它似乎也没有被广泛接受。

布雷德沃丁还写了几本其他数学著作，全都很接近那个时代的精神。他的《算术》和《几何》显示了波伊提乌、亚里士多德、欧几里得和坎帕努斯的影响。布雷德沃丁在他那个时代被称作“精深博士”（Doctor profundus），他还对诸如接触角和星形多边形之类的课题感兴趣，这二者都出现在坎帕努斯的著作及其他更早的作品中。星形多边形（包括作为特例的正多边形）可以追溯到古代时期。一个星形多边形是这样形成的：有n个点，把一个圆的圆周分成n等分，从给定的一点开始，把其中每个第m个点连成直线，这里n＞2，m是n的素数。《几何》中甚至有一点阿基米德《论圆的度量》的笔触。布雷德沃丁的所有作品中的哲学倾向，在《几何思辨》（Geometr ica speculat iva）与《论连续统》（T ractatus de c ontinuo）中看得最清楚，在这两部著作中，他认为，连续量尽管包括无穷多个不可分的量，但它们并不是由这样的数学原子所构成，而是由无穷多个同类连续统组成。偶尔有人说，他的观点类似于现代直觉主义者的观点，无论如何，中世纪关于连续统的思考，在诸如托马斯·阿奎那这样的经院思想家当中特别受欢迎，后来影响了19世纪康托尔的无穷小概念。

尼科尔·奥雷斯姆

尼科尔·奥雷斯姆的生活年代晚于布雷德沃丁，在前者的作品中我们看到了后者观念的延伸。在大约撰写于1360年的《论比例的比例》（De p roportionibus pro portionum）中，奥雷斯姆对布雷德沃丁的比例理论进行了一般化，包括了有理小数的幂，并给出了结合比例的法则，相当于我们的指数定律，用现代的表示法就是：x^m ·x^n ＝x^（m＋n）和（x^m ）^n ＝x^mn 。每个法则都给出了特例；在另一部作品《比例算法》（Algor ismus proporti onum）的后半部分，把这些法则应用于几何及物理问题。奥雷斯姆还暗示了小数幂的特殊表示法的使用，因为在他的《比例算法》中，给出了下面的表示法：

来表示“一与一半的比”，也就是主平方根的立方，而用下面这样的形式来表示。我们如今把我们表示幂和根的符号表示法视为理所当然，很少想到它们在数学史上是缓慢发展出来的。比奥雷斯姆的表示法更加富有想象力的是，他认为：无理比也是可能的。这里，他所努力的方向我们应该写作——比方说—— ，这是数学史上最早的对高等超越函数的暗示；但由于缺乏恰当的术语及表示法，他因此没能有效地发展无理幂的概念。

形相的纬度

图　14.2

无理幂的概念可能是奥雷斯姆最有才华的想法，但他最有影响的并不是在这方面。因为几乎在他那个时代的一个世纪之前，经院哲学家们就在讨论可变“形相”（form）的量化，这是亚里士多德的一个概念，约略相当于量。这些形相包括诸如一个移动物体的速度、一个非均匀温度的物体上从点到点之间温度的变化之类的东西。相关讨论没完没了，因为可用的分析工具都很不适用。尽管有这样的障碍，正如我们已经看到的那样，默顿学院的逻辑学家们还是得出了一个重要的定理，它涉及到一个“均匀地不一致”的形相——亦即，在这样的形相中，变动率的变动率是常量——的平均值。奥雷斯姆清楚地知道这个结论，他偶然有了（在1361年之前的某个时间）一个妙不可言的想法——为什么不给事物变化的路径画一幅画或一张图呢？这里，我们当然看出了对我们所描述的函数图示法的早期暗示。马歇尔·克莱杰特找到了看上去像早期图示那样的东西，是乔瓦尼·德·科萨里画的，图中，一条纬度线被置于一个垂直的位置上（克莱杰特，1959，第332～333、414页）。然而，奥雷斯姆的图示法在清晰性和影响力上超过了科萨里。奥雷斯姆写道，一切可度量的事物都可以按照连续量的方式来形象化；因此，他为一个作匀加速运动的物体画了一幅速度—时间图。他沿着一条水平线标出了代表时刻（或称纬度）的点，对每个时刻，他画了一条垂直于纬度线的线段（纬度），其长度代表速度。他看出了，这些线段的端点沿着一条直线排列；如果匀加速运动从静止开始，全部速度线（我们称之为纵坐标）将会构成一个直角三角形的面积（参见图14.2）。由于这一面积代表了所经过的距离，奥雷斯姆也就提供了默顿定理的几何证明，因为这段时间的中点的速度等于终点速度的一半。此外，这一图式明显导致了那个在17世纪通常被归到伽利略名下的运动定律。从这个几何图示可以清楚地看出，前半段时间的三角形的面积跟后半段时间的面积之比是1∶3。如果我们把时间分为三等分，则三个时间段所经过的距离（由面积给出）之比是1∶3∶5。对四等分来说，距离之比是1∶3∶5∶7。一般而言，正如伽利略后来指出的那样，各距离之比为奇数；由于前n个连续奇数之和等于n的平方，总共经过的距离与时间的平方成正比，这是我们熟悉的伽利略的自由落体定律。

奥雷斯姆所使用的纬度和经度这两个术语，在一般意义上相当于我们的纵坐标与横坐标，他的图示法类似于我们的解析几何。他对坐标的使用，当然不是什么新东西，因为阿波罗尼奥斯，以及他之前的其他一些人，都使用过坐标系，但他的可变量图示法却很新颖。他似乎掌握了这样一项基本原则：一个未知量的函数可以表示为一条曲线，但除了线性函数的情况之外，他没能有效地利用这一观察结论。此外，奥雷斯姆主要对曲线下方的面积感兴趣；因此，他不大可能认识到解析几何基本原则的另一半——每一条平面曲线都可以表示为（涉及到坐标系）一个变量的函数。我们说匀加速运动的速度图示是一条直线，而奥雷斯姆写道：“任何终止于零强度的均匀地不一致的量，都可以形象化为一个直角三角形。”也就是说，奥雷斯姆更关注这一情形的微积分方面：（1）函数变化的路径（即曲线的微分方程），（2）曲线下方的面积变化的路径（即函数的积分方程）。他指出了他的匀加速运动速度图示的直坡属性——这一观察结论相当于现代解析几何中的直线的点方程，并导致了微分三角形的概念。此外，在求距离函数（面积）的时候，奥雷斯姆明显用几何的办法执行了一个导致默顿定理的简单积分。他没有解释速度—时间曲线下方的面积为什么代表了经过的距离，但有可能，他认为面积是由很多的垂直线或不可分量所构成，它们各代表了一个持续时间非常短暂的速度。

函数的图示法，当时被称作“形相的纬度”，从奥雷斯姆时代到伽利略时代一直是一个深受欢迎的课题。《论形相的纬度》（Tractatus de latitudinibus formarum ）一书，如果不是奥雷斯姆写的，那多半是奥雷斯姆的一位学生写的，以很多种手抄本的形式出现，并在1482至1515年间至少印行过4次，但这本书只不过是奥雷斯姆的一部更庞大的著作《论力与测量的图示法》（T ractatus de figuratione potentiarum et m ensurarum）的摘要。在这本书里，奥雷斯姆走得更远，甚至提出了“形相纬度”的三维扩展，在这里，一个有两个自变量的函数被画为一个立体的体积，构成这个立体的，是所有依据给定规则在一段参考平面内的点上建立起来的纵坐标。我们甚至找到了四维几何的暗示，因为奥雷斯姆谈到了用一个参考立体或体积上的每一点代表一个形相的强度。当然，这里他真正需要的是代数几何，而不是像他在心里想象出来的图示；但在整个中世纪，技术上的薄弱束缚了欧洲。

无穷级数

14世纪西方世界的数学家都有想象力和思考的精确性，但他们缺乏代数和几何的能力；因此，他们的贡献不在于古典作品的延伸，而在于新观点。其中包括对无穷级数的痴迷，这是一个本质上很新颖的课题，比它更早的，只有古代的某些迭代算法和阿基米德的无穷几何级数求和。希腊人有“无穷恐怖症”，而中世纪晚期的经院哲学家们则经常提到无穷，既作为一种可能性，也作为一种现实（或者某个“完成了的”东西）。在14世纪的英国，一个名叫理查德·苏伊塞特（约活跃于1350年前后），但更多地被称作卡尔寇雷特（Calculator，“计算者”的意思）的逻辑学家，解决了形相纬度中的下面这个问题：

如果在给定时间段的整个前半段，一种变化以某个强度继续，在接下来的四分之一时间段里以两倍于此的强度继续变化，在接下来的八分之一时间段里以三倍于此的强度继续变化，以此类推，直至无穷；那么，整个时间段的平均强度将等于第二个子区间内的变化强度（或者是初始强度的两倍）。

这相当于说，无穷级数的和等于2。卡尔寇雷特给出了冗长乏味的文字证明，因为他对图示法一无所知，但奥雷斯姆使用他的图示步骤很容易证明这个定理。奥雷斯姆还处理了其他实例，比如：

这个级数的和是4/3。在接下来的一个半世纪里，与此类似的问题继续让学者们忙个不停。

奥雷斯姆对无穷级数的贡献，还包括他对下面这个定理的证明，而且明显是数学史上最早的：调和级数是发散的。他把级数

中的连续项进行了分组，把第一项放在第一组，接下来的2项放在第二组，再接下来的4项放在第三组，以此类推，第m组包含2 m－1 项。那么很明显，我们有了无穷多个组，而且每组内的各项之和至少是1/2。因此，通过依次把足够多的项加在一起，可以超出任何给定的数。

中世纪学术的衰微

我们已经追踪了整个黑暗时代的数学史，从中世纪的早期，直至经院哲学家时代的高峰。从7世纪的最低谷，到13和14世纪斐波那契和奥雷斯姆的作品，进步是惊人的；但中世纪的所有文明加起来的努力，也比不上古希腊的数学成就。数学的进步在世界上任何地区——巴比伦、希腊、中国、印度、阿拉伯或罗马世界——都不是稳定向上，因此一点也不奇怪，在布雷德沃丁和奥雷斯姆的作品之后，西欧又开始了一次衰落。1349年，托马斯·布雷德沃丁死于黑死病，那是袭击欧洲的一场最可怕的灾难。据估计，在短短的一两年之内，死于这场瘟疫的人数，占欧洲总人口的三分之一到一半。这场灾难不可避免地导致了混乱和士气的丧失。如果我们注意一下英国和法国，两个夺取了14世纪数学领导权的国家，在15世纪因为百年战争和玫瑰战争而进一步遭受重创，学术上的衰落也就不难理解了。在15世纪，意大利、德国和波兰的大学从江河日下的牛津大学和巴黎大学的经院哲学家们手里接管了数学的领导权，接下来，我们将主要转向这些国家的代表人物。

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(1) 詹姆斯·J.沃尔什：《十三世纪：最伟大的世纪》（The Thirteenth，Greatest of Cen" turies），纽约，福特汉姆大学出版社，1952。

《数学史》第14章 中世纪的欧洲

《数学史》第14章　中世纪的欧洲