啊，人们说我的推算高明，

我曾经把旧历的岁时改正。

谁知道那只是从历书之中

消去未生的明日和已死的昨晨。

——奥马·海亚姆：《鲁拜集》

《代数学》

通过他的算术，花拉子密的名字成了一个常见的英文单词；通过他最重要的著作《代数学》（Al-j abrwa′l muqā balah），他为我们提供了一个更加普通的日常术语。algebra（代数）这个单词就来自于这个标题，因为正是从这本书中，欧洲人后来学到了被冠以这个名字的数学分支。丢番图有时候被称作“代数之父”，但这个头衔归到花拉子密名下更适合。诚然，在两个方面，花拉子密的作品代表了从丢番图的作品倒退。第一，它的水平远比我们在丢番图问题中发现的更加初级；第二，花拉子密的代数是文字性的，没有一个我们在希腊文的《算术》或婆罗摩笈多的作品中所找到的缩写。就连数字也是用单词、而不是用符号写出来的。花拉子密完全不可能知道丢番图的作品，但他必定熟悉婆罗摩笈多的作品，至少是熟悉其中的天文和计算部分；然而，无论是花拉子密，还是其他阿拉伯学者，都没有使用缩写，也没有使用负数。然而，不管是跟丢番图的作品比，还是跟婆罗摩笈多的作品比，《代数学》都更接近于我们今天的初等代数，因为这本书所关注的，不是不定分析的难题，而是对方程（尤其是二次方程）的解作出简单而基本的解释。一般而言，阿拉伯人喜欢清晰的论证，从前提推导出结论，也喜欢系统化的组织——在这些方面，无论是丢番图，还是印度人，都超不过阿拉伯人。印度人擅长联想和类比，有着良好的直觉，以及审美和想象的天资；而阿拉伯人在他们研究数学的路径上更注重实际，更脚踏实地。

传到我们手里的《代数学》有两种版本，拉丁文版和阿拉伯文版，但拉丁文版（题为Libe r algebrae et al mucabala）中缺失相当一部分阿拉伯文原稿。例如，拉丁文版没有序言，这多半是因为作者的序言给了先知穆罕默德和哈里发马蒙过分恭维的赞颂。花拉子密写道，后者曾鼓励他——

撰写一部简短的作品，论述依据完全和简化（规则）的计算，把它局限于算术中最容易、最有用的部分，比如人们在继承、遗产、分割、诉讼和贸易等情况下，在互相交易的过程中，或者在土地测量、挖掘运河、几何计算及其他各种相关目的的场合，经常需要的内容。（卡宾斯基，1915，第96页）

我们不能肯定，Al-jabr和muqabalah这两个术语究竟是什么意思，但通常的解释类似于上面这段译文所包含的意义。推测起来，Aljabr这个词大概指的是像“还原”或“完成”之类的东西，似乎是指把被减项移到方程式的另一边；muqabalah这个词据说指的是“化简”或“平衡”——亦即消去方程式两边的同类项。在花拉子密的时代很久之后，我们在《堂吉诃德》（Don Quixote）中发现了阿拉伯人在西班牙的影响，在这本书里，algebrista这个词被用来指称接骨师，即“修补者”。

二次方程

花拉子密的《代数学》拉丁文版首先简短地介绍了位值记数法的原则，接下来，在篇幅简短的6章里，讨论了6种类型方程的解法，这些方程由三种不同的量所构成：根、平方和数（即x、x 2 和数）。第一章在三个很短的段落中涵盖了平方等于根的情况，用现代符号表示法就是：x² ＝5x，x² ／3＝4x，以及5x² ＝10x，给出的答案分别是x＝5，x＝12，以及x＝2。（根x＝0不被承认。）第二章涵盖了平方等于数字的情况，第三章解答了根等于数字的情况，而每一章又是用三个实例，涵盖了可变项的系数等于、大于或小于1的三种情况。第四、五、六章更加有趣，因为它们依次涵盖了三项二次方程的三个经典实例：（1）平方和根等于数字，（2）平方和数字等于根，（3）根和数字等于平方。解法是把“配方”的“菜谱式”法则应用于特例。例如，第四章包括了三个实例：x² ＋10x＝39，2x² ＋10x＝48，以及 1/2 x² +5x=28 在每一个实例中，都只给出了正数答案。在第五章中只使用了一个例子：x² ＋21＝10x；但给出了两个根：3和7，符合规则 x=5±√ 25+21 。花拉子密在这里让人们注意到了这样一个事实：我们赋予给判别式的必须是正值：

你还应该懂得，当你在这一形式的方程中取根的一半，然后用这个一半乘以自身的时候，如果这个乘法所得到的结果小于上面提到的与根相伴随的单位，你就有了一个方程。

在第六章中，作者再一次只使用一个例子：3x＋4＝x² ，无论何时，只要x² 的系数不是1，作者就会提醒你首先除以这个系数（像在第四章中那样）。配方的步骤再一次被一丝不苟地指示出来了，没有给出理由，步骤相当于解 x=1½+√ （（1½）²+4）又只给出一个根，因为另一个根是负数。

代数之父

上面给出的6个方程的实例，穷尽了有一个正根的线性二次方程的所有可能。花拉子密的阐述极系统而全面，所以他的读者在掌握这些解法的时候想必没多大困难。那么，在这个意义上，花拉子密完全有资格被称作“代数之父”。然而，任何充分发展的数学分支都不是突然冒出来的，我们不能不问，阿拉伯代数的灵感究竟来自何方。对这个问题，没人能给出确定无疑的答案；但规则的任意性及这六章严格的数字形式，让我们想到古巴比伦和中世纪印度的数学。摒弃不定分析（印度人最喜欢的论题），以及回避任何省略（比如婆罗摩笈多作品中的那些省略），可能暗示了其来源更有可能是美索不达米亚，而不是印度。然而，当我们的阅读超出这六章的范围时，对这个问题就会有全新的看法。花拉子密继续写道：

关于这六种类型的方程，就数字方面而言，我们说得够多了。然而，现在我们必须从几何上来证明，上面从数字方面解释的那些问题同样为真。

这一段的语气明显是希腊的，而不是巴比伦的或印度的。因此，关于阿拉伯代数的来源，有三个主要的思想流派：一派强调印度的影响，另一派强调美索不达米亚或叙利亚—波斯的传统，第三派指向希腊的灵感。如果我们把这三种理论结合起来，有可能接近真相。伊斯兰的哲学家们很推崇亚里士多德，甚至到了邯郸学步的程度，但折中主义的穆斯林数学家们似乎从不同的来源选择了合适的成分。

几何基础

花拉子密的《代数学》透露了显而易见的希腊成分，但最开始的几个几何证明跟古典希腊数学很少共同之处。对方程x² ＋10x＝39，花拉子密画了一个正方形ab代表x²，在这个正方形的四条边上他放置了四个矩形c、d、e、f，宽都是21/2个单位。为了完成大的正方形，你必须添加四个角上的小正方形（图13.1中的虚线部分），每个小正方形的面积是61/4个单位。因此，为了“配方”，我们增加了4倍的61/4个单位，或者说是25个单位，就这样获得了一个总面积为39＋25＝64个单位的正方形（正如从给定方程的右边清楚地看到的那样）。因此，大正方形的边长必定是8个单位，从这个数字我们减去21/2的2倍（也就是5），得x＝3，就这样证明了第四章中给出的答案是正确的。

图　13.1

第五章和第六章的几何证明更复杂一些。对于方程x 2 ＋21＝10x，作者画正方形ab代表x 2 ，矩形bg代表21个单位。那么，由正方形和矩形bg所组成的大矩形的面积必须等于10x，这样，边ag或hd必须是10个单位。接下来，如果你在e处等分hd，画et垂直于hd，延长et至c，使tc＝tg，并完成正方形tclg和cmne（图13.2），面积tb等于面积md。但正方形tl是25，磬折形tenmlg是21（因为这个磬折形等于矩形bg）。因此，正方形nc是4，它的边ec是2。由于ec＝be，且he＝5，我们得到x＝hb＝5－2＝3，这证明了第五章给出的算术解是正确的。一个修改过的图示证明了根x＝5＋2＝7，而且，一个类似图形是用来从几何上证明第六章用代数方法得出的结果。

图　13.2

代数问题

把花拉子密《代数学》中的图13.2与欧几里得《几何原本》中关于希腊几何代数的图示（比如本书第七章的图7.7）进行比较，就必定得出结论：阿拉伯的代数与希腊几何颇有共同之处；然而，花拉子密《代数学》的第一部分（或算术部分）明显与希腊人的思想格格不入。看来，巴格达所发生的事情，刚好就是一个世界性的知识中心所发生的事情。阿拉伯学者非常推崇希腊的天文学、数学、医学和哲学——他们尽自己最大的努力掌握了这些学科。然而，他们几乎不能不注意到，就像聂斯托里教派的主教塞博赫特在622年第一次关注印度人的9个神奇的数字时所注意到的那样，“还有其他人也懂得点什么。”很有可能，花拉子密代表了我们在其他情况下经常观察到的阿拉伯人的折中主义。他的记数体系很可能来自印度，他系统化的方程的代数解法可能是源自美索不达米亚的一次发展，其解法的逻辑几何框架多半源自于希腊。

花拉子密的《代数学》所包含的内容不止是方程的解法，这一材料占据了大约前一半的篇幅。例如，二项式运算的法则，包括像（10＋2）（10－1）和（10＋x）（10－x）这样的乘积。尽管阿拉伯人不承认负数根和绝对负数量，但他们熟悉那些支配着如今所谓的符号数的规则。作者所给出的6个方程实例中，有些实例还给出了可选的几何证明。最后，《代数学》包含了种类广泛的难题，以说明这六章或实例。例如，在第五章的一个实例中，花拉子密要求以这样一种方式把10分为两部分，使得“各部分自乘所得乘积之和等于五十八。”跟拉丁文版不同，现存的阿拉伯文版还包含了对遗产继承问题的讨论，例如下面这段：

一个人死了，留下了两个儿子，并把他三分之一的财产遗赠给了一个陌生人。他把十迪拉姆的财产和十迪拉姆的所有权留给了其中的一个儿子。

答案出乎你的预料，因为陌生人只得到了5个迪拉姆。根据阿拉伯的法律，一个儿子如果欠父亲一笔财产，且总额超过父亲财产中儿子所应得的那部分，那么，他将保留他所欠总额，一部分被认为是这笔财产中他所占的份额，余下的被认为是父亲的赠予。在某种程度上，似乎正是调整遗产的法律的复杂性，鼓励了阿拉伯人的代数研究。

一个源自海伦的问题

图　13.3

花拉子密的几个问题稍许清楚地证明了阿拉伯人对巴比伦—海伦数学源流的依赖。其中一个问题大概是直接从海伦那里拿来的，因为图形和尺寸都是一样的。在一个边为10码、底为12码的等腰三角形中（图13.3），内接了一个正方形，求这个正方形的边。《代数学》的作者首先通过毕达哥拉斯定理，求出三角形的高是8码，这样，三角形的面积就是48平方码。把正方形的边称作“东西”，他注意到，这个“东西”的平方可以通过这样的方法求出：从大三角形的面积中拿走正方形外面、大三角形里面的三个小三角形的面积。他知道，底下两个小三角形的面积之和，是“东西”乘以六减去“东西”的一半之积；上面那个小三角形的面积是八减去“东西”乘以“东西”的一半之积。因此，他得出了明显的结论：这个“东西”是44/5码——正方形的边长。这个问题在海伦那里的形式与花拉子密的形式之间，主要的不同在于，海伦的答案是用单分数41/21/51/10来表示的。它们的相似之处比不同之处远为明显得多，使我们完全可以把这个实例看作是下面这个一般公理的证明：数学史中的连续性是规则，而不是例外。在似乎出现不连续的地方，我们应该首先考虑这样一种可能：这样明显的中断可能通过这一期间文献的散佚来解释。

图尔克

花拉子密的《代数学》通常被认为是论述这一主题的第一本著作，但最近的一份土耳其出版物对此提出了质疑。图尔克的一部题为“混合方程中的逻辑必然性”的手稿，是一本《代数学》的组成部分，很明显，这本书的标题跟花拉子密的著作是一样的，而且出版于大约同一时期——甚至有可能更早。“逻辑必然性”现存的章节所给出的几何证明，跟花拉子密的《代数学》中的几何证明完全是同一类型，在一个实例中，给出了同样的说明性例子：x² ＋21＝10x。在一个方面，图尔克的解释比花拉子密的解释更彻底，因为他给出了几何图形，以证明：如果判别式为负的话，二次方程就没有解。两个人的作品中的相似性，以及我们在作品中所发现的系统化组织，似乎表明了，在他们那个时代，代数学的发展可能并不像我们通常所认为的那么新近。当有着传统的、秩序井然的表述形式的教科书同时出现的时候，一个学科很可能在相当程度上超越了形成阶段。花拉子密的后辈们完全可以说，一个问题一旦被简化为方程的形式，“依据代数的规则来运算”就行了。无论如何，花拉子密的《代数学》的幸存，都可以被看作是一个标志，表明它是那个时代阿拉伯代数较好的典型教科书之一。它对代数学的意义，就像欧几里得的《几何原本》对几何学的意义一样——现时代之前最好的基本阐述。但花拉子密的作品有一个严重的缺点，只有首先消除这一缺点，它才能在现代世界有效地服务于它的目的：必须发展出一套符号记数法以取代文字形式。阿拉伯人除了数字单词被数字记号取代之外，始终没有跨出这一步。

塔比·伊本－库拉

图　13.4

在阿拉伯的数学中，9世纪是一个辉煌的世纪，因为它不仅在上半叶产生了花拉子密，而且还在下半叶产生了塔比·伊本－库拉（826～901）。如果说，花拉子密作为一个“初等数学专家”类似于欧几里得的话，那么，库拉就相当于阿拉伯的帕普斯，一个高等数学的注释者。库拉是一所翻译学校的创立者，这所学校着重于希腊语和叙利亚语的翻译。多亏了他的工作，欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯、托勒密和欧托基奥斯的作品被翻译成了阿拉伯文。（请注意丢番图和帕普斯的遗漏，这两位作者最初在阿拉伯并不为人所知，尽管丢番图的《算术》在10世纪之前已经被人们所熟悉。）要不是因为他的努力，希腊数学著作今天幸存的数量将会更少。比方说，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》今天就只有前四卷，而不是前七卷。此外，库拉相当透彻地掌握了他所翻译的古典著作的内容，使他作出了一些修改和一般化。一个值得注意的关于亲和数的法则就要归功于他：若p、q、r是素数，且有属于这样的形式：p＝3·2^n －1，q＝3·2^（n－1）－1和r＝9·2^（2n－1 ）－1，则，2^n pq和2^n r是亲和数，因为各等于另一个数的真因子之和。库拉像帕普斯一样，也给出了一个毕达哥拉斯定理的一般化，适合于所有三角形，无论是直角三角形还是不规则三角形。如果从任一三角形ABC的顶点A画两条直线与BC相交于B′和C′，使角AB′B和AC′C都等于角A（图13.4），那么，。

库拉没有给出这一定理的证明，但它很容易通过相似三角形的定理来证明。事实上，这个定理对欧几里得在证明毕达哥拉斯定理时所使用的纸风车图形提供了一个很优美的一般化。例如，若角A是钝角，则，边AB的平方等于矩形BB′B″B′″，AC的平方等于矩形CC′C″C′″，式中，BB″＝CC″＝BC＝B″C″。换句话说，AB和AC的平方之和，是BC上的正方形减去矩形B′C′B′″C′″。若角A是锐角，那么，B′和C′的位置相对于AP被反转了，这里P是A在BC上的投影，在这种情况下，AB和AC的平方之和就是BC上的正方形加上矩形B′C′B′″C′″。若A为直角，则，B′和C′与P重合，在这种情况下，库拉的定理就成了毕达哥拉斯定理。（库拉没有画图13.4中所显示出的虚线，但他考虑了这几种情况。）

库拉的学术贡献还包括：毕达哥拉斯定理的可选证明、论述抛物线段和抛物线体的作品、对幻方的讨论、角的三等分，以及新的天文学理论。在科学和哲学方面，阿拉伯人有时候被描述为希腊人的亦步亦趋的模仿者，但这样的指控言过其实了。例如，对亚里士多德—托勒密天文学的简化版中早先所假定的8个天体，库拉就大胆地增加了一个天体；对于希帕克斯仅在一个方向或感觉上的行星岁差，库拉提出了往复类型运动中的“二分点抖动”。这种对希腊天文学中的观点提出质疑，完全有可能成为这样一个因素，即哥白尼所发起的天文学革命铺平了道路。

阿拉伯数字

我们前面几次提到，阿拉伯人很快就从他们所征服的邻居那里吸收知识学问；还应该指出，在阿拉伯帝国的疆界之内，生活着种族背景五花八门的民族：叙利亚人、希腊人、埃及人、波斯人、土耳其人，以及其他很多民族。他们大多有共同的信仰：伊斯兰教，然而基督徒和犹太人也得到了容忍；很多人有共同点语言：阿拉伯语，但是有时候也使用希腊语和希伯来语。不过我们别指望学术上的高度统一。自始至终有相当程度的宗派主义，有时候爆发为冲突。库拉本人生活在一个亲希腊社群中，但因为他的亲阿拉伯倾向而反对他。在阿拉伯数学中，这样的文化差异偶尔变得相当明显，就像在10和11世纪的学者阿卜尔·维法（940～998）和凯拉吉（约1029年）的作品中所表现出来的那样。在他们的有些作品中，他们使用印度数字，这是通过天文学著作《信德欣德》传到阿拉伯的；有时候又采用希腊字母的记数方式（当然是希腊字母的阿拉伯等价物）。最后，更高级的印度数字胜出，但即便是在那些使用印度记数法的圈子内部，数字的形式也相当不同。变异明显在印度盛行，但在阿拉伯，变异十分惊人，以至有些理论认为，阿拉伯世界的东部和西部所使用的数字形式有完全不同的起源。东部撒拉逊人的数字大概直接来自于印度，而西部摩尔人的数字则可能源自希腊或罗马的形式。更有可能，变异是空间和时间中所发生的渐变的结果，因为今天的阿拉伯数字跟印度依然在使用的现代梵文字母数字有着引人注目的差别。归根到底，在这一记数体系之内，重要的是原则，而不是特殊的数字形式。我们今天所使用的数字常常被称作阿拉伯数字，尽管它们并不像埃及、伊朗、叙利亚、阿拉伯半岛、伊朗及伊斯兰文化内的其他国家如今所使用的那些数字——即：。我们之所以把我们的数字称作阿拉伯数字，乃是因为，这两个体系的原则是一样的，因为我们的形式可能源自阿拉伯的形式。然而，阿拉伯数字背后的原则多半源自印度；因此，最好是把我们今天的记数体系称作印度体系，或印度—阿拉伯体系。

阿拉伯的三角学

图　13.5

我们现代数字的系谱。依据卡尔·门林格尔：《数和数字》（Zahlwort und Ziffer），哥廷根，1957～1958，第二卷，第233页。

正如在记数法上存在希腊体系与印度体系之间的竞争一样，天文计算中也是如此，在阿拉伯，起初存在两种类型的三角学———希腊的弦几何（像我们在《至大论》中发现的那样），以及印度的正弦表（像我们通过《信德欣德》所得到的那样）。这一次，竞争的结果也是以印度方面的胜利而告终，大多数阿拉伯的三角学最终都是建立在正弦函数的基础上。事实上，这种正弦三角学又是通过阿拉伯人，而不是直接从印度人那里，传到了欧洲。阿尔巴塔尼（约850～929）的天文学充当了主要的传播工具，然而库拉似乎更早就使用了正弦。在一本题为《论天体运动》（Onthe Motion of the Stars）的书中，阿尔巴塔尼给出了一些公式，比如b＝［asin（90°－A）］／sin A（参见图13.5），其中就出现了正弦和正矢函数。到阿卜尔·维法的时代，三角学采取了更系统的形式，这一形式中提供了一些诸如倍角公式和半角公式之类的定理。尽管印度人的正弦函数取代了希腊人的弦，但依然是托勒密的《至大论》促进了三角学结论的逻辑排列。正弦的法则本质上已经被托勒密所认识，并在婆罗摩笈多的作品中有所暗示，但它经常被归到阿卜尔·维法的名下，这是因为他对球面三角法则的清晰阐述。阿卜尔·维法还编制了一份新的正弦表，角度差为1/4°，使用了8位小数的等价物。他还贡献了正切表，并利用了所有6个常见的三角函数，连同它们之间的关系，但他对这些新函数的使用，在中世纪似乎没有得到广泛的仿效。

偶尔，有人试图把正切、余切、正割和余割函数归到某个特定的时期，甚至特定的个人，但这种做法不可能有把握。在印度和阿拉伯，有过阴影长度的一般理论，依据阴影长度或晷针来确定太阳的高度。没有一种标准长度单位，供标杆或晷针使用，但人们经常采用手的跨度或人的身高。对于给定长度的垂直晷针来说，水平阴影是我们所说的太阳仰角的余切。“反转阴影”———即一根从墙壁上水平伸出的柱杆或晷针在垂直的墙壁上投下的阴影——是我们所说的太阳仰角的正切。“阴影的弦”——即从晷针顶端到影子末端的距离——相当于余割函数；而“反转阴影的弦”则起了我们所说的正割的作用。到了塔比·伊本－库拉的时代，这一阴影传统似乎已经在亚洲牢固地确立了，但弦（正割或余割）的值很少被列成表格。

阿卜尔·维法与凯拉吉

阿卜尔·维法是一位有能力的代数学家和三角学家。他评注了花拉子密的《代数学》，并从希腊文翻译了最后的伟大经典著作之一——丢番图的《算术》。他的继承者凯拉吉明显使用这个译本，成了丢番图的阿拉伯弟子——但没有丢番图分析。也就是说，凯拉吉关注的是花拉子密的代数，而不是印度人的不定分析；但像丢番图一样（不像花拉子密），他并没有把自己局限于二次方程——尽管他遵循了阿拉伯人的习惯做法：给出二次方程的几何证明。特别是，人们把方程ax^2n ＋bx^n ＝c（唯一被认为有负根的方程）的数值解法归到了凯拉吉的名下，在这里，丢番图的有理数限制被抛弃了。对于二次以上方程的代数解法（就根式而言），文艺复兴时期数学的早期发展注定要在这个方向上发生。

阿尔比鲁尼与阿尔哈曾

凯拉吉的时代（11世纪初）是阿拉伯学术史上的一个辉煌时代，他的很多同时代人值得简短地提一下——之所以简短，并不是因为他们能力稍逊，而是因为他们主要并不是数学家。伊本－西那（980～1037），在西方更多地被称作阿维森纳，是伊斯兰最重要的学者和科学家，但在他百科全书般的兴趣当中，跟医学和哲学比起来，数学扮演了一个叨陪末座的角色。他翻译过欧几里得，阐述过舍九法（这一方法因此有时候被毫无根据地被归到他的名下），但他更多地是因为他把数学应用于天文学和物理学而被人们所铭记。正如阿维森纳把希腊学术与穆斯林思想协调起来一样，他的同时代人阿尔比鲁尼（973～1048）通过他鼎鼎大名的著作《印度》（India），使阿拉伯人熟悉了——因此也使我们熟悉了——印度的数学和文化。他是一位不屈不挠的旅行者和富有批评精神的思想家，他给出了一份饱含同情的、但也坦率公正的记述，包括对《悉昙多》和位值记数法的原理的完整描述。是他告诉我们，阿基米德熟悉海伦公式，并给出了这个公式及婆罗摩笈多公式的证明，并正确地坚持，后者仅适用于圆内接四边形。在作圆内接九边形的过程中，阿尔比鲁尼简化了这个问题，通过cos3θ的公式，解方程x³ ＝1＋3x，对这个方程，他以六十进制小数的形式给出了近似解：1;52,15,17,13——相当于精确到六位以上。阿尔比鲁尼还在论述晷针长度的一章中，为我们记述了印度的阴影计算。他对地球是不是绕轴旋转的讨论（对这个问题，他没有给出答案），说明了他的思想多么大胆。（阿利耶毗陀似乎更早暗示了一个绕空间中心旋转的地球。）阿尔比鲁尼还对物理学作出了贡献，尤其是通过对比重和自流井的原因的研究；但作为一个物理学家和数学家，他被伊本－海萨姆（约965～1039）超过了，在西方，海萨姆被称作阿尔哈曾。阿尔哈曾撰写的最重要专著是《光学宝典》（Treasuryof Optics），这部著作的灵感来自托勒密论述反射与折射的作品，它反过来又启发了中世纪和现代早期的欧洲科学家。阿尔哈曾思考的问题包括眼睛的构造、靠近地平线时月亮尺寸的明显增加，以及对大气层高度的估算（通过观察黄昏直至太阳低于地平线19°）。找出一个球面镜上光线从光源反射到观察者眼睛的那个反射点的问题，今天被称作“阿尔哈曾问题”。在古老的希腊意义上，这是一个“立体问题”，可以通过圆锥曲线来解决，阿尔哈曾很熟悉这一论题。他通过求一段抛物线所围起的区域，围绕顶点上的切线旋转所产生的体积以及抛物线的轴和纵坐标，从而扩展了阿基米德关于劈锥曲面的结论。

奥马·海亚姆

阿拉伯的数学可以较为恰当地分为四个部分：（1）算术，它大概源自于印度，并建立在位值原则的基础上；（2）代数，它尽管源自于希腊、印度和巴比伦，但在穆斯林的手上，采取了具有新特征的系统化的形式；（3）三角学，其实质性的内容主要源自于希腊，但阿拉伯人把印度的形式应用于它，并增加了新的函数和公式；（4）几何学，它源自希腊，但阿拉伯人在不同的地方为它贡献了一般化。关于第（3）部分，应该提到阿尔哈曾的同时代人和同胞伊本·尤努斯（卒于1008年），他们都生活在埃及，尤努斯引入了公式：2cosxcosy＝cos（x＋y）＋cos（x－y）。这是四个“积化和差”公式之一，在16世纪的欧洲，发明对数之前，这些公式所起的作用就是通过被称作“prosthaphaeresis”（表示加和减的希腊语）的方法，把积转变为和差。关于第（4）部分，大约在阿尔哈曾一个世纪之后，有一个人做出了一项重要贡献，此人在东方以科学家著称，而在西方却是作为最伟大的波斯诗人之一而被人铭记。“带职宣教士”奥马·海亚姆（约1050～1123）写过一本《代数》，比花拉子密的《代数学》走得更远，甚至包括了三次方程。奥马·海亚姆像他的阿拉伯前辈一样，同时为二次方程提供了算术解和几何解；对于一般的三次方程，他相信算术解是不可能的（这个观点是错误的，这点16世纪晚期已揭示）；因此，他仅仅给出了几何解。利用相交的圆锥曲线解三次方程的方法，门奈赫莫斯、阿基米德和阿尔哈曾早先就使用过，但奥马·海亚姆跨出了值得赞扬的一步：对这个方法进行了一般化，以涵盖所有三次方程（有负根）。他在一部更早的作品中遇到三次方程的时候，评论道：“这不可能通过平面几何来解［即，仅仅使用直尺和圆规］，因为其中有立方。要解这个方程，我们需要圆锥截面。”

对三次以上的高次方程，奥马·海亚姆明显想象不出类似的几何方法，因为空间没有包含三维以上，“在连续量中，被代数学家们称作平平方的东西只是一个理论事实。它实际上并不以任何方式存在。”奥马·海亚姆如此曲折——也如此骄傲——地应用于三次方程的那套方法，用现代的记数法和概念，可以更加简洁地陈述如下：设三次方程是x³ ＋ax² ＋b² x＋c³ ＝0，那么，如果我们用2py取代方程中的x² ，我们就得到（记住x³ ＝x² ·x）：2pxy＋2apy＋b² x＋c³ ＝0。由于这个方程代表一条双曲线，且用于代入的等式x² ＝2py代表了一条抛物线，因此很清楚，如果在同一坐标系中画出这条双曲线和这条抛物线，那么，两条曲线交点的横坐标就是这个三次方程的根。很明显，很多对其他圆锥曲线可以按照同样的方式用于解三次方程。

我们对奥马·海亚姆的作品所作的讲解，对他的天才很不公正，因为，由于缺少负系数的概念，他不得不依据参数a、b、c分别是正数、负数或零，而把问题分为多个单独的实例。此外，他还不得不为每一个实例特别标示出他所使用的圆锥曲线，因为一般参数的概念在他那个时代并不就在手头。一个给定的三次方程，并非所有根都给出了，因为他不同意负数根的正当性，也没有注意到圆锥曲线的所有交点。还应该指出，在更早的希腊人对三次方程的几何解中，系数都是线段，而在奥马·海亚姆的作品中，它们都是明确的数值。阿拉伯折中主义最富有成果的贡献之一，是弥合数值代数与几何代数之间裂隙的趋势。在这一方向上，决定性的一步是许久之后由笛卡尔迈出的，但奥马·海亚姆一直在朝这个方向移动，他写道：“凡是认为代数是一种求未知数诀窍的人，他对代数的思考都是徒劳的。不应该关注这样一个事实：代数与几何表面上是不同的。代数是得到了证明的几何事实。”在用数值方法取代欧几里得的比例理论的过程中，他接近了无理数的定义，并奋力触及到一般意义上的实数概念。

平行公设

奥马·海亚姆在他的《代数》中写道，他曾在别的地方宣布了一个法则，那是他为了求一个二项式的4次、5次、6次以及更高次幂而发现的，但这部作品并没有保存下来。有人推测，他指的是帕斯卡尔三角形的排列，这一规则大约同一时期似乎在中国出现过。这样一种巧合不容易解释，但在进一步的证据可用之前，我们还是应该假设这一发现是独立的。那一时期阿拉伯与中国之间的交往并不广泛；但有一条丝绸之路连接中国与波斯，信息可能会沿着丝绸之路缓慢传播。

阿拉伯人对代数和三角明显比对几何更有兴趣，但几何的一个方面让他们特别痴迷，这就是欧几里得第四公设的证明。在希腊人当中，试图证明这一公设的努力，甚至成了“第四个著名的几何难题”，有几个穆斯林数学家继续了这一努力。阿尔哈曾从三直角四边形开始（有时候被称作“兰伯特四边形”，以表彰18世纪的努力），并认为他证明了：第四个角必定也是直角。从这个关于四边形的“定理”出发，第四公设可以轻而易举地证明。在他的“证明”中，阿尔哈曾假定：若一个点在移动过程中始终跟一条直线等距，则这个点的轨迹必定是一条与给定直线平行的直线——这个假设在现时代被证明相当于欧几里得的公设。奥马·海亚姆批评了阿尔哈曾的证明，理由是：亚里士多德曾反对在几何中使用运动。接下来，奥马·海亚姆从一个两边相等、且都垂直于底的四边形开始（这个四边形通常被称作“萨凯里四边形”，又是为了表彰18世纪的努力），然后他求四边形的另外（上面）两个角，它们必定相等。当然，有三种可能。这两个角可能是（1）锐角，（2）直角，（3）钝角。奥马·海亚姆排除了第一和第三种可能，所依据的是一个被他归到亚里士多德名下的原则：两条收敛线必定相交，这个假设又一次相当于欧几里得的平行公设。

纳西尔丁

当奥马·海亚姆在1123年去世的时候，阿拉伯科学正处在衰落状态。过度的政治和宗教的派系之争——英语单词assassin（刺客）的来源生动地说明了这一情境（译者注：这个英文单词源自于十字军东征时期穆斯林的一个激进教派，该派以好战闻名，专门刺杀十字军）——似乎是衰落的原因之一。伊斯兰再也没有达到阿维森纳和凯拉吉的辉煌时代的学术水平，但穆斯林的贡献也并不是在奥马·海亚姆之后便戛然而止了。在13世纪和17世纪我们都找到了著名的阿拉伯数学家。例如，在马拉加，旭烈兀（成吉思汗的孙子和忽必烈的兄弟）手下的天文学家纳西尔丁（1201～1274）从通常的关于萨凯里四边形的三个假设开始，继续努力证明平行公设。他的证明依赖于下面这个假设，这又相当于欧几里得的公设：

若一条直线u在点A垂直于直线w，且直线v与w斜交于B，那么，在v与w成锐角的一侧从u作v的垂直线都小于AB，在v与w成钝角的一侧从u作v的垂直线都大于AB。

纳西尔丁是非欧几何的三位阿拉伯先驱中的最后一位，他的观点在17世纪由沃利斯翻译和出版；看来，这一工作是萨凯里在18世纪的前三分之一个世纪里的发展的起点。

纳西尔丁遵循了典型的阿拉伯人的兴趣；因此，他也对三角学和天文学做出了贡献。他继续了阿卜尔·维法的工作，撰写了论述平面三角和球面三角最早的系统专著，把这方面的材料当作独立的学科来处理，而不仅仅像希腊和印度的情形那样，是天文学的侍女。六个常见的三角函数都得到了使用，并给出了解答平面三角和球面三角不同实例的法则。不幸的是，纳西尔丁的工作由于在欧洲并不广为人知，因而影响十分有限。然而，在天文学领域，纳西尔丁所作出的一项贡献可能引起了哥白尼的注意。阿拉伯人同时采纳了亚里士多德和托勒密的天体理论，也注意到了这两种宇宙论之间的冲突因素，他们试图调和它们，提炼它们。在这方面，纳西尔丁注意到，在通常的周转圆结构中，把两种匀速圆周运动结合起来，可以产生往复直线运动。也就是说，如果一点沿顺时针方向绕周转圆作匀速圆周运动，同时周转圆的圆心以其一半的速度沿逆时针方向绕一个相等的圆心轨迹圆移动，那么，这一点就会描绘出一条直线段。（换句话说，如果一个圆在另一个直径为其两倍的大圆内沿着大圆平稳地滚动，小圆圆周上的一点的轨迹就是大圆的直径。）这个“纳西尔丁定理”，在16世纪被哥白尼和卡尔达诺所认识，或者说是重新发现。

阿尔·卡西

在纳西尔丁之后，阿拉伯数学继续衰落，但我们对穆斯林贡献的介绍，如果不提到15世纪初叶一个人的工作的话，是不充分的。阿尔·卡西（约卒于1436年）得到了兀鲁伯（蒙古征服者帖木儿的孙子）的庇护。兀鲁伯在其朝廷的所在地撒马尔罕建造了一座天文台，阿尔·卡西加入了聚集在那里的科学家群体。在用波斯文和阿拉伯文撰写的众多作品中，阿尔·卡西对数学和天文学都做出了贡献。值得注意的是他的计算的精确性，尤其是用霍纳法解方程，这一方法多半源自中国人。阿尔·卡西可能还从中国拿来了使用十进制小数的习惯做法。在十进制小数的历史上，阿尔·卡西是一个重要人物，而且，他也认识到了他在这方面贡献的重要性，并自视为十进制小数的发明者。尽管在某种程度上他有前辈，但他多半是六十进制小数的第一个这样的使用者。他使人联想到对于需要多位精确性的问题来说，十进制小数同样方便。然而，在他对根的系统计算中，他继续使用六十进制小数。他在说明求一个数的n次方根的方法时，举出了六十进制数34,59,1,7,14,54,23,3,47,37;40的六次方根。这是一次技艺惊人的计算壮举，使用了我们在霍纳法中所遵循的步骤——定位根、减小根、延展或倍增根——还使用了一种类似于今天我们综合除法的模式。

阿尔·卡西明显喜欢很长的计算，他完全有理由为计算出来的π的近似值而感到自豪，这个值比他的前辈们给出的任何值都更加精确。他忠诚于阿拉伯人对可选记数法的爱好，他同时用六十进制和十进制的形式来表示他的2π的值。前者（6;16,59,28,34,51,46,15,50）更让人缅怀过去，而后者（6.2831853071795865）在某种意义上预示了未来对十进制小数的使用。在16世纪末叶之前，还没有一个数学家接近这一计算绝技中的精确性。（下面这句话可帮助你记住π的近似值：“How I want a drink，alcoholic of course，after the heavy lectures involving quantum mechanics.”每个单词的字母数，就是连续数字3.14159265358979对应位置上的值，你会发现，这些数字完全符合阿尔·卡西的2π的值。）

随着阿尔·卡西在1436年前后去世，我们也就可以结束对阿拉伯数学的介绍了，因为穆斯林世界的文化崩溃，比帝国的政治解体更加彻底。在阿尔·卡西之前，阿拉伯人对数学的重要贡献，其数量比我们的介绍所提到的要大得多，因为我们仅仅集中于几个主要人物；但在阿尔·卡西之后，这个数量就可以忽略不计了。幸运的是，当阿拉伯学术开始衰落的时候，欧洲的学术正处在上升阶段，并正准备去接受更早时代所传承下来的知识遗产。也有人认为，阿拉伯人所做的工作，只不过是把希腊的科学“冷藏起来”，一直到欧洲准备来接受。但本章的记述表明，至少在数学这一领域，在12和13世纪移交给拉丁世界的传统，比目不识丁的阿拉伯征服者在7世纪刚刚接触它的时候更丰富了。

《数学史》第13章 阿拉伯的霸权

《数学史》第13章　阿拉伯的霸权