一种珠贝与酸枣的混合物……或者说是昂贵的水晶与普通卵石的混合物。

——阿尔比鲁尼：《印度》

最古老的文献

中国和印度的文明远比希腊和罗马文明更古老，尽管不比尼罗河和美索不达米亚流域的文明更古老。它们可以追溯到河流时代，而希腊和罗马的文化属于海洋时代。长江与黄河沿岸的文明，在年代上可以媲美尼罗河沿岸或底格里斯河与幼发拉底河之间的文明；但就中国的情形而言，编年纪事不如埃及和巴比伦的那么可靠。据说，中国人在公元前第15个千年就进行过重要的天文学观测或描述过黄道十二宫，这个说法肯定不靠谱，但有一种传说，把最早的中华帝国定于公元前2750年前后，这并非毫无道理。更保守的观点把早期的中华文明定在公元前1000年前后。确定中国数学文献的日期远非易事，《周髀算经》通常被认为是最古老的数学经典，对其成书年代的不同估算甚至相差一千年。年代问题因为下面这个事实而变得更加复杂：它很有可能是不同时期的几个人的作品。有人认为《周髀算经》是公元前1200年前后中国数学的准确记录，但另外一些人把这部作品的年代定为公元前1世纪。把年代定在公元前300年左右似乎是合理的，因此它的成书年代就非常接近于另一部专著《九章算术》了，此书撰写于公元前250年前后，也就是在汉朝奠立（公元前202年）前不久。“周髀”这个词似乎涉及到日晷被用于天体圆形轨迹的研究，以此为标题的这本书关注的是天文计算，尽管它包括对直角三角形属性的介绍，以及分数的使用。这部著作被打造成了国王与大臣之间关于历法的对话的形式；大臣告诉他的统治者：数的艺术源自于圆和方，方属于地，圆属于天。《周髀算经》表明，在中国，就像希罗多德在埃及所看到的那样，几何源自于测量；而且，像在巴比伦一样，中国的几何本质上只不过是算术或代数的运用。《周髀算经》中似乎有毕达哥拉斯定理的某些暗示，中国人用代数的方法来处理这个定理。

《九章算术》

几乎像《周髀算经》一样古老，大概是中国所有数学书中最有影响的，是《九章算术》。这本书包括246个难题，涉及测量、农业、合伙、工程、税收、计算、解方程，以及直角三角形的属性。这一时期的希腊人在撰写那些逻辑严密、阐述系统的专著，而中国人却在重复巴比伦人和埃及人古老的习惯：编纂一套套实际的问题。《九章算术》在使用“试位法”上也类似于埃及人的数学，但这一方法的发明，就像一般意义上的中国数学的起源一样，似乎也没有受到西方的任何影响。

在中国人的作品中，就像在埃及人的作品中一样，你会吃惊于准确结果与错误结果并列，粗糙结果与精密结果同在。正确的规则被用来求三角形、矩形和梯形的面积。圆的面积通过取直径平方的四分之三、或周长平方的十二分之一来求出——如果以3作为π值的话，这个结果是正确的——但对于弓形的面积，《九章算术》使用了近似结果s（s＋c）／2，式中，s是矢（即半径减边心距），c是弓形的弦或底。有些问题是用三分律来解的；另一些问题是用平方根和立方根求出的。《九章算术》的第八章很重要，因为它是用联立线性方程来解题，即使用了正数也使用了负数。这一章的最后一道题涉及4个方程、5个未知数，不定方程的题目一直在东方各民族中深受青睐。第九章，也就是最后一章，包括一些关于直角三角形的难题，有些难题后来在印度和欧洲再次出现过，其中有一个题目是求一个1丈见方的池塘的深度，条件是：池塘中心生长着一根芦苇，比水面高出1尺，如果把它拽向池塘边缘，刚好触到池岸。另外一些著名的问题中有一个是“折竹”：有一根竹子，高1丈，竹梢部分折断，尖端落地，竹尖距竹根3尺，求折竹的高度。

幻方

中国人尤其喜欢图案；因此，关于幻方的最早记录（十分古老，但来源未知）出现在中国也就无足为怪了。下面这个幻方：

据认为是传说中的大禹（据称是一位水力工程师）时代由洛水的一只神龟带到人间的。对此类图案的关注导致《九章算术》的作者解出了联立线性方程：

通过对矩阵进行列运算：

第二种形式代表了方程：36z＝99，5y＋z＝24，和3x＋2y＋z＝39，从这个方程可以轻而易举地求出z、y和x的值。

筹数

倘若中国数学的传统能够不间断地延续下去的话，一些对现代方法的惊人预见可能就会给数学的发展带来意义深远的改变。但中国文化遭到了突然断裂的严重阻碍。例如，公元前213年，中国皇帝下令焚书。有些作品明显幸存了下来，要么是通过抄本的延续，要么是通过口耳相传；学术确实坚持了下来，连同数学对商业问题和历法的重视。

印度与中国之间，以及中国与西方之间，似乎一直都有接触，但学者们在借鉴的程度和方向上却大不相同。例如，试图在中国看到巴比伦或希腊的影响的诱惑，不得不面对这样一个问题：中国人不使用六十进制的分数。中国人的计算基本上一直是十进制的，其记数法与另外一些国家的记数法有着明显的不同。在中国，从很早的时候起，有两种记数法得以使用。在一种方法中，乘法占支配地位；在另一种方法中，位置记数法被使用。在前一种方法中，有一些截然不同的记号表示从1到10，还有一些额外的记号表示10的幂，而在文字形式中，奇数位上的数字（从右至左或自下而上）被乘以它们的后继者。因此，678这个数字写作：六后面紧跟着代表一百的符号，然后是七紧跟着代表十的符号，最后是代表八的符号。

在“筹数”系统中，数字1至9分别被记为，前9个10的倍数被记为：。通过在从右到左的位置上交替使用这18个符号，可以表现更大的数字，想要多大就多大。比方说，56789这个数字写作：

，代表空位的符号只是相对较晚才出现。在1274年的一部作品中，数字1405536，用一个圆形的零符号写作：。（有时候，正如14世纪算术三角形的形式中那样，竖杠和横杠被互换了。）

最初的筹数，其准确的年代已经不可确定了，但可以肯定，在公元前几百年，也就是在印度采用位置记数法的很久之前，它们就开始使用了。百进位（而不是十进位）系统在中国的使用，很方便地适于用算板计算。10的相邻次幂的独特表示法，使得中国人能够使用带有无标志垂直列的算板而不会搞混。在8世纪之前，需要放上零的位置简单地留空。尽管在公元300年之前的著作中，数字和乘法表都是用文字写出来的，但计算实际上是用筹数在算板上进行的。

算盘和十进制小数

公元300年前后的筹数，不仅仅是计算的书面结果的表示法。事实上，竹子、象牙或铁做成的算筹被行政官员们装在一个袋子里随身携带，用作计算工具。算筹被操作得非常熟练，以至于11世纪的一位作者这样描述：“运筹如飞，人眼不能逐。”（译者注：语出沈括《梦溪笔谈》卷十八。）用算筹在算板上做相约运算大概比笔算更快。事实上，在算板上使用算筹很有效率，以至于算盘（有活动标志串在金属丝上）的使用并没有人们通常所想象的那么早。对现代形式———在中国被称作“算盘”，在日本被称作soroban———最早的清楚描述是在16世纪；但它的前身大概在一千年前似乎就在使用。abacus（算盘）这个词，多半源自于闪米特语单词abq（尘土），表明在另外一些国家，也像在中国一样，这一装置是从用作算板的土盘或沙盘发展出来的。很有可能，但决不肯定，中国使用算板要早于欧洲，但不能得出明确而可靠的年代。在雅典的国家博物馆里，有一块大理石板，大概出自公元前4世纪，看上去似乎是算板。当一个世纪之前希罗多德写道“埃及人计算时手从右向左移动，而希腊人是从左向右移动”时，他指的多半是某种算板的使用。这样的装置究竟是在什么时候让位于算盘，还很难确定；我们也不知道，中国、阿拉伯和欧洲出现的算盘究竟是不是独立的发明。阿拉伯人的算盘，每根金属丝上有10个珠子，没有中梁；而中国的算盘，每个金属丝上有五个下珠，两个上珠，中间用一根横梁分开。中国算盘上每个上珠等于本档一个下珠的5倍。对着分隔梁滑动恰当的算珠就可以记录数字。

对中国计算的任何描述，都不可能完全不提到分数的使用。中国人熟悉普通分数的运算，关于分数，他们发现了最小公分母。正如在其他语境中一样，他们看到了性别差异的类比，把分子称为“子”，而把分母称为“母”。对阴和阳（对立的两个概念，尤其是在性别上）的强调，使得遵循分数运算的法则变得更容易。正如在美索不达米亚六十进制的度量衡导致六十进制的计算；在中国也是如此，称重和测量中对十进制观念的坚持，形成了处理分数中的十进制习惯，据说这种习惯可以追溯到公元前14世纪。计算中的十进制方法有时候被用来使分数的操作变得更轻松。例如，在公元1世纪的一部对《九章算术》的评注中，我们发现了对如今我们所熟悉的平方根和立方根规则的使用，相当于和，这使得求根的十进制变得更加容易。

自从中国人习惯于用两套算筹———红算筹代表正数，黑算筹代表负数———进行计算之后，负数的观念对他们来说似乎没有引起多少困难。然而，他们并没有接受负数可以是方程的解的观念。

大理石计算板，约出自公元前4世纪，发现于萨拉米斯岛，现藏雅典国家博物馆。

早期印刷的算盘图示，出自1593年印行的《算法统宗》（复制自李约瑟《中国科学技术史》，1959年，第3卷，第76页）。

π值

最早的中国数学与世界上其他地区类似时期的数学极其不同，以至于独立发展的假定似乎不无道理。无论如何，似乎可以有把握地说，如果公元前400年之前存在某种互相交往的话，那么，从中国输出的数学比输入中国的数学更多。在后来的各个时期里，这个问题变得更加困难。早期中国数学使用3作为π的值，几乎没有理由说是依靠美索不达美亚，尤其是因为，从基督纪元最初几个世纪起，对更准确π值的搜寻，在中国比在其他任何地方都更加持续不懈。像3.1547、 √10,、92／29和142／45这样一些值先后被找出来了；在公元3世纪，《九章算术》的一位重要评注者刘徽利用正96边形得出了3.14这个值，又通过正3072边形得出了近似值3.14159。在刘徽修订后的《九章算术》中，有很多测量问题，包括对四棱锥的平截头体体积的正确测定。对圆锥体的平截头体，他采用了一个类似的公式，但是用3作为π的值。他还发现了一个不同寻常的法则：一个两对边互相垂直的四面体的体积，等于这两边与它们的公垂线之积的六分之一。试位法被用在解线性方程中，不过，还有一些更加深奥的成果，比如通过矩阵组合解涉及4个方程、5个未知量的丢番图问题。高次方程的近似解似乎通过一个类似于我们所谓的“霍纳法”的手段实现了。刘徽在他论述《九章算术》的作品中还包括进了很多涉及山坡上不可到达的塔和树的问题。

中国人对π值的痴迷，在祖冲之（430～501）的作品中达到了高峰。他得出的一个值类似于阿基米德的22／7，这个值被他描述为“不精确”；他的“精确”值是355／113。这是一个非常准确的近似值，在15世纪之前，其他任何地方都没有与之相当的东西，如果你硬要寻找可能存在的西方影响，你可能通过把托勒密的值377／120的分子和分母分别减去阿基米德的值的分子和分母，从而对这个值进行狡辩。然而，祖冲之在他的计算上甚至走得更远，因为他给出了3.1415927作为“盈数”，3.1415926作为“朒数”。他得出这个上下限，显然得到了他儿子祖"的帮助，使用的计算方法大概包含在他的一本书中，后来失传了。无论如何，他的结果对那个时代来说的确不同寻常，如今月球上一个地标以他的名字命名，可谓当之无愧。

我们应该记住，π值的精确度，更多地是一个计算耐力的问题，而不是理论洞见的问题。仅凭毕达哥拉斯定理就足以给出一个近似值，你要多精确就可以多精确。从一个圆内接正n边形的已知周长开始，通过毕达哥拉斯定理的两个应用，可以计算出内接正2n边形的周长。设C是一个以O为圆心、以r为半径的圆（图12.1），PQ＝s是周长已知内接正n边形的边。然后，边心距OM＝u被u＝所给定；因此，矢MR＝v＝r－u已知。接下来，圆内接正2n边形的边RQ＝w通过w 求出；因此这个多边形的周长已知。正如刘徽所认识到的那样，如果注意到w² ＝2rv，可以使这个计算更简短。重复这个步骤，会导致更接近于圆周长的近似值，根据圆周长，π的值就求出来了。

图　12.1

代数与霍纳法

中国人的数学问题常常显得比实际问题更加生动，然而，中国文明是数量惊人的技术创新的原因。印刷术和火药的使用（8世纪），以及纸和指南针的使用（11世纪），在中国比在其他任何地方都要早，也早于中国数学的全盛时期，这一高峰出现在13世纪，也就是宋代晚期。在那个时期，中国各地都有数学家在工作，但他们之间的关系似乎一直很遥远，而且，正如希腊数学的情形一样，我们可以得到的专著明显较少。宋代最后一位、也是最伟大的数学家是朱世杰（活跃于1280～1303年），然而，关于他的情况我们知之甚少———就连他的生卒年都不知道。他寓居燕山，那里距离现代北京不远，但他似乎花去了大约20年的时间作为一位云游四方的学者，靠教授数学谋生，这使他有机会写出两本专著。第一本专著写于1299年，题为《算学启蒙》，这是一部比较基础性的作品，对朝鲜和日本产生过强烈的影响，尽管在中国失传了，直到19世纪才再次出现。有更高历史价值和数学价值的著作是1303年的《四元玉鉴》。在18世纪，这本书也从中国消失了，不料下一个世纪被重新发现。四元分别被称作天、地、人、物，代表了同一方程中的4个未知量。这本书标志着中国代数发展的高峰，因为它处理了联立方程，处理了高达14次的高次方程。书中，作者描述了一种转换方法，他称之为“翻法”（译者注：即增乘开方法，“翻法”之名最早出现于秦九韶《数书九章》卷五），其原理在中国似乎很久之前就出现了，但如今通常被冠以霍纳的名字，而霍纳是生活在500年之后的。例如，在解方程x² ＋252x－5292＝0时，朱世杰首先得出x＝19作为近似值（根在x＝19与x＝20之间），然后使用“翻法”，在本例中就是转换y＝x－19，得到方程y² ＋290y－143＝0（根在y＝0与y＝1之间）。接下来，他给出后者的根（近似值）为y＝143（／1＋290）；因此，x相应的值就是19143/291。对于方程x³ －574＝0；他使用y＝x－8获得y³ ＋24y² ＋192y－62＝0，他给出的根是x＝8＋62（／1＋24＋192），或x＝82/7。在某些实例中，他求出了小数近似值。

十三世纪的数学

所谓的“霍纳法”在中国早已是老生常谈，下面这个事实表明了这一点：宋代晚期至少有三位数学家使用过类似的方法。一位是李冶（原名李治，1192～1279），他是北京的一位数学家，忽必烈曾在1260年召他入朝为官，但他找了一个借口，婉言谢绝了。他的《测圆海镜》包括170个难题，涉及直角三角形的内切圆或外接圆，确定边长与半径的关系，其中有些难题导致了4次方程。尽管他没有描述解方程（包括6次方程）的方法，但看来，他的方法与朱世杰和霍纳所使用的方法并没有大的不同。另外一些使用霍纳法的人还有秦九韶（约1202～约1261）和杨辉（约活跃于1261～1275）。前者是一个肆无忌惮的地方长官和大臣，在上任之后100天的时间里便获得了巨额的财富。他的《数书九章》标志着中国不定分析的高峰，发明了解联立全等式的常规程序。在这部作品中，他还通过类似于霍纳法的步骤，求出了71824的平方根。以200作为方程x² －71824＝0的第一个近似根，然后他把这个方程的根减去200，得到y² ＋400y－31824＝0，而8是这个方程的一个根。因此，x的值是268。他以同样的方法，解出了三次方程和四次方程。杨辉也使用同样的“霍纳法”，关于他的生平，我们几乎一无所知，他的作品也只有部分幸存了下来。在他现存的贡献当中，包括有三阶以上的幻方，其中，四到八阶幻方各两种，九到十阶幻方各一种。

算术三角形

杨辉的作品还包括级数求和与所谓的“帕斯卡尔三角形”，这些都是通过朱世杰的《四元玉鉴》而公之于世并广为人知，但随着朱世杰的去世，中国数学的黄金时代也就落下了帷幕。在《四元玉鉴》中找到的几个级数求和包括：

然而没有给出证明，这个课题在中国似乎也没有再继续下去，直到19世纪。朱世杰通过有限差分的方法处理他的级数求和，其中某些原理在中国似乎可以追溯到7世纪；但在他的工作之后不久，这一方法便失传了很多个世纪。

《四元玉鉴》从一个算术三角形的图示开始，这个三角形在西方被不恰当地称作“帕斯卡尔三角形”。在朱世杰的排列中，我们看到了直至第八次幂的二项展开式的系数，明显是用算筹和一个圆形的零符号来表示的。在大约1100年前后的中国作品中，就曾提到过二项式系数的表格系统，很有可能，算术三角形大约就在这一时期起源于中国。有趣的是我们注意到，就其起源而言，中国人对整次幂二项式定理的发现跟求根有关，而不是跟幂有关。显然，大约在中国人使用这一定理的那个时期，奥马·海亚姆已经知道与之相当的东西，但现存最早的包含这一定理的阿拉伯文作品，是15世纪阿尔·卡西的作品。到此时，中国数学再也没能产生与欧洲和近东相媲美的成就，很有可能，这时输入中国的数学比中国输出的数学更多。还要回答一个棘手的问题：在公元第一个千年里，中国和印度之间的相互影响如何。

。（复制自李约瑟《中国科学技术史》，1959年，第3卷，第135页。）

印度的早期数学

在摩亨佐达罗进行的考古发掘，证明了在埃及的金字塔建造者们的那个时代，印度就已经存在古老而高度发展的文明，但我们没有来自那个时代的印度数学文献。后来，这个国家被雅利安入侵者所占领，他们引入了种姓制度，发展了梵文文学。伟大的宗教导师佛陀在印度活跃的那段时期，据说毕达哥拉斯曾探访过那里，一度有人认为，毕达哥拉斯是从印度人那里学到了毕达哥拉斯定理。最近的研究使得这一观点变得非常不可能，因为巴比伦人至少在一千年前就熟悉这个定理。

西罗马帝国的垮台传统上被定于476年；正是在这一年，最古老的印度数学教科书的作者阿利耶毗陀出生。然而很清楚，在这一时期的很久之前，印度就存在数学活动——甚至在传说中的公元前735年罗马建城之前。像埃及一样，印度也有“拉绳子的人”；而且，在跟庙宇设计与祭坛的测量和建筑有关的活动中所获得的原始几何知识，形成了一套被称作《绳法经》（Sulvasūtras）的知识体系。Sulva（或作sulba）指的是测量用的绳子，sūtra的意思是一本关于宗教仪式或科学的法则或箴言的书。拉绳子的方法明显让人联想到埃及几何的起源，而它跟庙宇功能的联系，则让人联想到数学可能起源于宗教仪式。然而，确定这些规则的年代十分困难，与此相对应的是怀疑它们对后来印度数学家的影响。印度数学也惊人地缺乏传统的连续性，这种情况比中国更甚；重要贡献是偶发事件，被毫无成就的间歇期所隔开。

《绳法经》

这部被称作《绳法经》的作品，现存三个版本，全都是韵文，最有名的是被冠以阿帕斯檀跋之名的那个版本。在这份原始文献中——大概可以追溯到毕达哥拉斯的时代——我们发现了作直角的法则，方法就是借助三根绳子，其长度构成了毕达哥拉斯的三元组，比如3、4、5，或5、12、13，或8、15、17，或12、35、37。然而，所有这些三元组都很容易从古老的巴比伦法则得出；因此，美索不达米亚人的影响在《绳法经》中并非不可能。阿帕斯檀跋知道，矩形对角线上的正方形等于两邻边上的正方形之和，但毕达哥拉斯定理的这一形式也有可能源自于美索不达米亚。不那么容易解释的是阿帕斯檀跋给出的另一法则——这一法则非常类似于欧几里得《几何原本》第二卷中的几何代数。要作一个面积与矩形ABCD相等的正方形（图12.2），从长边上截取短边，使AF＝AB＝BE＝CD，画HG等分线段CE和DF；分别延长EF至K、GH至L和AB至M，使FK＝HL＝FH＝AM，画LKM。现在，作一个对角线等于LG、短边等于HF的矩形。那么，这个矩形的长边就是欲求正方形的边。

图　12.2

《绳法经》的起源与年代完全是推测性的，甚至于我们不知道这些规则是不是与早期埃及的测量有关，是不是与后来的祭坛加倍的希腊问题有关。关于它的年代，人们的推测各不相同，相隔差不多一千年，从公元前8世纪到公元2世纪。远东古代文化的年代学几乎都不靠谱，正统的印度传说自吹其重要的天文学作品200万年前就有了，据估算，从婆罗门出生到公元400年前后共有数十亿天。吠陀梵文文献中提到，算术级数和几何级数可以追溯到公元前2000年，这个说法或许更靠谱一些，但没有同时代的印度文献证实这一点。还有人声称，对不可通约量的最早认识，可以在《绳法经》时期的印度找到，但这样的主张并没有得到充分的证实。说印度人早就知道不可通约量，最不可能提供理由的是下面这个事实：没有证据表明，那一时期的印度数学家掌握了基本概念。

《悉昙多》

《绳法经》的时期大约结束于公元2世纪，接下来是《悉昙多》（Siddhāntas）的时代。笈多王朝的建立（290年）标志着一次梵文文化复兴的开始，《悉昙多》似乎是这次复兴的结果。《悉昙多》共有5个不同的版本，分别是：《抛利夏悉昙多》《苏利耶悉昙多》《巴希秀塔悉昙多》《帕塔姆悉昙多》和《罗马伽悉昙多》。其中，《苏利耶悉昙多》（或译《太阳经》）大约写于400年，是唯一一部似乎保存完整的。根据它的正文（用史诗的形式写成），它是苏利耶（太阳神）的作品。主要的天文学理论明显是希腊的，但保留了相当古老的印度民间传说。《抛利夏悉昙多》约成书于380年，是印度数学家伐罗诃密希罗（约生活于505年前后）总结的，经常被阿拉伯学者阿尔比鲁尼引用，后者曾暗示希腊的来源或影响。后来的作者们说，五部《悉昙多》本质上大抵一致，只是措辞不同；因此，我们可以推断，其他《悉昙多》也像《苏利耶悉昙多》一样，都是天文学概略，把那些隐秘的规则包含在梵文韵文中，很少解释，没有证明。

人们普遍同意，《悉昙多》出自4世纪末或5世纪初，但关于其中所包含的知识的来源，却众说纷纭，莫衷一是。印度的学者都坚持作者的原创性和独立性，而西方的作者却倾向于从中看出希腊影响的明确迹象。比方说，并非没有可能，《抛利夏悉昙多》在相当程度上源自占星家保罗的作品，在人们推定的此书成书年代的不久之前，保罗生活在亚历山大城。（事实上，阿尔比鲁尼明确地把这本《悉昙多》归到亚历山大城的保罗名下。）这是以一种简单的方式解释了《悉昙多》的部分内容与托勒密的三角学和天文学之间明显的相似之处。例如，《抛利夏悉昙多》用3177/1250作为π的值，这与托勒密的六十进制值3;8,30基本一致。

就算印度人的三角学知识是从亚历山大城的世界性希腊文化那里获得的，他们手里的材料也呈现出了很有意义的新形式。托勒密的三角学是基于弦与其所对的圆心角之间的功能关系，而《悉昙多》的作者们却把三角学转变成了研究一条弦的一半与整个弦所对圆心角的一半之间的联系。因此，被称作一个角的正弦的现代三角函数的前身，就这样得以诞生，明显是在印度诞生的；正弦函数的引入代表了《悉昙多》对数学史的主要贡献。尽管人们一般认为，从整弦到半弦的改变是在印度发生的，但保罗·坦纳里（19世纪末和20世纪初重要的科学史家）曾认为，三角学的转变可能发生在前托勒密时期的亚历山大城。不管这一说法是不是有价值，有一点毋庸置疑，正是通过印度人，而不是希腊人，我们才开始使用半弦；而sine（正弦）这个单词，也是由于翻译上的事故（参见后文），它源自于印度名称jiva。

阿利耶毗陀

在6世纪，也就是《悉昙多》问世不久之后，有两位印度数学家，写出了基于同类材料的书。两位当中年长的、也更重要的是阿利耶毗陀，他最有名的作品是写于499年的《阿利耶毗陀论》（Aryabhatiya），只有薄薄的一卷，用韵文写成，内容涵盖了天文学和数学。在这一时期之前，还有几个印度数学家的名字为人所知，但除了少数断章残篇之外，他们的作品都没有保存下来。那么，就这方面而言，《阿利耶毗陀论》在印度的地位有点类似于大约8个世纪之前欧几里得的《几何原本》在希腊的地位。两者都是更早发展的概要，由一位作者搜集编纂。然而，两部作品之间也存在差别，而且比相似之处更加显著。《几何原本》是秩序井然的纯数学的综合，有着高度的抽象，清晰的逻辑结构，以及明显的教学倾向；而《阿利耶毗陀论》是一本简短的描述性作品，共123节诗，打算补充天文学和测量数学中所使用的计算法则，对逻辑和演绎方法论毫无感觉。这部作品大约有三分之一的内容论述ganitapada（数学）。这一部分首先是10的各次幂的名称，一直到第10位，然后给出了整数平方根和立方根的说明。接下来是测量法则，其中大约一半是错的。给出的三角形面积是底与高之积的一半，这倒是对的，但棱椎的体积也被认为是底与高之积的一半。圆的面积是周长与直径一半之积，这也是对的，但球的体积被认为是大圆面积与这一面积的平方根之积，这却是错的。还有，在计算四边形面积的时候，对的法则和错的法则也是并肩而立。梯形的面积被表述为两平行边之和乘以它们之间的垂直线的一半；但接下来的说法却令人费解：任何平面图形都可以通过求出两边并使它们相乘，从而求出其面积。《阿利耶毗陀论》中有一个印度学者们引以为豪的命题，它是这样的：

100加4，乘以8，再加62000。结果近似于一个直径为20000的圆的周长。

这里我们看到，相当于以3.1416作为π的值，但应该记住，这本质上是托勒密所使用的值。在这里，由于阿利耶毗陀采用一万作为半径的值，因而他受希腊前辈影响的可能性就更大了。

《阿利耶毗陀论》中一个典型的部分是涉及到算术级数的那部分，它包含了求级数中某些项之和以及在给定首项、公差及各项之和的情况下求项数的任意法则。第一个法则长期以来就为早期的作者们所知。第二个法则是一段古怪而复杂的表述：

用级数之和乘以公差的8倍，加上首项两倍与公差之间的差的平方，取这个数的平方根，减去首项的两倍，除以公差，加上1，除以2。结果就是项数。

这里，正如在《阿利耶毗陀论》中其他地方一样，没有给出这一法则的动机或理由。很可能是通过解一个二次方程实现的，而关于二次方程的知识可能来自于美索不达米亚或希腊。紧接着一些关于复利（即几何级数）的复杂问题之后，作者以花哨的语言转向了一个非常基础的问题：求一个简单比例中的第四项：

在三法则中，用果实乘以欲求，再除以手段。结果就是欲求的果实。

这当然是我们所熟悉的法则：若a／b＝c／x，则x＝bc／a，式中，a是“手段”，b是“果实”，c是“欲求”，x是“欲求的果实”。阿利耶毗陀的作品确实是简单与复杂同在、正确与错误并存的大杂烩。500年后，阿拉伯学者阿尔比鲁尼把印度数学的特征概括为：普通卵石与昂贵水晶的混合物，这个描述完全适合于《阿利耶毗陀论》。

印度的数字

《阿利耶毗陀论》的后半部分论述的是时间的测算和球面三角；这里我们注意到给后代的数学留下永久印记的一个因素——十进制位值计数法。我们不知道阿利耶毗陀究竟如何得出了他的计算，但他的“从位到位，每一位是前一位的十倍”这个说法，表明他的脑子里已经有了位的原则的应用。“局部值”一直是巴比伦计数法的基础部分，印度人大概认识到了它对印度所使用的整数十进制记数法的适用性。印度数字符号的发展似乎遵循了我们在希腊发现的同样的模式。摩亨佐达罗出土的最早时期的碑铭，显示了起初非常简单的垂直笔画，排列成组，但到了阿育王的时代（公元前3世纪），人们使用的是一种类似于赫罗德数系的体系。在更新的体系中，重复原则得以继续，但采用了新的高阶符号来表示4、10、20和100。接下来，这种所谓的“佉卢文字”逐步让位于另一种符号，被称作“婆罗米文”，类似于希腊的爱奥尼亚体系的字母编码；你一定想知道，在希腊的赫罗德数字被爱奥尼亚体系取代之后不久，印度便发生了这样的改变，这是否只是一种巧合。

从婆罗米文的编码数字，到我们今天的整数记数法，中间只需短短的两步。第一步是认识到，通过使用位置原则，前9个单位的数码也可以充当表示10的相应倍数的数码，或者同样可以充当表示10的任何次幂的相应倍数的数码。这一认识，就使得除了前9个数码之外，其余所有婆罗米文数码都变得多余。我们不知道，减少至9个数码是什么时候发生的，很可能，向更经济的记数法过渡只是逐步实现的。从现有的证据来看，印度似乎发生了这一改变，但这种改变的灵感来源并无把握。所谓的印度数字可能只是内部发展的结果；它们最早或许是沿着印度与波斯之间的西部边界发展的，在那里，对巴比伦人的位置记数法的记忆，可能导致了对婆罗米文体系的更改。也有可能，新体系是沿着与中国的东部交界出现的，在那里，假位算筹可能让人想到了把数码减少至9个。还有一种理论认为，这一缩减可能首先是在亚历山大城在希腊字母体系之内进行的，后来这一观念传到了印度。在亚历山大时代的晚期，希腊人更早的书写普通分数的习惯（分子在分母之下）被颠倒过来了，印度人采用的正是这一形式，分子与分母之间没有横杠。很不幸，印度人没有把新的整数记数法应用于十进制分数的领域；因此，从爱奥尼亚记数法中发生的这一改变，其主要的潜在优势丧失了。

最早明确地提到印度数字的材料，是在一位叙利亚主教塞维鲁斯·塞博赫特的著作中找到的。在查士丁尼关闭雅典的哲学学校之后，一些学者去了叙利亚，他们在那里建立了希腊学术的中心，塞博赫特明显因为某些同事所表现出来的对非希腊学术的轻蔑而感到愤怒，因此，他总是提醒那些说希腊语的人：“还有其他人也懂得点什么。”为了说明他的观点，他提请人们注意印度人，以及他们“在天文学领域的敏锐发现，”尤其是“他们极有价值的计算方法，以及他们妙不可言的计算技术。我只想说，这种计算是借助9个符号来进行的。”（史密斯，1958，第一卷第167页。）数字已经使用了一段时间，下面这个事实说明了这一点：最早的印度数字出现在595年的一块板子上，在那上面，346这个年份是按照十进制位值记数法来写的。

代表零的符号

应该注意的是，提到9而没有提到10的符号，意味着印度人明显尚没有采取向现代记数系统过渡的第二个步骤——引入代表空白位的符号，即代表零的符号。数学史上有很多反常现象，其中特别是下面这个事实：“在印度，最早确定无疑地出现零，是在876年的一件碑铭上”（史密斯，1958，第二卷第69页）——也就是说，距离第一次提到前9个数字，已经过去了两百多年。我们甚至不能确定，零这个数（不同于代表空位的符号）是不是跟其他9个印度数字同时出现。完全有可能，零起源于希腊世界，多半是在亚历山大城，而且是在十进制位值系统在印度确立之后才传到那里。

位值记数法中有效零的历史因为下面这个事实而变得更加复杂：这个概念，早在哥伦布时代之前，就分别在西半球和东半球独立出现了。尤卡坦半岛的玛雅人在他们的历书中表示日期之间的时间间隔时，就使用了位值记数法，他们通常用20作为主要基数，5作为辅助基数（对应于巴比伦人分别使用60和10）。单位用圆点代表，5用横杠代表，这样一来，比方说，70这个数就表示为（即3（5）＋2）。使用了垂直位置排列，大的时间单位在上面，因此，符号表示352（即17（20）＋2）。因为这一体系主要是为了记日历上的天，而一年有360天，因此第三个位置通常并不像在纯二十进制中那样代表（20）（20）的倍数，而是代表（18）（20）。然而，超过了这一点，基数20再一次盛行。在这一位值记数法之内，玛雅人通过使用一个符号来表示空位，这个符号以不同的形式出现，有时候像一只半睁的眼睛。这样，在这一体系中，符号表示17（20·18·20）＋0（18·20）＋13（20）＋0。

随着第十个数字（一个代表零的圆鸭蛋）被引入印度的记数法中，现代整数记数法的体系便大功告成。尽管中世纪的印度数字10与今天所使用的形式大不相同，但这一体系的原则终归是确立下来了。新的记数法，我们通常称之为印度体系，只不过是三个基本原则的一种新的组合，它们全都起源于古代：（1）十进制基数；（2）位置表示法；（3）代表十个数字中的每个数字的编码形式。这三个原则没有一个起源于印度，但推测起来，这三个原则第一次跟现代记数体系的形式联系起来大概要归功于印度人。

选自“德累斯顿抄本”，玛雅语，显示的是数字。左起第二列自上至下显示的是数字9、9、16、0、0，表示9×114，000＋9×7200＋16×360＋0＋0＝1366560。原件为黑色和红色。（选自默里《玛雅象形文字研究引论》［An Introductiontothe Study of Maya Hieroglyphics］，1915年，第266页。）

关于印度零符号的形式，最好是说一句：它也是我们的。有人曾经猜想，圆圈的形式最初源于希腊字母Ο，是ouden（空）这个词的首写字母，但最近的研究似乎证明这样的起源站不住脚。尽管代表空位的符号在现存的托勒密弦表的某些版本中似乎像字母Ο，但希腊六十进制小数中早期的零符号是带有不同装饰的圆形，明显不同于一个简单的鸭蛋。此外，在15世纪的拜占庭，人们从古老的字母数字中划掉了最后18个字母，并给前9个字母添加了一个零符号，从而使得十进制位值体系流行开来，此时，零符号所采用的形式完全不像字母Ο。有时候，它像我们的小写字母h倒过来，有时候它看上去像一个小圆点。

印度的三角学

我们的整数记数体系的发展，是印度对数学史的两个最有影响的贡献之一。另一个贡献是在三角学中引入了正弦函数的等价物，取代了希腊人的弦表。幸存下来的最早的正弦关系表，是《悉昙多》和《阿利耶毗陀论》中的那些表。这些表给出了直至90°角的正弦，每隔33/4°一项，共24项。为了用同一单位来表达弧长和正弦长度，半径被取为3438，周长为360·60＝21600。这意味着π的值有4个重要数字符合托勒密的π值。在另外的地方，阿利耶毗陀使用了√10作为π的值，这个值在印度经常出现，以至于它有时候被称作印度值。

对于33/4°的正弦，《悉昙多》和《阿利耶毗陀论》都取弧的单位数——亦即60×33/4，或225。用现代语言表述是，一个小角的正弦非常接近等于角的弧度（它实际上就是印度人所使用的值）。对于正弦表中后面的各项，印度人使用了一个递归公式，可以表述如下：若序列从n＝1至n＝24中，第n项的正弦指定为s^n ，而且，前n项正弦的和为s^n ，那么，s^（n＋1）＝s^n ＋S^1 －S^n ／s^1 。根据这个规则，你很容易得出

＝890，依此类推，直至sin90°＝3438——这些值都列入了《悉昙多》和《阿利耶毗陀论》的表中。此外，这张表还包含了我们所谓的角的正矢，即现代三角学中的1－cosθ，或者印度三角学中的3438（1－cosθ），从vers3 如果我们把表中的各项除以3438的话，你就会发现，结果非常接近于现代三角函数表中相对应的值。（史密斯，1958，第二卷。）

印度的乘法

印度的三角学明显是天文学中一个有用而准确的工具。印度人究竟如何得出了像递归公式这样结果，我们不明确，但有人认为，凭直觉接近差分方程和内插法，可能已提示了这样的法则。印度数学经常被描述为“直觉的”，与希腊几何学严格的理性主义形成鲜明对照。尽管在印度三角学中存在希腊影响的证据，但印度人似乎没有机会借鉴希腊的几何学，因为他们一门心思关注简单的测量法则。古典几何问题，或者对不同于圆的曲线的研究，在印度只有很少的证据，就连圆锥截面也似乎被印度人忽视了，就像被中国人忽视一样。印度数学醉心于数字的运用，不管涉及的是平常的算术运算，还是解确定方程或不定方程。加法和乘法在印度的做法很像我们今天，不同的是，他们起初似乎更喜欢把较小单位的数字写在左边，因此是从左到右运算。他们用可擦除颜料在小黑板上，或者在一块覆盖着沙子或面粉的板进行演算。在用来作乘法运算的手段当中，有一种是被冠以不同的名称：格子（gelosia）乘法、单元乘法、格栅乘法或四边形乘法。这一手段背后的设计，很容易通过两个实例来认识。在第一个实例中（图12.3），计算456乘以34。被乘数写在格子框的上方，乘数出现在左侧，各部分的乘积各占一个方格单元。斜排的数字相加，乘积15504在格子框的底部和右侧读出。指出另外的排列方法也是可能的，第二个实例在图12.4中给出，被乘数537被置于顶部，乘数24在右侧，积12888从左侧和底部读出。还有一些修改很容易设计出来。就基本原理而言，格子乘法当然像我们自己的一样，也是单元排列，只是一种缓解精神专注的方便手段，逐位执行部分乘积所产生的“进位”则需要这样的专注。在格子乘法中，只有最后斜排相加时才需要“进位”。

图　12.3

图　12.4

帆船法（试除法），16世纪。出自一位威尼斯修道士未印行过的手稿，这部作品的标题是《数学论集》（Opus Artimetica），取自普林顿先生的藏书。

长除法

格子乘法究竟产生于何时何地，还不得而知，但印度似乎是最有可能的发源地。在印度至少从12世纪开始使用它，而且，它似乎被人从印度带到了中国和阿拉伯。在14和15世纪，它从阿拉伯传到了意大利，在那里，人们把gelosia这个名字跟它联系在一起，因为它很像威尼斯和别的地方人们放置在窗前的栅格。（jalousie［百叶窗］这个通行的单词似乎就源自于意大利语的gelosia，并在法国、德国、荷兰和俄罗斯被用来指称威尼斯的百叶窗。）阿拉伯人（后来的欧洲人则是通过他们）的大多数算术手段似乎都是采用印度人的，因此，那种被用来作长除法的、被称作“消去法”或“帆船法”（因为它很像一艘小船）的图案很可能也是来自印度。为了说明这一方法，我们不妨来求44977除以382。在图12.5中我们给出了现代方法，在图12.6中给出的就是帆船法。后者非常类似于前者，不同的是被除数出现在中间，因为通过消去数字来执行减法，并把差置于被减数之上，而不是之下。因此，余数283出现在上边靠右，而不是在下面。

图　12.5

图　12.6

图12.6中的过程很容易追踪，只要我们注意，给定减数（比如2674）或给定差（比如2957）中的数字未必都在同一行，而且，减数写在中间一行的下方，差写在中间一行的上方。列中的位置很重要，但行中的位置不重要。确定数的根大概遵循了有点类似的“帆船”模式，在后来那些年代里以“帕斯卡尔三角形”的形式跟二项式定理联系在一起；但印度的作者对他们的计算方法没有提供解释，对他们的命题也没有提供证明。在开方的问题上，巴比伦和中国的影响有可能起了重要作用。人们常说，“舍九法”是印度的发明，但希腊人看来似乎更早就知道了这一属性，但没有广泛使用，而且，这一方法仅仅是在11世纪的阿拉伯人手里才变得常用。

婆罗摩笈多

上面几个段落可能给人留下一个不恰当的印象：印度数学中存在一种一致性，因为我们常常把这些发展局部化为仅仅是“印度起源的”，没有具体说明时期。麻烦在于，印度的年代学中存在着高度的不确定性。重要的巴赫沙里手抄本中的材料，包含一部算术作品，有人推测出自3或4世纪，另一些人推测出自6世纪，还有人认为出自8或9世纪或之后；甚至还有认为，它并非源自印度。我们曾把阿利耶毗陀的作品定在公元500年前后，但这个年代很值得怀疑，因为有两位名叫阿利耶毗陀的数学家，我们并没有多大的把握把这些成果归到我们所说的这位（也就是年长的这位）阿利耶毗陀的名下。比起希腊数学，印度数学提出了更多的历史难题，因为印度的作者们很少提到前辈，他们在数学研究方法上表现出惊人的独立。婆罗摩笈多（活跃于628年前后）就是这样，他生活在印度中部，比阿利耶毗陀晚一个多世纪，但跟他的这位生活在印度东部的前辈很少共同之处。婆罗摩笈多提到了两个π值——“实用值”3和“简洁值” √10 ——但没有提到阿利耶毗陀的更准确的值；在他最有名的作品《婆罗摩历算书》（Brahmasphuta Siddhānta）的三角学中，他采用了3270作为圆的半径，而不是阿利耶毗陀的3438。有一个方面他倒是很像他的前辈——正确的和错误的结果并驾齐驱。他求等腰三角形“毛”面积的方法，是用等边之一乘以底的一半；对于一个底为14、两边分别为13和15的不等边三角形的，他求“毛面积”的方式用底乘以另外两边的算术平均数。在求“精确”面积的时候，他利用了阿基米德—海伦公式。对于一个三角形的外接圆的半径，他给出的答案相当于三角学的正确结果：2R＝a／sin A＝b／sin B＝c／sin C，但这当然只是对托勒密用弦的语言阐述过的一个结果的改写。婆罗摩笈多的作品中最优美的结果，大概是“海伦”公式在求四边形面积时的一般化。这个公式就是：

式中，a、b、c、d是各边，s是半周长，至今被冠以他的名字；但他没有注意到，这个公式只有在圆内接四边形的情况下才是正确的，这不免使得他的成就的辉煌变得暗淡。对任意四边形来说，正确的公式是：

式中，α是两对角之和的一半。照例，对于一个四边形的“毛”面积，婆罗摩笈多给出了前希腊时代的公式：对边算术平均数之积。例如，对于边长分别为a＝25、b＝25、c＝25、d＝39的四边形，他求出的“毛”面积是800。

婆罗摩笈多公式

婆罗摩笈多对代数的贡献比他的测量法则更高级，因为在这一领域，他发现了二次方程的一般解法，包括两个根的方程，甚至包括一个根为负数的情况。事实上，负数和零的系统化算术最早是在他的作品中找到的。负值规则的等价物已经通过希腊人关于减法的几何定理而被人们所认识，如（a－b）（c－d）＝ac＋bd－ad－bc，但印度人把这些转变成了关于正数和负数的数字规则。此外，尽管希腊人有空无的概念，但他们从未像印度人所做的那样，把这解释为一个数。然而，这里，婆罗摩笈多再一次把事情搞糟了，因为他声称：0÷0＝0，而对于a÷0（a≠0）这样棘手的问题，他倒没有表态：

正数除以正数，或者负数除以负数，都是正数。零除以零等于零。正数除以负数是负数。负数除以正数是负数。负数或正数除以零是一个以零为分母的分数。（科尔布鲁克，1817，第一卷。）

还应该提到，印度人不像希腊人，把数的无理根依然看作是数。这在代数中是巨大的帮助，印度的数学家颇为迈出这一步而感到自豪；但你必须记住，印度人在这一实例中的贡献是逻辑无知的结果，而不是数学洞察的结果。我们已经看到，印度数学家在精确结果与不精确结果之间缺乏细致入微的区分，他们并不严肃对待可通约量与不可通约量之间的区别也就是自然而然的事了。对他们来说，接受无理数不存在任何障碍，后来的几代人不加批判地追随他们的引导，直到19世纪，数学家们才在坚实的基础上建立了真正的数系。

正如我们已经说过的那样，印度数学是良莠杂陈的混合物。但有些好东西好得无与伦比，在这方面，婆罗摩笈多值得赞美。印度代数在不定分析的发展上尤其值得注意，对此，婆罗摩笈多做出了几项贡献。首先，在他的作品中，我们发现了毕达哥拉斯三元组的构成法则，以这样的形式表达：m，1/2（m2／n－n），1/2（m2／n＋n）；但这只是古老的巴比伦法则的改良形式，他或许熟悉巴比伦人的法则。上面提到的婆罗摩笈多的求四边形面积的公式，被他与两个求对角线的公式和结合起来使用，为的是找出其边长、对角线和面积都是有理数的四边形。其中包括这样一个四边形，边分别为a＝52、b＝25、c＝39、d＝60，和对角线为63和56。婆罗摩笈多给出的“毛”面积是19333/4，尽管事实上，他的公式提供了精确的面积，在本例中是1764。

不定方程

婆罗摩笈多也像他的很多同胞一样，明显是因为数学本身而喜爱数学，因为任何一个有务实精神的工程师都不会提出像婆罗摩笈多关于四边形所问的那些问题。如果你发现，他是第一个给出线性丢番图方程的一般解法的人，那你就会更加赞赏他的数学姿态，这个方程是：ax＋by＝c，式中a、b、c都是整数。要想让这个方程有整数解，a和b的最大公约数必须被c除尽；婆罗摩笈多知道，若a和b互为素数，这个方程的所有解都由x＝p＋mb，y＝q－ma给出，式中，m是任意正整数。他还提出了丢番图二次方程x 2 ＝1＋py 2 ，却被张冠李戴地冠以约翰·佩尔（1611～1685）的名字，但最早出现在阿基米德的群牛问题中。佩尔方程的某些实例是婆罗摩笈多的同胞婆什迦罗（1114～约1185）解出的。

婆罗摩笈多应该大受赞扬的是，他给出了线性丢番图方程的所有整数解，而丢番图本人满足于给出不定方程的一个特殊解。由于婆罗摩笈多使用了一些跟丢番图一样的例子，我们再一次看到了希腊影响在印度的可能性——或者是他们使用了共同来源的可能性，这个来源有可能来自巴比伦。有趣的是我们还注意到，婆罗摩笈多的代数，像丢番图的代数一样，也是用缩写表示法。加法通过并列来表示，减法把一个圆点置于被减数之上，除法把除数置于被除数之下，就像我们分数表示法一样，只不过没有中间的横杠。乘法和开方运算，还有未知量，都用恰当单词的缩写来表示。

婆什迦罗

中世纪晚期，印度产生了很多数学家，但我们只介绍其中一个人的作品，他就是12世纪最重要的数学家婆什迦罗。正是他，填补了婆罗摩笈多作品中的空白，给出了佩尔方程的一般解法，研究了除以零的问题。亚里士多德曾经注意到，不存在这样一个比，它等于一个数字（比如4）跟数字零的比；但零的算术不是希腊数学的组成部分，而婆罗摩笈多对一个非零的数字被零除不作表态。因此，正是在婆什迦罗的《算法本源》（VijaGanita）中，我们找到了最早的这样一个商为无穷大的命题。

命题：被除数为3，除数为0。商为分数3／0。这个分母为零的分数，被称为一个无穷大量。在这个以零作为除数所构成的量中，不存在任何改变，尽管可以被插入或抽取；就像在无穷而不可改变的上帝那里一样不会发生改变。

这个陈述听上去很有希望，但对于婆什迦罗进一步声称a／0·0＝a所暗示的情形，缺乏清晰的理解。

婆什迦罗是来自印度的最后一位重要的中世纪数学家，他的作品代表了印度人早期贡献的巅峰。在他最有名的专著《丽罗娃提》（Lilavati）中，他搜集编纂了源自婆罗摩笈多及其他人的难题，补充了一些他自己新的观察材料。正是这本书的标题，可以看作标示了印度思想参差不齐的品质，因为标题是婆什迦罗女儿的名字，据传说，这位女儿因为父亲坚信自己的占星学预言，因而失去了嫁人的机会。婆什迦罗计算出，他的女儿只有在一个规定日子的特殊时辰出嫁才会吉利。在她将要出嫁的那天，这位热切渴望的姑娘正弯腰查看水钟，她头饰上的一颗珍珠掉了下来，毫无觉察，珠子阻止了水的溢出。还没等到这个小小的意外被注意到，吉利的时辰已经过去了。为了安慰不幸的姑娘，父亲把她的名字赋予给了我们所介绍的这本书。

《丽罗娃提》

像《算法本源》一样，《丽罗娃提》（Litavati）也包含很多难题，处理印度人最喜爱的论题：线性方程与二次方程（既有确定方程也有不定方程）、简单测量、算术级数与几何级数、无理数、毕达哥拉斯三元组，等等。在中国深受欢迎的“折竹”问题（婆罗摩笈多也收入了自己作品）以下面的形式出现：若一根竹子高32肘尺，被风折断，竹梢触地，距离根部16肘尺，问折断后的竹子高出地面几何？下面这道题也利用了毕达哥拉斯定理：一孔雀栖于柱顶，柱底有一蛇洞。孔雀从柱子上隔着三倍于柱高的距离看着地面上的蛇，在蛇到达蛇洞之前，孔雀沿直线猛扑向它。若孔雀与蛇行进了相等的距离，则它们相遇时距离蛇洞多少肘尺？

这两个问题很好地说明了《丽罗娃提》的混杂性，因为，尽管它们明显相似，而且只需要一个答案，但其中一个问题是确定的，而另一个问题是不定的。在处理圆和球的时候，《丽罗娃提》也没能区分准确命题和近似命题。圆的面积被正确地给定为周长乘以直径的四分之一，球的体积被认为是表面积与直径之积的十六分之一，但圆的周长与直径之比，婆什迦罗认为是3927比1250，或者是“毛”值22／7。前者相当于阿利耶毗陀提到过（但没有使用）的那个比值。在婆什迦罗或其他印度作者的作品中，没有任何迹象表明，他们知道他们提出的所有比值都只是近似值。然而，婆什迦罗严厉地指责他的前辈们使用婆罗摩笈多的求一般四边形面积和对角线的公式，因为他看出了，一个四边形并没有被它的各边唯一确定。他明显没有认识到，这些公式对于圆内接四边形来说确实是准确的。

婆什迦罗的《丽罗娃提》和《算法本源》中的很多问题明显出自于更早的印度来源；因此用不着大惊小怪，作者以自己的最高水平处理了不定分析。关于婆罗摩笈多更早提出来的佩尔方程：x 2 ＝1＋py 2 ，婆什迦罗给出了p＝8、11、32、61和67这五种情况的特殊解。例如，对于方程x 2 ＝1＋61y2 ，他给出的解是x＝1776319049和y＝22615390。在计算中，这是一次令人印象深刻的壮举，光是它的验证，就会让读者大费周章。

婆什迦罗的书中充斥了大量丢番图问题的实例。

拉马努金

婆什迦罗死于12世纪接近尾声的时候，此后几百年的时间里，很少有印度数学家达到跟他平起平坐的高度。然而，值得注意的是，20世纪的印度天才斯里尼瓦萨·拉马努金（1887～1920）在算术和代数方面有着我们在婆什迦罗身上所发现的同样不可思议的操作能力。有一次，英国数学家G.H.哈迪在帕特尼的一家医院里探望了拉马努金，向他这位生病的朋友提到，他是乘坐一辆车牌号为1729的出租车来的，这个数字枯燥无趣。对此，拉马努金毫不犹豫地指出，这个数字其实非常有趣，因为它是可以用两种不同的方式表示为两个立方数之和的最小整数：1³ ＋12³ ＝1729＝9³ ＋10³ 。在拉马努金的作品中，我们也发现了缺乏组织的特征，直觉推理的力量，以及对几何的忽视，这些在他的前辈们身上却是极为引人注目。尽管在拉马努金身上，这些特征的发展，大概在很大程度上是因为他是自学成才的，我们不能不看到，在印度数学的发展与希腊数学的发展之´有着多么显著的不同。即使当印度人从他们的邻居那里借鉴的时候，他们也会以自己特有的方式对材料进行改造。尽管在态度和兴趣上他们与中国人有更多的共同之处，但他们并没有后者对精确近似值的痴迷，比如最终导致霍纳法的那种痴迷。尽管他们像美索不达米亚人一样主要关注代数，但他们倾向于避开六十进制记数法。简言之，折中主义的印度数学家们只采用和发展了他们感兴趣的那些方面。在一个方面，有一点很是不幸：他们首要热爱的是一般意义上的数论，以及特殊意义上的不定分析，因为，后来的数学发展，并不是出自这些方面。解析几何与微积分的根在希腊，而不是在印度。然而，在现代数学中，至少有两样东西时时在提醒人们：数学的发展也要归功于印度，就像归功于其他很多国家一样。正弦函数的三角学大概来自于印度；我们今天的整数记数体系，完全可以恰如其分地称作印度—阿拉伯体系，以表明：它的起源可能在印度，而它的传播可能是通过阿拉伯。

《数学史》第12章 中国和印度

《数学史》第12章　中国和印度