本文摘自《Milnor眼中的数学和数学家》，季理真主编，高等教育出版社，2018年。

译自:美国数学会通讯 (Bulletin of the American Mathematical Society), 新系列, 52 卷, 4 期, 2015 年 10 月, 545–584 页.

摘要:这篇文章将对拓扑学研究作一个跨越世纪的浏览, 集中在二、三和四维流形的研究. 关于各小节附有进一步的评述和技术细节. (基于 2014 年首尔国际数学家大会上的 Abel 讲座报告.)

§1. 拓扑学序幕

现在为人所知的拓扑学在 19 世纪形成, 在 20 世纪取得了梦幻般的进展, 进入 21 世纪更加兴旺发达. 但是, 在此之前已经有了拓扑学的想法, 和一些零星的结果, 喻示着应当有这样一种研究领域.

1.1 Leonhard Euler, 圣彼得堡, 1736 年

在数学文献中的第一个拓扑学陈述, 或许就是来自于 Euler 对哥尼斯堡 (Königsberg) 七桥问题的解答. 该问题是: 散步走过七座桥的每一座恰好一次. Euler 说明这样的散步路线不存在. 问题可以用如下所示的一个图来表述, 每块陆地表示成一个圆点, 每座桥表示成一条边.

18 世纪的哥尼斯堡

发行的印有 Euler 图像的邮票

七桥问题的图

定理 1.有一条道路走过图中每条边恰好一次, 当且仅当该图最多有两个 “奇” 点, 所谓奇指所连边数是奇数.

对于所给的图, 四个顶点都是奇的, 因此那样的路线是不可能有的. 这个定理对学数学的年青人是一个极好的练习, 因为证明相当于初等, 但不显然.

1.2 Leonhard Euler, 柏林, 1752 年

若干年后, Euler 发现了一个等式, 它在拓扑学中起基础性作用.

定理 2.任何一个凸多面体, 其顶点数V 、边数 E 和面数 F 满足下面的关系式.

V − E + F = 2.

例如: 正十二面体有 20 个顶点、30 条边和 12 个面, 满足 20 − 30 +12 = 2.

Euler 远远走在他所处时代的前面. 一百多年以后, 有限胞腔复形K 的Euler 示性数被定义成这样一个整数

χ(K) = 偶数维胞腔数 − 奇数维胞腔数.

到了 20 世纪早期, 才能证明 Euler 示性数是一个拓扑不变量. 如下的两个基本性质可以很容易通过定义验证:

这里我们假定各 Kj是它们并集的子复形. 做为一个简单的练习, 利用定义和乘积性质, 我们可以证明 n 维方体 [0, 1]n的 Euler 示性数是 +1,而该方体的边界 (即: n–1 维拓扑球面) 的 Euler 示性数是 1 + (−1)n−1.

1.3 Augustin Cauchy, 巴黎理工学校 (´Ecole Polytechnique),1825 年

Cauchy 是给出连续这个概念精确定义的第一人, 而连续是拓扑学最基本的概念之一.

更进一步, 他给出了一个拓扑不变量: 闭路 C 绕一点 p 的卷绕数(winding number), 可通过一个全纯微分形式沿 C 的积分来计算.

在复平面中绕一点 p 的曲线 C

1.4 Carl Friedrich Gauss, 哥廷根, 1833 年

Gauss 给出了更精巧的拓扑不变量:互不相交的两个有向闭曲线间的环绕数 (linking number) L. 受在电磁学研究的影响, 他用二重积分计算这个数

其中 x 在一条曲线上变动, 而 y 在另一条曲线上变动.

※ 进一步的注记：

A1.1. Euler. 尽管出生和受教育都在巴塞尔, 他没有在那得到一个职位. 因此, 当位于圣彼得堡的俄国皇家科学院所发出邀请时, 他愉快地接受了.

以哥尼斯堡命名的城市已存在了 690 年, 它建立于 1255 年, 讲波罗的海语的原住居民消失被德国定居者取代, 当 1945 年被苏联军队接管后, 不再做为德国的城市, 而起名为加里宁格勒. 在 19 和 20 世纪,哥尼斯堡产生了许多数学家, 包括 Rudolph Lipschitz, Alfred Clebsch, David Hilbert, Hermann Minkowski 和 Jürgen Moser.

A1.2. Euler. 在 1741 年, 俄国的形势变得不稳定, Euler 接受了柏林学院的一个职位, 这是由普鲁士国王腓特烈大帝资助的.

如 §2.1 所述, 考虑三维空间中非凸多面体 “Euler 示性数” 概念的第一个人, 或许就是L’Huilier. Johann Listing 在 1862 年研究了更一般的多面体，而Poincaré 在 1895 年首先提议流形的 Euler 示性数可以从同调中算出, 就是 Betti 数的交错和. (以此方式定义的 Eulre 示性数经常被称为 Euler-Poincaré 特征.) 实际上, Poincaré 在同调上的研究, 在20 世纪早期被许多数学家发展, 很自然地考虑下面的构造

胞腔复形K → 链复形C∗(K) → 同调群H∗(K).

利用域系数, 我们不难证明整数

等于 Betti 数的交错和

.

可是, 同调群的拓扑变性的证明要困难得多. 基本的工具, 单纯逼近定理已经由 L.E.J. Brouwer 给出.可是, Brouwer 并没有用于同调理论. Alexander [1915] 关于Betti 数拓扑不变性的第一个证明让我相当迷惑. (经过答辩, Alexander 成为那时的新博士.)经过拓扑家的研究, 再受 Emmy Noether 的影响, 事情变得清晰起来. 我们应该考虑同调群,而Betti 数由这些群的秩来定义 (见 Hirzebruch [1999]). 我发现可读的早期材料是Seifert 和 Threlfall [1934], 还有 Alexandroff 和 Hopf [1935].

A1.4. Gauss. 依照 (很后才引入的) 度的概念, Gauss计算了从环面到球面映射的度.

§2. 二维流形

直至 19 世纪, 人们才明白应该有一种几何研究, 不仅在局部也要在大范围.

2.1 Simon L’Huilier, 日内瓦皇家学院, 1812—1813 年

L’Huilier (也拼写成 Lhuilier) 或许是考虑更一般 (非凸) 多面体 Euler 示性数的第一人. 对于 3 维欧氏空间中被钻透 n 次的多面体的表面, 他算出 Euler 示性数是 χ=2−2n.借用现代的语言, 这种多面体的边界是亏格为 n 的曲面.

2.2 Niels Henrik Abel, 挪威, 19世纪 20 年代

在耶尔斯塔的 Abel 纪念碑

由于 Abel 的工作, 曲面的整体理论的必要性变得清晰了. 他研究代数函数的积分. 例如, 如下形式

其中 aj是互不相同的实或复数. 当今, 我们会将它写成沿着光滑仿射代数簇中的一条道路积分 , 该代数簇由下式定义

此积分当 y = 0 时似乎没意义, 但是因为2ydy = f'(x)dx, 我们可将被积函数写成2dy/f'(x), 它当 y=0 时完全有合理的含义. 当今人们写成表示式

并做为簇 V 上的全纯 1 形式, 或Abel 微分.

给定任意一个这样的 Abel 微分 α, 和 V 中一条闭路 L, 我们可以做积分而得到一个从基本群π1(V ) 到复数集的同态

可是, 这些术语的大部分在当时还没有. Abel 去世很早, 如何用更好的语言来描述此构造, 这一工作留给了其他后来人.

2.3 Bernhard Riemann, 哥廷根, 1857 年

接受挑战的第一人是 Riemann, 在 1851年博士论文和 1857 年关于 Abel 函数的文章中, 他提出了现在我们称之为 Riemann 曲面的概念.

下面是 Riemann 演示的复平面上的三个有界区域. 他称一个区域为单连通, 如果任一个切割 (从一个边界点到另一个的道路) 必定将区域分成两部分. 类似地, 称一个区域为双连通, 如果将它分开需要两个切割. 依此类推.

更一般地, 他研究了超出平面的 “Riemann 曲面”:

另一个三连通的曲面

Riemann 也考虑了 F 是闭曲面的情形, 他描述了沿一些简单闭曲线切开 F 的步骤, 使切开的曲面是一个连通且单连通的曲面.

这些曲面的此类曲线个数总是偶数 2p, 用现代的语言, 这表示有一个CW 复形 1 ° 结构: 一个顶点, 2p 条边, 和一个 2 胞腔. 从而有 Euler 示性数 χ=2−2p. Riemann 的整数 p>0 是一个不变量, 现在称之为 F 的亏格, 而 2p 是现在我们所知的一维 Betti 数.

2.4 August Ferdinand Möbius, 莱比锡, 1863 年

尽管 Riemann 开创性想法影响了这一领域的后来所有工作, 但他只给出很少的细节, 人们很难跟进. 几年之后, Möbius 给出对我来说清楚很多的表述, 说明三维空间中的闭曲面可以用一个清晰定义的整数不变量来分类.

将闭曲面的连通性类定义为这样一个最小的整数 n: F 中任何互不相交的 n 条闭路必定能切分开该曲面. (换句话说, 我们可以选出 p = n − 1 条闭路没有切分开曲面; 但是任何更多的互不相交的闭路必定会切分开它. 这里 p 是 Riemann 的不变量, 即亏格.)

例 1:对于环面, 可知 p = 1, 因为我们沿一条闭路切割环面而不切分开, 但两条互不相交的闭路必然切分开环面.

定理 3.有相同连通类的任何两个曲面都是初等相关 (elementarily related).

Möbius 的初等相关的概念十分笨拙, 见如下所述. 用现代的术语,他想表达的是C1微分同胚.

定义 1.两个几何图形初等相关是指: 一个图形中任意维数的无穷小元素都对应另一图形中的无穷小元素, 使得在一个图形中相邻的两个元素的对应元素也相近, ……

但是 Möbius 的证明却是出奇地时髦, 下面是一个概述: 将曲面在中放置在一般位置, 沿着仔细选取的一些水平面切开. (他的示意图如下:)

那么所得的每个连通块有一个、两个或三个边界曲线, 分别是2 维胞腔、平环或裤形 (pants).

更一般地, 以记二维球面中有 k 条边界曲线的区域.

这样 Möbius 的构造将曲面 F 分成一些无交并

现举一个例子:

为得到原来的曲面 F, 我们要在指定的微分同胚下, 将 E 的一条边界曲线等同于另一条.

引理 1.如果我们通过将的一条边界曲线等同于的一条边界曲线化简 , 所得的结果微分同胚于.

证明不难, 利用这一表述, 我们通过一次次地等同边界曲线对, 归纳地化简集合

在 N − 1 次之后, 我们得到形如的连通集. (这里 p 是 Riemann 的不变量, 亏格.) 做为一个例子, 在如上图中, 我们把标记为 a, d 和 b 的圆盘放入对应的洞中, 经过在最后一种情形时的收缩, 我们得到类型的区域.

现在再做两条曲线的等同, 如同在二维球上加一个 “环柄”, 这就完成了 Möbius 的证明. □

例如:带有 p = 3 个环柄的球面.

2.5 Walther Dyck, 慕尼黑, 1888 年

Dyck (后加封为贵族 von Dyck) 或许是第一个给出拓扑学要做什么的清楚定义的人:

拓扑学是要研究在有连续逆的连续函数作用下不变的性质.

他或许也是作为一个整体性定理叙述 Gauss-Bonnet 公式的第一人. 对于任意一个光滑闭的二维流形,

如果 Gauss 曲率不变号, 那么立即能得出示性数有相同的符号:

如果 K > 0, K = 0 或 K < 0,

那么分别地有 χ > 0, χ = 0 或 χ < 0.

这成为研究曲率与拓扑之间关系的启示.

2.6 Henri Poincaré, 巴黎, 1881 年到 1907 年

Poincaré 无可争议地被认作是当代拓扑学的奠基人. 他勾画出同调论与 Betti 数,叙述了 Poincaré 对偶定理. 更进一步, 他引入了同伦的概念, 定义了基本群, 及与之相关的复迭空间的概念. 尤其重要的是对曲面的研究, 他描述了 Riemann 曲面的单值化定理. 理论的许多细节有待补充, 但是他提出了整体的轮廓.

2.7 Paul Koebe, 柏林, 1907 年

Koebe 和 Poincaré 大约在同一时间证明了单值化定理. 他的陈述如下:

定理 4.任一 Riemann 曲面的万有复迭空间共形同构与下述之一:

(1) Riemann 球面 ,

(2) 复平面 ,

(3) 开单位圆盘 .

作为一个很容易的推论, 我们得到

推论.任一 Riemann 曲面都有常曲率的度量:

2.8 Hermann Weyl, 哥廷根, 1913 年

Weyl的书《Riemann 曲面的想法》(Die Idee der Riemannschen Fläche) 是一个重要的转折点. 在其出版之前, Riemann 曲面的定义相当模糊. 开始于一个局部定义的解析函数, 然后再加上所有可能的解析延拓. 依照着有重叠坐标卡的拓扑曲面的方式, Weyl 给出了清晰的定义. 这对随后关于复流形和光滑流形的工作提供了一个模型.

2.9 Tibor Radó, Szeged, 1925 年

Radó完成了紧致定向拓扑曲面的分类, 证明每个这样的曲面可被赋予一个 Riemann 曲面的结构, 如 Weyl 所定义. 特别地,它可被赋予一个光滑流形的结构.

九十年以后, Riemann 曲面的研究, 及其与之相关的代数曲线的研究, 依然是繁荣的数学领域. 例如, 2014 国际数学家大会中四个 Fields 奖得主有两个在这个研究领域工作.

※ 进一步的注记：

A2.1. L'Huilier.

文章 Lhuilier 和 Gergonne [1812-1813] 是 Gergonne 所做的删节版, 基于原来 L'Huilier 投出的一个长手稿. 很不幸的是, 基本不变量 n (现在我们术语中的亏格) 的表述十分含糊. (我无法得知L'Huilier 的原稿是否更清楚些.) 由于我不确信我的翻译, 让我引述一下Gergonne 的原话 (168 页):

“En général un polyèdre terminé par une surface unique peut être percé, de part en part, par un nombre plus ou moins grand d’ouvertures distinctes. Sindésigne le nombre de ses ouvertures, · · · ”

无论如何, 已明确地知道对每个多边形曲面有一个相应的数 n,以及一个步骤来计算它. 例如, 对于 “环形” 多边形曲面, 他(也在 168页) 说明 Euler 示性数是零.

由 Calvin 在 1559 年建立的日内瓦学院, 在拿破伦时代的几年被称为 “皇家的”, 自从 1873 年起, 被称为日内瓦大学.

A2.2. Abel. 在 1826 年, 挪威政府的津贴让 Abel 能访问欧州几个国家. 他在德国的逗留非常成功, 在新刊物《Crelle's Journal》上发表了七篇文章, 他在法国的逗留不太成功, 或许他最重要的工作, 代数积分的加法定理, 投到法国科学院, 而在 Cauchy 的书桌上遭到了十五年的冷遇. 回到挪威, 两年的紧张数学活动损害了他的健康, Abel 在26 岁时死于结核病. 按照Charles Hermite 所说,

“Abel 留下的东西, 足够数学家们忙上五百年.”

A2.3. Riemann.尽管我试图解释 Riemann [1857, 97 页] 的想法, 但我须承认他的表述让我很难在细节上弄懂.

使用亏格术语并与 Riemann 曲面相关联的第一个人是 Clebsch [1865]. (参见 Hirzebruch 和 Kreck [2009].) 可是, 对 Clebsch 来说, Riemann 曲面的亏格不是一个整数, 而是含有曲面的等价类, 这与该词在生物学中, 或二次型理论中的用法类似. 这样在 Clebsch 的说法中, Rieman 球面属于 “第一亏格”, 环面或椭圆曲线属于 “第二亏格”, 等等. 关于更多的历史内容, 让我参照一下在 1881 年 Poincaré和 Felix Klein 之间的通信. 如 Gray [2013, 230 页]所述, Poincaré 问: 在位相分析 (analysis situs) 意义下, 亏格 (Geschlecht) 是什么, 是否是与他本人所定义的亏格 (genre) 一样的东西?

而 Klein 回复道: 位相分析意义下的亏格是曲面上能画出的闭曲线的最大数, 这些曲线不能切分曲面, 与定义曲面的代数方程的亏格是相同的数.

A2.4. Möbius. 从存在于复射影平面中的 Riemann 曲面上离开,转向三维空间中的光滑曲面, 这是一个大的转变, 也让这个主题更加直观. 然而, 我们并不清楚有多少合理性. 今天我们可以用 Morse 理论证明方法, 描述Möbius论证. 使用单位分解, 构造一个 Morse 函数比构造一个在三维空间中的嵌入更容易. 然而, 这样的方法在当时当然是没有的.

请注意, Möbius 的论证本质上利用了定向性. 事实上, Riemann 曲面和三维空间的嵌入闭曲面必然是可定向的. 将 Möbius 的证明调整到不可定向曲面情形, 还要有一定的工作量.

§3. 三维流形

第一个非平凡三维流形的描述确切地出现在 14 世纪: 但丁的《神曲》所述故事就发生在一个可视为拓扑三维球面的地方, 天堂在上穹之极而地狱在下底之极. 可是, 三维流形的数学研究仅开始于 19 世纪末. 为简明起见, 所有流形都假定是可定向的.

3.1 Poul Heegaard, 哥本哈根, 1898 年

Heegaard 证明任意可定向的三维闭流形都能分解成有相同亏格的两个柄体的并集, 它们仅在边界处相交. 换句话说, 我们可以构造一个适用于所有这样的流形模型, 某一柄体 H 的两个复本和将两个边界粘在一起的微分同胚.

Heegaard 的结果很难应用, 因为由给定曲面上保定向自同胚同痕类组成的映射类群非常丰富, 但是它的确提供了理解一般三维流形的重要技巧. 他的定理也导致了对映射类群的研究, 该群本身也是一个重要的对象.

3.2 Poincaré, 巴黎, 1904 年:Poincaré 猜想

这是困扰拓扑学家下一百年的基本问题:

问题.如果一个三维闭流形的基本群平凡, 它一定同胚于标准的三维球面吗?

实际上, Poincaré 在 1900 年的原始猜想是: 有与球面相同的同调的流形同胚于标准球面. 然而在 1904 年, 利用 Heegaard 的方法, 他发现了一个反例. 他的例子是一个有 120 阶有限基本群的光滑三维流形, 可最简单地表示成陪集空间 , 其中 (最小的非交换单群) 是将二十面体变成自身的三维空间旋转群.

3.3 James W. Alexander, 普林斯顿, 20 世纪 20 年代

Alexander 和他的妻子 Natalie

Alexander 带角的球

Alexander 对偶定理说明复形补的同调可通过K的同调计算出来, 这可视为 Jordan 曲线定理的大幅度推广. 例如, 嵌入于n 维球面中的任意一个 n–1 维流形都将球分成两个连通分支. 在中分片线性嵌入二维球面这一特殊情形, 他证明每个分支的闭包实际上都是三维闭球的分片线性复本. 类似地, 对于中分片线性嵌入的环面, 两个补分支至少有一个是实心环.另一方面, 他的如上所示的带角球的例子,后面对于任意拓扑嵌入是不对的. 他也定义了续结的 Alexander 多项式 , 一个基础的不变量.

3.4 Hellmuth Kneser, 格赖夫斯瓦尔德 (Greifswald), 1929 年

考虑定向连通的三维流形, 任取两个都有连通和,

这在相差同构意义下唯一. 还有恒等元素

.

定义 2.流形称为是素的, 如果这是将 M 表示成连通和的唯一方式.

定理 5.每个紧致流形 M 同构于素三维流形的连通和

(许多年之后, 我证明这样的素分解在相差顺序和同构意义下的唯一性, 这一结果变得完备. 见 Milnor [1962].)

3.5 Herbert Seifert, 莱比锡1993年

Seifert 纤维化形成了一类被很好地理解的三维流形, 它们由曲面上的圆周纤维构成, 并允许有有限条特殊限定的奇异纤维.

3.6 Edwin Moise, 密西根大学，1952年

Moise (用大量的研究工作) 证明每个紧致三维流形都可以三角剖分, 这种剖分在分片线性同胚下唯一.

3.7 Christos Papakyriakopoulos, 普林斯顿, 1957 年

三维流形拓扑理论的第一个重要突破来自于 Dehn 引理的证明, 该引理由 Max Dehn 在1910 年声明, 但没能正确地证明.

定理 6. 给定一个从单位方形到的分片线性映射, 并且在边界点附近是单值, 那么一定存在一个分片线性的嵌入, 它在边界附近与一致.

Papakyriakopoulos 的证明使用了巧妙的塔构造, 可简述如下: 像集的正则邻域 N 是一个带边的三维流形. 如果某一边界分支有非零的亏格, 我们可以放在 N 的复迭空间中, 奇异的圆盘被提升到复迭空间中的奇异圆盘. 关键的步骤是提升的圆盘有更简单的奇异, 于是在重复这一步骤有限次之后, 我们会达到亏格零的情形. 从而证明完成. 一个重要的推论如下:

设是一个简单闭的分片线性曲线. 那么 K 不打结当且仅当 .

实际上, 如果 K 是打结的, 会含有子群 , 它来自于K 的管状邻域边界.

3.8 Wolfgang Haken, 慕尼黑, Friedhelm Waldhausen, 波恩, 20 世纪 60 年代

由定义, 在紧致可定向的分片线性三维流形M 中的不可压缩曲面是一个紧致可定向的分片线性曲面 F, 满足:

• 基本 π1(F) 非平凡, 并嵌入于 π1(M ), 并且

• 如果 F 有边, 那么 M 必定有边并且 ∂F ⊂ ∂M .

有这样不可压缩曲面的不可约流形称为 “充分大流形”, 或 Haken 流形. (这里, 不可约是指任意的嵌入二维球面都以三维球体为边界.) 给定一个不可压缩曲面, 再沿着它切开, Haken 在1962 年证明人们可归纳地构造一系列不可压缩曲面, 将流形分成单连通的块. 他从没发表该文章的下一部分, 其中应含有他所做论证的细节. Waldhausen 在1968 年发表了一个完整的论述, 并含有进一步更重要的结果. 特别地, 他证明任意一个闭的 Haken 流形, 在相差一个分片线性同构意义下, 由其基本群唯一决定. (在有边 Haken 流形的情形, 人们还必须考虑对应于边界分支的子群.) 后来, Gordon 与Luecke[1989] 利用这一工作, 证明出素纽结被其补集的基本群唯一决定.

3.9 George D. Mostow, 耶鲁, 1968 年

下面一个重要贡献来自于完全不同的数学领域.

刚性定理.维数≥3的有曲率 K ≡ −1 的闭Riemann 流形, 在相差一个等距意义下, 由其基本群唯一决定.

此结果也被 Margulis 证出, 由 Prasad 扩展到体积有限的完备流形中. 一个重要的推论是:

这种流形的体积也是一个拓扑不变量.

这是一个全新类型的拓扑不变量, 与以前所知的完全不同. 许多其他的同构不变量现在提升成同伦不变量, 如闭测地线的长度和 Laplace 算子的特征值. 然而, 体积是一个特别方便进行研究的不变量.

在 20 世纪 70 年代, Robert Riley, 一个英格兰南安普顿的博士研究生, 研究纽结群到双曲三维空间自同构群 PSL(2, C)的表示, 集中在将纬元和平行于纽结的元素映到群中抛物元素的那些表示. 他发现了几个例子 (包括 8 字型纽结), 其表示不仅将同构地映至PSL(2, C)的子群 , 而且能提升成从纽结补集到商空间的同胚, 这是一个体积有限的双曲流形, 即它在一个常负曲率度量下是完备的, 并且体积有限.

这样, 8 字型纽结在中的补集能被赋予一个体积有限的完备的双曲结构.

依然是在 20 世纪 70 年代, 哥伦比亚大学的 Troels Jørgensen 发现了 PSL(2, C)子群的一些例子, 其商空间是有圆周上纤维丛结构的紧致双曲流形.

3.10 William Thurston, 普林斯顿, 20 世纪 70 年代后期

Thurston 找到了更多的双曲纽结补空间. 他计算了 8 字型纽结补的体积, 通过将其 “三角剖分” 成两个理想等边 3 维单形来进行. (参见Gieseking [1912]. ) 使用可追溯到Lobachevsky 的方法, 该体积是

关于双曲体积, 他的主要结果可叙述如下:

定理 7. 双曲三维流形所有体积值组成的集合是一个良序集, 即其中任何一个非空子集有最小元素. 更进一步, 对任何固定的体积, 最多存在有限多个互不同胚的流形.

实际上, 有 k(k≥1) 个端的任意一个流形的体积是有 k − 1 个端流形体积的递增极限. 想法是每个端等同于一个嵌入复本, 它可以被切掉而用一个实心环以无限个不同的方式替代. 几乎所有这些简化后的流形都能被赋予双曲结构, 它们的体积递增地趋向原来流形的体积.

举一个例子, Whitehead 链环在中的补有两个端, 对应于链环的两个分支. 图中相绕的实心环中的一个或者两个可以挖空并以无限多的方式填充上新的实心环. 在此特殊的情形, 链环的补有双曲体积 V = 3.66386 · · · .

3.11 William Jaco, Peter Shalen, Klaus Johannson, 20世纪 70 年代后期

以这三位命名的 JSJ分解, 是沿着嵌入的球面或环面切割把三维流形分解成更简单小块的方式.

下面是其中的一种叙述.

定理 8. 任意一个不可约的定向三维流形都有一个 (相差同痕) 唯一的互不相交的嵌入不可压缩环面组成的最小集, 使得沿这些环面切开的三维流形分支或者是非环性的 (atoroidal)或者是 Seifert 纤维化.

此处非环性表示, 它不再有不可压缩的嵌入环面.

3.12 Thurston, 1982 年: 几何化猜想

这个大胆的猜想指出每个三维闭流形都由一些有简单几何结构的块组成. 确切地说, 猜想断言每个光滑三维闭流形都可以通过一些嵌入的球面和环分解成若干 , 任意一个都能被赋予局部齐性结构, 使得万有复迭是齐性空间能性.

更进一步, 恰有八种可能性, 其中的三个是经典的几何:

(1)球面 , 有曲率 K ≡ +1. 以为万有复迭的Riemann流行已由 HeinzHopf 在1952年分类.

(2) 欧氏空间 , 有曲率 K ≡ 0. 对应的紧致平坦流形已由 Bieberbach 在 1911 年分类.

(3) 双曲空间 , 有曲率 K ≡ −1. 它是最有趣和最困难的情形.

下面两个几何很容易理解.

(4) . 例如,

(5) . 例如, (双曲曲面).

至于最后三个几何, 将是三维李群, 带有最大对称的左不变度量.

(6) 幂零几何, 有幂零群

.例如, 环面上非平凡圆周丛.

(7) 可解几何, 有可解群

.例如, 圆周上大多数环面丛.

(8) 几何. 例如, 双曲曲面的单位切丛.请注意几何化猜想包含 Poincaré 猜想做为一个特例. Thurston 在许多有趣并且困难的情形证明了几何化猜想. 然而一般的情形, 特别是 Poincaré 猜想, 躲开了他.

3.13 Richard Hamilton, 康奈尔大学, 1982 年

Hamilton 利用微分方程

的 Ricci 流为研究流形的拓扑引入了全新的方法. 这里的是 Riemann 流形在局部坐标下的度量张量, 而是 Ricci 曲率张量. 与热传导方程有些相似, 热量从热的区域流向冷的区域, 使得趋向常温. 同样地, 在 Ricci 流下, 曲率可直观地想象成从正曲率区域流向负曲率区域, 趋向于曲率的一致分布.

如果我们的出发点是严格正 Ricci 曲率的流形, Hamilton 能够做出证明. 这种情形, 度量流向常正曲率的度量, 从而且证明该流形微分同胚于标准的三维球面. 但对于更一般的初始条件,度量会发生复杂的奇点, Hamilton 没能取得更多的进展.

3.14 Grigori Pereleman, 圣彼得堡, 2003 年

通过对Ricci 流所产生奇点的仔细和精巧分析, Perelman 解决了 Hamilton 遇到难题. 一些奇点相对可控, 可以消除. 其他一些对应于将嵌入球面收缩成一点, 于是对应于连通和分解. 同样还有其他的奇点, 对应于环面分解. 最后, 当没有奇点时, 流导致趋于齐性的极限. 以这种方式,我们能完成全部几何化猜想的证明, 包括做为一个特例的Poincaré猜想.

※ 进一步的注记：

A3.1. Heegaard. 如今, 我们习惯于用 Heegaard 分解讨论分片线性流形. (如见Hempel [1976].) 然而, 使用 Smale 型的论证和 “好” 的Morse 函数, 我们同样地可以构造光滑流形的 Heegaard 分解. Heegaard的原始论证的确使用了可微的方法, 但是以一个相当直观的风格.

A3.2. Poincaré. 非平凡 Poincaré 同调球的一个方便模型是球形正十二面体空间, 从一个正十二面体通过等同相对的面得到, 等同过程是球面上的一个移动复合上一个 2π/10 旋转.仔细观察, 由此产生的空间可以赋予常正曲率度量. (参见 Seifert 和 Threlfall [1934].) 不难发现, 它同胚于陪集空间 . 这个陪集空间可以等效描述为: 空间一点对应于中心在原点的正二十面体 (或十二面). 关于十二面体空间相当于 Poincaré原始构造的证明见Cannon [1978].

如同对待 19 世纪的所有数学一样, 我们必须小心, 因为有些词的意义已经改变. 对于 Poincaré, “单连通” 空间是指拓扑上的胞腔或球面, 他的“Betti 数” 是我们的 Betti 数加一.

A3.3. Alexander. 在 20 世纪 30 年代晚期, Alexander 是上同调理论创始人之一, 定义了任意紧度量空间的上同调群. (Alexander 的上同调群是同构于几年后定义的 Cech 上同调群, 虽然构造极为不同.)

我从来没有见过 Alexander, 他从 1951 年在高等研究院退休时, 就隐居起来, 直到他二十年后离世. 也许他想呆在人们的视线之外, 因为麦卡锡时代的政治气候对于他那样的持左翼政治观点的人是很危险的. Alexander 是继承财产的一个百万富翁, 从来没有领取研究院的工资.

A3.4. Kneser. 如果流形 M 非素, 那么它可以被描述为连通和 . 类似地, 如果其中的一个流形不是素的, 则它也可以表示为连通和, 以此类推. 问题是要证明这个构造必定能最终停止. 我在 50 年前试图解决这个问题 (见 Milnor [1962]), 然后如释重负地也是懊恼地发现 Kneser 在我出生之前就解决了它.

Kneser, 像 Bieberbach, Teichmüller 和 Witt 一样, 是纳粹党的早期支持者.

A3.7. Papakyriakopoulos. 他在普林斯顿的大部分时间, 我在那里. 我肯定认识他, 但不记得曾经与他有过交流, 也许我们都很害羞. 他很努力地独自工作, 得到了由 Ralph Fox 设法安排的一个小的资助. 当他的结果发现时, 我全然惊呆了, 我想其他人也会是这样吧. 他的重要结果, 不仅包括 Dehn 引理, 而且还有环路定理, 它是一个更强的版本以及球定理. 球定理断言: 对于满足条件的每一个可定向的分片线性三维流形M , 都可以找到一个分片线性的嵌入球面, 它代表中一个不平凡的元素.

在Papakyriakopoulos之前和之后, 有一个很长的纽结理论的历史. 开始于由P.G.Tait 在19世纪的一次尝试, 接下来有J.W. Alexander, K. Reidemeister 和许多人的工作. 更完备的描述, 可见于: Crowell 和 Fox [1963], Rolfsen [1976], Lickorish [1997] 以及 Manolescu [2014].

A3.10. Thurston.参见 Thurston [1980, 1982], Gromov [1979—1980], 以及 Neumann 和 Zagier [1985].

哪些数可成为双曲三维流形的体积? 这样的数论将会是很有趣.(例如, 见 Borel [1981] 和 Zagier [1986], 还有我在 Thurston [1980, 第 7 章]中的评述).

与 Thurston 交谈使我感到非常好奇, 我是典型地对他的数学断言持怀疑态度的人. 他的断言经常是非常疯狂, 但他却从未出错.

§4. 四维流形

复二维代数簇, 也就实的四维流形, 早期研究者有Picard 与 Simart [1897, 1906], Poincaré [1904], Enriques [1905], Lefschetz [1924]. 物理学家感兴趣的四维流形, 是那些可能做为时空模型的一类 (见 Friedman [1922]) .然而除了Seifert与Threlfall [1934] 中的一些少数内容之外, 一般四维流形的正式的拓扑学研究在 20 世纪 50 年代才开始.那时, 一般地认为 n 维流形的拓扑会随着 n 增加而越来越难, 这到四维为止的确是正确的.

4.1 A. A. Markov Jr., 莫斯科, 1958 年

Markov 对四维流形的研究做出了一个破坏性的贡献.

定理 9. 对于 n≥4, 在同胚意义下分类 n 维流形是算法上不可解的.

这里说一下证明概要,为简单起见取 n = 4.

给定一个群表现 P , 有 p 个生成元和 q 个关系, 构造一个相应的四维流形M (P) 如下: 从 p 个的连通和开始, 挖去 q 个互不相交的 , 代表q 个关系. 然后, 在每个挖空处填充上一个 , 从而消掉基本群中对应元素. 现在设 P' 是由 P 加上 p 个平凡关系“1” 所得的表现,Markov 证明 M (P') 同胚于 q 个连通和当且仅当相应的群平凡. 因为有限表现群的平凡性问题是算法不可解的 (见 Adyan [1955]), 所以结论成立.

因此, 分类四维流形定理, 我们只能希望建立在有已确定基本群的流形中.

4.2 J. H. C. Whitehead, 牛津, 1949 年

近期, Whitehead 在同伦型意义下分类了四维复形. 应用于流形, 他的结果有如下推论 (参见Milnor[1958].).

推论1.单连通的定向四维闭流形, 在同伦型意义下, 由如下的相交形式

决定. 这个形式是对称、双线性和幺模的 (即: 其行列式为 ±1).

这种对称双线性形式的分类是数论中重要而不平凡的问题. 不定形式的分类是容易的, 而正定的情形极困难, 因为不同形式数随着秩数极快地增长.

例如, 由 Carl Ludwig Siegel 的工作可知, 有多于 904, 000, 000 个不同的秩为 30 的正定幺模的形式.

4.3 Vladimir Rokhlin, 莫斯科, 1952 年

下面的结果是理解高维流形的重要一步, 亦是微分拓扑的开端.

定理 10. 如果一个光滑四维闭流形有正定的相交形式, 并且自相交数 u·u≥0 仅取偶数, 那么该形式的秩 (即中间维数的Betti 数) 能被 16 整除.

与之形成对比的是, 一个仅取偶数值的正定幺模形式的秩可以是 8 的任意倍数. 最简单的非平凡例子可由 E8 的 Dynkin 图来表示, 如下所示

这里的每个圆点都表示有自相交数 u·u = 2 的基向量, 两个相异基向量的相交数, 在有连线时是 +1, 在其余情况是 0. 因此, 没有光滑四维闭流形以这个对称双线性形式为相交形式.

在当时, 限制到光滑流形似乎像一个小的技巧,但最终成为一个关键.

4.4 Michael Freedman, 加州大学圣迭戈分校, 1982 年

定理 11. 单连通定向四维闭流形在同胚的意义下唯一决定于

• 它的相交形式, 和

• 它的 “Kirby-Siebenmann 不变量”. 这是一个中的元素, 在光滑流形情形总是零.

更进一步, 任意一个对称双线性的幺模形式都能被拓扑流形实现.

由此特别会得出, 存在着许多拓扑四维闭流形, 它们有偶的正定形式, 其秩模 16 是 8. 按照Rokhlin 的结论, 这类流形 M 在如下更强的意义下没有光滑结构.

与 M 有相同伦型的四维流形都没有光滑结构.

Freedman 的证明基于极端不可微的方法, 并含有 grope 这一概念.(概念以及示例说明, 都归于 Cannon [1978].)

4.5 Simon Donaldson, 牛津, 1983 年

Donaldson 利用完全不同的方法证出一个神奇的结果.

定理 12.如果说一个光滑的单连通四维闭流形 M 有正定的相交形式, 那么该形式是可对角化的.

这样, 加上 Freedman 的结果, M 必然同胚于连通和

要说明这两个结果的鲜明对比, 请注意:

推论2. 在超过 904, 000, 000 个有秩为 30 正定相交形式的拓扑流形同胚类中, 仅有一个能被光滑流形表示.

Donaldson 的证明是基于 “瞬子 (instanton)” 研究, 这是来自数学物理的启发. 所用的拓扑学很少, 但有大量的深刻的分析学.

4.6 Clifford Taubes, 哈佛, 1987 年

很多数学家注意到, 将 Freedman 的核心拓扑和Donaldson 的分析方法相结合有着更奇妙的推论.(参见 Gompf [1983, 1993].) 现举一个来自于 Taubes 的例子:

定理 13.欧氏空间能被赋予不可数多个互不相同的微分结构.

与之相反, 对于 n≠4, 在微分同胚意义下有唯一的微分结构. 因此, 维数4 与其他维数确定不同!

4.7 结语: 接下来会是什么?

关于光滑四维流形, 依然有很多内容要了解. 光滑的 Poincaré 猜想在四维是一个诱人的未解决问题. (参见Freedman, Gompf, Morrison和Walker [2010]) 让我们看一下在其他维数都知道什么:

对于 n≥1, 容易看出同胚于 n 维球面的保向微分同胚类在连通和运算下, 形成一个交换并结合的半群 .

定理 14 (Kervaire 和 Milnor). 对于 n≠4, 该半群实际上是有限交换群.

可是, 半群全然未知: 它平凡吗? 若不平凡, 它是个群吗? 它多大? 若不是一个群, 它是什么样的半群?

※ 进一步的注记：

A4.2. Whitehead. 更多的细节, 参见 Whitehead [1949a] 以及Milnor [1958]. Whitehead 是一个很好的朋友, 是我所见过的以养猪为爱好的唯一数学家.

对称双线性形式 , 其中 x 和 y 取值于自由交换群 , 通常等同于二次型. 有关这种形式的综述, 见 Serre [1970] 或Milnor 和 Husemoller [1973]. 由定义,如果两个形式有相同的秩和符号差 (这说明它们在实数域上同构), 并且它们对任意 n 是模 n 同构的, 则称它们有相同亏格. 在幺模情形, 若固定秩 r 和符号差 σ, 仅有两种亏格:“偶”, 仅取偶数值; “奇”, 取奇或偶数值. 这些不变量仅有显然的限制条件 |σ|≤r 和 σ≡r(mod 2), 及不大显然的条件: 在偶的情形有 σ≡0(mod 8). 实际上, 在不定的幺模情形, 亏格是完全的同构不变量. 可是, 在定号的情形下， Carl Ludwig Siegel 关于亏格 “质量” 的解析计算得出了相异同构类个数的很有用的下界. 由定义, 质量是对该亏格所有同构类 Φ 求和, 并除以 |Aut(Φ)|, 其中 |Aut(Φ)|≥2 是代表二次型自同构群的阶数.

A4.3. Rokhlin . Rokhlin 定理 (使用现代记号) 的最初形式是:一个带有 Stiefel-Whitney 类w2 = 0 的四维流形一定有被48 整除的Pontryagin 类p1. 事实上, Pontryagin 数p1[M4]等于三倍的符号差. 在单连通的情况下, 相交形式是偶的当且仅当 w2 = 0. 他的基于示性类之间的关系、配边、以及低维球面的同伦群的证明, 激发了微分拓扑研究的新领域. (René Thom 配边的完整理论两年后才发表.) 关于进一步发展, 见 Kervaire 和 Milnor[1960] 或Hirzebruch [1966, 199 页]. Rokhlin 也因遍历理论中的贡献, 而为人所知.

Rokhlin 的人生相当坎坷. 他的父亲在斯大林的大清洗中于 1941被处决, Rokhlin 自己在保卫莫斯科战斗中受伤, 在德国的一个战俘营被囚禁了一年或两年, 之后设法逃脱并最终加入苏联军队. 战争结束后, 他又被关在一个苏联营地中一年多的时间, 因为斯大林对返回的战争囚犯是非常怀疑的. 最后, 经过 Kolmogorov 和 Pontryagin 的调解, 他被释放并担任了一段时间的 Pontryagin 助手. 在 1952 年, 有传言说所有少数民族的犹太人将被驱逐到远东, 他找到一个更安全的地方: 在北部的阿尔汉格尔斯克林业研究所. 在那里, 他在一个很低的位置上度过了几年. 最后, 于 1959 年他得到在列宁格勒州立大学的职位. 在那里, 他的学生有: Yakov Eliashberg, Mikhail Gromov, Anatoly Vershik 和 Oleg Viro.

A4.4. Freedman.在 “偶” 相交形式的情形下, Freedman 的定理更准确地说明 Kirby-Siebenmann 不变量可以视为 σ/8(mod 2), 其中 σ 是符号差. 另一方面, 在 “奇” 的情形下,Kirby-Siebenmann 不变量和相交形式都可以独立地变化. 因此, “最简单” 的非光滑例子有与复射影平面相同的伦型.

Kirby-Siebenmann 不变量做为的一个上同调类, 定义更一般的任意维数的拓扑流形上. 在严格大于 4 (或当 M 有边时, 大于 5) 的维数情形下, 该变量为零当且仅当流形有一个局部分片线性同胚于欧氏空间的三角剖分. (在四维流形情形, 我们仅可以说: 它消失当且仅当 M × R 有这样一个三角剖分.) 类似地, 给定分片线性流形的两个复本 M × 0 和 M × 1的三角剖分, 有一个在中的关于扩充三角剖分到分片线性流形 M × [0, 1] 上的阻碍.

Freedman的原始证明是基于 Casson 柄体这一概念 (或称 “柔性柄体”), 加厚的 2 维圆盘的一个变种. 本节图中说明了相关的概念 grope, 这归功于Cannon[1978]. 参见Kirby[1989] 或 Scorpan[2005] 中的阐述.Freedman 的非光滑流形对我来说是很神秘的事物. 我们知道他们的存在, 但似乎对其中的任何一个, 都不可能构建一个完全明确的描述.

近年来, Freedman 已成为一位应用拓扑学家, 他是微软的 Q 工作间(Station Q) 的负责人, 这个部门试图用拓扑的想法建立一个能运行的量子计算机.

A4.5. Donaldson. 这是关于 Donaldson 论证的一个非常粗略的轮廓. (参见Donaldson[1983, 1983b], Donaldson 和Kronheimer [1990].)

给定一个有正定相交形式的四维 Riemann 流形 M , 他选择 M 上一个特定的 SU2 丛, 考察丛上所有 “自对偶” 联络 (或 “瞬子”) 组成的空间, 模去将每一根纤维都映射到自己的规范自同构群. 利用 Cliff Taubes 和其他人的工作, 他发现这个空间除去 n 个奇异点外, 是一个五维光滑流形, 其中 n 满足条件的点对的个数. 这个五维流形可通过在无穷远处添加一个 M 的复本来紧化. 此外, 每个奇异可以被描述为一个复射影平面上的锥, 适当取定向. 这产生 M 和的 n 个复本无交并之间的一个配边. 这样一个配边的存在意味着 M 的符号差恰好是 n, 由此很容易得出相交形式可对角化.

A4.6. Taubes. 见 Taubes [1987] 以及 Freedman [1984], Gompf [1983, 1993], De Michelis 和 Freedman[1992].

我不打算描述颇为技术性的 Taubes 构造, 但我会粗略地描述下上怪微分结构的一个例子.

引理 2. 存在一个光滑四维闭流形 M , 及一个拓扑上的连通和分解 , 使得两个拓扑流形中至少有一个没有任何光滑结构.

证明. 设是 Kummer 曲面 . K 的相交形式已知是偶型的, 秩是 22, 符号差是 −16. 以 −K 记相同的流形,但取相反的定向. 从 Freedman 的定理很容易得出 −K 保向同胚于五重拓扑连通和 X#X#Y#Y#Y , 其中X是Freedman的E8 流形, 它没有微分结构而 . 于是结论成立.

推论3. 两次穿孔的四维球面上存在一个可微结构, 具有以下性质:没有光滑嵌入的三维球面可以分开这两个孔.

证明. 由引理 1, 存在在 M 中的一个拓扑嵌入, 它分离M 的两个因子M1 和 M2. 现在给的这一拓扑嵌入复本赋予继承于 M 的微分结构. 如果有一个光滑嵌入的在 M 的这个子集中并且分离两个拓扑边界, 那么我们可以沿这个球面切开M , 然后补上两个四维球体, 所得两个新的光滑流形分别同胚于M1 和 M2. 但由假设, 这是不可能的. 由于是微分同胚于两次穿孔的四维球面, 这就完成了证明.

下一步要困难得多. 以记 X#X 与的 n 个复本的连通和. 取 n₀ 是使有微分结构的最小值. (因此, 由 Donaldson 定理知: 1≤n₀≤3.)

引理 3 (Freedman). 存在一个紧致子集有如下性质:

• 补集同胚于 ,

• Q 在中的某一邻域 V 能光滑地嵌入中做为其子集, 其中 .

我不准备描述证明: 像 Freedman 的主要定理的证明一样, 它涉及高度非光滑结构.

假设有引理 2, 开集 U 做为子集的继承的微分结构, 它就是想要的怪 R4. 事实上, 如果 U 微分同胚于普通 , 那么它将是一个递增序列的并集, 其中每个 Bj 都是四维单位闭球的光滑嵌入复本. 对于很大的j, 边界 ∂Bj 将包含在 V 内, 因此会映射到中的一个光滑嵌入的球面. 该球面将分离 , 使成为不可能的光滑连通和.

有很多关于四维流形微分结构和微分同胚不变量的文献, 例见Friedman 和 Morgan [1989], Salamon [1999] 以及 Morgan [2003].

A4.7. 接下来会是什么?在 20 世纪 60 年代, 人们惊奇地发现, 维数 4 和 3 是最困难的情形, 再高的维数却更容易. 关于这种现象一些解释, Freedman [1984]. 高维流形的一个简要综述在 Milnor [2011] 中给出, 特别是文中的表 2 和 3 描述了的精确结构, 其中 1≤ n≤63 并且 n≠4.

§5. 致谢

本文是在 Araceli Bonifant, Lucienne Pereira, Ragni Piene, AndrewRanicki 和 Scott Sutherland 的帮助下完成的. 同时感谢 Thomas Costa, Michael Freedman, Susan Friedlander, Etienne Ghys, Claude Le-Brun,Misha Lyubich, Marius Thaule, Oleg Viro, 瑞士数学会, 和 St. Petersburg 数学会. 最后感谢挪威科学研究院的支持信以及首尔 ICM 组委会组织的鼓励大会.

跨世纪的拓扑学：低维流形