蜜蜂……凭借某种几何学的先见之明……知道六边形比四边形和三角形更大，耗费同样的材料可以储藏更多的蜂蜜。

——亚历山大城的帕普斯

应用数学

今天，我们使用“希腊数学”这个约定俗成的词语，就好像它标示了一个类型相同、界定明确的学说实体一样。然而，这样一种看法很有误导性，因为它暗示了，阿基米德—阿波罗尼奥斯那类深奥微妙的几何学是希腊人所知道的唯一一种几何学。我们必须记住，希腊世界的数学横跨了一段漫长的时间，至少是从公元前600年到公元600年，而且，它从爱奥尼亚一直传播到了意大利的末端，传播到了雅典、亚历山大城及文明世界的其他地区。单单是时间和空间上的跨度，就足以给数学活动带来深度和广度上的改变，因为希腊科学并没有人们在前希腊思想中找到的那种千百年来一成不变的同一性。此外，即便在希腊世界中（就像在我们今天的文明中一样）任何一个给定的时间和地点，数学的兴趣和成就在水平上也存在明显的差异。我们已经看到，即使在一个人——比方说托勒密——的作品中，也可能存在两种类型的学问——为“坚定的”理性主义者撰写的《至大论》，以及为“空想的”神秘主义者撰写的《四书》。有可能，始终存在至少两种水平对数学的理解，但少量幸存下来的作品，尤其是低水平上的作品，往往掩盖了这一事实。本章标题所使用的词语，我也是破费踌躇才勉强接受的，因为，尽管从我们对希腊世界的了解来看，它还是有道理的，但我们的知识远远谈不上完备。本章所讨论的这一时期，从托勒密到普罗克洛斯，涵盖了差不多4个世纪（从公元2世纪到6世纪），但我们的描述大部分只是基于两部主要专著，它们也只有部分内容如今尚存于世，同时还基于大量不那么重要的作品。

海伦和托勒密都是希腊学者，但他们生活在一个政治上受罗马控制的世界。阿基米德的死于罗马士兵之手可能并非故意，但它确实是一个不祥之兆。在其整个漫长历史中，古罗马对科学或哲学的贡献不大，对数学的贡献更小。无论是在共和国时期，还是在帝国时代，罗马人对纯理论的或逻辑的研究都没有多大兴趣。医学和农业的实用技术得到了还算热心的培养，描述性的地理学颇受青睐。令人印象深刻的工程项目和建筑杰作涉及到科学的那些更简单的方面，但罗马建筑师满足于初步的经验步骤，在理解希腊思想的巨大宝库方面所需不多。罗马人熟悉科学的程度，可以从维特鲁威的《建筑十书》（De architectura）来判断，这本书写于奥古斯都时代的中期，是专门献给这位皇帝的。在书中的某个地方，作者描写了三个在他看来是最伟大的数学发现：立方体的边与对角线的不可公度；以3、4、5为边长的直角三角形；阿基米德对王冠构成部分的计算。作者马可·维特鲁威·波利奥对测量仪器和设计近似测量法的问题特别感兴趣。一个直径为4英尺的轮子，维特鲁威给出的周长是121/2英尺，这意味着π的值是31/8。这个近似值还不如阿基米德的近似值，对阿基米德的作品，维特鲁威大概只是略有所知，但对于罗马人的目的来说，这样的精确度就相当不错了。偶尔有人声称，那些令人印象深刻的工程杰作，比如埃及人的金字塔和罗马人的高架渡槽，意味着很高水平的数学成就，但历史证据并没有证实这一点。正如早期的埃及数学比同一时期的巴比伦数学水平更低一样，罗马的数学比同一年代的希腊数学水平低得多。罗马人几乎完全缺乏数学动力，所以他们最棒的努力，比如维特鲁威的努力，也比不上希腊最差的成果，比方说海伦的作品。

亚历山大城的丢番图

我们已经看到，希腊数学并非一律都处在很高的水平上，因为在公元前3世纪的光荣时期之后，紧接着是一次衰微，在某种程度上，衰退的势头大概在托勒密时代得到了遏制，但直到“白银时代”的那一百年（大约从公元250年至350年），趋势才得以有效逆转。在这一时期刚开始的时候，也被称作“亚历山大时代的晚期”，我们发现了首屈一指的希腊代数学家：亚历山大城的丢番图；到这一时期快要结束的时候，出现了最后一位重要的希腊几何学家：亚历山大城的帕普斯。没有任何一座城市像亚历山大城这样，在如此漫长的一段时期里一直是数学活动的中心，从欧几里得（约公元前300年）的时代一直到希帕蒂娅（卒于公元415年）。它是世界性的中心，源自亚历山大时代学术的数学，并非全都是同一种类型。海伦的成果与欧几里得、阿波罗尼奥斯或阿基米德的成果显著不同，而在现存的丢番图的作品中，又有一次突如其来的对希腊古典传统的背离。对丢番图的生平，我们完全没有把握，以至于我们不知道他究竟生活在哪一个世纪。人们一般认为，他的鼎盛时期大约在公元250年前后，但也有人认为比这个日期早一个世纪或晚一个世纪。据传说，在一部出自5世纪或6世纪名为《希腊诗文选》（Greek Anthology）的难题集中，有下面这样一段记述：

上帝赐予他的孩提时代占他一生的六分之一，又过了十二分之一，他的脸颊上长出了稀疏的胡须；再过七分之一，他结婚了，五年后得子。唉！这个姗姗来迟的孩子，只活了他父亲一半的寿命，冷酷无情的命运之神便带走了他。这样，丢番图只有在数的科学中寻找慰藉，度过了他生命的最后四年。

如果这个谜语从历史的意义上来说是准确的话，那么，丢番图应该活到了84岁。显然不能把这个谜语看作是丢番图感兴趣的典型难题，因为他很少关注一次方程。

尼科马库斯

丢番图常常被称作代数之父，但我们应该认识到，这样的称号并不确切。他的作品根本不是构成现代初等代数基础的那种类型的材料；它跟我们在欧几里得那里找到的几何代数也没有什么相似之处。我们所知道的丢番图的主要作品是《算术》（Arithmetica），这本专著最初有十三卷，其中只有六卷幸存了下来。我们应该还记得，在古希腊，算术这个词意思是数论，而不是计算。希腊人的算术常常跟哲学、而不是跟我们所认为的数学有更多的共同之处；因此，这一学科在亚历山大时代晚期的新柏拉图主义中扮演了一个重要角色。迦拿撒的尼科马库斯的《算术导论》（Introductio arithmeticae）尤其如此。尼科马库斯是一位新毕达哥拉斯学派的学者，约公元100年前后生活在耶路撒冷附近。这位作者有时候被认为有叙利亚人的背景，但希腊哲学的倾向无疑在他的作品中占主导地位。就我们所拥有的文本来看，尼科马库斯的《算术导论》只包含两卷内容，这很有可能只是一个节本，起初的内容想必更广博。无论如何，本事例中可能的损失，远没有丢番图的《算术》中七卷书的散佚那么让人惋惜，因为这两位作者之间存在一个不同的世界。就我们所能了解到的而言，尼科马库斯并没有多少数学才能，他只关注数的最基本的属性。他那部作品的水平如何，可以从下面这个事实来判断：作者发现，列出一个直到ι的ι倍（也就是10的10倍）的乘法表是一种很方便的办法。如果这是真的，而不是后来的篡改，那么，尽管有很多更古老的巴比伦人的乘法表现存于世，它还是现存最古老的这样一张表的希腊实例。

尼科马库斯的《算术导论》从毕达哥拉斯预先对数进行的分类开始，即把数分为偶数和奇数，再分为偶偶数（2的幂）、偶奇数（2^n ·p，这里p是奇数，且p＞1，n＞1）和奇偶数（2·p，这里p是奇数，且p＞1）。定义了素数、合数和完全数，包括对埃拉托斯特尼筛选法的描述，并列出了前4个完全数（6、28、496和8128）。这部作品还包括了比和比的组合的分类（因为整数比在毕达哥拉斯的音程理论中是必不可少的），对二维和三维垛积数的大量论述（在毕达哥拉斯学派的算术中，垛积数显得特别突出），以及对各种平均数的广泛描述（这在毕达哥拉斯哲学中又是一个深受青睐的论题）。像其他一些作者一样，尼科马库斯也把3视为严格意义上的第一个数，因为1和2实际上只是数字系统的生成元。在尼科马库斯看来，数字还被赋予了好与坏、老与少这样的性质；它们还可以传递品格，就像父母传递给他们的后代一样。尽管有这样的算术拟人化作为背景，但《算术导论》依然包含了还算比较精致的理论。尼科马库斯注意到，如果把奇数按照这样一种方式组合：1；3＋5；7＋9＋11；13＋15＋17＋19；…，那么，这些和依次是整数的立方。这一观察结果，再加上毕达哥拉斯学派早期的认识：前n个奇数之和是n2

，导致了这样一个结论：前n个完全立方之和等于前n个整数之和的平方。

尼科马库斯的《算术导论》既不是论述算术的专著，也不是论述代数的专著，而是一本关于数学中这两种成分的手册，对于理解毕达哥拉斯学派和柏拉图学派的哲学来说必不可少；它实际上为后来的模仿者和注释者充当了一个典范。这些人当中，最有名的包括士麦那的塞翁（约生活于公元125年前后），他用希腊文写了一部《阐释》（Expositio），和波伊提乌（卒于公元524年），他用拉丁文写了一部《算术》（Arithmetica）。这两个人像尼科马库斯一样，也更多地关注算术对音乐和柏拉图哲学的应用，而不是关注该学科本身的进步。事实上，《阐释》的完整标题显示，它所阐释的是对理解柏拉图有用的数学问题。例如，它解释了由数字1、2、3、4构成的数的四重体或称“神圣四数组”包含了所有的音乐和声，因为它组成了4∶3、3∶2、2∶1、3∶1和4∶1几个比。波伊提乌的《算术》完全不是原创，几乎是对尼科马库斯更早作品的翻译。

丢番图的《算术》

跟尼科马库斯、塞翁和波伊提乌的作品完全不同的是丢番图的《算术》，这部专著以高度的数学技巧和独创性为特征。在这方面，这本书可以跟亚历山大时代早期的伟大经典相媲美；然而，它跟那些经典几乎毫无共同之处，或者说，实际上跟任何传统的希腊数学毫无共同之处。它本质上代表了一个新的分支，利用了完全不同的研究方法。它脱离了几何的方法，在很大程度上类似于巴比伦人的代数。但巴比伦数学家主要关注确定方程（最高至三次）的近似解，而丢番图的《算术》（就我们所看到的而言）几乎完全致力于方程（既包括确定方程，也包括不定方程）的精确解。由于《算术》中特别强调不定问题的解，因此，处理这一论题的学科——有时被称为不定分析——打那以后一直被称作“丢番图分析”。由于这种类型的作品今天通常是数论课程、而不是初等代数的组成部分，它不是把丢番图视为代数之父的一个恰当的基础。然而，还有另外的方面，就此而言，他的代数之父的身份还是有道理的。如今的代数几乎完全是建立在符号化表述形式基础上的，而不是以平常交流所使用的习惯性的书写语言为基础，而早期的希腊数学和希腊文学都是用这样的书写语言来表述。据说，代数的历史发展可以识别出三个阶段：（1）修辞阶段或早期阶段，在这一阶段，每一样东西都用单词完整地写出来；（2）缩写阶段或中间阶段，在这一阶段，有些缩写被采用；（3）符号阶段或最后阶段。这种把代数发展随意划分为三个阶段的做法，当然是一种貌似有理的过于简单化；但对于实际上发生的事情，它可以有效地充当第一近似值，在这样一个框架内，丢番图的《代数》可以被归到第二类。

在《代数》一书整个幸存下来的六卷中，将数的幂、关系和运算都系统地使用了缩写。一个未知数被一个类似于希腊字母ζ的符号（大概是arithmos［数字］一词的最后一个字母）所代表；这个数的平方被记为Δ^γ，立方是Κγ，四次方（被称作平平方）是Δ^γ Δ，五次方或平立方是ΔΚ^γ ，六次方或立立方是Κ^γ Κ。当然，丢番图熟悉相当于我们的指数定律的组合规则，他有专门的名字来表示未知数前六次幂的倒数，即相当于我们的负次幂的量。数的系数被写在表示幂的符号的后面；各项的加法按照代表各项的符号的恰当并列来理解，加法被一个置于被减项之前缩写字母所代表。有了这样一种表示法，丢番图便能够几乎像我们今天一样简洁地写出一个未知数的多项式。例如，表达式2x^4 ＋3x³ －4x² ＋5x－6，可以表现为相当于SS2C3x5MS4u6的形式，式中，英文字母S、C、x、M和u分别被用来代表“平方”“立方”“未知数”“减号”和“单位”，并用我们现在的阿拉伯数字取代了丢番图时代所使用的希腊字母记号。希腊代数如今不再局限于前三次幂或三维，丢番图的作品中出现了恒等式：（a² ＋b² ）（c² ＋d² ）＝（ac＋bd）² ＋（ad－bc）² ＝（ac－bd）² ＋（ad＋bc）²

，这些恒等式在中世纪代数和现代三角学中起了重要作用。丢番图的缩写法与现代代数的符号表示法之间的主要差别是缺少代表运算和关系的特殊符号，以及缺少指数表示法。符号表示法中这些缺少的元素，主要是欧洲从15世纪末到17世纪初那段时期的贡献。

丢番图难题

如果我们主要考虑符号表示法的问题，那么丢番图完全有资格被称作代数之父；但就动机和概念而言，这一资格就不那么充分了。《算术》不是对代数运算的系统阐述，也不是对代数函数或代数方程的解的系统阐述。反而，它是一本难题集，大约包含了150个难题，尽管大概打算进行方法上的一般化，却全都是用明确的数字实例来解答。没有基本原理上的发展，也没有作出努力以找出所有可能的解。在有两个正根的二次方程实例中，仅仅只给出了较大的根，负根没有被认识到。没有在确定方程和不定方程之间没有做出明确的区分，而且，对后者（其解的数量通常是无限的）甚至只给出一个答案。丢番图解出了涉及几个未知数的难题，通过巧妙地尽可能按照只有一个未知量的方式来表达所有未知量。《算术》中有两个难题可以形象地说明丢番图的方法。有一个问题是求两个这样的数，它们的和是20，它们的平方之和是208，这两个数字没有用x和y来表示，而是表示为10＋x和10－x（用我们现代的符号表示法）。那么，（10＋x）² ＋（10－x）²

＝208，因此x＝2；于是，求得这两个数是8和12。丢番图还处理了一个类似的问题，在这个问题中，两个数之和与它们的立方之和分别被给定为10和370。

在这些难题中，丢番图处理的是一个确定方程，但他所使用的方法，跟不定分析中的方法颇为相同。在一个难题中，要求这样两个数，任意一个数加上另一个数的平方都会产生一个完全平方。这是丢番图分析的一个典型实例，在这里，只有有理数才是可以接受的答案。在解这个难题的过程中，丢番图没有把这两个数分别称作x和y，而是分别表示为x和2x＋1。在这里，当第二个数加上第一个数的平方时，会产生一个完全平方，不管你为x选择什么值。好了，现在还需要（2x＋1）² ＋x必须是一个完全平方。这里，丢番图没有指出可能的答案有无穷多个。他仅仅满足于选择一个完全平方的特例，在本例中，这个数字是（2x－2）² ，这样一来，当你使它跟（2x＋1）² ＋x相等的时候，这个方程就是一个求x的线性方程。在这里，结果是x＝3/13，因此另一个数2x＋1就是19/13。你当然也可以使用（2x－3）² 或（2x－4）² ，或者类似形式的表达式，而不是（2x－2）² ，从而得出另外一对数，同样具有上述属性。这里我们看到了丢番图的作品中那种接近于“方法”的途径：当两个条件要由两个数字来满足的时候，选择能够使其中一个条件得到满足的两个数字，然后就转向满足第二个条件的问题。亦即，不是同时按照两个未知数来处理方程。丢番图依次处理两个条件，这样就只有一个未知数出现在作品中。

丢番图在代数学中的位置

在《算术》的不定方程问题当中，有一些涉及到像x² ＝1＋30y² 和x² ＝1＋26y² 这样的方程，它们就是所谓的“佩尔方程”x² ＝1＋py² 的实例；再一次，一个答案被认为足够了。在某种意义上，批评丢番图只满足于一个答案并不公平，因为他解答的是难题，而不是方程。在某种意义上，《算术》并不是一本代数教科书，而是一本代数应用的题集。就这方面而言，丢番图像巴比伦的代数学家一样；他的作品有时候还被视为“最美的开花”（斯威夫特，1956）。在某种程度上，这样的描述对丢番图不公平，因为他的数完全是抽象的，没有像埃及人和美索不达米亚人的代数那样，提到谷粒的测量、田地的尺寸或货币单位。此外，他只对精确的有理解感兴趣，而巴比伦人倾向于计算，并乐意接受方程的无理解的近似值。因此，三次方程很少进入丢番图的作品，而巴比伦人所关注的，是把三次方程简化为标准形式：n³ ＋n² ＝a，为的是通过插入的n³ ＋n² 值表来求得近似解。

我们不知道《算术》中的难题最初究竟有多少，也不知道丢番图是否借鉴了其他的类似难题集。很可能，有些难题可以追踪到巴比伦的来源，因为难题和练习有一代代重复出现的情况。到我们今天，丢番图的《算术》看上去非常有原创性，但这一印象很可能缘于竞争题集的散佚。我们对希腊数学的看法，源自于相对较少的幸存作品，由此得出来的结论必然是靠不住的。有迹象表明，丢番图可能并不是一个像我们想象的那样孤立的人物，这些迹象可以在一本大约出自公元2世纪初期的题集（因此大概早于《算术》）中找到，这本题集中出现了丢番图所使用的一些符号。尽管如此，丢番图对现代数论的影响依然要比希腊其他的非几何代数学家的影响要大。特别是，费马在试图对他在丢番图的《算术》中所读到的一个问题（II.8）进行一般化的时候，提出了他著名的“大”定理或“最后的”定理（参见后文）：把一个给定的平方分成两个平方。

亚历山大城的帕普斯

丢番图的《算术》是一部杰出的作品，无愧于使它得以产生的那个复兴时期；但就动机和内容而言，它远离了亚历山大时代初期几何三巨头的那些逻辑优美的专著。代数似乎更适合于解题，而不是演绎性的阐述，结果丢番图的伟大作品一直处在希腊数学的主流之外。丢番图另外一部论述多角数的次要作品更接近于早期希腊人的兴趣，但即便是这部作品，也不能认为接近于希腊的逻辑理想。自从阿波罗尼奥斯在大约400多年前去世以来，古典几何找不到热心的支持者，梅涅劳斯可能是个例外。但在戴克里先统治时期（284～305），又有一位生活在亚历山大城的学者，被欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯所拥有的那种精神所影响。亚历山大城的帕普斯大约在公元320年撰写了一部题为《数学汇编》的作品，这部作品很重要，理由有好几个。首先，它提供了最有价值的关于希腊数学的历史记录，要不是因为这部著作，这些内容我们不可能知道。例如，正是在《数学汇编》第五卷中，我们知道了阿基米德对13个半正多面体（或称“阿基米德多面体”）的发现。其次，《数学汇编》还包括了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯的作品中一些命题的可选证明和补充引理。最后，这部专著包括了一些在任何早期作品中都找不到的新的发现和一般化。帕普斯最重要的专著《数学汇编》共有八卷，但第一卷和第二卷的第一部分今已失传。这一回的散佚，不像丢番图《算术》最后几卷的失传那么让人惋惜，因为《数学汇编》前两卷所关注的似乎主要是阿波罗尼奥斯关于希腊计算中的四元组体系的原理。由于我们已经在《数沙术》（SandReckoner）中有了阿基米德的相应的八元组体系，我们完全可以判断帕普斯的阐述中散佚的这些材料是什么。

《数学汇编》

《数学汇编》的第三卷显示，帕普斯也像古典时期的希腊人一样，欣赏几何中逻辑严密性的精细准确。因此，他明确地区分了“平面”“立体”和“线性”问题——平面问题只能用圆和直线来构造，立体问题可以通过圆锥截面来解决，线性问题需要不同于直线、圆和圆锥曲线的其他曲线。接下来，帕普斯描述了古代三大著名问题的某些解法，立方体加倍和三等分角属于第二类或立体类问题，化圆为方是线性问题。帕普斯这里实际上是在强调这样一个事实：这几个古典问题不可能按照柏拉图的条件来解决，因为它们都不属于平面问题：但严格的证明直到19世纪才给出。

图　11.1

帕普斯在第四卷中，再一次坚持认为，对一个问题应该给出适合它的作法。也就是说，不应该用线性轨迹来解决一个立体问题，也不应该用立体轨迹或线性轨迹来解决一个平面问题。他声称，三等分角是一个立体问题，他因此暗示了利用圆锥截面的方法，而阿基米德在一个实例中使用了斜向法，或者说是滑动尺式的作法，而在另一个实例中则利用了螺线，它是一条线性轨迹。帕普斯的一种三等分角的作法如下：设给定角AOB被置于一个以O为圆心的圆中（图11.1），OC是角的等分线。画双曲线，以点A为一个焦点，以OC为相应的准线，且使偏心率等于2。那么，这条双曲线的一个分支便会与圆相交于点T，而∠AOT等于∠AOB的三分之一。

帕普斯提出的第二种三等分角的作法利用了等轴双曲线，作法如下：设给定角AOB的边OB是矩形ABCO的对角线，通过A作等轴双曲线，以BC和OC（延长线）为渐近线（图11.2）。以A为圆心、以OB的两倍为半径画圆，与双曲线相交于点P，并从P做PT垂直于CB的延长线。那么，很容易从双曲线的属性证明，通过点O和T的直线平行于AP，而且∠AOT等于∠AOB的三分之一。帕普斯没有给出他的三等分角作法的来源，我们不得不怀疑阿基米德是不是知道这种三等分角的作法。如果我们画半圆通过B，以QT为直径，M为圆心，我们基本上就得到了阿基米德的斜向法，因为OB＝QM＝MT＝MB。

图　11.2

帕普斯在第三卷中，还描述了平均数理论，并给出了一个引人入胜的作法，把算术平均数、几何平均数和调和平均数包含在一个半圆中。帕普斯显示：如果在以O为圆心的半圆ADC中（图11.3），作DB⊥AC，BF⊥OD，那么，DO就是AB和BC的算术平均数，DB就是它们的几何平均数，DF就是它们调和平均数。这里，帕普斯声称自己只是给出了证明，而把作图归到了一位籍籍无名的几何学家。即使帕普斯说出了他的来源出自何人，有时候别的方面我们也一无所知，这正是表明，关于他那个时代的数学，我们所掌握的信息如何匮乏。

图　11.3

帕普斯的定理

帕普斯的《数学汇编》中有大量饶有趣味的信息和重要的新结论。在很多实例中，新颖性表现为对早期定理进行一般化的形式，有几个这样的实例出现在第四卷中。这里，我们发现了毕达哥拉斯定理的最基本的一般化。若ABC是任一三角形（图11.4），ABDE和CBGF是在两边上所作的任意平行四边形，然后，帕普斯在边AC上作了第三个平行四边形ACKL，等于另外两个四边形之和。这很容易实现，只要延长FG和ED相交于H，然后，画HB并延长与边AC相交于J，最后画AL和CK平行于HBJ。这种一般化通常被冠以帕普斯的名字，我们不知道是不是他的原创，有人认为，海伦可能更早就知道它。

图　11.4

第四卷中另一个一般化的实例也被冠以帕普斯的名字，它扩展了阿基米德关于鞋匠刀形的定理：如果圆C^1、C^2 、C^3 、C^4 ……C^n ……像图11.5中那样连续内接，全都与半圆AB和AC相切，且彼此连续相切，那么，从第n个圆的圆心到底线ABC的垂直距离是第n个圆的半径的n倍。

图　11.5

帕普斯问题

《数学汇编》的第五卷是后来的注释者最喜欢的一卷，因为它提出了蜜蜂的精明这个问题。由于帕普斯证明了：两个周长相等的正多边形当中，边数较多的面积也较大，因此他得出结论：蜜蜂被证明有着某种程度的数学理解力，因为它们把蜂房的巢室构造为六边形棱柱，而不是正方形或三角形的棱柱。这一卷还探讨了另外一些等周图形学的问题，包括对下面这个定理的证明：对于给定的周长，圆的面积要大于任何正多边形的面积。这里，帕普斯似乎紧跟着芝诺多罗斯（约公元前180年左右）在将近500年前撰写的《论等积形》（On Isometric Figures）亦步亦趋，这本书的某些片断被后来的评注者保存了下来。在芝诺多罗斯这本专著的命题当中，有一个命题宣称：所有表面积相等的立体图形当中，球的体积最大，但只给出了一个不完全的证明。

《数学汇编》的第六、七两卷主要论述数学在天文学、光学和力学中的应用（包括一次试图找出斜面规律的不成功的努力）。在数学史上更加重要的是第七卷，在这一卷中，由于他对一般化的爱好，已接近了解析几何的基本原理。古人所认识到的定义平面曲线的手段只有：（1）运动学的定义。在这样的定义中，一个移动的点服从于两个叠加运动；（2）一个平面切割几何体（比如圆锥、球或圆柱）表面所形成的截面。在后面一种曲线中，某些四次曲线被称作螺旋截面，珀尔修斯（约公元前150年左右）曾描述过，是通过一个平面来切割锚环而得到的。偶而，一段扭曲的曲线吸引了希腊人的注意，包括柱面螺旋线和阿基米德螺线在球面上描述的类似物，这两种曲线帕普斯都知道；但希腊几何主要局限于研究平面曲线，事实上局限于数量非常有限的几种平面曲线。因此，重要的是要指出，在《数学汇编》的第七卷中，帕普斯提出了一个一般化的问题，这个问题暗示了有无穷多种新类型的曲线。这个问题，即使以其最简单的形式，通常被称作“帕普斯问题”，但它最初的陈述，涉及到三、四行文字，似乎可以追溯到欧几里得的时代。按照最初的考虑，这个问题被称作“三线或四线轨迹”，上文在涉及阿波罗尼奥斯的作品时曾描述过。欧几里得明显仅仅只识别了某些特例的轨迹，但阿波罗尼奥斯似乎在一部已经失传的作品中给出了完整的解答。然而，帕普斯还是给人以这样的印象：几何学家们试图得出一般化解答的努力都失败了，并暗示，是他第一个证明了：在所有情况下，这些轨迹都是圆锥截面。

更重要的是，接下来，帕普斯着手考虑四线以上的类似问题。对于一个平面上的六条线，他认识到，一条曲线被下面这个条件所决定：到其中三条线的距离之积与到另外三条线的距离之积成定比。在这种情况下，一条曲线被下面这个事实所界定：一个立体与另一个立体成定比。帕普斯不愿意继续考虑涉及超过六条线的实例，因为“超过三维以上不包含任何东西”。但是，他继续说道：“稍稍在我们时代之前的一些人，却允许自己解释这样的事情，根本不表示任何可以理解的意思，说到某某线段的容量与这条线的平方或那些线段的容量之积。然而，这些东西一般可以借助复合比来说明和显示。”这些籍籍无名的前辈明显准备在包括三次以上曲线的解析几何的方向上迈出非常重要的一步，正如丢番图用平平方和立立方来表示数的更高次幂一样。假如帕普斯循着这一暗示进一步追索下去，他完全可以在笛卡尔之前发展出曲线的一般分类和理论，远远超越平面、立体和线性轨迹之间的古典区分。他认识到，不管帕普斯问题中直线的数量是多少，一条明确的曲线终归是被决定了，这一认识是对所有古典几何中的轨迹的最一般的观察，而且，丢番图发展出来的代数缩写表示法就足以揭示出这些曲线的某些属性。但帕普斯本质上只是一个几何学家，就像丢番图本质上只是一个代数学家一样；因此，帕普斯仅仅以惊讶的态度评论道：没有一个人就任何超过四条线的情况对这个问题进行过综合。帕普斯本人也没有对这些轨迹作更深的研究，“对它们没有进一步的认识，仅仅称之为曲线。”就这方面而言，下一步所需要的，是出现一个同样关注代数和几何的数学家；重要的是要注意到：当笛卡尔这样的人物出现的时候，正是帕普斯的这个问题，充当了发明解析几何的起跑点。

《解析宝典》

除了帕普斯问题之外，《数学汇编》第七卷中还有另外一些重要的论题。首先，有对我们所谓的解析法以及一部被称作《解析宝典》的作品集所作的详尽描述。帕普斯把解析法描述为“这样一种方法，它把我们要求证的东西当作它好像已经得到了承认一样，并从它出发，一直推导至它的结果，得到某个被认为是分析结论的东西。”也就是说，他承认解析是一种“反求”，它的步骤必须以相反的顺序回溯，以构成一个有效的证明。如果解析导致一个被认为是不可能的东西，那么问题也就是不可能的，因为假的结论意味着假的前提。帕普斯解释道，《解析宝典》所收作品的作者们使用了解析法和综合法：“这是一套学说体系，提供给那些学完了通常的原理之后、希望获得解答涉及曲线问题的能力的人使用”；而且，在《解析宝典》所收入的作品当中，帕普斯列入阿里斯泰奥斯、欧几里得和阿波罗尼奥斯论述圆锥曲线的专著。正是从帕普斯的描述中，我们知道了阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》共有487个定理。由于现存的七卷只包含382个命题，所以我们可以断定，散佚的第八卷共有105个定理。帕普斯《解析宝典》中列举的作品，大约有一半如今已经失传，包括阿波罗尼奥斯的《截取给定的比》，埃拉托斯特尼的《论平均数》，以及欧几里得的《系论集》。有人认为，系论就是我们的曲线或轨迹方程的古代等价物，这意味着，欧几里得和帕普斯距离我们所谓的“解析几何”，并不像人们普遍认为的那么遥远。

帕普斯—古尔丁定理

《数学汇编》的第七卷包含了关于三种圆锥曲线焦点—准线属性的最早记述。看来，阿波罗尼奥斯似乎知道中心圆锥曲线的焦点属性，但很有可能，抛物线的焦点—准线属性在帕普斯之前尚不为人知。第七卷中的另一个第一次出现的定理，通常以17世纪数学家保罗·古尔丁的名字命名：如果一条闭合曲线围绕一条不穿过该曲线的直线旋转，由此产生的立体的体积，等于曲线所围面积与其重心在旋转期间所穿过距离的乘积。帕普斯有权为这个非常有概括性的定理而自豪，因为它包括了“大量关于曲线、表面和立体的各种定理”。有可能，“古尔丁定理”是后人在《数学汇编》的手抄本中插入的。无论如何，这个定理代表了在漫长的衰落期间或之后某个人所实现的一次惊人的进步。帕普斯还给出了一个类似的定理：围绕一条不与之相交的直线旋转的曲线所产生的曲面面积，等于曲线的长度与其形心在旋转期间穿过的距离的乘积。

帕普斯的《数学汇编》是古代最后一部真正重要的数学专著，因为作者企图复兴几何学的努力并不成功。人们继续用希腊文撰写数学著作，又写了大约一千年，继续发挥着几乎是从一千年前开始的影响，但帕普斯之后的作者再也没有达到他的水平。他们的作品几乎完全是对早期专著的评注。帕普斯本人对随之而出现的无所不在的评注负有部分责任，因为他自己也撰写了一些评注，其中包括欧几里得的《几何原本》和托勒密的《至大论》的评注，这些作品只有断篇残章幸存了下来。后来的评注，比如亚历山大城的塞翁（约生活于365年左右）的评注，作为历史资料比作为数学成果更有用。塞翁还有功于一个幸存了下来的《几何原本》的重要版本；他还因为是希帕蒂娅的父亲而被人们所铭记，希帕蒂娅是一位学识渊博的年轻女士，写过丢番图、托勒密和阿波罗尼奥斯的评注。她是异教学问的一位热忱的爱好者，招致了一帮狂热的基督教暴徒的仇恨，这伙人在415年残忍地杀害了她。她的死在亚历山大城所造成的戏剧性的冲击，导致有人把那一年视为古代数学终结的标志，但是，一个更恰当的结尾可以在一个世纪之后找到。

亚历山大城的普罗克洛斯

普罗克洛斯是亚历山大城一位年轻的数学学者，他后来去了雅典，在那里成了新柏拉图学派的领袖。普罗克洛斯与其说是数学家不如说是哲学家，但他的评论对早期希腊几何的历史来说常常是决定性的。他的《〈几何原本〉第一卷评注》具有重要的意义，因为，在撰写这本书的时候，普罗克洛斯的手头无疑有一本欧德谟斯的《几何史》（History of Geometry），这本书如今失传了；还有帕普斯的《〈几何原本〉评注》（Commentary on the Elements），这本书如今大部分失传了。我们所拥有的关于欧几里得之前的几何史资料，在很大程度上多亏了普罗克洛斯，他的《评注》中包括了欧德谟斯的《几何史》的一份摘要。这一节（称为“欧德谟斯摘要”）可以被视为普罗克洛斯对数学的主要贡献，尽管下面这个定理被归到了他的名下：若一条给定长度的线段，其端点在两条相交的直线上移动，线段上的一点就会画出一个椭圆的一部分。

波伊提乌

正当普罗克洛斯在雅典潜心写作的那些年里，西罗马帝国逐步分崩离析。帝国的寿终正寝通常被定为476年，因为在这一年，在位的罗马皇帝被哥特人奥多亚塞所取代。古老的罗马元老院的骄傲，有一些保留了下来，但元老院的那帮人已经失去了政治上的控制权。在这一形势下，波伊提乌（约480～524）发现自己所处的位置很困难，因为他来自一个古老而显赫的贵族家庭。他不仅是一个哲学家和数学家，而且还是一个政治家，他大概带着厌恶的态度看待奥多亚塞如日中天的权力。尽管波伊提乌可能是古罗马所产生的最重要的数学家，但他的作品，跟典型的希腊作者比起来，水平差得太远。他是文科中四门数学分支的各科教科书的作者，但这些教科书都是早期经典的浅薄幼稚、极其基本的省略——其中，一本《算术》仅仅是尼科马库斯《算术导论》的节略本；一本《几何》是以欧几里得为基础，只包括《几何原本》前四卷中一些更简单部分的命题，而没有证明；一本《天文学》源自于托勒密的《至大论》；一本《音乐》受惠于欧几里得、尼科马库斯和托勒密等人的早期作品。这些入门读本在中世纪的修道院学校里被广泛使用，在某些情况下，可能遭受了后来的篡改，因此很难准确地确定，究竟有哪些内容真正属于波伊提乌本人。然而，有一点很清楚，作者主要关注数学的两个方面：它跟哲学的关系，以及它对简单测量问题的适用性。而作为逻辑结构的数学，看不出有多少痕迹。

波伊提乌似乎是一位有着高尚的目的和毋庸置疑的诚实的政治家。他和他的儿子先后担任过执政官，而且，波伊提乌是西奥多里克的主要顾问之一；但由于某些原因，不管是政治原因还是宗教原因，这位哲学家招致了皇帝的不快。有人认为，波伊提乌是个基督徒（帕普斯多半也是个基督徒），而且，他支持三位一体的观点，这使他疏远了阿里乌斯教派的皇帝。还有可能，波伊提乌跟某些政治团伙过从太密，这些人一直寻求东罗马帝国的帮助，企图在西部回复古老的罗马秩序。不管怎么说吧，波伊提乌在漫长的囚禁之后，于524年或535年被处死。（大约一两年之后，也就是526年，西奥多里克去世。）正是身陷囹圄期间，波伊提乌写出了他最著名的作品《哲学的慰藉》（De consolatione philosophiae）。这部在他面对死神的时候用散文和韵文写成的作品，按照亚里士多德和柏拉图的哲学，讨论了道德责任。

亚历山大时期的终结

波伊提乌的死可以被看作是古代数学在西罗马帝国走向终结的标志，正如希帕蒂娅的死标志着亚历山大城作为数学中心的终结一样；但数学工作在雅典又继续进行了几年。在那里，你找不出有原创性的伟大数学家，但有一位逍遥学派的评注者辛普里丘（约生活于520年左右），十分关注希腊的几何学，为我们保存了可能是现存最古老的断章残篇。亚里士多德在《物理学》（Physica）中提到了圆或线段求积的问题，辛普里丘借这个机会，“逐字逐句”地引用了欧德谟斯关于希波克拉底提出的弓形求积的问题所写的评注。这篇记述有几页长，给出了关于弓形求积的完整资料，是辛普里丘引自欧德谟斯，而据推测，欧德谟斯又给出了至少是一部分希波克拉底自己所写的证明，尤其是使用了某种古老的表述形式的部分。这一材料来源，是现存最古老的材料，使我们能够直接接触到柏拉图时代之前的希腊数学。

《希腊诗文选》

辛普里丘主要是个哲学家，但在他那个年头，有一部广为流传的作品，通常被称作《希腊诗文选》，这本书的数学部分让我们不由得想到两千多年前阿默士纸草书中的那些难题。《希腊诗文选》包含大约6000首短诗；书中40多首是数学难题，推测起来多半是一位大约生活于5、6世纪的文法学家梅特罗多勒斯搜集的。书中大多数难题，包括本章中关于丢番图年龄的那首短诗，都会导出简单的线性方程。例如，有一个问题是求一堆苹果究竟有多少个，条件是：它们在6个人当中分配，第一个人得到三分之一的苹果，第二个人得到四分之一，第三个人得到五分之一，第四个人得到八分之一，第五个人得到10个苹果，剩下1个苹果给最后一个人。另一个难题是我们今天初等代数教科书中典型的题目：若一根水管可以用一天的时间注满一个蓄水池，第二根水管用两天，第三根水管用三天，第四根水管用四天，所有四根水管一起使用，注满这个蓄水池需要多长时间？推测起来，这些难题大概不是梅特罗多勒斯的原创，而是他从不同的来源搜集起来的。有些难题可以追溯到柏拉图时代之前，这让我们想到，希腊数学并非全都是我们所认为的古典的那种类型。

公元六世纪的拜占庭数学

辛普里丘和梅特罗多勒斯都不是他们各自时代的杰出数学家，因为还有一些同时代的评注者，受过专业训练，足以理解阿基米德和阿波罗尼奥斯的作品。这些人当中包括欧托基奥斯（约出生于480年），他评注了阿基米德的几部专著和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》。多亏了欧托基奥斯，我们才知道了阿基米德通过相交的圆锥曲线求解三次方程的解法，这个方法在《论球和圆柱》中提到过，但除了欧托基奥斯的评注之外，其他的材料都不复存在。欧托基奥斯对阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》所作的评注，献给了特拉雷斯的安提米乌斯（卒于534年），后者是一位能干的数学家和设计君士坦丁堡圣索菲亚大教堂的建筑师，他描述了椭圆的辅助线作图法，并写过一本《论燃烧的镜子》（On Burningmirrors），书中，抛物线的焦点属性得到了描述。他在建造圣索菲亚大教堂时的同事和继任者米利都的伊西多尔（约生活于520年左右），也是一个颇有能力的数学家。正是伊西多尔使欧托基奥斯的评注变得众所周知，并刺激了人们对阿基米德和阿波罗尼奥斯作品的兴趣的一次复兴。我们所熟悉的丁字尺和抛物线的辅助线作图法，多半要感谢他——欧几里得《几何原本》伪造的第十五卷可能也出自他之手。阿基米德的作品和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》前四卷的希腊文版本能够幸存至今，在很大程度上可能要归功于君士坦丁堡那帮人——欧托基奥斯、伊西多尔和安提米乌斯——的活跃。

米利都的伊西多尔是雅典柏拉图学园最后的校长之一。这所学校在它存在的900多年的时间里，当然经历了很多改变，在普罗克洛斯的时代，它成了新柏拉图学派的中心。当查士丁尼在527年成为东罗马帝国的皇帝时，他明显觉得，柏拉图学园和雅典哲学学校的异端学说对正统基督教是一个威胁；因此，公元529年，这些哲学学校都被关闭了，学者们风流云散。当时的罗马，对于学者来说几乎不是一个好客之家，辛普里丘及其他一些哲学家只好去东部寻求庇护。这一回他们找到了波斯，在科斯洛埃斯国王的治下，他们在那里建立了可以被称作“流放中的雅典学园”的学校（萨顿，1952，第400页）。因此，529年这个日期被视为标志着欧洲古代数学发展的终结。打那以后，希腊科学的种子就在近东和远东国家得以发展，直到大约600年后，拉丁世界表现出海纳百川的胸怀。529年这个日期还有另外一重意义，可以被视为价值改变的象征——在这一年，卡西诺山修道院建立。当然，数学并没有在529年完全从欧洲消失，因为在拜占庭帝国，人们继续用希腊文撰写一些平淡无奇的评注，而波伊提乌的那些肤浅幼稚的拉丁文教科书继续在西方的学校使用。然而，数学的精神却越来越衰弱，与此同时，人们对几何学的价值看得更轻，而对拯救之路看得更重。因此，对于数学接下来的发展步伐，我们必须转过身去，背对欧洲，面朝东方。

《数学史》第11章 希腊数学的复兴和衰微

《数学史》第11章　希腊数学的复兴和衰微