当我兴之所至地一圈圈追踪天体的来回往复时，我的双脚不再触及这片大地，我站在宙斯本人的面前，尽情享用诸神的美味。

——托勒密

早期的三角学

三角学像其他数学分支一样，也不是任何一个人或一个民族的工作。关于相似三角形的边之比的那些定理，古埃及人和巴比伦人早就知道并加以利用了。考虑到前希腊时代缺乏角的度量的概念，这样的研究最好是称作“三边学”，或三边形的度量，而不是“三角学”。在希腊人那里，我们发现了对一个圆里的角（或弧）与其所对应弦长的关系的系统研究。弦的属性，作为圆的中心角或内接角的度量，已经被希波克拉底时代的希腊人所熟悉，很可能欧多克索斯曾利用比例和角的度量来确定地球的尺寸，以及太阳和月亮的相对距离。在欧几里得的作品中，没有严格意义上的三角学，而只有相当于某些特定三角学法则或公式的定理。比方说，《几何原本》的命题11、12和13，分别是钝角和锐角的余弦法则，用几何语言而不是三角语言来陈述，用类似于欧几里得在涉及毕达哥拉斯定理时所使用的方法来证明。关于弦长的那些定理，本质上是现代正弦法则的应用。我们已经看到，阿基米德的折弦定理很容易翻译成三角语言，类似于角的和与差的正弦的公式。在亚历山大时代，越来越多的天文学家——尤其是昔兰尼的埃拉托斯特尼（约公元前276～194年）和萨摩斯岛的阿里斯塔克斯（约公元前310～230年）——所处理的问题需要角与弦之间的更系统的关系。

萨摩斯岛的阿里斯塔克斯

据阿基米德和普鲁塔克说，阿里斯塔克斯提出了日心体系，比哥白尼早1500多年；但不管他关于这一体系写过什么，如今全都失传了。相反，我们倒是有一篇阿里斯塔克斯的论文，撰写的时间大概更早（约公元前260年），题为《论太阳和月亮的大小和距离》（On the Sizes and Distances of the Sun and Moon），这篇论文假设了一个以地球为中心的宇宙。在这篇作品中，阿里斯塔克斯提出了他的这一看法：当月亮刚好半满的时候，观察太阳和月亮的视线之间的夹角小于四分之一圆的三十分之一。（系统地引入360°圆是稍后才出现的。）用今天的三角学语言，这意味着，月亮的距离与太阳的距离之比（图10.1中的ME与SE之比）是sin3°。三角函数表尚未发展出来，阿里斯塔克斯所依靠的那个时代的定理，如今会用不等式来表达，即：sinα／sinβ＜α／β＜tanα／tanβ，式中，0°＜α＜90°。他由此得出结论：1/20＜sin3°＜1/18，于是他断言：地球与太阳的距离大于它与月亮的距离18倍，但小于20倍。这跟现代的值差得太远——大约小400倍——但比欧多克索斯的9倍和菲迪亚斯（阿基米德的父亲）的12倍更准确一些。此外，阿里斯塔克斯所使用的方法无懈可击，其结果仅仅因为观察数据的错位而受到了损害：他把角MES测量为87°（实际上约为89°50′）。

图　10.1（示意图，为表现清晰，未按正常比例）

图　10.2

阿里斯塔克斯在确定了太阳和月亮的相对距离之后，还知道太阳和月亮的大小与它们的相对距离等比。这是从下面这个事实推导出来的：从地球上看到的太阳和月亮几乎一样大，也就是说，它们在地球上的一位观察者的眼里所对的角度大约是一样的。在我们所介绍的这篇论文中，这个角度给定为2°，但阿基米德把一个更为准确的值1/2°归到了阿里斯塔克斯的名下。阿里斯塔克斯从这个比率就能够得出太阳和月亮的尺寸与地球尺寸的近似比。他从月蚀的观察数据中计算出：地球隔着月亮的距离所投下阴影的宽度是月亮宽度的两倍。若R^s 、R^e 、R^m

分别是太阳、地球和月亮的半径，D^s和D^m 分别是从地球到太阳和月亮的距离，那么，从三角形BCD和ABE相似（图10.2）可知：（R^e－2R^m ）（／R^s －R^e ）＝D^m ／D^s 。如果把近似值19D^m 和19Rm 分别代入这个等式的话，可得：（R^e －2R^m ）／（19R^m －R^e ）＝1/19，或：R^m ＝20/57R^e 。这里，我们把阿里斯塔克斯的实际计算极大地简化了。他的论证过程实际上更加谨慎，并得出了这样的结论：

昔兰尼的埃拉托斯特尼

图　10.3

要估算出太阳和月亮实际尺寸，所需要的就是测量地球的半径。亚里士多德曾提到地球的周长约为40000英里（这个数字可能要归功于欧多克索斯），而阿基米德曾说，他的一些同时代人估算，地球的周长约为30000英里。一个更为准确、也更为著名的计算，要归功于埃拉托斯特尼，他是阿基米德和阿里斯塔克斯的同时代人，比他们年轻一些。埃拉托斯特尼出生于昔兰尼，他早年时在雅典度过很长时间。他在很多领域都有杰出的成就——诗歌、天文学、历史、数学、体育——到中年的时候，托勒密三世把埃拉托斯特尼召去了亚历山大城，给他儿子（后来的托勒密四世）当私人教师，并担任亚历山大图书馆的馆长。阿基米德的专著《方法》正是寄给当时在亚历山大城的埃拉托斯特尼。今天，埃拉托斯特尼最为人们所铭记的，是他对地球的测量——古代作出的这种估算当中，他的估算不是第一个，也不是最后一个，但毫无疑问是最成功的一个。埃拉托斯特尼注意到，夏至那天的正午，太阳的光线直射进赛尼城的一口深井里。而同一时间在亚历山大城，测定为位于同一经度线上，在赛尼城以北5000斯塔迪，他却发现，太阳投下的阴影表明：太阳距离顶点的角距是圆的五十分之一。从图10.3中相对应的角S′AZ和S″OZ相等可以清楚地知道：地球的周长必定是赛尼城与亚历山大城之间距离的50倍。由此得出了地球的周长是250000斯塔迪，或者25000英里，因为1斯塔迪约为十分之一英里。（后来的描述把这个数字定为252000斯塔迪，大概是为了得出每度700斯塔迪这个整数。）

埃拉托斯特尼在很多知识领域做出过贡献，在数学中因为“埃拉托斯特尼筛选法”而广为人知，这是一个分离素数的系统化步骤。在依序排列的所有自然数当中，你只要删去2后面的每第2个数，3后面的每第3个数，5后面的每第5个数，以此类推，删去n后面的每第n个数。剩下的数字（从2开始）当然就是素数了。埃拉托斯特尼还写过论述平均数和轨迹的作品，但这些作品都失传了。就连他的专著《论地球的度量》（On the Measurement of the Earth）也不复存在，尽管其中的一些细节被其他人包括亚历山大城的海伦和托勒密保存了下来。

尼西亚的希帕克斯

大约两个半世纪以来，从希波克拉底到埃拉托斯特尼，希腊的数学家们一直在研究直线与圆之间的关系，并把这些关系应用于五花八门的天文学问题，但没有产生系统的三角学。接下来，在公元前2世纪的下半叶，最早的三角函数表显然已由天文学家尼西亚的希帕克斯（约公元前180～125年）编制出来了，他因此获得了被称为“三角学之父”的资格。阿里斯塔克斯已经知道，弧与弦的比，随着它们所对的圆心角的递减（从180°至0°）而递减，趋近于极限值1。然而，在希帕克斯着手这项任务之前，似乎没有一个人把整个一系列角度所对应的弧弦比值列成表格。但也有人认为，阿波罗尼奥斯在这方面可能比希帕克斯更早，后者对三角学的贡献只不过是计算了一组比他的前辈所拟订的更合理的弦。希帕克斯明显是为了天文学中的使用而制订了他的三角函数表，关于它的来源人们所知甚少。希帕克斯是巴比伦人的天文学与托勒密的工作之间的一个过渡性人物。公元前270年前后，当贝罗索斯（他大概是唯一一个我们知道名字的巴比伦天文学家）迁居科斯岛的时候，天文学在美索不达米亚很兴盛，当时，近东理论的基础或许已传播到了希腊，这并非没有可能。在天文学中，被归到希帕克斯名下的主要贡献是，他对源自巴比伦人的经验数据所做的组织工作、星表的拟订、重要天文常数的改进（比如月和年的长度、月球的尺寸，以及黄赤交角的度数），以及行星岁差的发现。人们普遍认为，几何行星体系的发现主要是他的功劳，但这一点并不可靠，因为我们并不清楚，阿波罗尼奥斯究竟在多大程度上更早把三角方法应用于天文学。

我们不知道，360°的系统使用究竟是在什么时候进入了数学，由于希帕克斯的弦表的关系，它似乎很大程度上要归功于他。他更早的时候就把一天分为360份，这一细分可能得到了巴比伦天文学的暗示。希帕克斯究竟是如何编制弦表的，我们不得而知，因为他的作品没有幸存下来（除了对阿拉托斯的一首深受欢迎的天文学诗歌所作的评注之外）。他的方法很可能类似于托勒密的方法（下文将描述），因为亚历山大城的塞翁在评论希帕克斯的弦表时说，希帕克斯更早写过一部十二卷的专著论述圆的弦。

亚历山大城的梅涅劳斯

图　10.4

塞翁还提到了另外一部六卷本的专著《论圆中弦》（Chordsina Circle），作者是亚历山大城的梅涅劳斯。后来的希腊和阿拉伯评注者提到过的梅涅劳斯的其他数学和天文学作品，包括《几何原理》（Elements of Geometry），但他唯一幸存下来一部作品——仅通过阿拉伯文——是《球面学》（Sphaerica）。在这部专著的第一卷中，梅涅劳斯确立了球面三角形的基础，类似于欧几里得《几何原本》第一卷中的平面三角形的基础。书中包括一个定理，欧几里得没有类似的定理——如果两个球面三角形对应的角相等，则它们全等（梅涅劳斯没有区分全等球面三角形和对称球面三角形）；并且证明了定理：A＋B＋C＞180°。《球面学》的第二卷描述了球面几何对天文现象的应用，但没有多少数学意义。第三卷，也是最后一卷，包含了鼎鼎大名的“梅涅劳斯定理”，是典型的希腊形式的球面三角学——圆中弦的几何学或三角学——的基础部分。在图10.4中的圆里，我们应该这样写：弦AB是圆心角AOB（圆半径的夹角）一半的正弦的两倍。而梅涅劳斯和他的希腊后辈们则把AB称作弧AB所对应的弦。若BOB′是圆的直径，那么，AB′是角AOB（圆半径的夹角）一半的余弦的两倍。因此，泰勒斯和毕达哥拉斯的定理（它们得出方程式AB² ＋AB′² ＝4r² ）相当于现代三角学的恒等式：sin² θ＋cos² θ＝1。梅涅劳斯，或许也包括他之前的希帕克斯，还熟悉其他的恒等式，其中有两个被他用作引理，来证明他关于截线的定理。第一个引理可以用现代术语陈述如下：若一个以点O为圆心的圆内的一条弦AB在点C被半径OD所截（图10.5），那么，。第二个引理类似于：若弦AB的延长线在点C′被半径OD′的延长线所截，那么，AC′／BC′＝sin这两个引理是梅涅劳斯在没有给出证明的情况下假设的，推测起来，大概是因为它们可以在更早的作品中找到，没准可以在希帕克斯关于弦的十二卷专著中找到。（读者可以轻而易举地证明这两个引理：画AO和BO，从A和B作OD的垂直线，再利用相似三角形。）

图　10.5

图　10.6

很可能，欧几里得已经知道平面三角形的“梅涅劳斯定理”，多半出现在已经失传的《引理集》中。在平面状态下，这个定理应该是这样的：如果一个三角形的边AB、BC、CA分别被点D、E、F上的截线所截（图10.6），那么，AD·BE·CF＝BD·CE·AF。换言之，任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明。梅涅劳斯提出的这个定理在他的同时代人当中应该是众所周知的，但他把这一定理扩展到了球面三角形，其形式相当于sin ADsin BEsin CF＝sin BDsin CEsin AF。如果使用有向的线段，而不是使用绝对量，这两个乘积在量上是相等的，但在符号上不同。

托勒密的《至大论》

梅涅劳斯定理在球面三角和天文学中扮演了一个重要角色，但整个古代最有影响、最为重要的三角学作品是《数学汇编》（Mathematical Syntaxis），这是大约比梅涅劳斯晚半个世纪的亚历山大城的托勒密撰写的一部作品，全书共十三卷。这部著名的《数学汇编》不同于另外一组其他作者（包括阿里斯塔克斯）的天文学论文集；为了区别，人们把托勒密的这部作品称作“大”汇编，而把阿里斯塔克斯等人的论文集称作“小”汇编。由于人们在提到前者的时候经常称它megiste（最伟大的），以至于后来在阿拉伯，人们习惯上把托勒密的这部作品称作Almagest（“最伟大的”，中文通常译作《至大论》，又译《天文学大成》），于是这部作品也就以这个名称被人们所知。

关于作者的生平，我们所了解到的信息很少，就像我们对《几何原本》的作者的生平所知甚少一样。我们不知道欧几里得和托勒密出生于何时、何地。我们知道托勒密从公元127至151年在亚历山大城从事天文观测，并因此推断，他大概出生于公元1世纪末。据苏达斯（生活在10世纪的一位作者）说，在马可·奥勒留（公元161至180年的罗马皇帝）统治时期，托勒密依然健在。

有人认为，托勒密在《至大论》中所使用的方法，从希帕克斯的《论圆中弦》那里受惠良多，但究竟在多大程度上受惠，怕是无法作出可靠的评估。不过有一点很清楚，在天文学中，托勒密利用了希帕克斯留下来的行星位置目录，但托勒密的三角函数表是不是在很大程度上源自于他这位著名的前辈，还无法确定。幸运的是，托勒密的《至大论》历经劫难，犹存于世；因此，我们不仅有了他的三角函数表，而且还有了他建构这些表时所使用的方法。托勒密对弦的计算，核心是一个至今依然被称作“托勒密定理”的几何命题：若A B C D是一个圆的内接（凸）四边形（图1 0. 7），则，A B·C D＋B C·D A＝A C·B D；也就是说，圆内接四边形对边乘积之和等于对角线之积。这个定理的证明很容易实现，只要作B E，使角A B E等于角D B C，并且注意三角形A B E和B C D相似。托勒密定理的一个特例出现在欧几里得的《已知数》中（命题9 3）：若A B C是一个圆的内接三角形，B D是等分角A B C的一条弦，则（A B＋B C）／B D＝A C／A D。

图　10.7

图　10.8

托勒密定理的另一个更有用的特例，是一边（比方说AD）为圆的直径的情况（图10.8）。若AD＝2r，则：2r·BC＋AB·CD＝AC·BD。如果我们设弧BD＝2α，弧CD＝2β，那么，BC＝2rsin（α－β），AB＝2rsin（90°－α），BD＝2rsinα，CD＝2rsinβ，AC＝2rsin（90°－β）。因此，托勒密定理导致了这样一个结果：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ。类似的推理可得到公式：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，以及类似的一对：co（sα±β）＝cosαcosβ±sinαsinβ。这四个和差公式今天因此经常被称作托勒密公式。

图　10.9

正是差的正弦（或者更准确地说，是差的弦）公式，托勒密发现在他编制三角函数表时尤其有用。另一个对他很有作用的公式相当于我们的半角公式。给定一个圆上一段弧的弦，托勒密发现，这段弧的一半的弦有如下性质：设D是以AC＝2r为直径的圆上弧BC的中点（图10.9），且AB＝AE，让DF（垂直地）等分EC。那么，不难证明，FC＝1/2（2r－AB）。但从初等几何可知：DC² ＝AC·FC，由此得出：DC² ＝（r2r－AB）。如果我们设BC＝2α，那么，DC＝2rsinα／2和AB＝2rcosα／2；于是，就有了我们所熟悉的现代公式：sin换句话说，若任何弧的弦已知，则该弧的一半的弦也已知。现在，托勒密准备编制一张尽可能精确的弦表，因为他已经有了我们的基本公式的等价物。

360度圆

我们应该还记得，从希帕克斯时代直到现代，一直没有三角“比”这样的东西。希腊人，以及他们之后的印度人和阿拉伯人，都使用三角“线”。正如我们已经看到的那样，这些三角线起初都采用圆内弦的形式，把数值（或近似值）与弦联系起来成了托勒密义不容辞的责任。要做这件事情，需要两个约定：（1）细分圆周的方案；（2）细分直径的法则。把圆周分为360度似乎自希帕克斯时代以来就在希腊使用，尽管我们不知道这一约定究竟是如何产生的。360度的度量方法有可能来自天文学，在天文学中，黄道带被分为12“宫”或36个“分度”。一个大致360天的四季循环，很容易跟黄道带的宫和分度体系对应起来，只要把每个宫分为30份，把每分度分为10份。我们常见的角的度量体系可能就源自于这一对应。此外，由于巴比伦人表示分数的位值系统，明显优于埃及人的单分数和希腊人的普通分数，对托勒密来说，把他的度数分为60个partes minutae primae（拉丁文：第一小分），再把这些分为60个partes minutae secundae（拉丁文：第二小分），并依此类推，也就是自然而然的事了。我们今天所使用的“分”（minute）和“秒”（second）这两个词，正是源自于翻译者在这方面所使用的上述两个拉丁文术语。毫无疑问，正是六十进制，导致托勒密把他的三角圆的直径分为120份；他进一步把每一份分为60分，每一分分为60秒。

我们的三角恒等式很容易通过简单的关系转变为托勒密的弦的语言：

公式co（sx±y）＝cosxcosy±sinxsiny成了（chord缩写为cd）：

这里，弧（角）上的一条线表示余弧。要注意，不仅角和弧，而且还有弦，都是按照六十进制来表示的。事实上，任何时候，古代的学者只要想得到一个精确的近似系统，他们就会求助于六十进制来表示小数部分；这导致人们使用词语“天文学家的分数”和“物理学家的分数”来区分六十进制分数和普通分数。

三角函数表的构建

托勒密确定了他的度量体系之后，就准备在这一体系之内计算不同角的弦。例如，由于参考圆的半径包含60份，一段60度弧的弦也包含60个直线部分。120°的弦是或约为103份55分33秒，或者，用托勒密的爱奥尼亚式记法就是：ργp

νε′λγ″。现在，托勒密就可以用他的半角公式来求30°的弦了，再求15°的弦，依次类推，直至更小的角。然而，他更愿意推迟这一公式的应用，而去计算36°和72°的弦。他利用了《几何原本》第十三卷中的命题9，这一定理显示了：内接于同一圆的正五边形一边、正六边形一边和正十边形的一边，构成了一个直角三角形的各边。顺便说一句，来自欧几里得的这一定理，为托勒密的圆内接正五边形的简洁作法提供了证明。设O为圆的圆心，AB为直径（图10.10）。然后，若C为OB的中点，OD垂直于AB，如果取CE等于CD，则直角三角形EDO的各边分别为该圆内接正五边形、六边形和十边形的边长。接下来，若OB包含60份，从五边形的属性和黄金分割可知：36°的弦OE为，或约为37.083，或37^p4′5″。根据毕达哥拉斯定理，72°的弦为30或近似于70.536，或70^p 32′3″。

图　10.10

知道了圆内s度弧的弦，你就很容易通过泰勒斯定理和毕达哥拉斯定理得出180－s度弧的弦，因为cd² s＋cd² s＝1202

。因此，托勒密得出了36°和72°余弧的弦。此外，通过他的求两段弧之差的弦的公式，他从72°和60°的弦得出了12°的弦。接下来，通过连续应用他的半角公式，他得出了6°、3°、11/2°和3/4°的弦，最后两个值分别是1p34′15″和0^p 47′8″。通过这些值之间的线性内插，托勒密得出了1°的弦为1p2′50″。通过使用半角公式——或者，由于这个角非常小，只要简单地一分为二——他得出了30′的弦为0p31′25″。这等于说sin15′等于0.00873，这精确到了5位小数。

当然，托勒密得出的1/2°弦的值是半径为60单位的内接正720边形的边长。阿基米德的正96边形得出了π的近似值是22/7，而托勒密的值相当于6（0^p 31′25″）或3;8,30。托勒密在《至大论》中使用的π的近似值是377/120，相当于小数3.1416，这个值，阿波罗尼奥斯可能更早就给出了。

托勒密的天文学

武装了求和差弦的公式，以及求1/2°弦的公式，再加上有了1/2°弦的准确值，托勒密接下来便着手编制他的弦表，从/21°至180°，每隔1/2°一项，精确到秒。这实际上就是从1/4°到90°、以1/4°的幅度递进的正弦表。这张表构成了《至大论》第一卷的组成部分，一千多年来一直是天文学家必不可少的工具。这部鼎鼎大名的专著残存下来的十二卷当中，尤其包括被称作“托勒密体系”的行星周期和周转理论。像阿基米德、希帕克斯及古代其他伟大的思想家一样，托勒密也假设了一个基本上以地球为中心的宇宙，因为一个移动的地球看来要面对很多困难——比如缺乏明显的视差，似乎跟地球力学的现象矛盾。跟这些难题比起来，“恒”星球体每日旋转所需要的巨大速度的难以置信倒显得无足轻重了。除了诉诸常识之外，托勒密体系还有容易描述这个优势。行星体系通常被构想得好像宇宙是以地球为中心似的，因为以这种方式，从地球上看到的运动最容易再现。

图　10.11

柏拉图为欧多克索斯设置了“拯救现象”的天文学难题——也就是，制造出一个数学装置，比如匀速圆周运动的组合，能够充当从地球上看到的行星运动的模型。欧多克索斯的同心球体系，在很大程度上被数学家们抛弃了，他们更青睐于阿波罗尼奥斯和希帕克斯的循环与周转圆体系。托勒密对后者的方案进行了一次根本性的修改。首先，他把地球从圆心轨迹圆的中心稍稍移开了一些，这样一来他就得到了偏心轨道。这样的改变在他之前就已经有人作出过，但托勒密引入了新的东西，它在科学含义上太激进，甚至后来哥白尼都无法接受，尽管这一设计（被称作“均轮”）在再现行星运动上很有效。即使托勒密努力尝试，他也没有能力设计出一个与人们所观察到的行星运动密切一致的循环、周转圆和偏心轮体系。他的解决办法要抛弃希腊人对圆周运动一致性的坚持，要引入一个几何学上的点，这就是与地球G和圆心轨迹圆的圆心C在同一直线上的等距偏心点E（图10.11）。托勒密以这种方式实现了对行星运动的精确描述，但是，这一设计当然只是运动学上的，并没有试图回答由于圆周运动的不一致而导致的力学问题。

托勒密的其他作品

托勒密今天的名声在很大程度上与一本书有关，这就是《至大论》，但托勒密还有其他一些作品。比较重要的作品当中包括八卷本的《地理学》（Geography），这本书是他那个时代地理学家的圣经，就像《至大论》是天文学家的《圣经》一样。托勒密的《地理学》引入了我们今天所使用的经纬体系，描述了地图投影的方法，编制了大约8000个城市、河流及其他重要地貌的目录。不幸的是，当时没有令人满意的测定经度的手段，因此大量的错误不可避免。更有意义的是这样一个事实：托勒密在估算地球的大小时似乎做了一个糟糕的选择。他没有接受埃拉托斯特尼所给出的252000斯塔迪这个数字，而是选择了波西多尼乌斯提出的180000斯塔迪，波西多尼乌斯是个斯多葛派学者，是庞培和西塞罗的老师。因此，托勒密认为，已知的欧亚世界是圆周上比实际上更大的一部分——就经度而言超过180°，而不是实际上的大约130°。这个巨大的错误让后来的航海家们（包括哥伦布）误认为，从欧洲向西航行至印度并不像到头来所发现的那么远。倘若哥伦布知道托勒密对地球尺寸的低估有多么离谱的话，他可能就不会启航了。

托勒密的地理学方法，在理论上比在实践上更好，因为在不同的专著当中（这些专著仅仅通过从阿拉伯文转译的拉丁文版本幸存了下来），托勒密描述了两种类型的地图投影。在《日晷论》（Analemma）中解释了正射投影，此书是我们所拥有的关于这一方法最早的记述，尽管希帕克斯可能使用过这种方法。在这一从球体向平面转换的方法中，球面上的点被垂直地投射到三个互相垂直的平面上。在《平球论》（Planisphaerium）中，托勒密描述了球极平面投影，在这一方法中，球上的点沿着直线从一极投射到一个平面上——在托勒密这里，就是从南极投射到赤道平面上。他知道，在这样一种转换之下，一个不通过投射极的圆会转变为平面上的一个圆，而一个通过极点的圆则被投射为一条直线。托勒密还知道这样一个重要事实：这样一种转换是保角的，也就是说，角得到了保持。托勒密对地理学的重要性可以通过下面这个事实来衡量：以手稿形式传到我们手里的中世纪最早的地图（没有一幅早于13世纪），都是以托勒密在一千多年前绘制的地图为蓝本。

光学与占星术

托勒密还写过一本《光学》（Optics），通过从阿拉伯文转译的拉丁文版本不完整地幸存了下来。这本书论述了物理学和视觉心理学，论述了反射几何学，还涉及探索折射定律的早期努力。托勒密编制了一份从空气到水（还有从空气到玻璃和从水到玻璃）的折射角表，入射角从10°直到80°，间隔为10°，从这份表中我们看到，托勒密假设了这样一个定律：r＝ai＋bi² ，因为他的r值中的二阶差是一个常量。对10°和80°的入射角，他分别假设了8°和50°的折射角，二阶差全都等于1/2°。毕达哥拉斯求多边形边数的老公式中的二阶差也是常量，或许，托勒密受到了这些公式的影响，去探寻折射的二次法则而不是三角法则。三角学在它最初存在的1500年里，几乎完全是天文学和地理学的一个附庸，只是在17世纪，三角学在折射及其他物理学领域的应用才被发现。

介绍托勒密的作品，如果不提到他的《四书》（Tetrabiblos，或Quadripartitum）就不完整，因为这本书向我们展示了古代学术中我们往往会忽视的一面。希腊作者并不总是人们所认为的那种富于理性、思路清晰的人。《至大论》确实是在构建严肃科学的天文学中运用正确的数学和准确的观察材料的典范；但《四书》却代表了一种星宿宗教，古代世界在很大程度上对这一宗教顶礼膜拜。随着黄金时代的终结，希腊的数学和哲学开始跟迦勒底人的算术和占星术结盟，由此而产生的伪宗教填补了否定古老神话所留下的空白。托勒密似乎也带有他那个时代的偏见；在《四书》中，托勒密坚持认为，不应该由于出错的可能而对占星家比对医生更刻薄。这部作品你越读越感到沮丧，因为作者毫不犹豫地接受了他那个时代的迷信。

《四书》之所以不同于《至大论》，不仅仅是因为占星术不同于天文学；这两部作品也都利用了不同类型的数学。后者是一部坚实可靠、精密复杂的作品，很好地利用了希腊的综合几何学；而前者是那个时代典型的伪科学，采用了巴比伦人原始的算术工具。从欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯的经典作品中，你可能会得到这样一个印象：希腊的数学家们都专门关注最高水平的逻辑几何推理；但托勒密的《四书》却让我们想到，老百姓更关注的是算术计算，而不是理性思考。至少从亚历山大大帝时代起，直到古典世界的终结，希腊与美索不达米亚之间无疑有很多交往，有一点似乎很清楚：巴比伦人的算术和代数几何一直对希腊世界发挥着相当大的影响。例如，数学的这一方面，在亚历山大城的海伦（约公元前100年）似乎表现得十分强烈，以至于他曾经被认为是埃及人或腓尼基人，而不是希腊人。如今有人认为，海伦描绘了一种类型的数学，它在希腊已经存在了很长的时期，但在最伟大的人物当中一直没有找到代表——托勒密在《四书》中所透露的大概除外。另一方面，在阿拉伯人征服之前，希腊人的演绎几何在美索不达米亚似乎一直不受欢迎。

亚历山大城的海伦

在数学史上，亚历山大城的海伦因为那个以他的名字命名的三角形面积公式而闻名：

式中，a、b、c是三角形的各边，s是各边之和的一半，即半周长。阿拉伯人告诉我们，阿基米德更早就知道“海伦公式”，无疑也证明了这个公式，但海伦在他的《度量论》（Metrica）中给出的这个公式的证明，是我们最早拥有的。海伦的证明照例是几何学的。像阿基米德的《方法》一样，《度量论》也失传已久，直到1896年在君士坦丁堡被重新发现，这份手抄本大约出自1100年前后。“几何”这个词最初的意思是“地球测量”，但古典几何学，比如欧几里得的《几何原本》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》中的那种几何，与通常的测量相去甚远。另一方面，海伦的作品向我们展示：希腊数学并不全是“古典”类型。明显存在有两个层面的图形研究———类似于数字语境中对算术（数论）和计算（计算技术）之间的区分，其中非常理性的一种可以称作几何学；另一种特别实用，可以称之为测地学。巴比伦人缺乏前者，但擅长后者，在海伦这里找到的，本质上是巴比伦人那种类型的数学。诚然，《度量论》中偶尔也有证明，但这部作品的主体部分关注的是求长度、面积和体积的数字实例。他的结果与我们在美索不达米亚人的难题集中所找到的结果之间，有着极强的相似性。例如，海伦给边数为n、边长为s^n

的正多边形的面积A列出了一张表，从开始，直到。海伦^n 像前希腊时代的数学一样，也没有区分准确结果和近似结果。比方说，对A，他给出了两个公式和—前一个公式符合巴比伦人的一份表中的5 值，但两者都不完全正确。对正六边形，海伦给出的A与的比是，巴6

比伦人的值是2牷37牞30，但正确的值在这两个值之间，当然是无理数。在这样的计算中，我们原本指望海伦会使用希帕克斯在两百年前编制的那样的三角函数表，但很明显，三角学那时候主要还是天文学家的、而不是实践家的侍女。

使古典几何与海伦的测量学分离开来的那条鸿沟，可以通过海伦在他的另一部作品《几何学》（Geometrica）中所提出和解决的某些问题清楚地予以说明。有一个问题要求一个圆的直径、周长和面积，给定这三个量的和。欧多克索斯的公理会把这样一个问题排除在理论考量之外，因为这三个量是不同的度量，但从不加区别的数字观点看，这个问题就可以理解了。而且，海伦并没有按照一般的条件来解决这个问题，而是再次从前希腊时代的方法中得到启示，选择了三个量之和为212的特例；他的解答也像古代的方法一样，给出的只有步骤，而没有给出理由。通过取阿基米德的π值，并使用巴比伦人解二次方程的配方法，很容易得出直径是14。海伦只给出了爱奥尼亚式的说明：“用212乘以154，加上841，取平方根并减去29，再除以11。”这几乎不是讲授数学的方式，而海伦的书原本就打算作为实践者的指导手册。

他很少关注他的答案的唯一性，就像很少关注他的量的维数一样。在一个问题中，他要求一个直角三角形的各边，给定的条件是面积与周长之和为280。当然，这是一个不定方程的问题，但海伦利用阿基米德的三角形面积公式，只给出了一个解。用现代的符号表示法，就是：若s是三角形的半周长，r是其内切圆的半径，则：rs＋2s＝（sr＋2）＝280。他遵循他自己的固定法则：“一直寻找因子”，选择r＋2＝8，且s＝35。那么，面积rs是210。但这个三角形是直角三角形，因此斜边c等于s－r或35－6，也就是29；两直角边a和b之和等于s＋r，也就是41。那么，很容易得出a和b的值是20和21。关于280的其他因子分解，海伦什么也没说，当然，其他的分解会得出其他的答案。

最短距离原则

海伦对一切形式的测量都感兴趣——既对光学和力学感兴趣，也对测地学感兴趣。光的折射规律，欧几里得和亚里士多德早就知道了（柏拉图大概也知道）；但正是海伦，在《反射光学》（Catoptrics）中，通过一个简单的几何论证向我们显示了：入射角与反射角的相等，是亚里士多德原理的结果，这一原理就是：大自然从不做费力的事。也就是说，如果光从光源S射到镜面MM′上，然后再折射到观察者的眼睛E（图10.12），那么，最短的可能路径SPE是使角SPM与角EPM′相等的路径。很明显，没有其他路径SP′E能够像SPE那么短，这一点很容易证明：我们只要作SQS′垂直于MM′，且SQ＝QS′，然后比较路径SPE和路径SP′E。由于路径SPE和SP′E的长度分别等于S′PE和S′P′E，而且S′PE是一条直线（因为角M′PE等于角MPS），所以，S′PE是最短路径。

图　10.12

在科学史上，海伦之所以被人们所铭记，乃是因为他发明了一种原始型号的蒸汽机（在他的《气体力学》［Pneumatics］中有过描述），发明了温度计的前身，还发明了基于液体属性和简单机械法则的各种玩具和机械装置。他在《力学》（Mechanics）中暗示了一个简单机械的法则（很巧妙，但不正确），其原理甚至难倒了阿基米德——斜面。人们还把他的名字跟求平方根的“海伦算法”联系在一起，但这一迭代算法实际上要归功于比他早2000年的巴比伦人。尽管海伦明显学习了很多美索不达米亚的数学，但他似乎没有认识到分数的位置原则的重要性。六十进制的分数成了天文学家和物理学家的标准工具，但很有可能，它们大概一直不为平民百姓所熟悉。普通分数在某种程度上被希腊人所使用，起初是把分子放在分母的下面，后来才把位置颠倒了过来（没有把它们分开的那根横杠），但海伦是为实践家写作，他似乎更喜欢单分数。25除以13，他写出的答案是：1＋1/2＋1/3＋1/13＋1/78。在海伦的时代之后，埃及人对单分数的古老癖好在欧洲至少延续了一千年。

希腊数学的衰落

从希帕克斯到托勒密的那段时期，涵盖了三个世纪，是应用数学处于上升的时期，海伦的那些书，类似于亚历山大城技术学院的一个学生的笔记。偶尔有人认为，在它跟现实世界的工作紧密接触的时候，数学的发展最有成效；但我们所讨论的那一时期却支持相反的论点。导致希腊人追求狂热崇拜和神秘主义的宗教和哲学活力的丧失，与数学中向应用靠近的趋势相平行，这一趋势已经持续了三百多年。从希帕克斯到托勒密，天文学、地理学、光学和力学都有长进，但数学没有任何重要的发展。诚然，这几个世纪见证了三角学的发展，但这一学科，如今虽说是纯数学的组成部分，而在当时，充其量不过是初等几何的测量应用，满足了天文学的需要。此外，我们甚至不清楚，公元150年托勒密的三角学，跟公元前150年希帕克斯的三角学比起来——甚或，跟还早一个世纪的阿波罗尼奥斯和阿基米德的三角学比起来——究竟是否有什么重要的进步。很明显，数学从欧多克索斯到阿波罗尼奥斯所取得的迅速发展——这段时期理论上的考量始终处在最重要的位置——如今正走向终结。或许，向应用靠拢的趋势是衰落的结果，而非它的原因，但无论如何，这两件事情是同时发生的。有人把这一衰落归咎于希腊几何代数的不足和困难，另一些人则把它归因于罗马的寒冷气息。不管怎么说，三角学和测量学走上前台的那段时期，即便不是实际上的衰落，也是以缺少进步为特征；然而，恰恰是希腊数学的这些方面，最吸引印度和阿拉伯的学者，他们充当了通向现代世界的桥梁。然而，在我们转向这些民族之前，我们必须看看希腊数学的小阳春，有时候被称作希腊数学的“白银时代”。

《数学史》第10章 希腊的三角学与测量学

《数学史》第10章　希腊的三角学与测量学