在我看来，所有证据似乎都表明，阿波罗尼奥斯是希腊数学天文学的开山鼻祖。

——奥托·诺伊格鲍尔

失传的作品

在希腊化时代的大约最初一个世纪里，有三个数学家卓冠群伦，傲视同侪，前不见古人，后不见来者。这三个人是：欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。正是他们的作品，使得大约从公元前300至公元200年之间的那段时期被称作希腊数学的“黄金时代”。在某种意义上，数学落后于艺术和文学，因为正是伯里克利时代（公元前5世纪中叶），在更广泛的意义上被称作“希腊的黄金时代”。在整个希腊化时代，亚历山大城一直是西方世界的数学中心，但阿波罗尼奥斯像阿基米德一样，也不是亚历山大城的本地人。他出生于潘菲利亚（小亚细亚南部）的帕加马城，但他可能一直在亚历山大城接受教育，而且似乎有一段时间在亚历山大城的大学里教书。一度他生活在帕加马城，那里有仅次于亚历山大城的大学和图书馆，资助人是亚历山大大帝的将军和继任者吕西马库斯。由于古代世界有很多人取名阿波罗尼奥斯（在保利－维索瓦的《古典学专业百科全书》［Real-Enzyclop Rie der klassischen Altertumswissenschaft］中有小传的共129人），要想把我们这位数学家跟其他人区别开来，就不得不使用全名“帕加马城的阿波罗尼奥斯”。我们不知道他确切的生卒年份，但据说，他的鼎盛时期是在托勒密三世和托勒密四世的统治时期，有传闻说他曾担任托勒密二世的总司库，据说他比阿基米德小25岁。有人说他的生活年代是公元前262至190年，对他的生平，我们知之甚少。他似乎感觉到了自己是阿基米德的竞争对手；因此他触及了我们在上一章中已经讨论过的主题。他发展出了表示大数字的“四元组”方案，使用的计数法相当于一万的幂，而阿基米德则是以一万万为底。阿波罗尼奥斯的计数法，大概是帕普斯的《数学汇编》（Mathematical Collection）第二卷部分内容中描述过的那种。（第一卷的全部和第二卷的第一部分都失传了。）在这本书中，数字5462360064×10 6 被写作：μ γ ，ενξβ μ β ，γχμ α ，ζν，式中，μ γ μ β 和μ α 分别是一万的三次、二次和一次幂。

阿波罗尼奥斯写过一部题为《快速交付》（Quick Delivery）的作品（今已失传），似乎是讲授快速计算法。据说，作者在这本书中算出了π的近似值，比阿基米德所给出的值更接近——大概就是我们所说的3.1416这个值。我们不知道这个值是如何得出的，它后来出现在托勒密和印度。事实上，跟欧几里得或阿基米德比起来，关于阿波罗尼奥斯及其作品有更多的未解之谜，因为他更多的作品已经消失不见了。我们有很多失传作品的标题，例如《截取给定的比》（Cutting-off of a Ratio）、《截取给定的面积》（Cutting-off of an Area）、《论定值截面》（On Determinate Section）、《论相切》（Tangencies或Contacts）、《斜向》（Vergings或Inclinations）以及《平面轨迹》（Plane Loci）等，其中有一些我们知道论述的是什么内容，因为帕普斯后来给出了简短的描述。一本题为《解析宝典》（Treasury of Analysis）的论文集包含了阿波罗尼奥斯的6篇作品，加上欧几里得几篇更高级的论文（今已失传）。帕普斯把这本书描述为一部特殊的学说体系，供那些学完了通常的基本原理之后想获得解答涉及曲线问题的能力的人使用。这部“宝典”主要由阿波罗尼奥斯的作品组成，因此想必包括了我们今天所说的解析几何的很多内容；在古代，有很好的理由把阿波罗尼奥斯、而不是欧几里得称作“伟大的几何学家”。

恢复失传作品

从帕普斯及其他人所给出的描述中，有可能对失传的希腊作品的内容获得一个清晰的概念，在17世纪，当复原失传几何作品的游戏处于高潮的时候，阿波罗尼奥斯的论文属于最受青睐的对象。例如，从《平面轨迹》的复原中，我们推断出下面两个得到考量的轨迹：（1）如果一个移动的点与两定点之间距离的平方之差是常量，则它的轨迹是一条垂直于两定点连线的直线；（2）如果一个移动的点与两定点之间的距离之比是常量（且不等于1），则它的轨迹是一个圆。事实上，后面这条轨迹如今称作“阿波罗尼奥斯圆”，但这是张冠李戴，因为亚里士多德早就知道这条轨迹，并用它来给出彩虹形半圆的数学证明。 (1)

《截取给定的比》处理的是一个一般问题的不同实例——给定两条直线，以及每条直线上的一点，通过第三个给定的点画直线，把给定的线段（分别从其上的定点测量）切割为给定的比例。这个问题相当于解二次方程：ax－x 2 ＝bc。《截取给定的面积》中的问题是一样的，不同之处在于：相交线段要求包含一个给定的矩形，而不是一个给定的比。这个问题导致一个形如ax＋x 2 ＝bc的二次方程。阿波罗尼奥斯的《论定值截面》所处理的问题，可以称作一维的解析几何。它考虑的是下面这个问题，使用的是希腊典型的几何形式的代数分析：给定一条直线上的4点A、B、C、D，确定这条直线上的第五点P，使AP和CP构成的矩形与BP和DP构成的矩形之比等于给定的比。这里，问题也很容易简化为一个二次方程的解；而且，就像在其他的实例中一样，阿波罗尼奥斯也是用穷举法来处理这个问题，包括可能的极限和解的数量。

阿波罗尼奥斯问题

《论相切》所处理的问题与上述三个问题不同，正像帕普斯所描述的那样，这个问题我们很熟悉，如今称作“阿波罗尼奥斯问题”。给定三样东西，每样东西可以是一个点、一条直线或一个圆，画一个跟这三样东西都相切的圆（这里，与点相切可以理解为圆通过该点）。这个问题涉及到10种情况，从两种最容易的情况（这三样东西是三个点或三条直线），到最难的一种情况（画一个圆与三个圆相切）。两种最容易的情况出现在欧几里得的《几何原本》中与三角形的内切圆和外接圆有关的部分；另外6种情况是在《论相切》的第一卷中处理的，两线一圆的情况和三个圆的情况占去了第二卷的全部篇幅。我们没有阿波罗尼奥斯的解法，但可以在帕普斯所提供信息的基础上进行重构。尽管如此，16和17世纪的学者依然普遍认为：阿波罗尼奥斯没有解决最后一种情况；因此他们认为，这个问题对他们的能力来说是一个挑战。牛顿是给出了一种解法的人之一，仅仅使用直尺和圆规。 (2)

阿基米德的三等分角的作法，在一条线段与圆之间插入了给定的长度，沿着一条直线它可以移动到通过一给定的点（图8.9中的点P），这是一个典型的借助斜向法解题的例证。阿波罗尼奥斯在《斜向》中考虑了那类可以通过“平面”方法——也就是说，只使用直尺和圆规——来解决的斜向问题。（当然，阿基米德的三等分角不是这样一个问题，因为现代已经有人证明，一般的角是不可能用“平面”方法来三等分的。）据帕普斯说，《斜向》中处理的一个问题是：在一给定的圆内插入一段给定长度的弦，使其斜向一给定的点。

在古代，还有一些材料间接提到阿波罗尼奥斯的其他作品，其中包括《十二面体与二十面体的比较》（Comparison of the Dodecahedron and the Icosahedron）。在这篇论文中，作者给出了下面这个定理的证明（阿里斯泰奥斯多半知道这个定理）：十二面体的平面五边形面与外接球球心的距离，等于同一球体的内接二十面体的平面三角形面与球心的距离。《几何原本》伪造的第十四卷中的那个定理——二十面体与十二面体的面积之比等于它们的体积之比——是从阿波罗尼奥斯的命题直接推导出来的；而且还有可能，《几何原本》第十四卷的作者利用了阿波罗尼奥斯的这篇论文。

圆与周转圆

图　9.1

阿波罗尼奥斯还是一个著名的天文学家，在古代，最受青睐的描述行星运动的数学工具明显要归功于他。欧多克索斯使用同轴球体，而阿波罗尼奥斯提出了两个可选的系统，一个由周转圆的运动所构成，另一个涉及偏心运动。在第一个系统中，行星P被假定围绕一个小圆（周转圆）匀速移动，反过来，这个小圆的圆心C沿着一个以地球E为圆心的大圆（圆心轨迹）的圆周匀速移动（图9.1）。在偏心系统中，行星P沿着一个大圆的圆周匀速移动，其圆心C′反过来在一个以地球E为圆心的小圆内匀速移动。若PC＝C′E，这两个几何系统就是等价的，正如阿波罗尼奥斯明显知道的那样。在同心球理论通过亚里士多德的作品，成为那些满足于粗略地描述行星运动的人最喜爱的天文学体系的同时，圆和周转圆理论或偏心运动理论，通过托勒密的作品成为那些渴望细节精确和预测准确的数学天文学家们的首选。大约1800年来，这两套体系——欧多克索斯体系和阿波罗尼奥斯体系——是一对友好的竞争对手，争夺着学者们的青睐。

《圆锥曲线论》

尽管阿波罗尼奥斯在学术上产量很高，但他的众多专著当中只有两篇作品大部分幸存了下来。《截取给定的比》的所有希腊文版本很久之前就失传了，但在它失传之前已经有了阿拉伯文译本。1706年，牛顿的朋友哈雷出版了这部作品的拉丁文译本，之后又陆续出现了一些方言土语的版本。除了这篇论文之外，只有一部阿波罗尼奥斯的作品大体上幸存了下来，然而却毫无疑问是他的杰作，这就是《圆锥曲线论》（Conics）。这部鼎鼎大名的作品，只有一半——最初八卷中的前四卷——以希腊文存世；幸运的是，一位阿拉伯数学家塔比·伊本·库拉翻译了接下来的三卷，这个版本幸存了下来。1710年，爱德蒙·哈雷拿出了这七卷书的拉丁文译本，打那以后，多种语言的版本陆续出现。

在阿波罗尼奥斯撰写这部论述圆锥曲线的专著时，圆锥截面已经被人们知道了大约一个半世纪。在这段时间里，至少有两个人——阿里斯泰奥斯和欧几里得——撰写过一般性的研究专著。但是，正如欧几里得的《几何原本》取代了早期的初等教科书一样，在圆锥截面的更高水平上，《圆锥曲线论》也取代了这一领域的所有竞争对手，包括欧几里得的《圆锥曲线》，在古代，似乎再也没有人作出努力，试图改进它。如果幸存是品质的检验的话，那么，欧几里得的《几何原本》与阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》无疑是它们各自领域最好的作品了。

《圆锥曲线论》的第一卷首先交代了撰写这部作品的动机。阿波罗尼奥斯还在亚历山大城的时候，一位名叫诺克拉底斯的几何学家拜访了他，正是在后者的要求下，阿波罗尼奥斯拿出了八卷本《圆锥曲线论》的草稿。后来在帕加马，作者花了一些时间，逐一打磨各卷，因此，第四卷和第七卷都是开卷便向帕加马国王阿塔劳斯致意。按照作者的描述，前四卷构成了基本导论，据猜测，这些材料有很多已经出现在更早的论述圆锥曲线的专著中。然而，阿波罗尼奥斯明确地说，第三卷的一些定理是他自己的，因为欧几里得没有完成这一卷中讨论的那些轨迹。他把最后四卷描述为这一课题的扩展，超出了基本要点，我们应该看到，在这几卷中，理论已经沿着更专门化的方向前进了。 (3)

在阿波罗尼奥斯的时代之前，椭圆、抛物线和双曲线是作为三个明显不同类型的正圆锥体的截面而得出的，其区分的依据是顶角为锐角、直角，还是钝角。很显然，阿波罗尼奥斯第一次显示了：不必取垂直于圆锥母线的截面，你可以从一个圆锥体上获得所有三种类型的圆锥截面，仅仅只要改变切割平面的倾斜度就行。这是把这三种类型的曲线联系起来的重要一步。第二个重要的一般化，是阿波罗尼奥斯证明：圆锥体不必是正圆锥体——即轴与底垂直的圆锥体，斜圆锥（或称不等边圆锥）同样也可以。如果欧托基奥斯在评注《圆锥曲线论》的时候确实有根有据的话，我们可以推断，是阿波罗尼奥斯最早证明了：圆锥曲线的属性并不依据它们是从斜圆锥还是正圆锥上截取下来的而有所不同。最后，阿波罗尼奥斯用双叶圆锥（类似于两个无限长的蛋卷冰淇淋沿相对方向放置，顶点重合，轴在一条直线上）取代了单叶圆锥（有点类似于现代的蛋卷冰淇淋），从而使这些古代的曲线更接近于现代的观点。事实上，阿波罗尼奥斯对一个圆锥体给出了跟我们今天所使用的相同定义：

如果让一条长度无限且始终通过一定点的直线，绕一个与此定点不在同一平面上的圆作圆周运动，使它连续通过圆周上的每一点，则这条运动的直线就会描画出一个双叶圆锥的表面。

这一改变使得双曲线成为我们今天所熟悉的双岔曲线。几何学家们常常称之为“两条双曲线”，而不是一条双曲线的“两个分支”，但无论在哪种情况下，这条曲线的二元性都已经被人们所认识。

圆锥截面的名称

在数学史上，概念比术语更重要，但在圆锥截面名称的改变当中，有比平常意义更重要的东西要归功于阿波罗尼奥斯。约一个半世纪以来，除了描述这些曲线得以发现的方式——锐角圆锥的截面（oxytome），直角圆锥的截面（orthotome），以及钝角圆锥的截面（amblytomc）——的陈词滥调之外，圆锥曲线一直没有更独特的应用。阿基米德继续使用这些名称（尽管据说他也使用过抛物线这个词，作为指称直角圆锥截面的同义词）。正是阿波罗尼奥斯（大概是根据阿基米德的暗示），引入了椭圆和双曲线的名称，把它们跟这些曲线联系起来。“椭圆”“抛物线”和“双曲线”这几个词并不是新近为这个目的创造出来的；它们可能早就被毕达哥拉斯学派采用，用于通过面积的应用求二次方程的解。Ellipsis（意思是缺少）这个词用在一个给定面积的矩形与一给定线段重合尚缺一个正方形（或其他特定图形）的时候，hyperbola（意思是向远处抛掷）这个词用在面积超出线段的时候，parabola（意思是放在旁边或比较）这个词表示既没超过也不缺少。阿波罗尼奥斯此时在新的语境中用这几个词来指称几种圆锥截面。我们所熟悉的以原点为顶点的现代抛物线方程是y 2 ＝lx（式中，l是“通径”，如今常常用2p或偶尔用4p来表示）。也就是说，抛物线有这样一个属性：不管你选择曲线上的哪一个点，纵坐标上的正方形都刚好等于横坐标x与通径l所构成的矩形。椭圆和双曲线（同样以原点为顶点）的方程是（x±a） 2 ／a 2 ±y 2 ／b 2 ＝1，或y 2 ＝lx±b 2 x 2 ／a 2 （式中，l还是通径2b 2 ／a）。亦即，对椭圆来说y 2 ＜lx，对双曲线来说y 2 ＞lx，正是这些不等式所代表的这些曲线的不同属性，提示了阿波罗尼奥斯在两千多年前所赋予的名称，至今依然与它们牢牢地联系在一起。注释者欧托基奥斯对一个至今广为传播的错误印象负有责任，这个错误印象就是：阿波罗尼奥斯采用椭圆、抛物线和双曲线这几个词，是为了表示切割面够不着、紧挨着或进入了圆锥的第二叶。这根本不是阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中所陈述的内容。

双叶圆锥

阿波罗尼奥斯从一个双叶斜圆锥得出了所有圆锥截面，并赋予非常恰当的名称，就这两点而言，他可以说对几何学作出了重要的贡献；但在一般化上，他没能走到原本可以走到的那么远。他完全可以从一个椭圆锥开始——或者从任何二次锥开始——依然能得出同样的曲线。也就是说，阿波罗尼奥斯的“圆”锥的任何平截面，都可以在他的定义中充当母曲线或“底”，指定“圆锥”完全是多余的。事实上，正如阿波罗尼奥斯自己所显示的那样（第一卷命题5），每一个斜圆锥不仅有无穷多个与底平行的圆截面，而且还有无穷多组由他所谓的“小反截面”所给出的圆截面。设BFC是斜圆锥的底，ABC是圆锥的三角截面（图9.2）。设P是与BFC平行的圆截面DPE上的任意一点，HPK是一个这样的平面的截面，它使得三角形AHK与ABC相似但方向相反。于是，阿波罗尼奥斯把截面HPK称作小反截面，并证明了它是一个圆。证明很容易根据三角形HMD和EMK的相似性来确立，由这两个三角形相似可知：HM·MK＝DM·ME＝PM 2 ，这是一个圆的典型属性。（用解析几何的语言，如果我们设HM＝x，HK＝a，PM＝y，则y 2 ＝（xa－x），或x 2 ＋y 2 ＝ax，这是一个圆的方程。）

图　9.2

基本属性

希腊几何学家把曲线分为三类。第一类被称作“平面轨迹”，包括所有直线和圆；第二类被称作“立体轨迹”，包括所有圆锥截面；第三类被称作“线性轨迹”，囊括所有其他曲线。第二类曲线所使用的名称无疑得到了下面这个事实的暗示：圆锥曲线没有被定义为平面上一个满足某个条件的轨迹，就像今天人们所做的那样；它们按照立体几何的方法定义为一个三维图形的截面。阿波罗尼奥斯像他的前辈们一样，也是从一个三维空间中的圆锥得出了这些曲线，但他尽快摒弃了圆锥。他从圆锥得出了圆锥截面的一个基本的平面属性或“征状”，从此在这一属性的基础上继续纯平面研究。这一步骤，我们在这里以椭圆为例来说明（第一卷命题13），大概跟他的前辈们（包括门奈赫莫斯）所使用的步骤是一样的。设ABC是一个斜圆锥的三角形截面（图9.3），P是切割所有圆锥母线的一个截面HPK上的任意一点。延长HK与BC的延长线相交于G，并通过一个水平面DPE切割圆锥，与平面HPK相交于直线PM。画DME，它是这个圆的直径，与PM垂直。从三角形HDM和HBG相似可知：DM／HM＝BG／MK，从三角形MEK和KCG相似可知：ME／MK＝CG／KG。现在，从圆的属性可知PM 2 ＝DM·MD；因此，PM 2 ＝（HM·BG／HG）（MK·CG）／KG。若PM＝y，HM＝x，HK＝2a，则上述命题中的属性相当于y 2 ＝kx（2a－x），这个等式我们认出就是以H为顶点、以HK为长轴的椭圆的方程。以同样的方法，阿波罗尼奥斯得出了双曲线方程y 2 ＝k（xx＋2a）的等价物。我们可以取k＝b 2 ／a 2 ，l＝2b 2 ／a，很容易使这些形式符合上面提到的那些“名称”的形式。

图　9.3

共轭直径

阿波罗尼奥斯通过立体几何的方法考量圆锥体，从而得出了我们现在所谓的曲线上一点的平面坐标之间的基本关系——从三个方程式：y2＝lx－b2x2／a2，y2＝lx和y2＝lx＋b2x2／a2给出——接下来，他在不参考圆锥的情况下从诸平面方程式导出了更多的属性。《圆锥曲线论》的作者宣布，他在第一卷中得出了这些曲线的基本属性，“比其他作者的著作中更充分，更普遍。”这句话究竟在多大程度上是真的，下面这个事实给出了暗示：在第一卷中，发展出了圆锥曲线的共轭直径理论。也就是说，阿波罗尼奥斯证明了，一椭圆或双曲线中一组平行于其一条直径的弦的中点，构成了第二条直径，这两条直径被称为“共轭直径”。事实上，我们今天总是以一对互相垂直的直线称为轴来参照圆锥曲线，而阿波罗尼奥斯通常使用一对共轭直径作为斜坐标轴的等价物。共轭直径的体系为圆锥曲线提供了一个格外有用的参照系，因为阿波罗尼奥斯证明了：如果通过一椭圆或双曲线的一条直径的端点画一条直线平行于共轭直径，那么这条直线“就会与这条圆锥曲线相接触，在它与圆锥曲线之间不可能作出其他任何直线”——也就是说，这条直线与圆锥曲线相切。在这里，我们清楚地看到了希腊人关于一条曲线的切线的静态概念，与阿基米德的运动观点形成鲜明对照。实际上，在《圆锥曲线论》中，我们经常能找到，一条直径与其端点上的一条切线被用作一个坐标参照系。

在第一卷的定理当中，有几个定理（命题41到49）相当于坐标变换，从一个基于通过圆锥曲线上一点P的切线和直径的坐标系，转换到由同一圆锥曲线上第二点Q上的一条切线和直径所决定的新坐标系，同时证明了一个圆锥曲线可以参照任何这样的以切线直径为轴的坐标系。特别是，阿波罗尼奥斯熟悉以渐近线为轴来参照的双曲线的属性，对于等轴双曲线来说，它被方程式xy＝c 2 所决定。当然，他没有办法知道，有朝一日，这一关系（相当于波义耳定律）会成为气体研究的基本法则；他也不知道，自己对椭圆的研究会成为现代天文学必不可少的东西。

切线与调和分割

第二卷继续共轭直径和切线的研究。例如，若P是任一以C为中心的双曲线上的任意一点，点P上的切线与渐近线相交于点L和L′（图9.4），它们与P的距离相等（命题8和10）。此外（命题11和16），任何与CP平行的弦QQ′都会与渐近线相交于K和K′，使QK＝QK′，且QK·QK′＝CP 2 。（这些属性可以用综合的方法来证明，但现代读者可以通过使用现代解析方法来检验它们的证明。）第二卷后面的几个命题显示了如何利用调和分割的理论来画一条圆锥曲线的切线。例如，在椭圆的情况下（命题49），若Q是曲线上的一点（图9.5），阿波罗尼奥斯从Q作直线QN垂直于轴AA′，并找到N对于A和A′的调和共轭点T。（即，他找出AA′延长线上的一点T，使AT／A′T＝AN／NA′；换句话说，他确定了点T，使它外分线段AA′之比等于N内分线段AA′之比。）那么，通过T和Q的直线就与椭圆相切。点Q不在曲线上的情况，可以通过我们所熟悉的调和分割的属性分解为这种情况。（可以证明，除了圆锥截面之外，在给定曲线和点的情况下，其他任何平面曲线都不能用直尺和圆规画出从该点到该曲线的切线；当然，阿波罗尼奥斯并不知道这一点。）

图　9.4

图　9.5

三线和四线轨迹

阿波罗尼奥斯显然特别为第三卷感到自豪，因为在《圆锥曲线论》的序言中他写道：

第三卷包含很多引人注目的定理，对立体轨迹的综合与极限的测定很有用；其中大多数定理及最优美的定理都是新的，当我发现它们的时候，我注意到，欧几里得并没有得出三线和四线轨迹的综合，而只是完成了其中偶然的一部分，而且并不成功：因为，如果没有我的补充发现的话，这样的综合是不可能完成的。

这里提到的三线和四线轨迹，从欧几里得直到牛顿，在数学中扮演了一个重要的角色。给定一个平面上的三条直线（或四条直线），求出点P的轨迹，它与其中一条直线的距离跟它与另外两条直线的距离之积成比例（或者，在四条直线的情况下，它与其中两条直线的距离之积跟它与另外两条直线的距离之积成比例），这些距离按照与这些直线有关的角来度量。尽管现代的解析方法（包括直线的常规形式）很容易证明这一轨迹是圆锥曲线——真实的或想象的，可约的或不可约的。如果，对三线轨迹来说，给定直线的方程式分别是A 1 x＋B 1 y＋C 1 ＝0、A2 x＋B 2 y＋C 2 ＝0和A 3 x＋B 3 y＋C 3 ＝0，用来度量距离的角分别是θ 1 、θ 2 和θ 3 ，那么，P（x，y）的轨迹被下面的方程式给定：

一般而言，这个方程就x和y而言是二次的；因此，这一轨迹是圆锥曲线。我们的解法对阿波罗尼奥斯在第三卷中给出的论述不公平，这一卷共有50多个措辞谨慎的命题，全都通过综合的方法来证明，最终得出要求的轨迹。500年后，帕普斯暗示了这一定理对n（这里n＞4）条直线的一般化，而且，正是针对这个一般化的问题，笛卡尔在1637年检验了他的解析几何。因此，在数学史上很少有问题扮演了像“三线和四线轨迹”那样重要的角色。

相交的圆锥曲线

《圆锥曲线论》的第四卷被作者描述为显示了“圆锥截面彼此相交的方式如何之多”，他尤其为一些定理而自豪，它们涉及到一个圆锥截面与“一双曲线的相对分支”的交点数，“其中没有一个命题被先前的作者讨论过。”对阿波罗尼奥斯来说，双曲线是一条双支曲线的观念是新的，他十分欣赏对涉及它的定理的发现和证明。例如，他证明了（第四卷命题42），如果双曲线的一条分支与另一条双曲线的两条分支都相交，则第一条双曲线的相对分支不会与第二条双曲线的任意分支相交于两点；还有（第四卷命题54），如果一条双曲线与第二条双曲线的一条向相反方向凹曲的分支相切，则第一条双曲线的相对分支不会与第二条双曲线的相对分支相交。正是关于本卷中的这些定理，阿波罗尼奥斯所说的一句话暗示了，在他那个时代，正如在我们这个时代一样，有一些思想偏狭的人对纯数学提出反对，他们总是轻蔑地打听，诸如此类的结论有什么用途。作者骄傲地宣称：“仅仅为了证明本身，它们也值得接受，就像我们因为这样那样的理由而接受数学中的很多其他事物一样。”（希斯，1961，第74页。）

最大与最小，切线与正交线

《圆锥曲线论》的第五卷涉及到向一条圆锥曲线画最长和最短线段的问题，并再一次认为“这个问题本身就是最有价值的研究之一”。你不得不赞赏作者极高的智力状态，同时也可以中肯地指出，在他那个时代堪称优美理论的东西，对当时的科学或工程学来说没有任何应用前景，后来却成了诸如地球动力学和天体力学之类的领域中的基本原理。阿波罗尼奥斯关于最大值和最小值的定理，实际上是关于圆锥曲线的切线和正交线的定理。如果不了解双曲线切线的属性，对局部轨迹的分析将是不可能的；而且，如果不参考椭圆的切线，对行星轨迹的研究也是不可想象的。很清楚，换句话说，正是阿波罗尼奥斯的纯数学，使得大约1800年后牛顿的《自然哲学之数学原理》（Philosophiae naturalis principia mathematica）成为可能；反过来，后者又让1960年代的科学家看到了这样的希望：有朝一日，往返月球将成为可能。即便是在古希腊，阿波罗尼奥斯的定理：每一个斜圆锥都有两组圆截面，也可以用于立体变换的制图法中，被托勒密（也许还被希帕克斯）用来把一个球形区域画进一个平面的部分中。数学的发展常常也是如此，一些起初只能拿“因为其本身的缘故而值得研究”来辩护的论题，后来变得对“实干家”来说有着不可估量的价值。

希腊的数学家对跟一条曲线C在点P上相切的切线，没有给出令人满意的定义，而是把它想象为这样的一条直线L，在C与L之间不可能再画出另外一条直线通过点P。大概正是不满这一定义，导致阿波罗尼奥斯避免把从点Q到曲线C的正交线定义为一条通过点Q的直线，它在点P切割曲线C，并垂直于在点P与C相切的切线。相反，他利用了下面这个事实：从Q到C的正交线是一条从Q到C的距离相对最大或最小的直线。例如，在《圆锥曲线论》第五卷的命题8中，阿波罗尼奥斯证明了一个关于抛物线的正交线的定理，这个定理今天通常是微积分课程的组成部分。如果用现代术语，这个定理就是：抛物线y 2 ＝2px上任意一点P的次法线都是常量，且等于p；用阿波罗尼奥斯的话说，这一属性的表述大致如下：

图　9.6

如果A是抛物线y 2 ＝px的顶点，G是轴上的一点，且AG＞p，若N是A与G之间的一点，且NG＝p，作NP垂直于轴，与抛物线相交于P（图9.6），那么，PG是从G到曲线的最短直线，因此是抛物线上点P处的正交线。

图　9.7

阿波罗尼奥斯的证明属于典型的间接方式——若P′是抛物线上其他任意一点，当P′在任一方向上做远离点P的移动时，P′G就会随之增加。关于从轴上的一点到椭圆或双曲线的正交线，一个类似的、但更复杂的定理，是这样证明的：若P是圆锥曲线上的一点，通过点P只能画一条正交线，不管这条正交线是最短还是最长，这条正交线垂直于点P处的切线。请注意，我们当作定义的垂直，在这里是被当作定理来证明的，而我们当作定理的最大—最小属性，对阿波罗尼奥斯来说，却充当了定义。第五卷中后面的一些命题，把圆锥曲线的正切线这个论题带到了这样一种程度，即作者提出了一个准则，使得你可以准确地说出从一个给定的点向一圆锥曲线可以画出多少条正交线。这一准则相当于我们所描述的圆锥曲线的渐屈线的方程式。对于抛物线y 2 ＝2px，阿波罗尼奥斯实质上证明了：凡是坐标满足三次方程27py 2 ＝8（x－p） 3 的点，都是抛物线在点P和P′（P′趋近于P）上的正交线相交点的极限位置。也就是说，这条圆锥曲线上的点是圆锥曲线上的点的曲率中心（对抛物线来说也就是密切圆的圆心）。在椭圆和双曲线的情况下，它们的方程分别是x 2 ／a 2 ±y 2 ／b 2 ＝1，相应的渐屈线的方程是：（ax）2/3±（by）2/3＝（a 2 ±b）3/2。

阿波罗尼奥斯在给出了圆锥曲线的渐屈线的条件之后，显示了如何从点Q作一条圆锥曲线的正交线。在y 2 ＝2px的情况下，对位于抛物线之外且不在轴上的点Q，你可以作直线QM垂直于轴AK，截MH＝p，作直线HR垂直于HA（图9.7）。然后，以HA和HR为渐近线画等轴双曲线，与抛物线相交于P。直线QP就是要作的正交线，你可以通过显示NK＝HM＝p来证明。如果点Q在抛物线之内，作法是一样的，不同的是点P在Q与R之间。阿波罗尼奥斯还给出了从一点向一给定的椭圆或双曲线作正交线的作法，同样利用辅助双曲线，但跟切线不同，所需要的工具不只是直尺和圆规。按照古人对这两个问题的描述，画一条圆锥曲线的切线是一个“平面问题”，相交的圆和直线就足够了。相反，从一个平面上任意一点向一条给定的有心圆锥曲线画正交线，就是一个“立体问题”了，因为它不能只利用直线和圆来实现；但通过使用立体轨迹（在我们的实例中，也就是双曲线）却可以做到。帕普斯后来严厉批评阿波罗尼奥斯在作抛物线的正交线时，把它作为一个立体问题、而不是平面问题来处理。也就是说，阿波罗尼奥斯所使用的双曲线，原本可以用一个圆来取代。阿波罗尼奥斯大概觉得，在他的正交线作法中，对直线和圆的迷恋，应该让位于对这三种类型圆锥曲线的研究方法的统一性的渴望。

相似圆锥曲线

阿波罗尼奥斯把《圆锥曲线论》的第六卷呈送给国王阿塔劳斯的时候，他把这一卷的命题描述为关于“圆锥曲线段的相等和不等、相似和不相似，此外，还有一些在我之前的人所遗漏的其他问题。特别是，你可以在本书中找到，在一个给定直锥中，一个截面是如何切割为相等于一个给定截面。”如果两条圆锥曲线的纵坐标分别与对应的横坐标成比例，则说这两条圆锥曲线相似。第六卷的一些更容易的命题包括：所有抛物线都相似（命题11），以及一条抛物线不可能与圆或双曲线相似，椭圆也不可能与双曲线相似（命题14和15）。另外一些命题（命题26和27）证明了，若任一圆锥体被两个平行的平面相切，产生了双曲截面或椭圆截面，则这些截面相似但不相等。

第七卷回到了共轭直径的主题，还有“很多关于截面直径以及根据截面所描述的图形的命题。”这些命题当中，有一些可以在现代教科书中找到，比如下面这个证明（命题12、13、29和30）：

在每一椭圆（或双曲线）中，任何两条共轭直径上的正方形之和（或差），分别等于轴上的正方形之和（或差）。

还有一个我们所熟悉的定理的证明：如果在一椭圆或双曲线的一对共轭轴的端点上画切线，则这四条切线所构成的平行四边形等于这对共轭轴所构成的矩形。有人推测，《圆锥曲线论》中已经失传的第八卷继续讨论类似的问题，因为在第七卷的前言中，作者写道，第七卷的定理在第八卷中被用来解答限定圆锥曲线的问题，因此，最后一卷“是作为附录。”

圆锥曲线的焦点

阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》是一部在广度和深度上都极为非同寻常的专著，但在我们注意到下面这个事实时却会大吃一惊：它漏掉了一些在我们看来显而易见的基本属性。如今的教科书在介绍这些曲线的时候，焦点扮演了一个显著的角色，然而阿波罗尼奥斯没有指称这些点的名称，仅仅是间接地提到过它们。有人推测，他（多半也包括阿里斯泰奥斯和欧几里得）实际上熟悉圆锥曲线的焦点—准线属性，但在《圆锥曲线论》中甚至都没有提到过这一点。古人在讨论圆锥曲线的时候，没有跟我们所说的偏心率相对应的数字概念；尽管阿波罗尼奥斯的很多定理中含蓄地出现了抛物线的焦点，但不清楚作者是否知道我们今天很熟悉的准线的角色。他似乎知道如何通过5个点决定一条圆锥曲线，但这个后来在牛顿的《原理》一书中十分显眼的论题，在阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》中完全被遗漏了。当然，很有可能，这种令人干着急的遗漏，其中有一些（或全部）源自于下面这个事实：阿波罗尼奥斯或其他作者在别的地方，在那些没有幸存下来的作品中，已经处理过它们。如此之多的古代数学著作都失传了，如果要说他们对某个问题“沉默”，恐怕是靠不住的。此外，莱布尼茨的一番警告我们不要低估了古人的成就，他说：“理解阿基米德和阿波罗尼奥斯的人，就不会那么钦佩后来时代里一些著名人物的成就了。”

坐标的使用

阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中所使用的方法，在很多方面跟现代的方法十分类似，以至于人们有时候认为他的作品就是解析几何，比笛卡尔的作品早1800年。一般意义上的参照线的使用，以及特殊意义上的直径及其端点切线的使用，当然与无论是直角坐标系，还是更一般的斜坐标系标架的使用没什么本质的不同。从切点开始沿着直径来度量的距离是横坐标，与切线平行、并被轴和曲线所截的线段是纵坐标。阿波罗尼奥斯所得出的这些横坐标与对应纵坐标的关系，简直就是文字形式的曲线方程式。然而，希腊人的几何代数没有提供负值；此外，在每个实例中，坐标系都是为了研究其属性而被“后验地”叠加到给定的曲线上。在古代几何学中，似乎还没有这样的实例：一个坐标参照考标架是为了图解方程或关系（不管是用符号表示，还是用文字表示）而“先验地”制定的。关于希腊的几何学，我们可以说，方程由曲线决定，而不是曲线由方程定义。坐标、变量和方程式都是源自于特定几何位置的附属概念；你完全可以推断，在希腊人看来，抽象地把曲线定义为其坐标满足给定条件的点的轨迹是不充分的。要确保一条轨迹实际上就是一条曲线，古人觉得义不容辞的做法就是用立体几何的方法把它们表现为一个立体的截面，或者描述为一个运动学的结构模型。

希腊人对曲线的定义和研究，十分不适宜跟现代处理方法的灵活性和范围相比较。实际上，古人几乎完全忽视了不同种类的曲线在他们周围世界里所扮演的角色。在审美上，希腊人是古往今来最有天赋的民族之一，他们在天上人间所发现的曲线，只有圆和直线的组合。他们甚至没有有效地利用他们已经认识到的定义曲线的两种手段。运动学的方法，以及使用曲面截面，都能够导致深远的一般化，然而古人所熟悉的曲线几乎不足十来种。就连摆线（沿着一条直线滚动的圆上的一点所形成的曲线）似乎都没有引起他们的注意。而阿波罗尼奥斯，古代最伟大的几何学家，也没能发展出解析几何，这大概是曲线贫乏而不是思想贫乏的结果。当问题总是涉及到有限特例中的一个时，一般方法大可不必了。此外，现代解析几何的早期发明者们都有文艺复兴时期的代数供他们支配，而阿波罗尼奥斯却不得不使用更严格、但也更笨拙的几何代数工具。

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(1) 参见卡尔·B.博耶《彩虹》（The Rainbow，纽约，1959），第45～46页。

(2) 参见《广义算术》（Arithmetica universalis），问题47。

(3) 参见T.L.希斯编辑的《圆锥曲线论》（1961年），第26～27页。这里，以及整个这一章，我们都依据希斯的这一极为重要的版本，几段译文都取自此书。

《数学史》第9章 阿波罗尼奥斯

《数学史》第9章　阿波罗尼奥斯