第10章　量子几何

在大约10年的时间里，爱因斯坦凭他的一双手推倒了200多年老的牛顿体系，为世界带来了可以证明的崭新而深刻的引力理论。不论专家还是外行，都喜欢谈爱因斯坦在塑造广义相对论时所表现的卓绝才华和惊人的创造力，不过，我们也不应该忘记对他的成功有过极大帮助的历史环境。这里面影响最大的是黎曼19世纪的数学发现，他严格建立了描写任意维弯曲空间的几何方法。1854年在格丁根大学那篇著名的就职演讲中，黎曼砸碎了平直空间的欧几里得思想锁链，开辟了一条“民主的”几何道路——用统一的数学方法处理各种不同的弯曲空间。正是黎曼的这种思想，为图3.4和图3.6那样的弯曲空间带来了定量的分析方法。爱因斯坦的天才在于他认识到这个数学宝贝仿佛就是为他实现引力新形象而定做的。他大胆宣言，黎曼几何的数学与引力的物理学是天生的姻缘。

然而，在爱因斯坦的绝妙发现约百年后的今天，弦理论为我们提供了一个引力的量子力学图景，不得不在距离尺度小到普朗克长度时修改广义相对论。因为黎曼几何是广义相对论的数学灵魂，所以它也必然需要改变，才可能忠实反映短距离下的弦理论景象。广义相对论断言宇宙的弯曲性质由黎曼几何描述，弦理论则认为只有我们在大尺度下看宇宙才会那样。在普朗克长度那样的小尺度下，一定会出现一种新的几何，来做新的弦理论物理学的伴侣；这门新的几何框架叫量子几何。

与黎曼几何的情形不同，弦理论家找不到什么现成的数学宝贝躺在哪个数学家的书橱里，可以拿来当量子几何。所以，物理学家和数学家们今天正轰轰烈烈研究弦理论，一点点筑成一门新的物理学和数学的分支。尽管完整的故事还有待别人来写，但他们的研究已经揭开了许多弦理论所赋予时空的新的几何性质——爱因斯坦见了也会惊愕的性质。

黎曼几何

如果你在弹簧垫子上跳，垫子会因你的重量而塌陷、弯曲。陷得最深的是你落脚的地方，而边缘则没受多大影响。如果在垫子上画一幅你熟悉的《蒙娜丽莎》，你会清楚地看到这个过程。当弹簧垫子上什么也没有时，蒙娜丽莎与寻常一样；但当你站在垫子上时，画会变形，特别是你脚下的部分，如图10.1所示。

这个例子触及了黎曼弯曲几何数学框架的根本特征。在高斯（Carl Friedrich Gauss）、罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）、波里亚（Janos Bolyai）等前辈数学家的基础上，黎曼证明了，物体上任何两个位置间的距离可以用来定量表示物体的弯曲程度。粗略地说，不均匀塌陷越大——距离关系偏离平直空间越远——物体的曲率越大。例如，你脚下的垫子陷得最深，在那个区域里两点间的距离关系扭曲也最严重。因此，垫子的这个区域有最大的曲率，这跟你预料的一样。蒙娜丽莎的脸在那儿经历了最严重的扭曲，她那永恒的谜一般微笑的嘴角露出一丝诡异的表情。

图10.1　当你站在“蒙娜丽莎床垫”上时，她的微笑扭曲了

爱因斯坦采纳了黎曼的数学发现，为它赋予了精确的物理学意义。我们在第3章讲过，他说明了时空弯曲体现着引力的作用。不过，现在我们要更近地来思考这种解释。从数学上讲，时空曲率——与床垫的弯曲一样——反映了时空点之间的距离关系的扭曲。从物理学看，物体感觉的引力是这种扭曲的直接结果。实际上，如果让物体更小，当我们更深入地认识点的抽象的数学概念的物理意义时，物理和数学将走得更近。但是，弦理论限制了引力物理学能在多大程度上实现黎曼几何的数学体系，因为它限制了我们能让物体变得多小。当我们走近一根根的弦时，就不能走得更远了。弦理论没有传统的点粒子概念——这是它能为我们带来引力的量子理论的基本因素。这具体说明在根本上依赖于距离概念的黎曼几何结构，在超微观尺度下被弦理论改造了。

这些发现对广义相对论的宏观应用没有产生多大影响。例如，在宇宙学中，物理学家依然把星系当作一个个的点，因为它们的大小与整个宇宙比起来是小得可怜的。因此，以这种粗略的方式实现黎曼几何还是很精确的近似，广义相对论在宇宙学背景的成功也证明了这一点。但是，在超微观的领域，弦的延展本性意味着黎曼几何肯定不会是正确的数学形式。正如我们即将看到的，它将被弦理论的量子几何所取代，我们将面临一些崭新的意想不到的特征。

宇宙大舞台

根据宇宙学的大爆炸模型，整个宇宙大约是在150亿年前从一场奇异的大爆炸中轰然出现的。今天，我们看到——最早是哈勃发现的——大爆炸的“碎片”，那亿万个星系，还在向外奔流着。宇宙在膨胀。我们不知道宇宙是一直这样膨胀下去，还是有那么一天会慢慢停下来，然后反过来经历一场宇宙的大收缩。天文学家和天体物理学家正努力从实验来解决这个问题，因为答案引来一个原则上可以观测的量：宇宙的平均物质密度。

假如平均密度超过十万亿亿亿分之一（10-29）克/立方厘米的所谓临界密度——相当于宇宙中每立方米中有5个氢原子——那么足够强大的引力将穿透宇宙，把它从膨胀拉回来。假如平均密度比临界值小，引力作用会很弱，挡不住宇宙永不停歇的膨胀。[凭你自己的观察，你大概以为宇宙物质的平均密度远远超过了临界值。但别忘了，物质与金钱一样，会朝着某些地方聚集。拿地球或太阳系，或银河系的物质密度来作为整个宇宙的密度指标，就像拿比尔·盖茨（Bill Gates）的财产来作为全球财富的指标，我们知道多数人的财产与盖茨相比都是微不足道的，平均下来要小得多；同样，星系间存在着大量几乎真空的区域，它们会大大降低宇宙的平均物质密度。]

天文学家通过仔细研究星系在空间的分布，很好掌握了宇宙可见物质的平均量。结果比临界值小许多。但不论从理论还是实验，都有证据强烈表明宇宙还充满着看不见的暗物质。这些物质不参与恒星能源的核聚变，所以不会发光，不能走进天文学家的望远镜。现在还没人能认定暗物质的本性，更谈不上确定它存在的总量。看来，我们还说不清今天膨胀的宇宙会有什么样的命运。

为了讨论方便，让我们假定物质密度真的超过了临界值，在遥远未来的某一天，宇宙将不再膨胀，而开始坍缩。所有星系将慢慢靠近，随着时间的流逝，它们靠近的速度将越来越快，最后以疯狂的速度撞在一起。你应该看到，整个宇宙在挤压成一块不断收缩的物质。就像我们在第3章讲的那样，它从亿万光年开始收缩，速度在每时每刻增大，万物在不停地汇聚到一起，挤进一个星系大小的空间；它收缩到百万光年，然后到一颗恒星的大小，然后，一颗行星，一个橘子，一颗豆，一粒沙……照广义相对论，它还要继续收缩下去，成一个分子，一个原子，最后在无法抗拒的宇宙大挤压下，它没有了大小。根据传统理论，宇宙从没有大小的原初状态爆炸而来，如果有足够的质量，它又在大收缩中回到相同的终极挤压状态。

但是，我们现在很清楚，当距离尺度在普朗克长度附近或者更小时，量子力学使广义相对论的方程不再有效。我们必须运用弦理论。那么，既然广义相对论允许宇宙的几何形式可以任意小——这相当于黎曼几何的数学允许我们想象任意小的抽象的几何形式——我们自然会问，弦理论是如何改变这种图景的呢？我们很快会看到，弦理论以一种奇异的方式为物理学能达到的距离尺度确立了一个下限，它声称宇宙在任何空间维上都不可能收缩到普朗克长度以下。

这个结果是怎么来的？你可能忍不住要凭自己现在对弦理论的认识，大胆猜想一个答案。当然，你会说不论多少个点堆起来——点粒子就是那样的——体积总还是零。不过，假如粒子真是一根根的弦，它们在完全随机的方向坍缩在一起，就可能填满体积不为零的一团，仿佛一个橡皮筋卷起来的普朗克大小的皮球。如果你这样想，那就走对路了，但可能会忽略一些重要而微妙的特征——弦理论巧妙地利用这些特征发现宇宙应该有一个极限的小尺度；这些特征则具体说明了即将到来的新的弦物理学和它可能给时空几何带来的影响。

为解释这些重要问题，我们先来看一个例子，它忽略了无关紧要的细节，但又不损害新物理学的特征。我们不考虑弦理论的所有10个空间维——甚至我们熟悉的4个展开的时空维也不都考虑——我们还是回到那个花园水管的宇宙。在第8章引进这个二维宇宙是为了说明20世纪20年代卡鲁扎和克莱茵的思想。现在我们用它来作为一个“宇宙大舞台”。看看弦理论在这样简单的情形会有些什么性质，然后我们根据这样得来的知识去更好地认识弦理论所要求的所有空间维。为达到这个目标，我们想象管子宇宙的横向维度开始是圆鼓鼓的，然后慢慢收缩，圆圈越来越小，管子越来越细，趋向一根直线——这样我们看到一个简化的大挤压过程的缩影。

我们的问题是，这样的宇宙坍缩的几何和物理性质，在弦的宇宙和在点粒子的宇宙间会有什么显著不同的特征吗？

新特征

我们用不着远远地去寻找弦物理的什么基本新特征。一个在二维世界的点粒子可以像图10.2画的那样：在水管伸展的方向运动，在环绕的方向上运动，或者在两个方向之间运动。一根弦的小圈也能这样，不同的是，它会在运动中振动，如图10.3（a）。这点差别我们已经较详细地讨论过了：弦通过振动而产生诸如质量和力荷等特征。虽然这是弦理论的决定性的方面，但我们现在不谈它，因为我们已经懂得了它的物理意义。

我们现在感兴趣的是点粒子运动与弦运动的另一点差别，它直接依赖于运动所在空间的形态。因为弦是展开的物体，所以除了已经讲的那些，还有一种可能的形式：它可以像绳子一样缠绕着管子世界，如图10.3（b）。[1]弦将仍然在管子上滑行和振动，不过是以缠绕的形式运动。实际上，弦可以缠绕管子任何圈[也画在图10.3（b）]，一样在滑行中振动。当弦这样卷曲时，我们说它处于缠绕式的运动。显然，缠绕式的运动是弦固有的可能运动形式，点粒子没有对应的状态。我们现在要来认识这类性质全然不同的运动，对弦本身和它所缠绕的维度的几何性质会产生什么影响。

图10.2　在柱面上运动的点粒子

图10.3　弦在柱面上能以两种不同方式运动——“缠绕式的”（b）和“非缠绕式的”（a）

缠绕的弦

我们前面关于弦的运动讲的都是未缠绕的弦。缠绕空间的圆圈维的弦也几乎都有我们讲过的那些弦的性质。它们的振动也跟未缠绕的伙伴一样，决定着它们的观测性质。两者的基本差别是，缠绕的弦有一个极小质量，取决于卷缩维的大小和缠绕的圈数。弦的振动则决定超过极小质量的那部分质量。

我们很容易明白那极小质量是怎么来的。一根缠绕的弦有极小长度，那是卷缩维的周长和弦缠绕它的圈数所决定的。弦的极小长度决定它的极小质量：弦越长，它的极小质量越大，因为“东西更多”。由于圆周长正比于半径，所以缠绕弦的极小质量正比于缠绕圆周的半径。用爱因斯坦的E=mc2把质量同能量联系起来，我们也可以说束缚在缠绕弦内的能量正比于被缠绕的圆周的半径。[未缠绕的弦也有极小长度，否则便又回到点粒子的王国了。因为同样的理由，我们说未缠绕的弦也有一个极小但非零的质量。从某种意义说这是对的，但第6章讲的那种量子力学效应（再想想那个“价格游戏”）却可能消除这部分质量——零质量的光子、引力子和其他无质量或几乎无质量的粒子就是这样产生出来的。从这点看，缠绕的弦是不一样的。]

缠绕弦的存在如何影响它所缠绕的空间维的几何性质呢？日本物理学家吉川敬治（Keiji Kikkawa）和山崎政实（Masami Yamasaki）在1984年第一次找到一个答案，令人惊讶而困惑。

我们来看管子宇宙大收缩的最后那“惊天动地”的一幕。照广义相对论的方式，卷缩的空间向着普朗克长度收缩，然后继续朝更小的尺度收缩下去；关于这一幕实际发生的事情，弦理论却有着迥然不同的说法。弦理论认为，卷缩维半径小于普朗克长度而且还在减小的管子宇宙所发生的所有物理学过程，与半径大的而且还在增大的管子宇宙所发生的过程，绝对是完全相同的！这就是说，当卷缩的空间向着普朗克尺度和更小的尺度坍缩时，一切的努力都被弦化解了，弦把空间几何扭转回来。弦理论证明，这种演化还可以说成是——或者更准确地解释为——卷缩的空间收缩到普朗克尺度，然后开始扩张。弦理论重写了短距离下的几何定律，原来似乎完全的宇宙坍缩现在好像成了宇宙反弹。卷缩的维可以收缩到普朗克长度，但因为弦的缠绕，再往下收缩实际却成了扩张。我们来看那是为什么。

弦的状态[65]

新的弦的缠绕形式的出现，意味着管子宇宙中弦的能量有两个来源：弦的振动和缠绕。根据卡鲁扎和克莱茵的传统，这两个来源都依赖于管子的几何，也就是说，依赖于卷缩圆圈的半径，不同的是带上了明显的弦的特征，因为点粒子是不可能发生缠绕的。于是，我们的第一件事情是准确地决定弦的振动和缠绕的能量贡献如何依赖于卷缩维圆周的大小。为此，我们遵照一种被证明是很方便的办法，把弦的振动分解为两个部分：均匀的振动和普通的振动。普通的振动指我们讨论过多次的寻常的振动，如图6.2画的那些振动；均匀的振动说的是一种更简单的运动：弦从一个地方到另一个地方的不改变形状的整体性滑动。所有的弦运动都是滑动与振动的组合，不过在现在的情形下，我们很容易把它们区别开来。实际上，普通振动在我们的讨论中不会起多大作用，我们讲完要点以后再考虑它的效应。

我们有两点基本发现。第一点，弦的均匀振动（整体滑动）所激起的能量反比于卷缩维的半径，这是量子力学不确定性原理的直接结果：小半径的空间更严格束缚了弦的活动，从而通过量子力学的幽闭效应增大了弦运动的总能量。所以，当卷缩维的半径减小时，弦运动的能量必然会增大——这明显是反比性的特征。第二点，跟我们以前发现的一样，缠绕运动的能量正比而不是反比于维的半径。记住，这是因为缠绕弦的最小长度——从而也是最小能量——正比于那个半径。这两个事实说明，大的半径意味着大的缠绕能和小的振动能，而小的半径意味着小的缠绕能和大的振动能。

这将我们引向一个重要事实：任何一个卷缩维的圆周半径大的二维世界（或者说较粗的管子世界）都对应着一个半径小的伙伴，前者的弦的缠绕能等于后者的弦的振动能，而前者的弦的振动能等于后者的弦的缠绕能。由于物理学性质关心的是弦结构的总能量——而不在乎能量如何在缠绕和振动间分配——所以这两个几何形态不同的管子世界没有物理学的区别。于是，弦理论得出一个非常令人惊讶的结论：不论管子世界是“粗”还是“细”，它们之间不存在什么区别。

这是宇宙的一个“双赢”策略。假如你是位精明的投资者，你遇到下面的困惑时也会这么做的。假定在华尔街上市的两种股票——一种是做健康器械的，一种是做心脏瓣膜的——牢牢地相互关联着。它们今天的收盘价都是1美元1股。据可靠消息，如果一家股票涨了，另一家就会跌；而且，那位消息灵通人士——他是完全信得过的（尽管他的做法有点儿违规）——告诉你，明天这两家股票收盘时的价格肯定会互为反比。就是说，如果一家的收盘价是2美元，则另一家该是1/2美元（50美分）；一家是10美元，另一家就是1/10美元（10美分），等等。但是，那人不能告诉你哪家高，哪家低。你该怎么办呢？

你会一下子把所有的钱都投进来，平均分配到两家公司的股票。因为通过几个例子你就能计算出结果，不论第二天股市如何，你都不会赔的。最坏的情形也能保住本钱（两种股票都是1美元1股）；但只要股价有变化——像你的内线说的那样——你总会赚钱的。例如，健康器械公司在4美元收盘，而心脏瓣膜公司在1/4美元收盘，两者之和是4.25美元，超过了前一天的2美元。而且，从净赚的钱看，你用不着管哪家高哪家低。如果你只关心总的收入，那么两家公司的不同状况并不会对结果发生影响。

弦理论中的能量也处于类似的情形。弦的能量也是两个来源（振动的和缠绕的），两者对总能量的贡献一般是不同的。但我们在下面会看到，不同的几何形态构成的一对——一个产生高缠绕/低振动能，一个产生低缠绕/高振动能——在物理上是没有区别的。另外，在股票的情形中，除了总收入以外，两种股票是可以区别的；但两种弦的图景是绝对没有物理学区别的。

实际上，在股票市场也含有类似情形。不过，我们应该考虑另一种投资方式：你没有将钱平均投向两家公司，而是买了1000股健康器械公司，3000股心脏瓣膜公司。这时候，你的总收入与哪家公司收盘高低有关系？例如，健康器械收盘10美元，心脏瓣膜收盘1/10美元时，你原来投入的4000美元现在成了10300美元；如果两家收盘情况相反，则你的股票价值该是30100美元——多多了。

不管怎么说，反比例的股价一定会产生下面的结果。假如你有个朋友，她买股票跟你完全“对着来”——3000股健康器械公司的，1000股心脏瓣膜公司的。于是，在健康器械收盘高（10美元）的情形，她的股值是30100美元，跟你在相反情形的股值一样；同样，当心脏瓣膜收盘高时，她的股值为10300美元，还是跟你在相反情形的股值一样。这就是说，从总的股值看，两个股价的高低更替的影响将完全被两种股票数量的交换所抵消。

记着最后这一点，我们现在回到弦理论，在一个具体例子中考虑可能的弦能量情况。假定管子世界的圆圈半径是普朗克长度的10倍，我们记作R=10。弦可以缠绕管子任意多圈，如1圈、2圈、3圈，等等。弦缠绕管子的圈数叫缠绕数。缠绕的能量决定于缠绕弦的长度，正比于半径与缠绕数的乘积。另外，任何缠绕的弦都能振动，我们现在讲的整体的均匀振动的能量与半径成反比，也就是半径的倒数1/R（这里是普朗克长度的1/10）的整数倍。我们称这个整数因子为振动数。[2]

你可以看到，这种情形与我们在华尔街遇到的情形很相似。在这里，缠绕数和振动数恰好对应于两家公司股票的份额，而R和1/R则类似于两种股票的收盘价格。现在，我们可以像计算股值那样，通过缠绕数、振动数和半径来计算弦的总能量。表10.1列举了部分弦状态的总能量。表中还列举了在管子半径R=10情况下我们选择的缠绕数和振动数。

缠绕数和振动数可以是任何整数，所以完整的表是无限长的。不过，就我们的讨论来说，这几行有足够代表性。从表中可以看到，我们选择的是高缠绕能和低振动能的状态：缠绕能的因子为10，而振动能的因子为1/10。

现在想象管子收缩，半径从10缩到9.2、7.1……直到1.1、0.7，最后收缩到0.1（1/10），停下来。我们现在讨论这种情形。对这个几何特征不同的管子宇宙，我们可以得到类似的一个弦能量表：现在缠绕能的因子是1/10，而振动能的因子是它的倒数10。结果是表10.2。

表10.1　部分弦状态的总能量

注：在图10.3所示宇宙中运动的弦振动和缠绕的例子，缠绕维的半径为R=10。振动能的因子为1/10，缠绕能的因子为10，从而得出所列的总能量。能量单位为普朗克能量。例如，表中最后一列10.1的意思是10.1倍普朗克能量。

乍看起来，两张表是不同的。但仔细看看，除了数字的次序不同外，两表的“总能量”是完全相同的。为在表10.1中找到与表10.2的某个能量对应的值，只需要交换缠绕数和振动数。就是说，当卷缩维的半径发生改变时（如从10到1/10），振动与缠绕所扮演的角色也相互替换了。于是，只要我们考虑弦的总能量，卷缩维的大小就不会产生什么影响。像那两种股票价格的变化完全被股票份额的交换所补偿一样，把半径从10调换为1/10的结果，也将通过交换振动数和缠绕数而消化。而且，这种结论对任何半径和它的倒数都是成立的，我们选择R=10与R=1/10不过是为了简单方便。[3]

表10.2　部分弦状态的总能量（半径R=1/10）

表10.1和表10.2是不完整的，原因有两个。第一个我们讲了，弦的振动数和缠绕数可以有无限多的可能，而我们只列举了几个。这当然不会有什么问题——我们只要有耐性，想把表列多长都行。我们会发现，表中的关系总是成立的。第二个原因是，除缠绕能外，我们只考虑了来自弦的均匀振动的能量。现在，我们要把普通振动也考虑进来，它们为总能量带来另一份贡献，而且还决定着弦携带的力荷。但更重要的是，这些贡献与半径大小无关。这样，即使我们在表10.1和表10.2里考虑了这些更具体的特性，两个表还是相互对应的，因为普通振动的贡献在任何情况下都是相同的。于是，我们可以说，半径为R的管子世界里粒子的质量和力荷与半径为1/R的情形是完全一样的。因为质量与力荷决定着基本的物理现象，所以在物理上我们不能区别这两种不同几何的宇宙。一个宇宙做的实验在另一个宇宙中有一个对应的实验，它们将导出相同的结果。

争论

乔治和格雷茜走进二维管子世界，成了二维生命，做了那里的物理学教授。两人各建起一个与对方竞争的实验室，都宣布自己确定了卷缩维的半径。两人的实验精度一贯令人佩服，但奇怪的是这回他们的结果却是矛盾的。乔治说半径R=10倍普朗克长度，而格蕾茜宣称R=1/10倍普朗克长度。

“格蕾茜，”乔治说，“据我的弦理论计算，我知道，假如圆圈维的半径是10，我就能预期看到表10.1所列的那些能量的弦。我已经用新的普朗克能量加速器做了好多实验，已经证实了这个预言。所以，我相信，我敢说那圆的半径是R=10。”格蕾茜替自己说了差不多同样的话，不过她的结论是她发现了表10.2所列的能量，从而证明半径R=1/10。

格蕾茜灵机一动，让乔治看到两个表虽然次序不同，内容却是完全一样的。可乔治总要迟钝一些，他问：“怎么会这样呢？根据量子力学和缠绕弦的基本特征，我知道不同的半径会产生不同的弦能量和力荷，如果承认这一点，那我们的半径应该是相同的。”

格蕾茜根据她对弦物理学的新发现告诉乔治：“你说的差不多是对的，可不完全。一般情况下，不同的半径会产生不同的能量；但在特殊情形，例如两个半径互为倒数——10与1/10——则允许的能量和力荷实际上是完全一样的。你看，你说的是缠绕，我说的是振动，而你说是振动，我说是缠绕。大自然可不管我们怎么说，物理学决定于基本的物质构成——粒子质量（能量）和它所带的力荷。不论半径是R还是1/R，弦理论中基本物质构成的这些性质是完全一样的。”

乔治费好大气力才明白过来，他回答说：“我想我明白了。虽然你我给出的弦的具体描述有所不同——要么缠绕卷缩维的方式不同，要么振动行为不同——但它们表现的物理学特征却是完全相同的。因为宇宙的物理学性质依赖于这些基本物质组成的性质，所以在半径互为反比的两个宇宙间没有什么不同，也没有办法区分它们。”说得完全正确。

三个问题

现在你可能会问：“你看，假如我是管子世界里的一个小生命，我可以很简单地拿皮尺去测量管子的周长，从而毫无疑问地确定它的半径——没有假设，也没有但是。那么，不同半径而又不可分辨的两个世界有什么意思呢？另外，弦理论不是排除了普朗克长度以下的尺度了吗，为什么我们还在谈多少分之一普朗克长度的半径的维度呢？最后，虽然我们在讲二维的管子世界，但谁会把它当真呢？——当我们把所有的维都考虑进来时，它还能有什么意义吗？”

我们先来看最后这个问题，答案会把我们引向前两个问题。

虽然我们在二维管子世界里进行讨论，仅限于1个展开维和1个卷缩维，但这样做只是为了简单。如果我们有3个展开维和6个卷缩维——后者是所有卡—丘空间里最简单的形态——那些结论也是完全一样的。每个卷缩维有一个半径，它与半径为倒数的维将生成在物理学上完全相同的宇宙。

我们甚至还可以把这个结论推得更远。在我们的宇宙中，可以看到三个展开的空间维，据天文学家的观测，它们看起来都延伸到大约150亿光年（1光年大约是9万亿千米，所以这延伸的距离大概是1.4亿亿亿千米）。我们在第8章讲过，没人知道那距离以外在发生什么。我们不知道它们是继续无限延伸下去，还是把自身卷缩成超出我们望远镜“感觉能力”的一个巨大的圆。假如它们是卷曲的，那么在太空远行的宇航员不断朝着同一个固定的方向走下去，就能最终绕宇宙一圈——像麦哲伦（Magellan）环游地球那样——回到原来出发的地方。

看来，我们熟悉的展开维也可能是些圆圈，从而也像弦理论说的那样，R与1/R的世界是不可区别的。具体说，这些圆的半径应该是刚才讲的150亿光年，是普朗克长度的10万亿亿亿亿亿亿亿（1061倍），而且还在随宇宙膨胀而增大。如果弦理论是对的，这个宇宙与一个展开维的半径只有1/R=1/1061=10-61普朗克长度的宇宙在物理学上是一样的！这是在弦理论下我们熟悉的宇宙空间的另一幅图景。实际上，在那个“倒数世界”，小圆圈还将随时间变得更小。因为R增大，1/R自然会缩小。现在我们似乎真的走到尽头了。这能是真的吗？我们6英尺（1英尺≈0.3米）的身躯怎么可能“活”在这样难以置信的微观世界里？那么“一丁点儿”宇宙怎么能在物理上与我们看到的茫茫太空相同呢？而且，我们现在也自然走近上面提的第二个问题：弦理论似乎剥夺了我们探索普朗克尺度以下的距离的能力。但是，假如圆半径R大于普朗克长度，它的倒数1/R自然只有普朗克长度的若干分之一。那么结果呢？答案将关联我们的第一个问题，而且揭示了空间和距离的重要而奇妙的一面。

两个距离

距离是我们认识世界的一个十分基本的概念，似乎很简单，人们常常忽略它还有玄之又玄的地方。狭义和广义相对论曾给我们关于空间和时间的概念带来过惊人的影响，弦理论也生出一些新奇的特征，这些经历使我们今天在距离的概念上也更小心翼翼了。物理学中最有意义的定义是那些可操作的——就是说，定义为所定义的东西提供了至少是原则上的测量方法。毕竟，不管概念如何抽象，有了可操作的定义，我们就能在实验中揭示它的意义，测量它的大小。

我们如何才能得到一个可操作的距离的定义呢？在弦理论的背景下回答这个问题会令人大吃一惊的。1988年，布朗大学的布兰登伯格（Robert Brandenberger）和哈佛大学的瓦法两位物理学家指出，假如某个空间维是圆，那么在弦理论中存在着两个不同然而相关的可操作定义。每个定义都有一套不同的测量距离的实验程序，而测量的基础大致说来却是一个很简单的原理：如果探针以已知固定的速度运动，我们可以根据它经过某个距离的时间来确定那段距离的长度。两个定义的差别在于实验过程所选择的探针不同。第一个定义用的是未缠绕在圆圈维的弦，而第二个定义用的是缠绕的弦。我们看到，弦理论中存在两种不同的可操作的距离定义，原因正在于所用的基本探针具有延展的本性。在点粒子理论中没有缠绕的概念，所以只有一种距离定义。

两种操作过程会有怎样不同的结果呢？布兰登伯格和瓦法的发现既令人惊奇，也难以捉摸。借助于不确定性原理，我们大概能明白那答案的意思。未缠绕的弦可以自由沿着圆周滑动，长度正比于半径R。根据不确定性原理，弦的能量正比于1/R（回想一下我们在第6章讲过的探针的能量与它对距离敏感性的关系）。另一方面，我们知道缠绕的弦有着正比于R的极小能量，于是不确定性原理告诉我们，它对距离的敏感程度正比于R的倒数，1/R。将这个思想用数学公式表达出来，我们就能看到，如果拿它们来测量空间的卷缩维的半径，那么未缠绕的弦将测得R，而缠绕的弦将测得1/R。这里，我们的测量还是像从前一样，以普朗克长度为单位。两个实验都可以说自己的结果是圆周的半径——弦理论教导我们的是，以不同探针来测量距离可以得到不同的结果。实际上，这个性质可以推广到所有长度和距离的测量，而不仅限于确定卷缩维的大小。缠绕与未缠绕的弦探针所获得的结果将互成反比。[4]

如果宇宙真像弦理论描绘的那样，我们为什么没在寻常的生活和科学活动中遇到过那两种可能的距离概念呢？我们讲距离的时候，似乎总是从经验来讲的，只有一种距离，没有任何线索暗示还藏着另一种距离的概念。我们为什么会错过那个可能呢？原来，尽管在我们的讨论里R与1/R是高度对称的，但当R（从而1/R也）远远偏离1（当然还是指1个普朗克长度）时，两个可操作的定义中有一个是极难实现的（虽然还有一个是极易实现的）。大概说来，我们总是操作那个容易的，完全不知道还有另一种可能。

两种方法难易悬殊的原因在于所用探针的质量大不相同——要么缠绕的能量高，要么振动的能量高。假如半径R（从而1/R也）远离普朗克长度（即R=1），这时候，所谓“高”能相当于重得惊人的探针——例如比质子重百亿亿倍，而所谓“低”能，差不多就是比零质量重一点儿的探针。在这样的背景下，两种方法便有着天壤的难易差别。因为，光是产生那样的重弦形态也远远超越了我们今天的技术能力。因此，在实践中，只有那个涉及较轻的弦形态的方法才有技术上的可能，那也是我们在讨论距离问题时一贯用的方法。这种方法培养了我们的直觉，从而也符合我们的直觉。

把实际抛到一边，在弦理论主宰的宇宙中，我们可以自由选择一种方法来测量距离。天文学家测量“宇宙的大小”，是通过检验穿过太空碰巧进入他们望远镜的光子；显然，光子在这儿可真是光光的没有质量的弦。结果，光子测得的距离是1061倍普朗克长度，前面已经说过了。假如我们习惯的那3个空间维也是卷缩的，假如弦理论是正确的，那么从原则上讲，用迥然不同的（当然现在还没有的）仪器的天文学家，应该能测量重弦缠绕的空间有多大，他们将发现那距离是光子测得距离的倒数。在这个意义上，我们可以认为宇宙既可能像我们寻常感觉的那么大，也可能小得可怜。根据轻弦模式，宇宙是巨大而膨胀的；而据重弦模式，宇宙是渺小而卷缩的。这里没有矛盾，而是存在着两种不同然而却同样合理的距离定义。由于技术的限制，我们很熟悉第一种定义，而不管怎么说，两个概念都是一样有效的。

现在我们来回答前面的问题，大人如何能在小宇宙中生存？当我们测量一个人的身高，说他高1.8米时，我们一定在用轻弦模式。为比较他们与宇宙的大小，我们必须用同样的过程来测量宇宙，上面说过，那是150亿光年，比1.8米大多了。这样的人类如何能活在重弦模式所测量的“小”宇宙中呢？这是一个没有意义的问题——是在拿苹果同橘子比。现在我们有了两个距离概念——轻弦探针的和重弦探针的——我们也该在相同的模式下比较测量结果。

最小尺度

慢慢往前走，我们就要到头了。如果我们坚持用“容易的办法”来测量——也就是用最轻的弦模式来测量——结果将总是大于普朗克长度。为看清这一点，我们考虑假想的三维空间的大收缩，并假定我们熟悉的那三维是圆的。为讨论方便，假定在思想实验的开始，未缠绕的弦模型是轻的，我们用它来测量宇宙，发现它有一个巨大的半径，正在随时间而收缩。当它收缩时，未缠绕的弦变得越来越重，而缠绕的弦越来越轻。当半径一路收缩到普朗克长度——即R=1时——缠绕的弦与振动的弦正好有相同的质量。这时，两种测量距离的方法都同样难以实现；而且，它们将得出相同的结果，因为1也是它自己的倒数。

半径继续往下收缩，缠绕的弦将变得比未缠绕的更轻，这样，它们自然成为我们用以测量距离的“更容易的方法”。根据这种测量，结果是较重的未缠绕弦的结果的倒数，即半径大于1个普朗克长度，并且还在增大。这不过反映了，当未缠绕弦测量的R收缩到1，并继续收缩时，缠绕弦所测量的1/R将增大到1并且继续增大。于是，当我们决意总以轻弦模式这种“更容易”的方法来测量距离时，我们遇到的最小半径就是普朗克长度。

因为轻弦模式测量的宇宙半径总是大于普朗克长度的，一个特别的结果就是，我们避免了一个会趋向于零的大收缩。根据最轻弦模式的测量，宇宙半径不会朝比普朗克长度更小的方向收缩，当它收缩到普朗克长度时，它会反过来开始增大。反弹的一幕替代了无限的大挤压。

用轻弦模式测量距离，符合我们关于长度的传统概念——那是早在弦理论发现以前就形成的了。如我们在第5章看到的，正是因为这个距离概念，我们才在普朗克尺度以下的距离遇到了不可克服的剧烈的量子波澜。我们又一次看到，弦理论凭它的两个互补的距离概念避免了那可怕的超短距离。在广义相对论的物理学框架和相应的黎曼几何的数学框架下，距离的概念只有一个，它可以是任意小的数值。在弦理论的物理学框架和相应的新生的量子几何的领域里，距离的定义有两个。小心翼翼地运用这两个定义，我们发现有一个概念在大尺度下，与我们的直觉和广义相对论都是相容的，但在小尺度下却迥然不同。具体说来，小于普朗克尺度的距离是不可能达到的。

上面讲的有点儿玄，我们把关键的一点再强调一遍。假如我们硬是不在乎什么“难”与“易”的距离测量方法，而要坚持用未缠绕的弦来测量，那么当R收缩到普朗克长度以下时，我们似乎真能走近比普朗克尺度更小的距离。但上面的讨论告诉我们，那所谓“更小的距离”需要小心来理解，因为它可以有两种不同的意思，而只有一种符合我们的传统观念。在这里，当R收缩到普朗克长度以下时，如果我们还坚持用未缠绕的弦（这时它们已经变得比缠绕的弦更重了），那我们实际上是在用“难”的方法来测量距离，从而那“距离”的意思不满足我们标准的用法。然而，这里讨论的绝不仅仅是语义学的问题、传统习惯的问题或者测量的可行性问题。即使我们愿意用非标准的距离概念来描写一个比普朗克长度更小的宇宙，我们遇到的物理学——如前几节讨论的——并没有什么不同，还是那个大半径宇宙（传统距离的表义下）的物理学（举例来说，就像表10.1与表10.2之间对应的物理学）。真正有意义的正是物理，而不是语言。

布兰登伯格、瓦法和其他一些物理学家根据这些思想重新写下了宇宙学定律，在那里，大爆炸和可能的大收缩都不再牵扯一个零尺度的宇宙，而是每个维都是普朗克长度的宇宙。这当然是一个诱人的图景，原来那个起源于并可能坍缩成一个无限致密的点的宇宙所具有的那些数学的、物理的和逻辑的难题都烟消云散了。尽管很难想象整个宇宙卷缩在一个普朗克尺度的小球里，但比起想象它挤压成一个没有大小的点，还是好得多了。我们将在第14章讨论，弦宇宙学还是一个年轻的领域，不过希望很大，很可能为我们带来这样一个比标准大爆炸模型更容易理解的模型。

结论普遍吗

如果空间维不是圆，结果会怎样呢？那些关于弦理论的最小空间距离的惊人结论还能成立吗？谁也说不准。圆形维度最基本的特征是允许弦的缠绕。只要空间维——不论什么形状——允许弦的缠绕，我们讲的大多数结论应该还是成立的。但是，假如有两维是球形的呢？这种情况下弦不能“牢牢”绕在球面上，因为它总会“滑落下来”，像一根橡皮筋从篮球上滑下来。另外，弦理论限定了这些维的收缩尺度吗？

大量研究表明，答案有赖于一个完全的空间维是卷缩的（如我们这一章讲的），还是在坍缩的孤立的“一小块”空间（我们将在第11章和第13章讨论）。弦理论家普遍相信，不论形状如何，只要我们是在让一个完整的空间维发生收缩，它就像圆的情形一样，有一个极限的尺度。确立这一观念是未来研究的一个重要目标，因为它将直接影响弦理论的诸多方面，包括它的宇宙学意义。

镜像对称

爱因斯坦通过广义相对论在引力的物理学与时空的几何学之间建立了联系。乍看起来，弦理论巩固并拓宽了物理与几何的联系，因为振动弦的性质——它们的质量和所携带的力荷——基本上取决于空间卷缩部分的性质。不过，我们刚开始看到了，量子几何这一弦理论的几何物理学还有些奇奇怪怪的东西。在广义相对论和“传统”几何学中，半径为R的圆与半径为1/R的圆是绝对不同的；然而在弦理论中，它们在物理上却是不可区别的。这使得我们敢雄心勃勃地往前走得更远，我们想，也许还有差别更大的空间几何形式——不仅大小不同，形态也不同——但在弦理论中却找不出它们有什么物理的差别。

1988年，斯坦福大学直线加速器中心的狄克松（Lance Dixon）有一个关于这方面的重大发现，欧洲核子中心（CERN）的勒克（Wolfgang Lerche）、哈佛的瓦法和当时在麻省理工学院（MIT）的瓦纳（Nicholas Warner）也发现了同样的东西。这些物理学家在基于对称性考虑的美学原则下提出一个大胆猜想：为弦理论的卷缩维选择的两种不同卡—丘空间，也许能生成相同的物理。

为说明这种奇异的可能性如何能够发生，我们回想一下，卡—丘空间的孔洞数决定着弦能产生多少族可能的激发态。这些孔洞像我们见过的单孔或多孔的环，如图9.1。我们在纸上画的二维图有一大缺点，不能表现一个六维的卡—丘空间可以具有不同维的孔洞。虽然我们画不出这些孔，但可以用大家理解的数学来描述它们。关键的一点是，源自弦振动的粒子族的数目只依赖于孔的总数，而与某个维的孔数无关（因此，我们在第9章的讨论里并不在意孔的类型有什么不同）。接下来我们想象两个卡—丘空间，它们在不同的维有不同数目的孔，但孔的总数却是相同的。由于不同维的孔数不同，所以这两个卡—丘空间有不同的形态。但因为孔的总数相同，所以它们生成的宇宙有相同数目的粒子族。当然，这不过是一个物理性质。如果要一切物理性质都相同，那要求就严格得多。不过，这一点性质至少能说明狄克松—勒克—瓦法—瓦纳猜想很可能是对的。

1987年秋，我来到哈佛大学物理系做博士后，我的办公室刚好在瓦法的走廊下面。我的学位论文研究的就是弦理论中卷缩卡—丘空间的物理和数学性质，所以瓦法常向我通报他在这方面的工作。1988年秋的一天，他经过我办公室时停下来告诉我，他和勒克、瓦纳有了那个猜想。我很感兴趣，但也有些怀疑。兴趣来自这样的认识：如果猜想是对的，它将在弦理论的研究中开辟一条新路；而怀疑来自我的担心：猜想是一回事，证实那些理论性质却是另一回事。

在接下来的几个月里，我总在考虑他的猜想。坦白地说，我一半认为它是错的。然而，奇怪的是，我与普里泽（Ronen Plesser）做过的一个看似不相干的项目令我很快完全改变了看法。普里泽那时是哈佛的研究生，现在在魏茨曼研究所和杜克（Duke）大学，我们曾满怀热情地想发展一种方法，从一个初始的卡—丘空间出发，用数学操作生成一种尚未知晓的卡—丘形态。我们特别感兴趣的是所谓的轨形变换（orbifolding）技术，先前是由狄克松、哈维（Jeffrey Harvey，在芝加哥大学）、瓦法和惠藤在20世纪80年代中期发展起来的。粗略地讲，就是将原来的卡—丘空间里不同的点黏在一起，按一定的数学法则生成一个新的卡—丘空间。图10.4示意了这样一个过程。这幅图背后的数学是很可怕的，因为这一点，弦理论家只是对最简单的空间形态——如图9.1的高维多孔面包圈——考察了这种技术的应用情况。不过，普里泽和我发现，革普纳（Doron Gepner，那时在普林斯顿大学）的一些美妙发现也许能提供一个有力的理论框架，把轨形变换技术推行到如图8.9那样复杂的卡—丘空间。

经过几个月的紧张探寻，我们得到一个令人惊讶的结果。如果以恰当方式把某些特殊的点黏接在一起，生成的卡—丘空间将以一种奇异的方式表现出与原来空间的区别：新空间的奇数维的孔数等于老空间的偶数维的孔数，反过来也对。特别的是，这意味着孔的总数——从而粒子族的数目——是相同的，尽管两个奇偶相对的空间形态和基本的几何结构当然是完全不同的。[5]

图10.4　所谓轨形变换技术是这样一个过程：通过将初始卡—丘空间的不同点黏接在一起而生成一个新的卡—丘空间

结果显然与狄克松等人的猜想相关，这令我们很兴奋。接下来，普里泽和我又去研究一个关键问题：那两个卡—丘空间除了粒子族的数目相同之外，别的物理性质也相同吗？经过两个多月仔细而艰难的数学分析，其间还得到我的学位论文导师、牛津大学的罗斯（Graham Ross）和老朋友瓦法的启发和鼓励，普里泽和我最后得到了答案：差不多可以肯定是那样的。因为一个与交换奇偶性有关的数学理由，我们以镜像流形来称这些在物理上等价而几何形态不同的卡—丘空间。[6]每一对镜像卡—丘空间当然并不是我们平常讲的字面意义的镜像。尽管它们有不同的几何性质，但在用于弦理论的额外空间时，却能生成同一个物理的宇宙。

发现这个结果后的几个星期，我们是在焦虑中度过的。普里泽和我都明白，我们正在弦理论的一个浪头上，我们证明，爱因斯坦建立的几何与物理学的紧密联系在弦理论中焕然一新了：在广义相对论中意味着不同物理性质的不同几何形态，在弦理论中却可能生成相同的物理。但是，假如我们错了呢？假如那些物理性质以我们忽略了的某种微妙方式产生变化呢？我们把结果告诉了丘成桐，他礼貌然而严厉地指出，我们一定在哪儿错了；他说，从数学观点看，我们的结果太离奇了，不会是真的。他的意见使我们很犹豫。如果一个小结论或不会太引人注意的结论，犯点儿错误也许还算不得什么；而我们的结果是在一个新方向上迈出的意想不到的一步，当然会引起强烈反响。如果它错了，所有的人都会知道。

最后，我们把文章反复检查了，越来越有信心，就拿出去发表。几天以后，我正坐在哈佛的办公室时，电话响了。那是得克萨斯大学的坎德拉斯打来的。他开口就问我是不是坐好了。当然。接着他告诉我，他和两个学生林克（Monika Lynker）和施姆里克（Rolf Schimmrigk）发现了一样东西，会让我从椅子上蹦起来。他们仔细考察了计算机生成的大量卡—丘空间例子，发现这些空间几乎都是成对出现的，两个空间的差别仅在于奇数维和偶数维的洞的数目相互交换了。我告诉他，我还坐得好好的——普里泽和我已发现了相同的结果。坎德拉斯和我们的结果原来是互为补充的：我们走得远一点，证明了镜像空间生成的物理学是一样的；而坎德拉斯和他的学生证明大量的卡—丘空间都以镜像对的形式出现。通过这两篇文章，我们发现了弦理论的镜像对称。[7]

镜像对称的物理学和数学

爱因斯坦在空间的几何与物理的现象间建立的刚性而唯一的联系，在弦理论中获得了解放，这是一个惊人的“范式的转移”。但这些发展所带来的远不只是哲学态度的改变。镜像对称还特别为认识弦理论的物理和卡—丘空间的数学提供了强大的工具。

在所谓代数几何领域从事研究的数学家，在弦理论发现很久以前就一直在为纯数学的理由研究卡—丘空间。他们发现了这些空间的许多具体性质，没有一个显得有未来的物理意义。不过，卡—丘空间的某些性质已经证明是很困难的——基本上不可能完全揭示出来。但弦理论的镜像对称的发现极大地改变了这种局面。大致说来，镜像对称说的是，原来认为毫不相干的特殊的卡—丘空间对现在被弦理论紧紧联系在一起了。联结它们的是一个共同的物理宇宙，任选一个空间作为卷缩维的空间形式，都将生成这样的宇宙。这种意外的内在联系提供了一个新的有力的物理学和数学工具。

举例来说，假如你在忙着计算与卷缩维的某个卡—丘形式相关联的物理性质——如粒子的质量和力荷。你并不特别关心计算结果与实验的联系，因为我们已经看到，现在做那些实验还有大量理论和技术的障碍。实际上，你是在靠思想实验做计算，关心的是假如选择了某个卡—丘空间，宇宙应该像什么样子。开始计算的时候，一切都还顺利；但接着，你的计算遇到了难以逾越的障碍。没人能帮你，世界上最好的数学家也不知道该怎么往下算。你迷失了方向。但是你后来发现这个卡—丘空间有一个镜像伙伴。因为这两个空间生成的弦物理是完全相同的，你意识到自己可以自由地随便拿一个来做计算。于是，你用原来那个卡—丘空间的镜像伙伴重新做刚才那些艰难的计算，你相信计算的结果——物理——应该是一样的。起初你可能认为重新做的计算也会像原来那么难，但你却惊喜地发现，两个计算虽然结果会是一样的，但具体形式却大不相同。原来的某些可怕的计算，在镜像的卡—丘空间里变得非常简单了。为什么会这样呢？这不是两三句话就能说明白的，不过，至少对某些计算来说，几乎肯定是这样的，而且计算的难度可以大大降低。它的意义自然是清楚的：你从迷失的方向里走出来了。

这多少有点儿像下面的例子。假设有人陪你数一堆橘子，橘子随便堆放在一只大果箱里，那箱子长3米，宽3米，高3米。起初，你一个个地数，但很快发现这太累人了。幸运的是，这时来了一个朋友，他是看到橘子送来的。他告诉你，橘子原来整整齐齐堆放在小箱子里（他正好拿着一只那样的箱子），小箱子堆在一起，长、宽、高都是20个。你很快算出，送来了8000小箱橘子。现在你需要知道的只是数清一只小箱子里能堆放多少橘子。这是很容易的。你从朋友那儿借来小箱子，用橘子把它填满，这样，原来那艰巨的使命不费吹灰之力就完成了。总之，发现一种聪明的计算方法，做起来就容易得多。

弦理论中的许多计算都是这种情形。从一个卡—丘空间看，计算可能牵涉大量艰苦的数学步骤；然而，如果转移到它的镜像空间，计算可以更有效地重新组织，从而能够相对容易地实现。这一点是普里泽和我发现的，后来，坎德拉斯和他的合作者得克萨斯大学的奥莎（Xenia de laOssa）、帕克斯（Linda Parkes）和马里兰大学的格林（Paul Green），令人惊奇地将它投入了实践。他们证明，几乎所有困难的计算都能在镜像空间里实现，只需要一台电脑和几页的代数计算。

这对数学家来说更是特别激动人心的发现，因为其中的某些计算也曾令他们困惑过多年。用物理学家的话说，弦理论把它们都解决了。

现在你该明白，在数学家和物理学家之间存在着许多有益的而且通常是友好的竞争。事实上，两个挪威数学家——埃林斯鲁德（Geir Ellingsrud）和斯特罗姆（Stein Arild Strømme）——就曾计算过坎德拉斯和他的伙伴们用镜像对称成功解决了的一个问题。大体说来，那相当于计算在某个特别的卡—丘空间里能“堆放”多少个球，有点儿像我们在大果箱里数橘子的问题。1991年，在伯克莱举行的一次物理学家和数学家会议上，坎德拉斯宣布他的小组用弦理论和镜像对称得出的结果是317206375。埃林斯鲁德和斯特罗姆也宣布了他们艰难的数学计算结果：2682549425。几天里，数学家和物理学家一直在争论：谁是对的？这个问题成了弦理论定量可靠性的真正考验。许多人甚至说——多少带点儿玩笑——这是弦理论能否与实验对比的最好检验。另外，坎德拉斯的结果远不仅是埃林斯鲁德和斯特罗姆也计算了的数值结果，他们还宣布说回答了许多别的极端困难的问题——实际上，那些难题连数学家也从未想过。但弦理论可信吗？数学家和物理学家们在会上进行了广泛的交流，可分歧最终还是没能解决。

大约一个月过后，一封电子邮件在参加过伯克莱会议的人中间传开了，信的主题是物理学赢了！埃林斯鲁德和斯特罗姆在他们的计算机代码中发现了一个错误，改正以后他们也证实了坎德拉斯的结果。从那以后，许多数学家都来检验弦理论镜像对称的定量可靠性：所有的检验都胜利通过了。在物理学家发现镜像对称近10年后，最近，数学家在揭示其内在的数学基础方面取得了重大进展。根据数学家康泽维奇（Maxim Kontsevich）、曼宁（Yuri Manin）、田刚（Tian Gang）、李军（Li Jun）和吉温托尔（Alexander Givental）等人的重要成果，丘成桐和他的合作者刘克峰等终于从数学上严格证明了用来计算卡—丘空间能放多少个球的公式，从而解决了困扰数学家几百年的一大难题。

除了这场独特的胜利，这些发现真正让我们看到物理学开始在数学舞台上崭露头角了。过去许多时候，物理学家曾在数学的仓库里“发掘”出一些工具来构造和分析物理世界的模型。现在，通过弦理论的发现，物理学家开始偿还他们的债务，为数学提供新的方法去解决他们的未解问题。弦理论不仅树立起一个统一的物理学框架，还可能实现一个同样深刻的数学大联合。

第11章　空间结构的破裂

假如你一个劲儿地拉扯一块橡皮膜，它迟早会破裂的。这个简单的事实近年来一直令许多物理学家在想，构成宇宙的空间结构是不是也可能出现这样的事情呢？就是说，空间结构会分裂吗？当然，也许因为我们把橡皮膜的例子太当真了，而被它引向了歧路？

在爱因斯坦的广义相对论看来，答案是否定的，空间结构不会破裂。[1]广义相对论的方程牢牢植根于黎曼几何，我们在前一章讲过，那是分析空间相邻位置距离关系的扭曲的一个数学框架。为了使距离关系有意义，基本的数学形式要求空间背景是光滑的——这是一个有严格数学意义的概念，不过它的寻常意思也能把握某些基本特征：没有褶皱，没有针眼，没有一小块一小块“黏”起来的痕迹，当然也没有破裂。如果空间结构生出这些不规则的东西，广义相对论方程就会崩溃，预示着这样那样的宇宙灾难——那些灾难的结果显然没有出现在我们运转良好的宇宙中。

有想象力的理论家并没有因此停止他们的想象。多年来，他们一直在思考，也许某个超越爱因斯坦经典理论并融合量子物理学的新物理学体系，会证明空间结构可能出现裂痕、破裂和重新组合。实际上，当人们认识到量子物理学能破坏短距离下的涨落时，就有人怀疑裂痕和破碎可能是空间结构的普遍特征。虫洞的概念（对星际旅行着迷的人该熟悉这个词儿）就是从这样的想象中产生出来的。想法很简单。想象一下，假如你是某大公司的总裁（CEO），总部在纽约世界贸易中心一座塔楼的第90层。你还有一家患难与共多年的伙伴公司，在中心另一座塔楼的第90层。[66]两家公司当然不可能搬迁。为了往来密切方便，你自然会想，在两座塔楼间搭一座天桥，这样员工们就能自由往来而用不着上下90层楼了。

虫洞也起着类似的作用：它是一个桥梁或隧道，为联结宇宙两个区域提供了捷径。拿二维模型来说，宇宙像图11.1的样子。假如你公司的总部设在图11.1（a）的下面那个圆圈处；通过那段U形路径，从宇宙的一头走到另一头，你可以来到上面那个圆圈处的另一个办公室。但是，假如空间结构可以破裂，生成图11.1（b）的孔洞，而孔洞还能生长“触角”，像图11.1（c）那样结合起来，这样，原来两个遥远的区域就通过一座空间桥梁联系起来了。这就是虫洞。你可以看到，虫洞在某些地方像那座世界贸易中心的天桥，但还有点根本的差别：世界贸易中心的天桥穿过一个存在的空间区域——两座塔楼间的空间。而虫洞则生成一个新的空间区域，因为二维空间整个就是图11.1（a）的样子（在我们的二维例子中）。薄膜外的区域只不过说明原来的图是不够充分的，它把U形宇宙描绘成我们更高维宇宙里的一样东西。虫洞生成新空间，从而也开辟了新的空间领域。

图11.1　（a）在U形宇宙中，从一端到另一端的唯一路径是穿过整个宇宙；（b）空间破裂，虫洞从两端生出；（c）虫洞两端结合，形成一座桥梁——从宇宙一端到另一端的捷径

宇宙中有虫洞吗？谁也不知道。如果有的话，我们也不知道它们是微观的，还是可能在宇宙的一个巨大区域展开。但是，评价虫洞是真还是假，基本的一点在于决定空间结构是否可能破裂。

黑洞为我们提供了另一个诱人的例子。在这个例子中，空间结构延伸到了极限。在图3.7我们曾看到黑洞巨大的引力场导致了极端的空间卷曲，从而空间结构在黑洞的中心显得破碎了。与虫洞情形不同的是，有许多实验证据支持黑洞的存在，所以关于在黑洞中心发生什么事情的问题，是科学的，而不是幻想的。在这样极端的条件下，广义相对论的方程仍然是失败的。有些物理学家曾提出，破碎的空间结构确实存在着，但黑洞的事件视界（它里面的任何事物都逃不出引力的魔掌）遮住了那个宇宙“奇点”。这个想法使牛津大学的彭罗斯（Roger Penrose）提出一个“宇宙监督假说”，只有在事件视界的遮蔽下才可能出现那种空间奇异性。另一方面，还在弦理论发现之前，就有物理学家猜想，量子力学与广义相对论的恰当结合将证明，那种表面的空间破裂实际上会被量子行为平滑掉——也可以说，破裂的空间又被“缝合”起来了。

随着弦理论的发现和量子力学与引力论的融合，我们最终会研究这些问题的。尽管现在弦理论还不能完全回答它们，但在过去几年里有些密切相关的问题已经解决了。这一章里我们将讨论弦理论如何第一次确定性地证明在某些物理背景下——在某些方面不同于黑洞和虫洞——空间结构是可能破裂的。

诱人的翻转

1987年，丘成桐和他的学生田刚（现在在麻省理工学院）做了一次有趣的数学考察。他们发现，一定的卡—丘空间形态可以通过我们熟悉的数学步骤变换成其他形态：空间表面破裂，生成孔，然后照精确的数学形式将孔缝合起来。[2]简单地说，他们“黏合”了处于原来那个卡—丘空间内部的一类特殊的二维球面——如皮球的表面，如图11.2。（皮球跟所有普通物体一样是三维的，不过，我们这里只谈它的表面，而不管它的组成材料的厚薄，也不管它所包围的内部空间。皮球表面上的点的位置可以用两个数——“经度”和“纬度”——来确定，因而它的表面跟我们前面讨论的水管的表面一样，是二维的。）然后，他们考虑球面像图11.3那样逐渐收缩成一个点。这幅图和本章后面的图都把卡—丘空间简化了，只突出了关系最密切的那一“小块”，但在头脑中我们应该清楚，这样的形变发生在更大的如图11.2的卡—丘空间。最后，田和丘想象，在尖点处将卡—丘空间轻轻分裂，张开缺口[图11.4（a）]，重新黏合起来[图11.4（b）]，然后让它膨胀成圆球的形状[图11.4（c）、图11.4（d）]。

图11.2　在卡—丘空间内部包含着一个球面，特别突出了球所在的区域

图11.3　卡—丘空间里的球收缩成一点，使空间结构破裂。在这里和后面的图中，我们简化了卡—丘空间，只画出了有关的部分

图11.4　破裂的卡—丘空间在尖点处生成一个球面，使表面重新光滑。图11.3中的球被“翻转”过来了

数学家称这样一个操作序列是一种翻转变换（flop-transition）。那是说，原来的皮球似乎在整个卡—丘空间里“翻转”到一个新的方向。丘、田和其他研究者还注意到，在一定条件下，翻转生成的新卡—丘空间[图11.4（d）]与原来的卡—丘空间[图11.3（a）]在拓扑学上是不相同的。这个奇特的说法实际上等于说，绝对不可能不经过空间结构的破裂而将初始的图11.3（a）的卡—丘空间变形成为最后的图11.4（d）的卡—丘空间。

从数学观点看，丘—田过程的意义在于提供了一个从已知卡—丘空间生成新空间的途径。不过，它的真正潜力还在物理学方面，它提出一个诱人的问题：除了抽象的数学程序外，从图11.3（a）到图11.4（d）的序列真能在自然界出现吗？也许，空间结构果然与爱因斯坦的想象不同，它可能分裂然后像上面讲的那样重新修补好？

镜像图景

自1987年的发现以来的几年，丘成桐常鼓励我去考虑翻转变换是否能在物理学中实现。我没有去想这个问题。在我看来，翻转变换只不过是抽象的数学过程，与弦理论的物理毫不相干。实际上，我们在第10章的讨论中发现卷缩的空间维有一个极小半径，可能有人因此认为弦理论不允许图11.3的球面收缩成一个点。不过，请记住，我们在第10章还讲过，假如是一块空间在坍缩——在这里是卡—丘空间的一个球面——而不是整个维在坍缩，则关于大小半径相同的论证就不适用了。但是，不管怎么说，即使我们不能因为这一点理直气壮地排除翻转变换，空间结构看来仍然不太可能会发生破裂。

可是后来，在1991年，挪威物理学家吕特肯（Andy Lütken）和阿斯平沃尔（Paul Aspinwall，我的研究生同学，从牛津来的，现在是杜克大学教授）提出了一个后来证明是很有趣的问题：假如我们宇宙的卡—丘空间结构会经历空间破裂的翻转变换，那么从镜像的卡—丘空间来看，它会是什么样子呢？为明白提出这个问题的动机，我们需要回想一下，一对镜像卡—丘空间（当然指的是被选作额外维度的那些形式）生成的物理学是相同的，但物理学家为了认识物理而在两个空间遇到的数学困难却大不相同。阿斯平沃尔和吕特肯猜想，从图11.3到图11.4的复杂的数学翻转变换可能有一种简单得多的镜像描述——能更清楚地透视相关的物理图景。

那时候，镜像对称的认识深度还不能回答他们提出的问题。不过，阿斯平沃尔和吕特肯发现，在镜像图景中似乎不会出现翻转变换带来的灾难性的物理结果。大约同时，普里泽和我为寻找卡—丘形态的镜像对的工作（见第10章）也意外将我们引到翻转变换的问题上来。在数学上大家都熟悉，像图10.4那样黏合空间的不同点——我们曾用这个程序来构造镜像对——会产生与图11.3和图11.4中的破裂与缝合相同的几何状态。然而，普里泽和我却没有发现有什么相关的物理学灾难。而且，在阿斯平沃尔和吕特肯的发现（还有他们和罗斯以前的一篇论文）激励下，普里泽和我发现，在数学上我们可以用两种不同的方法来修补空间的破裂。一种方法得到图11.3（a）的卡—丘形态，另一种方法则得到图11.4（d）的形态。这就说明，从图11.3（a）向图11.4（d）的演化在大自然是能够发生的。

到1991年底，至少有几位弦理论家强烈感到，空间结构能发生破裂，但还没有人掌握能确定或否定这种惊人的可能性的数学工具。

一步步往前

1992年，普里泽和我断断续续地努力证明过空间结构能发生空间破裂的翻转变换。我们的计算得出些零星的间接证据，但还没找到确定的证明。那年春天，普里泽去访问普林斯顿高等研究院，把我们最近关于在弦理论的物理条件下空间破裂翻转变换的一些认识私下告诉了惠藤。普里泽大概讲了我们的想法，然后等惠藤回答。惠藤把头从黑板转过来，两眼望着办公室的窗外。大约过了一两分钟，他才转过头来，告诉普里泽说，如果我们的想法行得通，“那将是很惊人的。”这又激发起我们的热情。可是不久，由于没什么进展，我们两个人都去做弦理论的其他课题了。

尽管这样，我还是在思考翻转变换的可能性。几个月过去了，我越来越相信那应该是弦理论的一个不可分割的部分。普里泽和我的初步计算以及我们与莫里森（David Morrison，杜克大学的数学家）富有启发的讨论，似乎都说明唯有这才是镜像对称的自然结果。实际上，在访问杜克期间，莫里森和我在卡茨（Sheldon Katz，来自俄克拉何马州立大学，那时也在杜克访问）的一些发现的启发下，初步提出了一个证明翻转变换能在弦理论中出现的策略。但当我们坐下来计算时，才发现那是非常艰难的。即使是全世界最快的计算机，也需要一百多年才能完成那些计算。我们取得了一点进展，但显然还需要能大大提高我们计算效率的新思想。碰巧，埃森大学的数学家巴提列夫（Victor Batyrev）在1992年春夏的两篇论文无意间揭示了那个思想。

巴提列夫早就对镜像对称感兴趣，特别当坎德拉斯和他的合作者们用它成功解决了第10章最后讲的数球问题以后。不过，他凭一个数学家的眼光，为普里泽和我借以寻找卡—丘空间对的方法感到不安。虽然我们用的工具是弦理论家都熟悉的，但巴提列夫后来却告诉我，我们的论文在他看来像“黑色魔术”。这反映了物理学与数学两个学科间巨大的文化差异；当弦理论在模糊它们的界限时，这些差异在两个领域的语言、方法和风格上表现得更显著了。物理学家喜欢先锋派的作风，在寻求问题的解决方法时宁愿改变传统法则，超越大家公认的界线。数学家更喜欢古典风格，习惯按部就班做事情，在前一步没有严格确立以前不会果敢地迈出下一步。两种作风各有优点和缺点；都展开了一条独特的通往创造性发现的道路。两条道路也跟现代音乐与古典音乐一样，不能讲谁对谁错——一个人选择什么样的方法路线，主要凭他个人的兴趣和修养。

巴提列夫开始在更传统的数学框架下重建镜像流形，他成功了。在台湾数学家阮希石（Shi-Shyr Roan）以前工作的激发下，他找到一个系统地生成镜像卡—丘空间对的数学程序。他的重建程序可以约化为普里泽和我在我们考虑过的例子中发现的程序，但展现了一个以数学家更熟悉的方式表达的更为普遍的框架。

巴提列夫论文的另一方面是多数物理学家以前没有遇到过的数学东西。就我来讲，虽然能把握他论证的要点，却很难理解许多关键的细节。但有一点是清楚的：如果正确理解和应用他文章里的方法，很可能会走出一条认识空间破裂的翻转变换的新思路。

在这些发现的激励下，那年夏天快结束的时候，我觉得自己应该全身心地回到翻转问题上来，莫里森告诉我，他要离开杜克到高等研究院去一年，我还知道阿斯平沃尔也将去那儿做博士后。通过几个电话和电子邮件，我也决定离开康奈尔大学，到普林斯顿去度过1992年的秋天。

策略

要长时间紧张地集中精力做件事情，恐怕很难找到比高等研究院更理想的地方了。它于1930年建在一片如诗一般的森林边的小山坡上，离普林斯顿大学校园只有几千米。人们都说在研究院工作不会受到干扰，当然啦，因为这里本来就没有什么干扰。

1933年，爱因斯坦离开德国以后就来到研究院，在这里度过他的余生。在这幽静、孤独的苦行僧生活的环境里，一位老人在思索他的统一场理论，这是怎样的图景，是不难想象的。这里的空气仿佛也总是弥漫着深沉的思想，它可能令你兴奋，也可能让你感到压抑——这得看你当时的思想状况是什么样的。

到研究院不久，保尔·阿斯平沃尔和我有一天走在纳索街头（普林斯顿小城的主要商业街），想找一家我们都喜欢的地方吃晚餐。这可不大容易，因为保尔爱吃肉，而我是个素食者。我们一边走，一边谈自己的生活。谈话中，他问我有没有什么可以做的新东西。我告诉他，是有点儿新东西。然后，我向他详细讲了我觉得重要的事情是应该证明，宇宙如果真是弦理论描绘的那样，则它会发生空间破裂的翻转变换。我还简单讲了我正在探寻的路线，并告诉他，我从巴提列夫的工作看到了新的希望，它大概能弥补我们失去的一些东西。我想这些东西保尔应该是知道的，会为它的前景感到兴奋。然而他没有。现在想来，他那时沉默的原因主要是我们在思想上已经友好地竞争了很久，我们对对方的观点总是有点儿吹毛求疵的。过些日子以后，他转变了看法，我们都全心全意来关注空间翻转问题。

那时，莫里森也来了。我们三个就在研究院的休息室里草拟研究计划。我们都认为，中心目标是要明确从图11.3（a）到图11.4（d）的演化是否能在我们的宇宙发生。但直接攻克这个问题是不可能的，因为描写演化的方程太难了，特别是在空间发生破裂时，更加困难。我们选择了另一种方法，用镜像的图景重新表达这个问题，希望其中的方程会更容易把握一些。图11.5大概说明了这个过程。上面的一行是原来从图11.3（a）到图11.4（d）的演化序列，下一行是同一演化在镜像卡—丘空间里的表现。正如我们很多人已经认识的，它说明在镜像空间里弦理论表现出良好的特性，没有出现灾难性的结果。你可以看到，在图11.5的下面一行里似乎并没有什么破裂。不过，这里出现的真正问题是：我们是不是把镜像对称推到了它的适用范围以外？尽管图11.5上下两行最左端的卡—丘形态能生成相同的物理，但是，在向右端演化的每一步——在中间必然经过破裂和修复的过程——都能让原来的和镜像观点下的物理性质一样吗？

图11.5　一个空间破裂翻转变换（上一行）和设想的镜像过程（下一行）

虽然我们有很牢固的根据来相信镜像关系对图11.5上面一行所引起卡—丘空间破裂的序列是成立的，但我们也发现，谁也不知道在破裂发生以后上下两行是否还能继续互为镜像。这是一个关键问题。如果它们是镜像的，则镜像空间不会出现灾难就意味着原来的空间也没有灾难，这样我们就证明了弦理论里的空间能发生破裂。我们发现，这个问题可以归结为一种计算：计算原来的卡—丘空间在破裂以后（即图11.5上一行右端的卡—丘形态）的物理性质以及相应的镜像空间（即图11.5下一行右端的卡—丘形态）的物理性质，看它们是否相同。

阿斯平沃尔、莫里森和我在1992年的秋天所做的，就是这个计算。

爱因斯坦暮年归宿的深夜的课堂

惠藤剃刀般的智慧多藏在温和的言谈中，而他的语言常常露着几乎刺人的锋芒。很多人认为，在当今的大物理学家行列里，他是活着的爱因斯坦。甚至还有人说他是有史以来最伟大的物理学家。他对尖锐的物理学问题有永不厌倦的渴求，对决定弦理论的发展方向有着巨大的影响。

惠藤的创造力是源源不断的，还有些传奇的故事。他的夫人娜菲（Chiara Nappi）也是研究院的物理学家，曾向我们描绘了一个坐在餐桌旁的惠藤：他常常神游到弦理论的边缘，只是需要拿纸和笔计算一些令人困惑的细节时，才偶尔回到现实中来。[67]另一个故事是听一位博士后讲的。某个夏天，他正好在惠藤隔壁的办公室。他说，当他痛苦艰难地在桌旁与复杂的弦理论计算搏斗时，常听到有节奏的键盘声不断从惠藤那儿传来，感觉一行行拓荒的文字正从人脑汩汩地流进电脑。

大约一个星期后，我来了。惠藤和我在研究院的园子里聊天，他问我有什么研究计划。我告诉他有关空间破裂翻转的事情和我们正在考虑的证明计划。听到这些想法，他的眼睛亮了，不过，他担心计算会很可怕。他还指出我们计划里的一个薄弱环节，与我几年前与瓦法和瓦纳做过的一项研究有关。但后来发现，他提出的问题只是碰到了翻转问题的边缘，不过这使他开始思考最终的相关而互补的问题应该是怎样的。

阿斯平沃尔、莫里森和我决定把计算分解成两个部分。最自然的分解大概是这样的：先揭示出与图11.5上面一行最后一个卡—丘形态相关的物理，然后对下一行的最后一个卡—丘形态做同样的事情。如果镜像关系没有因为上面卡—丘空间的破裂而破坏，则这最后两个卡—丘空间将跟它们演化之初的两个空间一样，生成同样的物理。（这样表达的问题，避免了卡—丘空间破裂时的复杂计算。）然而，结果表明，计算与上一行最后一个卡—丘形态相关的物理是直截了当的事情，这个方案真正的困难在于，首先确定下一行最后一个卡—丘空间——我们假想的上面那个卡—丘空间的镜像——的准确形式，然后再发现与它相关的物理。

为实现后面这一步——在下一行最后那个空间形态确定的条件下，揭示相关的物理特征——坎德拉斯在几年前就发现了一个方法。不过，他的方法算起来太艰难了，在我们的具体例子中还需要一个更好的计算程序。阿斯平沃尔不但是有名的物理学家，也是一流的程序专家，编程序的任务自然落在他身上。莫里森和我则开始做计划的第一步：弄清那个候选镜像卡—丘空间的准确形式。

就在这个时候，我们觉得巴提列夫的工作能为我们提供一些重要线索。然而，数学与物理学之间的文化差异——这回是莫里森和我之间的差异——又阻碍了我们的进步。我们需要将两个领域的力量集中起来，去发现图11.5下面那个卡—丘空间的数学形式——如果自然图景中确实可能发生空间破裂，它应该与图11.5上面那个卡—丘空间生成相同的物理。但是，我们两个对对方的语言都还没熟悉到能看清如何达到目标的地步。显然，我们需要补课，需要赶紧走进对方的专业领域。于是，我们决定白天尽可能做计算，晚上上课，既做教授，也当学生：我给莫里森讲一两小时的物理；然后他给我讲一两小时的数学。我们经常到夜里11点才下课。

我们日复一日地投入到计划里。进展很慢，但我们能感觉到有些东西就要出现了。这时候，惠藤在加强他以前发现的薄弱环节，取得了重大进展。他的研究是建立一种新的更有力的方法来联结弦理论的物理与卡—丘空间的数学。阿斯平沃尔、莫里森和我几乎每天都跟惠藤坐到一起，他会向我们说明根据他的方法得到的新发现。几个星期过去了，我们逐渐发现，他从完全不同的观点进行的研究竟出人意料地和我们的翻转变换问题走到一起来了。我们觉得，如果不快点儿完成计算，惠藤就会赶到前头去了。

周末的六箱啤酒

对物理学家来讲，友好的竞争是最能让人精神集中的。阿斯平沃尔、莫里森和我，3个人的大脑都在高速运转着。有意思的是，这在莫里森和我是一样的，而阿斯平沃尔则是另一回事了。他身上奇特地体现着英国绅士的个性特征，而且很少开玩笑，这大概是他在牛津过了10年学生和研究生的生活留下的印迹。从工作习惯说，他也许是我所见过的最洒脱的物理学家。我们很多人都要工作到深夜，而他的工作从来不超过下午5点。我们周末也工作，而他不会。对他来说，发条拧得太紧，会转得更慢。

到12月初，莫里森和我互相讲课已经几个月，开始有了一点儿回报。我们离认识要找的卡—丘空间的准确形式已经很近了。另外，阿斯平沃尔的计算程序也刚完成，他等着我们的结果，那是他程序所需要的输入条件。一个星期二的晚上，莫里森和我终于相信我们知道如何识别我们需要的卡—丘空间。那也归结为一个用很简单的计算程序就能完成的过程。星期五下午我们把程序写出来调试，到后半夜，结果出来了。

可那是星期五，下午5点以后的事情。阿斯平沃尔已经回家了，要星期一才回来。没有他的计算程序我们什么事也做不了。莫里森和我真不知道整个周末该怎么过。宇宙结构的空间破裂问题想了那么多年，现在我们已经走到答案的边缘了，怎么还能等下去呢。我们给阿斯平沃尔家里打去电话，让他第二天一早就回来。他开始不愿意，后来还是嘟囔着答应了，不过要我们给他买六箱啤酒，我们答应了。

真理时刻

我们如约在星期六的早上聚在一起。那是一个阳光明媚的早晨，我们玩笑着，气氛很轻松。我说，我一半是想阿斯平沃尔别来，如果来了，我会用15分钟来赞美这个让他第一次走进办公室的周末。他说，保证不会有下一次了。

在我和莫里森共用的办公室里，我们围在莫里森的计算机旁。阿斯平沃尔告诉莫里森如何打开他的程序，向我们演示了需要输入东西的准确形式。莫里森把我们前夜得到的结果化为恰当的格式，就这样开始了。

我们进行的特别计算，大概说来是决定一定粒子种类的质量——也就是，弦在我们花了整整一个秋天来认识的卡—丘空间所在的宇宙中运行时，一定振动模式所对应的质量。依照原来的策略，我们希望这个质量应该与空间破裂翻转生成的卡—丘形态的计算结果一致。后面这个计算相对更容易一些，我们以前已经做过了，结果在我们用的特殊单位下是3。因为现在做的是可能的镜像数值计算，我们希望得到很接近3但不是3的结果，如3.000001或2.999999，微小的误差来自四舍五入。

莫里森坐在计算机旁，手指在“enter”键上，轻轻一按，他说“开始”，就让程序运行起来。几秒钟后，计算机回到了答案：8.999999。我的心一沉，难道空间的破裂翻转破坏了镜像关系？它们不可能真的发生？不过，我们几乎马上意识到一定出了什么可笑的事情。假如两个空间形式的物理学真不一样，计算机不可能得出一个那么接近整数的结果。假如我们的思想错了，就没有理由期待除随机的数字以外还能有什么别的东西。我们得到一个错误的结果，但它却提醒我们，也许我们是犯了某个简单的算术错误。阿斯平沃尔和我来到黑板前，没多久就发现我们错哪儿了：在一个星期以前做的“简单”计算里，我们忽略了一个因子3，正确结果应该是9。于是，计算机的结果正好是我们想要的。

当然，这种“事后的一致”只能从边缘增强我们的信心。如果我们知道想要的答案，通常很容易找到办法来得到它。我们还需要做别的计算。必要的程序都编好了，做起来也不难。我们在原来的卡—丘形式上计算了另一种粒子的质量，这次十分小心，不会有错了。答案是12。然后，我们又在计算机旁忙开了。几秒钟后，结果出来了：11.999999，是一致的。我们这就证明了假想的镜像空间的确是镜像的，从而空间破裂翻转变换是弦理论物理的一部分。

这时，我一下子从椅子上跳起来，疯狂似地在办公室里跑了一圈。莫里森也笑嘻嘻地坐在计算机旁。不过，阿斯平沃尔的反应却不一样。“那太好了，但我知道会成功的，”他平静地说，“可啤酒在哪儿？”

惠藤的方法

那个星期一，我们满怀胜利地走向惠藤，告诉他我们成功了。他很高兴听到我们的结果。实际上，他也刚找到一个办法来证明发生在弦理论里的翻转变换。他的论证和我们的迥然不同，而且特别说明了为什么这种空间破裂不会产生灾难性后果的微观原因。

图11.6　弦扫过的世界叶面像一道屏障，消除了与空间结构破裂相关的可能的灾难性影响

他的方法暴露了空间破裂时点粒子理论和弦理论间的差异。关键的一点差异是，在破裂处弦有两种运动形式，而点粒子只有一种。就是说，弦可以像点粒子那样走近破裂，也可以像图11.6画的那样包围着破裂而经过它。总之，惠藤的分析表明，围绕着破裂点的弦——一种不可能在点粒子理论中出现的东西——使周围的宇宙避免了灾难的结果；如果没有它，灾难是一定会发生的。看来，弦的世界叶——回想一下第6章，它是弦扫过空间形成的己维曲面——仿佛提供了一个保护的屏障，消除了空间结构的几何退化所产生的可怕影响。

你很可能要问，如果破裂发生的地方没有弦，结果会怎样呢？而且，你还可能想，在破裂发生的那一瞬间，一根弦——一根无限细的线圈——不过像你身上的一个呼啦圈，能遮挡飞来的一群子弹吗？这两个问题的解答在于第4章讨论过的量子力学的一个基本特征。我们在那儿看到，在量子力学的费恩曼形式里，一个物体，不论是粒子还是弦，都是“摸索着”所有可能的路径从一个地方运动到另一个地方。我们看到的运动是所有可能的组合，每一可能路径在组合中的多少完全取决于量子力学的数学。假如空间出现破裂，则弦可能的运动路径就是图11.6中那些包围破裂点的路径。即使破裂发生时附近没有弦，量子力学考虑的是所有可能弦路径的物理效应，其中就有许多（实际上是无限多）包围破裂点的保护路径。惠藤向我们揭示的就是这些东西，它们消除了可能出现的宇宙灾难。

1993年1月，惠藤和我们三个同时在互联网上发布了我们的论点，通过这种途径，物理学论文可以迅速传遍世界。两篇文章从截然不同的观点描述了所谓拓扑变化转换的第一个例子——那是我们发现的空间破裂过程的专用名词。空间结构是否能发生破裂的老问题就这样由弦理论定量地解决了。

影响

我们已经很好地认识了空间能发生破裂而不产生物理学灾难。但是，空间破裂时会发生什么事情呢？会带来什么看得见的影响呢？我们已经看到，周围世界的许多性质都取决于卷缩维的详细结构。于是，你可能认为像图11.5那样神奇的卡—丘空间变换会产生巨大的物理学影响。然而，实际上我们用以描绘空间的二维图像使得那变换看起来比实际发生的更加复杂了。如果能看见六维的几何，我们会发现，空间确实破裂了，但那变化方式是非常“温和”的，像绒毛上的小蛀洞，而不是牛仔裤膝盖上的大口子。

我们和惠藤的结果都说明，像弦振动的族和每一族的粒子类型的数目这样一些物理特征都不受那些过程的影响。当卡—丘空间通过破裂而演化时，影响的只是每个粒子的质量大小——即弦的可能振动模式的能量。我们的文章表明，这些质量将随卡—丘空间几何形态的改变而连续变化，有的增大，有的减小。然而，最重要的是，当空间破裂出现时，变化的质量并不会出现灾难性的跳跃、尖峰或其他异常行为。从物理的观点看，破裂的瞬间没有什么奇特的表现。

这引出两个问题。第一，我们以上关心的是发生在宇宙多余的六维卡—丘空间里的空间结构破裂，这样的破裂在寻常的三维空间也会出现吗？几乎可以肯定地回答，是的。毕竟，空间就是空间，不论它卷缩成卡—丘形态，还是展开成我们在星光灿烂的夜晚所感觉的茫茫宇宙；即使卷缩的维与展开的维之间有多大区别，那多少是人为产生的。尽管我们和惠藤的分析都依赖于卡—丘空间特别的数学性质，但空间能产生破裂的结果一定有着更广泛的适用性。

第二，这种拓扑改变的破裂会发生在今天或者明天吗？会发生在过去吗？会的。基本粒子质量的实验观测表明，它们的值是相当稳定的。但是，如果我们回到大爆炸以来的早期阶段，即使不以弦为基础的理论也假定有一个基本粒子质量随时间改变的重要时期。从弦理论的观点看，这样的时期当然会发生本章讨论的拓扑改变破裂。在离现在更近的时期，基本粒子质量看起来是稳定的，这说明如果宇宙还在经历着拓扑改变的空间破裂，那过程也该是非常缓慢的——从而它对基本粒子质量的影响微小得我们今天的实验还发现不了。值得注意的是，只要条件满足了，今天的宇宙就可能处在空间破裂的过程中。假如过程很慢，我们就不会知道它的发生。没有发现特别惊人的现象，却引起了极大的兴奋，这在物理学中是少有的事情。那样奇异的几何演化没带来看得见的灾难性结果，这让我们看到弦理论在爱因斯坦的期望之外已经走了多远。

第12章　超越弦：寻找M理论

爱因斯坦在寻求统一理论的漫长道路上，心里想的是“上帝（是否）能以不同方式创造宇宙；就是说，逻辑简单性的要求是否还留着自由的空间”。[68]他的这句话以朴素的形式清楚地表达了今天许多物理学家都相信的一个观点：如果大自然有终极理论，那么支持它的某个特别形式的最令人信服的论证，就是它不可能是相反的东西。终极理论之所以应该有那种形式，是因为那是唯一能描述宇宙而又不产生任何内在矛盾或逻辑荒谬的解释框架。这样的理论宣扬事物就是它本来的样子，因为它只能那样。只要有任何一点变化，不论多么小，都将使理论出现那个“本句话是谎言”的悖论——埋下自灭的种子。

为了认识宇宙呈现那样的结构本来是不可避免的，我们还需要走很长的路去把握一些多年的最深层的问题。那些问题突出了一点神秘：谁或者什么使得那看来无限多的选择成了设计我们宇宙的显然要求？我们常说那是“不可避免的”，这就抹去了那些选择，也回答了那些问题。实在说来，“不可避免性”就是没有选择；它宣扬宇宙不可能是另外的样子。我们将在第14章讨论，没有什么事物能保证宇宙会有如此牢固的结构。不过，追求自然律的这种“刚性”总是现代物理学的统一蓝图的一个核心内容。

到20世纪80年代末，物理学家才发觉，弦理论尽管可能提供一幅独特的宇宙图景，但还不够完美。原因有两点。第一，如我们在第7章简单提过的，物理学家发现实际存在着5种不同形式的弦理论。你可能还记得，它们分别是Ⅰ型、ⅡA型、ⅡB型、杂化O（32）型（简称杂化-O）和杂化E8×E8型（简称杂化-E）理论。它们有许多共同的基本特征——如弦振动模式决定可能的质量和力荷，需要一个10维的时空，卷缩的维应该是某种形态的卡—丘空间，等等——因此，在前面的章节里我们没有强调它们的差别。但是，20世纪80年代的分析表明它们的确是有差别的。在后面的注释里你可以看到它们的更多性质，不过我们这里知道两点就够了：它们包容超对称性的方式不同；它们具有的振动模式的细节不同。[1]（例如，Ⅰ型弦理论除了有我们集中讨论过的闭弦外，还有两端自由的开弦。）这曾令弦理论家感到疑惑，因为尽管我们需要一个真正的最终的统一理论，但涌现出5种可能的形式来，却令每一种都不够理直气壮了。

第二点偏离“不可避免”的事情更难懂一些。为完全明白这一点，我们应该认识到所有物理学理论都包含着两个部分。一部分是理论的基本思想，通常由数学方程表达；另一部分则由这些方程的解组成。一般说来，一些方程有1个而且只有1个解，而另一些方程有多个（也可能很多个）解。（举一个简单例子，方程“2乘以某个数等于10”只有一个解：5。但方程“0乘以某个数等于0”则有无限多个解，因为0乘以任何数都是0。）所以，即使找到由唯一一组方程组成的唯一一个理论，也不一定得到“不可避免的”结果，因为这些方程可能有许多不同的解。20世纪80年代末，人们发现弦理论正处在这样的情形。物理学家在研究5个弦理论中的任何一个的方程时，发现它们确实有许多解——例如，额外的维有多种不同的卷缩形式——每一个解都对应一个不同性质的宇宙。虽然多数宇宙都是作为弦理论方程的有效解出现的，但与我们所知的宇宙似乎没有什么关系。

弦理论得不到“不可避免的”结果，这看起来是很不幸的一个基本特征。但20世纪90年代中期以来的研究为我们带来了极大的新希望：这些特征可能只不过是弦理论家们所用的分析方法产生的。简单地说，弦理论方程太复杂了，谁也不知道它们的精确形式。正是这些近似的方程使一个弦理论迥然不同于另一个。也正是这些近似的方程在5种不同的弦理论背景下出现那么多的解，生成那么多没用的宇宙。

1995年（第二次超弦革命开始那年）以来，越来越多的证据表明，精确的方程（其精确形式我们今天还不知道）可以解决这些问题，从而有助于为弦理论带来“不可避免的”结果。实际上，大多数弦理论家都满意地发现，当精确方程建立起来时，它们会证明5种弦理论原本是密切联系的。5个弦理论像海星的5个触角那样，是同一个整体的不同部分，而我们今天正在努力研究那个整体的性质。物理学家现在相信，他们并没有5个不同的理论，而是有一个把5个理论缝合在唯一一个理论框架的理论。当隐藏的关系显露出来时，问题就一目了然；同样，5个弦理论的统一也将为我们从弦理论看宇宙提供新的有力的视点。

为解释这些东西，我们必须认识弦理论的一些最困难、最前沿的发展。我们必须认识弦理论研究中应用的近似方程的本质和内在局限；我们必须熟悉物理学家借以克服某些近似的灵巧办法——那些技术总称对偶性。接下来，我们必须跟着这些技术的逻辑路线去发现上面提到的那些惊人的结果。但你用不着担心，真正困难的事情弦理论家们已经做了，我们只需要解释他们的结果就行了。

不过，我们要讲的有许多看似分离的东西，在这一章里很容易看见了树而失去了森林。所以，如果你什么时候觉得讨论太复杂了，想急着去看黑洞（第13章）和宇宙学（第14章），请你回头来看看下面的一节，它概括了第二次超弦革命的要点。

第二次超弦革命

图12.1和图12.2概括描绘了第二次超弦革命的基本思想。在图12.1中我们看到，在没能超越物理学家用来分析弦理论的传统近似方法以前，是怎样的情形。5个理论看起来是完全分离的。但是，据今天的研究，我们发现那5个弦理论就像图12.2中海星的5个触角那样，是一个包容一切的框架。（实际上，在本章最后我们还会看到第六个理论——海星的“第六个触角”——也将融入这个统一。）这个囊括四方的框架现在暂时叫作M理论，我们下面将明白这是为什么。图12.2是寻求终极理论的一块里程碑。弦理论中看似毫无牵连的研究现在编织成为一个独一无二的统一的理论，那可能就是我们寻求已久的包罗万象的理论。

图12.1　多年来，在5个弦理论上做研究的物理学家认为他们是在完全独立的理论上工作

图12.2　第二次超弦革命的结果表明，5个弦理论实际上是一个暂时被称为M理论的统一框架的一部分

虽然还有好多事情要做，但物理学家已经发现了M理论的两个基本特征。第一，M理论有11维（10维空间和1维时间）。我们记得，卡鲁扎曾发现多1个空间维会意想不到地将广义相对论与电磁学结合起来；弦理论家也发现，在弦理论中，多1个空间维——在我们前面讨论的9维空间和1维时间之外的1维——会令人满意地将弦理论的5个不同形式综合在一起。而且，这多余的1个空间维并不是凭空生出来的，而是早就存在了。弦理论家现在知道，20世纪七八十年代得到9维空间和1维时间的方法是近似的，精确的计算（现在可以完成了）证明还有1个空间维，我们以前都把它忽略了。

我们发现的M理论的第二个特征是，它不仅包含振动弦，还包含着别的东西：振动的2维薄膜、涨落的3维液滴（也叫“3维”）以及其他一些物质的构成元素。M理论的这些特征也跟11维一样，是我们的计算从20世纪90年代以前的近似方法中解脱出来的结果。

除了这两点发现和近几年来的其他一些认识外，M理论的许多本性的东西仍然是一个个的“谜”——这就是人们说的“M”（英文是mysterious，中文是mi）的意思。全世界的物理学家都在以巨大的热情去探求那谜一般的理论，这也成为21世纪物理学的核心问题。

近似方法

物理学家从前用来分析弦理论的方法的局限源于所谓的微扰论。微扰论说的是，对某个问题做一近似处理，得到一个大概的结果，然后更仔细地考虑原先忽略的细节，从而系统地提高近似的程度。在许多科学领域它都起着重要作用，在弦理论的认识中也是基本的方法。现在我们来看，在日常生活里也常能遇到它。

假如某一天你的车出毛病了，你找到一个机械师，请他给检查一下。机械师看过后告诉你一个坏消息：你的车需要换一台新的发动机，一般大约需要900美元。这是很粗略的近似，你希望仔细检查后能得到更详细一些的情况。几天以后，机械师告诉你，经过运行检查，你还得换一个调节器，大约50美元。这样，修车的费用更准确了，大约是950美元。最后，你去取车时，他把所有费用加起来，给你一张987.93美元的账单。他解释说，那包括950美元的发动机和调节器，另外27美元是散热器的风扇皮带，10美元是电线；最后还有0.93美元是绝缘螺栓。原先粗略估计的900美元，最后经过一点点的补充，变得准确了。用物理学的语言说，这些一点点的东西都是对原来估计的微扰。

恰当而有效地运用微扰论可以使原来的估计很接近最后的结果；应用微扰论时，原来忽略的细节不会太大地影响最后的结果。但是，有时候你会发现最后结果与原来的估计差别大得惊人，技术上说这是微扰论的失败，你可能还有更富感情的说法。这说明原来的近似不是最后结果的恰当指南，因为修正的东西不是小小的偏差，而是大大地改变了原来的粗略估计。

在前面的几章我们简单说过，我们关于弦理论的讨论都依赖机械师用的那种微扰方法。我们常说的对弦理论的“不完全认识”，都这样那样地源于这种近似方法。现在，我们在不那么抽象但比机械师离弦理论更近的情形来讨论微扰方法，从而更好地理解它为什么是“不完全”的。

微扰论的一个经典例子

运用微扰论的一个经典例子是认识地球在太阳系中的运动。在这样巨大的距离尺度上，我们只需要考虑引力；但如果不做进一步的近似处理，方程仍然是极端复杂的。我们记得，据牛顿和爱因斯坦的理论，任何物体都对别的物体产生引力作用，这样，自然得到一个在数学上难以应付的复杂的引力“混战”，牵涉到地球、太阳、月亮和其他行星，原则上还包括所有其他的天体。你可以想象，考虑这么多的影响是不可能的，也决定不了地球的准确运动。实际上，即使只有3个天体，方程也会复杂得没人能完全解决它们。[2]

但不管怎么说，我们能用微扰的方法以很高的精度预言地球在太阳系里的运动。与太阳系的其他星体相比，太阳的质量最大；与其他恒星相比，太阳离地球最近。这样，太阳对地球运动的影响远远超过了其他所有的天体。所以，我们可以只考虑太阳的引力作用来获得一个粗略的估计。在许多情况下，这样的估计是足够好的。必要的时候，我们还可以考虑次要的一些天体的引力效应，如月亮和当时经过地球的行星，这样可以使估计更加准确。当引力越来越多时，计算也开始变得困难，但我们还是较清楚微扰论的原则：太阳—地球引力相互作用为我们近似解释了地球的运动，而其余复杂的引力作用只是对那个解释的一系列越来越小的修正。

微扰方法适用于这个例子的原因在于，这里有一个起支配作用的物理学效应，它的理论描述相对说来更简单。但事情并不总是这样的。例如，假如我们对一个由3颗质量相近的天体组成的三星系统（3颗星相互环绕着运动）感兴趣，就找不出哪个引力关系的影响比别的更大。这样，没有能用来做粗略估计的一个相互作用，而别的效应也不只是一点小小的修正。如果我们硬从两个星体间的引力作用中选一个来运用微扰的方法，用它做一个粗略的估计，我们很快就会发现那是错误的。计算将证明，考虑第三颗星所带来的对原来估计的运动的“修正”不是很小，而是与那粗略的近似一样重要。我们很熟悉这一点：3个人跳霍拉舞一点儿也不像两个人跳探戈。巨大的修正意味着原来的近似离题太远，从而整个计划都不过是一个幻想。我们应该注意，那不单是第三颗星产生的巨大影响的问题，还有更严重的像多米诺骨牌那样的一连串反应：第三颗星极地大影响着原来两颗星的运动，而那两颗星反过来也影响着第三颗星的运动，然后它又会影响那两颗，等等。在这个引力作用网中，每一个都同样重要，因而必须同时加以考虑。在这种情况下，我们常常只能靠计算机的神力来模拟可能的运动结果。

这个例子说明，在应用微扰法时，重要的是决定假设的粗略估计是否真是近似的；如果是，那么哪些细节、多少细节还应该考虑进来才能达到需要的精度水平？如我们现在讨论的这几点，对于将微扰工具用于微观世界的物理过程是特别重要的。

弦理论的微扰方法

弦理论里的物理过程建立在振动弦之间的基本相互作用基础上。我们在第6章结束时讲过[69]，那些相互作用包括图6.7的弦圈的分离与结合。为方便起见，我们把图重新画在这里（图12.3）。弦理论家已经证明了图中示意的过程可以与准确的数学公式联系起来——公式表达了每一根弦对其他弦的运动会产生什么影响。（在细节上，5个弦理论的公式有区别，但现在我们要忽略那些难以把握的特征。）如果没有量子力学，这些公式将是弦相互作用的终点。但是，不确定性原理决定的微观涨落却意味着弦—反弦对（两根振动模式相反的弦）可以在瞬间产生，能量是向宇宙“借”的——不过两根弦必须在足够短的时间里湮灭，然后把能量“还”给宇宙。这样的一个弦对，在量子涨落中生成，靠借来的能量存在，从而必然很快重新结合成一根弦圈，因此被称作虚弦对。虽然它们是瞬间存在的东西，却将影响相互作用的具体性质。

图12.4　量子涨落引发弦—反弦对的生成（b）和湮灭（c），使相互作用更加复杂

虚弦对如图12.4所示。原来的两根弦“突然”在图中的（a）点相遇，在那里结合成一根弦圈，圈向前运动，在（b）点剧烈的量子涨落生成虚弦对，虚弦对运动到（c）湮灭，又还原成一根弦。最后，这根弦在（d）点放出能量，分裂成两根弦，沿不同方向运动。图12.4中间有一个环，于是物理学家称它为“1圈”过程。跟图12.3一样，图12.4也联系着一个精确的数学公式，它概括了虚弦对对原来两根弦的运动产生的影响。

不过这个过程还没有结束，因为量子涨落可以引发任意多的瞬间虚弦对，从而生成一个虚弦对的序列。这样便形成圈数越来越多的图，如图12.5。每一个图都为描述有关过程提供了简单适用的方法：两根过来的弦结合成一根弦，量子涨落使它分裂成虚弦对，向前运动，然后湮灭，形成一根弦，在运动中又生成另一虚弦对，如此演进下去。对这些图，每个过程也有对应的数学公式，同样概括了虚弦对的原来两根弦的运动的影响。[3]

图12.5　量子涨落引起无数次的弦—反弦对的生成和湮灭

我们在前面看到，你付修车费的时候，机械师在原来估计的900美元外增加了更具体的款项，50美元，27美元，10美元和0.93美元；为了更准确认识地球在太阳系的运动，我们在太阳影响之外还考虑了月亮和其他行星的影响。同样，弦理论家证明，两根弦的相互作用可以通过把无圈（没有虚弦对）、1圈（1个虚弦对）、2圈（2个虚弦对）等图的数学表达式加在一起来认识，如图12.6。

图12.6　一根弦与另一根弦的相互作用的净效应等于各个圈图的影响的总和

为进行精确的计算，我们需要把与圈数越来越多的图相关联的数学表达式加在一起。但是，因为这种图有无限多个，而圈数越多，相关的数学计算也越困难，所以这实际上是不可能的。不过，弦理论家将这些计算转到了微扰论的框架下，这么做的基础在于他们的猜想：零圈过程能得到很好的近似估计，圈图产生一些修正，圈越多，效应越小。

实际上，我们所知的关于弦的几乎所有事实——包括前面章节里讲过的许多东西——都是弦理论家通过用这样的微扰方法进行详尽和精细的计算而发现的。但这些结果是否可信，还要看只考虑图12.6的前几个图而忽略更多圈图的粗略估计是否真是一个近似的估计。这引出我们的一个关键问题：我们的近似真的近似吗？

近似真的近似吗

那要看情况，虽然与圈图相关的数学公式随圈数的增多而变得越来越复杂，弦理论家还是发现了一个基本特征。正如绳子的强度决定着它是否可能被拉断或者拧断，同样也存在某一个数，确定着量子涨落是否能将一根弦分裂成两根，产生瞬间的虚弦对。这个数就是所谓的弦耦合常数（更准确地说，5个弦理论有各自不同的耦合常数，这一点我们马上要讨论）。这个名字说得好：弦耦合常数的大小描述了3根弦（原来的一根和分裂成的两根）的量子涨落的关联有多强——就是说，它们彼此的耦合有多紧。从计算公式看，耦合常数越大，量子涨落越可能使原来的弦发生分裂（然后再结合）；耦合常数越小，虚弦瞬时产生的可能性就越小。

我们很快要讲在任何一个弦理论中决定弦耦合常数的问题，不过，我们凭什么说它是“大”还是“小”呢？这一点，弦理论的数学基础已经证明了，区别“大”与“小”的界线是1。意思是这样的：如果弦耦合常数的值小于1，则数量越多的虚弦对越不可能瞬时产生而存在——就像闪电，在同一地方总不太可能多次出现的；然而，如果耦合常数大于或等于1，则很可能出现越来越多的虚弦对。[4]关键的一点是，如果弦耦合常数小于1，圈图的贡献将随圈数的增多而减小。这正是微扰论方法所需要的，因为它说明即使忽略了除前几个圈图外的所有过程，也能得到很准确的结果。但是，如果弦耦合常数不比1小，则圈图的贡献将随圈数的增大而增大。这就像三星系统的问题，微扰方法失败了。原来提出的无圈过程的粗略近似这时不近似了。（这里的讨论同样适用于任何一个弦理论——某个理论下的弦耦合常数值决定着微扰近似方法的有效性。）

这将我们引向另一个重要问题：弦耦合常数是多少（或者更准确地问，5个弦理论各自的耦合常数是多少）？今天，没人能回答这个问题。这是弦理论的最重要问题之一。我们可以确信，只有耦合常数小于1才可能保证微扰框架下的结果是正确的。而且，弦耦合常数的精确数值将直接影响不同弦振动模式所携带的质量和力荷。这样，我们看到，许多物理性质都依赖于弦耦合常数。因此，我们应该更近地去看看，为什么关于它（在5个弦理论中）的数值的重要问题现在还没有答案。

弦理论方程

决定弦的相互作用的微扰方法也可以用来决定弦理论的基本方程。大体上说，弦理论的方程决定着弦的相互作用方式，而反过来，弦的相互作用方式也直接决定着弦理论的方程。

一个基本的例子是，在5个弦理论中，各自都有一个用以决定理论的耦合常数的方程。然而，物理学家今天在每一个弦理论中只能用微扰方法估计少数几个相关的弦作用圈图，得到一个近似的方程。近似方程告诉我们的不过是，在5个弦理论的任何一个里，弦耦合常数都有一个这样的数值，它乘以零的结果是零。这太令人失望了；因为任何数乘以零都是零，以任何值作耦合常数都能满足方程。这样，在任何一个弦理论中，关于耦合常数的近似方程等于什么也没说。

这时候，在5个弦理论中还有另一个方程，是提出来决定展开和卷缩的时空维的具体形式的。我们现在有的这个方程的近似形式比关于耦合常数的方程严格得多，但它还是允许有多个解。例如，4个展开的时空维连同卷缩的6维卡—丘空间构成解的一类，但也有其他可能，展开维与卷缩维的数目还可以有另外的划分。[5]

从这些结果我们能得到什么呢？有3种可能。第一，从最悲观的可能说，尽管每个弦理论都有方程来决定耦合常数和时空的维度与几何形式——其他理论不可能回答的问题——但即使这些方程的精确形式（当然我们还不知道），也允许大量的解，从而将根本削弱理论的预言能力。假如真是这样，那就成了一道障碍。因为弦理论承诺自己能够解释宇宙的那些特征，而不是要我们从实验观测去发现它们，然后多少随意地把它们塞进理论。我们在第15章还要回来讨论这个可能。第二，近似弦方程的令人讨厌的随意性可能暗示着在我们的论证中存在微妙的缺陷。我们是在用微扰的方法来决定弦耦合常数的值，而我们讲过，微扰法只有在耦合常数小于1时才有意义；这样，我们的计算可能就是在未经证明地假定结果本身——即假定计算结果小于1。我们的失败则很可能说明那假定错了，也许5个弦理论的耦合常数都大于1。第三，弦理论那讨厌的随意性可能源自我们用的近似方程。例如，即使某个弦理论的耦合常数小于1，理论的方程也还是可能依赖于所有圈图的贡献。就是说，更多圈图的一点点修正的累积可能会根本改变近似方程——允许有多个解的近似方程——将它改造成更加严格的准确方程。

到20世纪90年代初，多数弦理论家从后两种可能清楚地认识到，理论的进展实在太依赖于微扰论的方法了。他们几乎都认为，下一步的突破需要一种非微扰的方法——它不受近似计算的约束，从而可能远远超越微扰论框架的极限。在1994年的时候，寻找这样的方法似乎还是幻想，但有时幻想也能成为现实。

对偶性

世界各地的几百名弦理论家每年都要聚会一次，总结一年来的成绩，评估各种可能研究方向的优缺点。根据一年的进展情况，人们常常可以预言与会者的兴趣和热情。20世纪80年代中期，在第一次超弦革命的火红年代，这些会总是洋溢着激情和喜悦。物理学家们普遍希望能在短时间内完全认识弦理论，能证明它就是那个宇宙的终极理论。现在想起来，那是太天真了。在后来的年月里，人们发现弦理论有许多深奥的难以捉摸的问题，无疑需要付出长期艰苦的努力才能认识它们。以前那些不切实际的期望曾带来过激情；但当事情没能一下子如愿时，许多研究者就心灰意冷了。20世纪80年代末的弦理论会议就反映了这种理想幻灭后的低落情绪——物理学家带来了有趣的结果，但激不起人们的热情。甚至有人建议这样的年会别再开了。但在20世纪90年代初，情况好起来了。经过不同的突破（有些我们在前面讨论过了），弦理论又恢复了活力，研究者也焕发出乐观的激情。不过，似乎谁也没能预料，1995年3月在南加利福尼亚大学的弦理论年会上会发生什么事情。

该惠藤讲话的时候了。他走上讲台，发表了点燃第二次超弦革命的演讲。他在杜弗（Duff）、胡尔（Hull）、汤森（Town-send）的早期工作的激发下，在施瓦兹和印度物理学家A.森（Ashoke Sen）等人发现的基础上，提出了一个超越弦理论的微扰认识的纲领。那纲领的核心部分是所谓对偶性的概念。

物理学家们用对偶性来说明那些看起来不同实际上可以证明描述完全相同物理状态的理论模型。我们来看一个“平凡的”对偶性的例子：实质一样的理论只不过因为表达方式不同而显得不同。如果你只懂中文，那么你可能不会立刻认出用英文写的爱因斯坦的广义相对论。不过，两门语言都精通的物理学家可以很容易把一种语言译成另一种语言，确立二者的等价性。我们说这个例子是“平凡的”，是因为从物理学的观点看，语言的翻译没带来任何东西。如果一个既懂英文也懂中文的人研究广义相对论的一个难题，不论用哪种语言，问题都是一样困难的。沟通两种语言，并不产生任何新的物理认识。

非平凡的对偶性的例子是，同一物理状态的不同描述确实会产生不同和互补的物理学认识与数学分析方法。实际上，我们已经遇到过两个对偶性的例子。在第10章我们曾讨论过，在卷缩维半径为R的宇宙中的弦理论也可以描述为在卷缩维半径为1/R的宇宙的理论。这是两个不同的几何，但因弦理论的性质，它们在物理上是完全相同的。镜像对称是另一个例子。6个额外空间维的2个不同的卡—丘空间——乍看起来迥然不同的两个宇宙——具有完全相同的物理性质。它们为同一个宇宙提供了两个互相对偶的描述。特别重要的是，这里的情形与中英文的对译不同，两个对偶的描述产生了重要的物理发现，如维的极小半径和弦理论中的拓扑变换过程。

惠藤在“95弦”年会上的演讲中提出了一种新的深刻的对偶性的证据。正如我们在这一章开头简单讲的那样，他指出，5个弦理论尽管看起来有不同的基本结构，但都是同一基本物理学的不同表达方式。于是，我们并不是有5个不同的弦理论，而是有5扇通向同一个基本理论框架的窗口。

20世纪90年代中期的弦理论进展之前，像对偶性这样的宏大构思只是物理学家曾经有过的梦想，实际上几乎没人讲出来，因为它太离奇了。如果两个弦理论在结构上大相径庭，人们很难想象它们能是同一基本物理学的不同描述。不过，通过弦理论的神奇力量，越来越多的证据说明5个弦理论确实是对偶的。而且，正如我们将讨论的，惠藤证明可能还有第六个理论走进这个熔炉。

这些思想密切关联着我们在上一节最后讲的关于微扰方法的适用性问题。因为5个弦理论在弱耦合时才表现得各不相同——所谓弱耦合说的是理论的耦合常数小于1。物理学家靠的是微扰方法，所以他们有时不可能回答这样的问题：如果耦合常数大于1，即所谓强耦合的行为，那些弦理论该有什么性质呢？惠藤等人则宣布，这个关键的问题现在可以回答了。他们的结果令人信服地指出，与我们尚未讲过的第六个理论一起，这些弦理论的强耦合行为都有一个对耦的描述，那是另一个理论的弱耦合行为的描述。

为更具体地把握这个思想，我们应该记住下面的例子。有两个与世隔绝的人，一个喜欢冰，奇怪的是他从没见过水（冰的液态形式）；另一个喜欢水，当然，他从没见过冰。一个偶然的机会，两人相遇了。他们决定组队远征沙漠。爱冰者被爱水者的光滑透明的液体迷住了，而爱水者也惊讶地看着爱冰者带的晶莹的固体。两个人都不知道在水与冰之间存在着深层的联系；在他们看来，这是两样全然不同的物质。可是，当他们顶着火辣辣的太阳走进沙漠时，才惊奇地发现冰慢慢化成了水；而在沙漠寒冷的夜晚，他们同样惊奇地发现液态的水慢慢结成了固态的冰。他们终于认识到，这两种他们原以为毫不相干的物质竟是密切联系的。

5个弦理论间的对偶关系多少有点儿相似：大体上讲，弦耦合常数起着类似于沙漠例子中温度的作用。5个弦理论的任何两个乍看起来都像冰和水那样显得截然不同，但当各自的耦合常数变化时，这些理论却相互转化了。当温度升高时，冰转变成水；同样，在耦合常数增大时，一个弦理论可以转变成另一个。我们经过漫长的征程才发现所有的弦理论都是同一个基本物理结构的对偶描述——就像冰与水，不过都是H2O的具体表现。

这些结论的理由几乎完全依赖于对称性原理的应用。我们下面来讨论这一点。

对称性的力量

多年来，几乎没人想过去研究大耦合常数情况下5个弦理论的任何性质，因为没人知道离开微扰论还能做什么。不过，在20世纪80年代末和90年代初，物理学家已经取得了一些虽然缓慢但是持续的进展，他们认准了某些特别的性质——包括一定的质量和力荷——是某个弦理论强耦合物理的一部分，然而也是我们计算力所能及的。这些显然超越了微扰方法的计算在驱动第二次超弦革命中起着核心作用，而它们的力量来自对称性。

对称性原理为认识物理世界的许多事物提供了洞察的工具。例如我们讲过，物理学定律从来不认为宇宙的某个地方或某一时刻是特别与众不同的，这个古老的信念使我们能够相信，今天的这个地方的定律在其他时刻的其他地方也同样发生作用。这是一个大例子，而对称性原理在不那么宏大的背景下也一样重要。例如，你目睹了一次犯罪，可你只看到了罪犯的右脸；但警察画家可以根据你提供的情况画出罪犯的整张脸。这就是对称性。尽管一个人的左脸和右脸存在一定差别，但基本上还是对称的，一边的脸完全可以用来作另一边的良好的近似。

在广泛的不同领域的应用中，对称性的力量表现在它能以非直接的方式——那通常比直接的方法容易得多——确定事物的性质。当然，为认识仙女星座的基本物理性质，我们可以到那儿去，寻找一个绕着某颗恒星旋转的行星，在那儿建加速器，做我们在地球上做过的实验。但借助于位置变化下的对称性这一非直接的方法，事情会容易得多。我们也可以直接去追踪那罪犯的左脸的特征，但更简单的办法还是借助脸的左右对称性。[6]

超对称性是一个更抽象的对称性原理，它联系的是具有不同自旋的基本物质组成的物理性质。从实验结果看，至多只有些零星线索表明微观世界里有这种对称性，但根据我们以前讲过的理由，可以相信它确实是存在的。超对称性当然是弦理论的一个组成部分。20世纪90年代，在高等研究院塞伯（Nathan Seiberg）的开拓性研究的指引下，物理学家发现超对称性像一把利剑，能以非直接的方式解决某些重要的纷纭复杂的难题。

即使不了解理论错综复杂的细节，如果知道它有超对称性，我们也能给它所具有的性质提出严格的约束。举一个语言的例子。如果有人告诉我们在一张纸条上写着一串字母，其中“y”出现过3次；纸条封在一个信封里。如果没有别的消息，我们无法猜测这个字母序列——我们所知道的只是它可能是一个完全随机的有3个“y”的序列，像mocfojziyxidqfqzyycdi，或者任何其他序列，有无限多的可能。这时，又有人告诉我们两条线索：那张纸条写的是一个英文单词，而且，在所有含3个“y”的单词中，它是字母最少的一个。这些线索从原来的无限多个可能中确定出一个词——含3个“y”的最短英文单词：syzygy。

超对称性也为满足这种对称性原理的理论提出了类似的约束。为认识这一点，假定我们现在遇到一个跟刚才那个语言问题类似的物理学难题。盒子里隐藏着某样东西——不知道是什么——具有一定的力荷。荷可能是电荷、磁荷或者别的什么更一般的荷。为具体起见，让我们假定那是3个单位的电荷。如果没有进一步的信息，我们不可能确定盒子里的东西是怎么组成的。它可能是3个电荷为1的粒子，如3个正电子或3个质子；也可能是9个1/3电荷（如反下夸克）的粒子；还可能在这9个粒子之外另有任意数目的不带电荷的粒子（如光子）。就像只知道3个“y”的未知字母序列一样，盒子里有3个电荷的粒子组成也有无限多的可能。

这时候，像那字谜的情形一样，我们又听到两条线索：描述世界——包括盒子里的东西——的理论是超对称的，盒子里的东西是具有前面说的3个单位电荷的最小质量系统。通过波戈莫尼（E.Bogomol’nyi）、普拉萨德（Manoj Prasad）和索末菲（Charles Sommerfield）的发现，物理学家已经证明，具体明确的组织结构（这里如超对称的理论框架，在字谜的例子即英语的体系）和“极小性约束”（具有一定电荷的最小质量，或一定字母的最短单词）就意味着唯一确定了隐藏事物的本性。就是说，如果保证盒子里的东西是质量最轻的，并且还有确定的电荷，则物理学家就能完全确定它是什么东西。具有一定力荷的最小质量组成叫作BPS状态，是为了纪念它的3个发现者起的名字。[7]

BPS态的重要在于它的性质可以不借助微扰计算而简单、精确、唯一地确定。不论耦合常数是多少，它都是对的。就是说，即使弦耦合常数很大，微扰法不适用时，我们仍然可以导出BPS组成态的准确性质。这些性质通常叫作非微扰的质量和力荷，因为它们的大小超越了微扰近似的框架。因为这一点，我们也可以认为BPS代表着“超越了微扰的状态”。

BPS性质只是大耦合常数下关于一定弦理论的整个物理学的一小部分，但它却让我们实在把握了某些强耦合的特征。当一个弦理论的耦合常数超过微扰论的适用范围时，我们就将有限的认识寄希望于BPS态。它们像几个恰当的外语单词，能把我们带得更远。

弦理论的对偶性

像惠藤那样，我们从一个弦理论说起，如Ⅰ型弦；我们还假定9个空间维都是平直而非卷曲的。这当然不太现实，但可以使讨论简单一些，然后我们再说卷曲维的情形。我们从弦耦合常数远远小于1谈起。这种情况下，微扰论工具是行之有效的，它可以而且确实准确地算出304了很多具体的理论性质。如果让耦合常数增大，但还是小于1，微扰方法仍然适用。不过，理论的具体性质会多少有些改变——例如，与两根弦的散射相关的数值结果可能不同，因为耦合常数增大时，图12.6的多圈过程会产生更大的影响。但除了具体数值的变化外，理论的物理内容还是一样的，只要耦合常数还在微扰论的界限内。

当Ⅰ型弦理论的耦合常数超过1时，微扰法不能用了，我们只能去关心有限的非微扰质量和力荷的集合——BPS态——只有这一点还是我们能够认识的。惠藤讲的、后来经加利福尼亚大学波尔琴斯基（Joe Polchinsky）的合作研究证明的结果是：Ⅰ型弦理论的强耦合特征与杂化O型弦理论在小耦合常数下已知的特征是完全一致的。就是说，当Ⅰ型理论的耦合常数很大时，我们能得到的质量和力荷特征正好等于从杂化O理论在小耦合常数下得到的那些特征。这强烈地暗示我们，看起来像冰与水那样全然不同的这两个弦理论，其实是对偶的。它提醒我们，Ⅰ型理论在大耦合常数下的物理与杂化O理论在小耦合常数下的物理是完全相同的。相关的论证表明反过来也可能是对的：Ⅰ型理论在小耦合常数下的物理与杂化O理论在大耦合常数下的物理也是完全相同的。[8]尽管两个理论在用微扰论方法分析时显得毫不相干，但现在我们看到它们（在耦合常数改变时）相互转变了——像冰与水的转变那样。

一个理论的强耦合物理可以用另一个理论的弱耦合图景来描绘，这个重要的新结果叫强弱对偶性。跟我们以前讲过的其他对偶性一样，它告诉我们那两个理论并不是迥然不同的。实际上，它们是同一基本理论的不同描述。与中—英文的那个平凡对偶的例子不同，强弱对偶性是大有威力的。当两个对偶的理论中某一个的耦合常数小时，我们可以用充分发达的微扰方法来分析它的物理性质。如果理论的耦合常数很大，微扰方法不能用，我们现在也知道可以用对偶的图景来描述它——这里相关的耦合常数是小的，我们又可以用微扰论的工具了。这样的转换使我们能用定量的方法来分析原来认为超越了我们能力的理论。

不过，确实证明Ⅰ型弦理论的强耦合物理等同于杂化O理论的弱耦合物理，是件极端困难的事情，现在还没有结果。原因很简单：对偶理论中的一方不能用微扰方法来分析，因为它的耦合常数太大了。这样，它的许多物理性质都不能直接计算出来。实际上，正是因为这一点，对偶性才更有潜力。因为，如果真是那样，则它为强耦合理论提供了新的分析工具：用微扰法去分析那个弱耦合的对偶图景。

但是，即使不能证明两个理论是对偶的，我们能满怀信心地确定那些性质间的完美对应，却提供了令人不得不信的证据，说明我们猜想的Ⅰ型与杂化O型弦理论间的强弱对偶关系是正确的。实际上，为检验这种对偶性，越来越精巧的计算都得到了肯定的结论。多数弦理论家相信，对偶性是真的。

用同样的方法，我们可以研究其余几个弦理论的强耦合性质，例如，ⅡB型弦理论。胡尔和汤森原来提出一个猜想，后来得到许多物理学家研究的支持，奇怪的事情果然发生了。当ⅡB型弦的耦合常数越来越大时，我们能认识的那些物理性质似乎跟ⅡB型弦本身的弱耦合情形完全相同。换句话说，ⅡB型弦是自对偶的。[9]具体地讲，详细分析揭示一个诱人的事实：当ⅡB型弦的耦合常数大于1时，如果我们将数值变换为它的倒数（这个值自然小于1），那么结果跟原来是完全一样的。跟我们在探索普朗克尺度下的卷缩维时发现的情形类似，如果把ⅡB型弦的耦合常数增加到大于1，自对偶性将证明那结果与原来耦合常数小于1的ⅡB型弦是完全等价的。

小结

现在来看我们都讨论了些什么。20世纪80年代中期，物理学家构造了5个不同的弦理论。在微扰论的近似框架下，这些理论显得各不相同。但近似方法只有在弦理论的耦合常数小于1时才适用。物理学家曾希望能计算每一个弦理论的耦合常数的精确数值，但那时能用的近似方程的形式不可能做到这一点。因此，物理学家便去研究每个理论在所有可能耦合常数值下的情形，小于1和大于1的情形——即弱耦合与强耦合。但传统的微扰方法对任何一个理论的强耦合特征都是无能为力的。

最近，物理学家借助超对称性的力量学会了如何计算一个弦理论的某些强耦合性质。令大多数圈内人士惊讶的是，杂化O型弦的强耦合性质似乎与Ⅰ型弦的弱耦合性质是完全相同的，反过来也是。而且，ⅡB型弦的强耦合物理与它自身在弱耦合的情形相同。这些意外的关联激发我们沿着惠藤的路线走下去，看另外两个弦理论，ⅡA型与杂化E理论，是不是也能满足这样的图景。我们将遇到更加惊奇的事情。为做好准备，我们需要先简单回顾一下历史。

超引力

20世纪70年代末和80年代初，人们对弦理论还没有多大兴趣，许多理论物理学家还在点粒子量子场论的框架下寻求量子力学、引力和其他力的统一理论。他们看到了一点希望，那就是具有大量对称性的理论有可能克服点粒子的引力理论与量子力学间的矛盾。1976年，同在纽约州立大学石溪分校的弗里德曼（Daniel Freedman）、费拉拉（Sergio Ferrara）和纽文惠曾（Peter Van Nieu-wenhuizen）发现最有希望的是包含着超对称性的那些理论，因为玻色子和费米子消减量子涨落的趋势有助于平息微观世界的疯狂。他们用超引力来指那些想包容广义相对论的超对称量子场论。融合广义相对论与量子力学的这些努力最终都失败了。不过，如我们在第8章讲过的，物理学家从这些探索中学会了一点教训，它们孕育着后来弦理论的发展。

那点教训经过法国巴黎高等师范学院克里默（Eugene Cremmer）、朱利亚（Bernard Julia）和谢尔克1978年的研究，变得再清楚不过了，那就是，最可能接近成功的是那些建立在更高维（而不是4维）空间的超引力理论，最有希望的是10维或11维的形式。后来发现，11维的形式是最可能的。[10]与4个观测维的联系仍然在卡鲁扎和克莱茵的框架下实现：多余的维是卷缩的。在10维理论中，跟弦理论的情形一样，6维是卷缩的；而在11维理论中，7维是卷缩的。

当弦理论带着物理学家经过1984年的风暴时，点粒子超引力论的观点发生了巨变。我们曾反复强调过，当我们以今天或不远将来可能的精度来观察弦时，它看起来像一个点粒子。这种不太正规的说法还可以说得更准确一些：在研究弦理论的低能过程时——这些过程没有足够高的能量去探测超微观的弦的延展特性——我们可以运用点粒子量子场论的框架，将弦近似看成没有结构的点粒子。在面临短距离或高能量的过程时，我们不能再用这样的近似，因为弦的延展性是它能解决广义相对论与量子力学矛盾的关键，而点粒子理论做不到。不过，在足够低能的情形——距离足够大——不会遇到那些问题，我们为了计算的方便还常常用这种近似。

以这种方式最接近弦理论的量子场论不是别的，就是那个10维的超引力论。现在我们把20世纪七八十年代发现的10维超引力的特殊性质理解为弦理论基础力量下的低能“遗迹”。10维超引力的研究者们发现了冰山的一角，那角下藏着丰富的超弦结构。实际上，后来发现有4个不同的10维超引力理论，区别在于超对称性在理论中的具体作用方式。其中3个理论分别被证明是ⅡA、ⅡB和杂化E型弦的低能点粒子近似。另一个则同时表现为Ⅰ型和杂化O型弦的低能点粒子近似；现在看来，那是这两个弦理论密切相关的第一条线索。

一切似乎都井然有序，但我们别忘了还有11维的超引力。建立在10维的弦理论显然没有空间容纳一个11维的理论。多年来，大多数（而不是全部）弦理论家抱有一种普遍的观点：11维的超引力不过是一个数学怪物，与弦理论的物理没有任何联系。[11]

M理论是什么

现在的观点不同了。在“95弦”年会上，惠藤论证说，如果从ⅡA型弦出发，把它的耦合常数从远小于1增大到远大于1，那么我们所能分析的物理（主要是饱和BPS态的组合）有一个低能的近似——那正是一个11维的超引力。

惠藤宣布这个发现时，在场的听众都惊呆了，从此也震撼着所有做弦理论的人。几乎弦领域的每一个人都感觉这是一个意想不到的进步。你对这个结果有什么第一反应呢？大概跟多数专家是一样的吧：一个确定的11维的理论怎么会与一个不同的10维理论相关呢？

答案有着深刻的意义。为理解这一点，我们先更准确地谈谈惠藤的结果。而实际上，更简单的办法是先说说惠藤和普林斯顿大学的一个博士后霍拉瓦（Petr Horava）后来发现的一个密切相关的结果，那是关于杂化E弦的。他们发现，强耦合的杂化E弦也有一个11维的图景，图12.7说明了那是为什么。在最左边的图，我们令杂化E弦的耦合常数远小于1。这是我们以前讨论过的情形，而弦理论家也研究过10多年了。从左向右，我们逐渐增大耦合常数，在1995年以前，弦理论家知道这样的结果是多圈过程（图12.6）变得越来越重要；而随着耦合常数的增加，整个微扰论框架将最终失败。谁也不曾想过，当耦合常数增大时，一个新的维度也显露出来了！这是图12.7里的一个“垂直的”维度。别忘了，在这张图里，2维网格代表的是杂化E弦的整个9维空间。这样，垂直的新维是第10个空间维，它们与时间一起，构成一个11维的时空。

图12.7　随着杂化E弦耦合常数的增大，一个新的空间维出现了，弦本身也随之伸展成为柱形膜

另外，图12.7还说明新维带来的一个深远结果。随着那一维的生长，杂化E弦的结构也在改变。当耦合常数增大时，它从1维的线圈伸展成一根丝带，然后成为一个变形的圆柱！换句话讲，杂化E弦实际上是一张2维膜，它的宽度（图12.7的垂向伸展）由耦合常数的大小决定。10多年来，弦理论家总是在用微扰论的方法，是一种建立在耦合常数很小的假设基础上的方法。正如惠藤所说，这样的假设使那些物质的基元表现得像一根根1维的弦。而实际上它们还有隐藏着的另一个空间维。从耦合常数很小的假设中解放出来，考虑杂化E弦在大耦合常数时的物理，那第2维就显露出来了。

这一发现并没有否定我们在前面几章下过的结论，但它迫使我们在新的框架下去认识它们。例如，这一切跟弦理论要求的1维时间和9维空间的图景如何相容呢？回想一下，从第8章我们知道，9维空间的约束条件来自弦能在多少个方向自由振动的问题，我们要求振动的方向数能保证量子力学概率有合理的数值。我们刚才发现的新维不是杂化E弦的振动方向，因为它是锁在“弦”本身的结构里的。换句话说，导出10维时空约束的微扰论方法从一开始就假定了杂化E弦的耦合常数很小。很久以后，人们才认识到，这必然得到两个相容的近似：图12.7的膜宽很小，从而看起来像一根弦；或者，第11维本来很小，超出了微扰方程的分辨能力。在这样的近似框架下，我们自然在头脑里形成一个充满着一维弦的10维宇宙。现在我们看到，那不过是包含着2维膜的11维宇宙的近似。

由于技术的原因，惠藤最先是在研究ⅡA型弦的强耦合性质时遇到第11维的，情形与我们讲的类似。像杂化E弦的例子一样，这里第11维的大小由ⅡA型耦合常数决定。随着常数的增大，新的维也增大。不过，惠藤指出，在维增长中，ⅡA型弦不像杂化E弦那样伸展为丝带，而是形成图12.8那样的“内胎”。同样，惠藤又说，虽然理论家们总把ⅡA型弦看成只有长度没有粗细的1维物体，这只是假定弦耦合常数很小的微扰近似的反映。如果大自然真需要小的耦合常数，那么这种近似是值得信赖的。不过，惠藤和其他一些物理学家在第二次超弦革命中的研究强有力地表明，ⅡA型和杂化E的“弦”根本上说是存在于11维宇宙的2维膜。

图12.8　耦合常数增大时，ⅡA型弦从1维线延展成为自行车内胎似的2维环状物体

那么，11维的理论是什么呢？在低能（与普朗克能量比）条件下，惠藤等人指出，人们忽略已久的11维超引力量子场论就是它的近似。但在高能条件下，我们又该如何描绘这个理论呢？这个问题如今还在积极研究中。我们从图12.7和图12.8知道，11维理论包含着2维延展的物体——2维膜。我们马上要讲，其他维的延展物也一样可能有重要作用。不过，除了不同性质的大杂烩以外，没人知道11维理论是什么。膜是它的基本物质组成吗？它的决定性特征是什么？它如何能够与我们了解的那些物理发生联系？如果相关的耦合常数很小，这些问题目前最好的答案就是我们在前面章节讲的那些，因为在小耦合常数时我们又回到弦理论。但如果耦合常数大，目前还没人知道结果会怎样。

不管11维理论是什么，惠藤都暂时把它叫M理论。这名字代表很多意思，看你喜欢哪一个：谜一般的（Mystery）理论、母（Mother）理论（“一切理论之母”的意思）、膜（Membrane）理论（因为不论结果如何，膜似乎都是理论的一部分）、矩阵（Matrix）理论[这个名字是根据鲁特杰斯（Ratgers）大学邦克斯（Tom Banks）、得克萨斯大学奥斯汀分校的费施勒（Willy Fischler）、鲁特杰斯大学的申克（Stephen Shenker）和苏斯金为理论提出的一种新解释而提出的]。但是，即使不了解它的名字，没严格把握它的性质，我们还是清楚地知道，M理论为把5个弦理论结合在一起提供了统一的基础。

M理论与对偶网

有一个古老的寓言，讲的是3个盲人和1头大象的故事。第一个盲人抓住了象牙，就说它又尖又滑；第二个盲人抱住一条腿，说它是粗壮结实的柱子；第三个盲人拖着尾巴，说它是纤细有力的鞭子。3个人说的截然不同，而谁也看不见别人，所以都以为自己抓住的是不同的动物。多年来，物理学家也像盲人那样在黑暗里摸索，认为那些不同的弦理论本来就是不同的。但现在经过第二次超弦革命的发现，物理学家认识到M理论就是统一5个弦理论的那头大象。

我们在这一章已经讨论过由于超越微扰论框架——本章之前实际上一直在微扰论的框架下——而带来的对弦理论认识的改变。图12.9总结了我们到目前为止所发现的一些关系，箭头指对偶理论。你可以看到，我们有一个关联网，但还不完整。把第10章的对偶性也包括进来，我们就能把它完成。

图12.9　箭头说明哪两个理论是对偶的

回想一下大—小半径的对偶性（以半径1/R替代R）。以前我们忽略了这种对偶性的一个方面，现在我们来说明它。在第10章，我们讨论弦在一个具有圆周维的宇宙中的性质，但没有具体说明我们用的是5个弦理论中的哪一个。我们说，变换弦的缠绕和振动模式后，我们可以用圆周维半径为R的宇宙的弦理论来同样准确地描述半径为1/R的那一个。我们忽略的一点是，ⅡA和ⅡB型理论在这个对偶性下实际发生了转换，杂化O和杂化E弦也是这样。就是说，大—小半径对偶性的更准确表述应该是在圆周维半径为R的宇宙中的ⅡA型弦的物理完全等同于圆周维半径为1/R的宇宙中的ⅡB型弦的物理（类似的表述对杂化E和O弦也是成立的）。对大—小半径对偶性的这种修正，并不影响第10章的结论，但对我们现在的讨论却有着重要影响。

原来，当ⅡA和ⅡB型弦理论以及杂化E和杂化O理论间的联系建立起来后，大—小半径的对偶性便完成了我们说的联系网，如图12.10的虚线。这图说明所有那5个弦理论连同M理论都是相互对偶的。它们都嵌入了一个理论框架；它们提供了描述同一基本物理的5种不同的途径。在某些情形下，一种表述可能比另一种表述有效得多。例如，处理弱耦合的杂化O理论就比处理强耦合的Ⅰ型弦容易得多。不过，它们描写的完全是同一种物理。

图12.10　把时空几何形式（第10章）的对偶性包括进来，所有5个弦理论和M理论就在一个对偶网中联结在一起了

宏图

现在，我们可以更完整地来认识图12.1和图12.2了——那是我们在这一章的开头为了概括基本要点而引进的两个图。在图12.1中我们看到，1995年以前，在没有考虑任何对偶性时，我们有5个显然不同的弦理论。不同的物理学家抱着一个理论，由于不知道对偶性，这些理论看起来是不同的。每一个理论都有变化的性质，如耦合常数的大小，卷缩维的几何形式和大小。物理学家曾经（现在也仍然）希望能从理论本身来确定这些决定性的性质，但现在的近似方程却没有能力做到这一点，所以他们自然去研究各种可能出现的物理。这是图12.1中以阴影表示的区域——区域内每一点表示一种特别的耦合常数和卷缩维几何的选择。没有对偶性，我们仍然只有5个脱节的理论（集合）。

但是现在，如果把前面讨论过的所有对偶性都应用进来，另外还包括那个统一的M理论的中心区域，那么我们就能随着耦合常数和几何参数的改变，从一个理论转换到另一个理论；这就是图12.2所表示的内容。即使我们对M理论没有多少认识，这些间接的论证也令我们强烈感到，它为5个原来显得不同的弦理论提供了统一的基础。而且，我们也知道，M理论还紧密联系着另一个理论——11维超引力论——这画成图12.11，它比图12.2更准确一些。[12]

图12.11说明M理论的基本思想和方程（尽管目前只有部分了解）统一了所有的弦理论思想和方程。M理论像一头理论的大象，令弦理论家们睁开了双眼，看到了一个更宏大的统一框架。

M理论的奇异特征：膜的民主

当弦耦合常数很小时，图12.11中上面5个伸出的触角区域的弦理论的基本物质组成都表现为1维的弦。然而，我们刚得到一个新发现。如果从杂化E或ⅡA型区域出发，增大各自的耦合常数值，我们将走进图12.11的中心区域，原来1维的弦将展开成2维的膜。而且，经过一系列对偶关系的转换——包括弦耦合常数和卷缩空间维的具体形式——我们能自由连续地从图12.11的一点转移到另一点。从杂化E和ⅡA型弦生成的2维膜，也可以在我们向其他3个弦理论的转移中生成，于是我们看到，5个弦理论都包含着2维的膜。

图12.11　把对偶性包括进来，5个弦理论和11维的超引力以及M理论就在一个统一框架下结合在一起了

这引出两个问题。第一，2维膜是弦理论真正的基本组成吗？第二，我们在20世纪70年代和80年代初从零维点粒子跳跃到1维弦，现在又看到弦实际上是2维膜，那么在理论中还会有更高维的物质组成吗？我写这些问题时，还没有完全的答案，不过可能是下面的情形。

在微扰论近似成立的范围外，我们主要依靠超对称性来认识每个弦理论的某些性质。特别是BPS态的性质，它们的质量和力荷，是由超对称性唯一决定的，这使我们不经过艰难的直接计算就能认识它们的某些强耦合特征。实际上，经过霍罗维茨和斯特罗明戈的原始研究和后来波尔琴斯基的奠基性工作，我们现在对BPS态懂得更多了。特别是，我们不仅知道它们携带的质量和力荷，还清楚地知道它们像什么。它们的图像也许是所有发现中最令人惊奇的。有些BPS态是1维的弦，有些是2维的膜，这都是我们所熟悉的。令人惊奇的是还有3维、4维的——实际上，任何空间维都是可能的，包括9维。弦理论或M理论或别的什么最后的理论，实际上包含着具有任何可能空间维数的延展物。物理学家用3膜来称具有3个空间维的物体，4膜则具有4个空间维，一直到9膜[更一般地说，对一个具有p个空间维的物体（这里p是一个整数），物理学家找了一个更有韵味的名字：p膜]。用这些名词，有时我们说弦是1膜，寻常的膜为2膜。所有这些延展事物都是理论的一部分，于是，汤森说这是“膜的民主”。

不论有多少平等的“膜”，弦这1维的延展物却是与众不同的。原因是这样的：物理学家已经证明，除了1维的弦外，不论在图12.11的哪个弦理论中，不同维的物体的质量都反比于相关耦合常数的值。这意味着，在弱耦合时，任何一个理论中除弦以外的所有事物都是大质量的——数量级大于普朗克质量。因为质量大，从而E=mc2的能量也大，所以膜对许多（但不是所有，我们很快要在下一章讨论）物理的影响是很微弱的。但是，当我们大胆走出图12.11的触角区域时，高维的膜将变轻，而它的影响将变大。[13]

于是，我们应该牢记这样一幅图景：在图12.11的中央区域，理论的基本物质组成不仅有1维的弦、有2维的膜，还有不同维数的高维“膜”，它们几乎都是平等的。目前，这个完全理论的许多基本特征我们还没有严格把握，但我们能肯定一件事情：当我们从中央转移到边缘任何一个触角区域时，只有1维的弦（或者像图12.7和图12.8中卷缩起来更像弦的膜）才足够轻，才能与我们熟悉的世界——如表1.1里的粒子和它们相互作用的4种力——发生联系。弦理论家们用了近20年的微扰方法还没有能力揭示那些超大质量的高维延展物的存在；弦主宰着我们的分析，所以理论的名字还是离“民主”十分遥远的“弦理论”。在图12.11的边缘区域，我们又一次证明了，在大多数情况下，除了弦以外，别的都可以忽略。根本说来，本书到目前为止都是那么做的。不过，我们现在明白了，理论实际上比以前任何人想象的都丰富得多。

那些东西能回答弦理论未解决的问题吗

能，也不能。我们设法从某些结论摆脱出来——现在看来，那些结论不过是微扰近似分析的一些结果，而不是真正的弦理论的结果——从而深化了我们的认识。但我们今天的非微扰工具的能力还太有限。对偶关系网的发现让我们更深入地认识了弦理论，但还有很多问题没有解决。例如，我们现在还不知道如何超越弦耦合常数的近似方程——我们已经看到，那些方程太粗了，得不出什么有用的信息。我们也还不明白为什么正好有3个展开的空间维，也不知道该如何选择卷缩维的具体形式。这些问题需要比我们现有的磨得更加锋利的工具才能解决。

我们确实把握的，是更深入地认识了弦理论的逻辑结构和理论范围。在图12.11总结的认识之前，每个理论的强耦合行为还是一只黑箱，一个无人知晓的谜。强耦合的区域像老地图上的一块处女地，那里可能潜藏着巨龙和海怪。不过现在我们看到，尽管通向强耦合的旅程会带我们穿过陌生的M理论的领地，但它最终还是让我们舒适地躺在弱耦合的怀抱里——尽管在对偶的语言下，那也曾被认为是不同的弦理论。

对偶性和M理论统一了5个弦理论，它们还提出一个重要结论。我们未来的发现也很可能没有比刚才讲的那些更令人惊奇的了。如果哪位地图专家能填满地球表面的每一个角落，地图就画完了，地理学知识也到头了。这并不是说南极探险或密克罗尼西亚孤岛旅行没有科学和文化的意义，而只是说地理大发现的时代结束了。全球没有一个空白点，当然也没有什么需要去“发现”的。对弦理论家来说，图12.11的“理论地图”扮演着类似的角色。从5个弦理论的任何一个开始扬帆远航，都走不出它所覆盖的理论区域。虽然我们还远未完全弄清M理论环球远行的路线，但地图上已经没有空白点了。弦理论家现在可以像地图专家那样满怀自信地宣布，过去百年的基本发现——狭义和广义相对论，量子力学，强力、弱力和电磁力的规范理论，超对称性，卡鲁扎和克莱茵的多维空间等——从逻辑上说，都完全包容在图12.11的理论中了。

弦理论家——也许应该说M理论家——面临的挑战，是证明图12.11的理论地图上的某个点确实描绘了我们的宇宙。这需要寻找完整而准确的方程，让它的解去捕捉图中那个飘忽不定的点，然后以足够的精度去理解相应的物理，从而与实验结果进行对比。正如惠藤讲的：“认识M理论究竟是什么——它赋予的物理是什么——至少会像历史上的任何一次伟大的科学变革一样，极大地改变我们对自然的认识。”[70]这是21世纪物理学大统一的纲领。

第13章　从弦/M理论看黑洞

弦理论出现以前，广义相对论与量子力学间的矛盾真把我们的直觉大大地羞辱了一回——我们一贯直觉地认为，自然律应该是天衣无缝的一个和谐的整体。而那矛盾还不仅仅是理论上的一道巨大裂缝。如果没有引力的量子力学体系，我们不可能认识发生在宇宙大爆炸时刻和统治着黑洞内部的那些极端的物理条件。随着弦理论的发现，我们今天有希望揭开这些深藏的秘密了。在这一章和下一章里，我们要讲弦理论朝着认识黑洞和宇宙起源的方向走了多远。

黑洞和基本粒子

乍看起来，很难想象还有哪两样东西能比黑洞和基本粒子有更大的差别。我们常把黑洞描绘成天体的巨无霸，而基本粒子却是物质的小不点儿。但20世纪60年代末和70年代初的许多物理学家，包括克里斯托多罗（Demetrios Christodoulou）、伊思雷尔（Werner Israel）、普赖斯（Richard Price）、卡特尔（Brandon Carter）、克尔（Roy Kerr）、罗宾森（David Robinson）、霍金和彭罗斯，发现黑洞和基本粒子也许不像我们想的那么悬殊。他们发现越来越多的证据令人相信惠勒所谓的“黑洞无毛”所表达的思想。惠勒这话的意思是，除了少数可以区别的特征外，所有黑洞看起来都是相像的。那几个可以区别的特征，第一当然是黑洞的质量。别的呢？研究发现它们是黑洞所能携带的电荷或其他力荷，还有它的自转速度。就是这几样。任何两个黑洞，如果有相同的质量、力荷和自转，它们就是完全相同的。黑洞没有炫目的“发型”——就是说，没有别的内在的特征——将自己区别出来。这情形我们似曾相识——别忘了，正是这些性质、质量、力荷和自旋，将基本粒子彼此区别开来。因为在决定性特征上的相似，许多物理学家这些年来形成了一个奇特的猜想：黑洞可能本来就是巨大的基本粒子。

实际上，根据爱因斯坦的理论，黑洞没有极小质量的限制。任何质量的一团物质，如果被挤压得足够小，我们能直接用广义相对论证明它可以成为一个黑洞。（质量越小，我们就把它压得越小。）这样，我们可以想象一个思想实验：从质量越来越小的小块物质开始，我们把它们压成越来越小的黑洞，然后拿这些黑洞与基本粒子进行比较。惠勒的“无毛”结论令我们相信，如果质量足够小，我们以这种方式形成的黑洞看起来很像基本粒子。两样小东西都完全由它们的质量、力荷和自旋来刻画。

但有一个问题。天体物理学的黑洞，质量是太阳的许多倍，既大且重，量子力学与它们没有关系，只需要用广义相对论来理解它们的性质。（这里讲的是黑洞的整个结构，没考虑黑洞中心的坍缩奇点，那个小东西当然是需要量子力学来描述的。）然而，当我们形成越来越小的黑洞时，可能出现量子力学确实发生作用的情形。例如，当黑洞总质量为普朗克质量或更小的时候。（从基本粒子物理学的观点看，普朗克质量是巨大的——约质子质量的1000亿亿倍。但从黑洞的观点看，普朗克质量是相当小的，不过等于一粒灰尘的质量。）于是，猜想小黑洞与基本粒子密切相关的物理学家迎面就碰上广义相对论这一黑洞的理论核心与量子力学的不相容问题。过去，两者的不相容曾死死地拖着人们向前的脚步。

弦理论能让我们往前走吗

是的。通过黑洞的一个喜出望外的大发现，弦理论在黑洞与基本粒子间建起了第一个合理的理论联系。通往联系的道路是曲折的，但它会领着我们经过弦理论的一些最有趣的发展，是一段令人难忘的历程。

事情从20世纪80年代末以来弦理论家一直谈论的一个看似毫不相干的问题开始。物理学家和数学家很早就知道，当6个空间维卷缩成卡—丘形式时，在空间结构中一般存在两种类型的球面。一种是2维的，像沙滩皮球的表面，在第11章的空间破裂翻转变换中起着积极的作用；另一种很难想象，但同样是普遍存在的，那就是3维球面——在有4个展开的空间维的宇宙中，海滩上玩的就该是这样的皮球。当然，正如我们在第11章讲的，我们世界的普通的沙滩皮球本来也是3维的东西，但它的表面，就像花园里浇水管子的表面一样，是2维的。我们只需要两个数——如经度和纬度——就能确定表面上任何一点的位置。但我们现在是在想象多一个空间维的情形：一个4维的沙滩皮球，它的表面是3维的。这样的皮球我们几乎不可能在头脑里画出来，所以在大多数时候我们还是会借助更容易“看得见”的低维类比来想象它。不过，我们马上会看到，这多1维的球面有一个性质是至关重要的。

通过对弦理论方程的研究，物理学家发现，随着时间的演化，3维的球面可能而且极有可能收缩——坍缩——下去，直到几乎没有体积。那么，弦理论家问，如果空间结构这样坍缩下去，会发生什么事情呢？空间的这种破裂会带来什么灾难性的后果吗？这很像我们在第11章提出并解决了的问题，但那里我们只考虑了2维球面，而现在我们面对的是3维球面的坍缩。（在第11章，我们想象卡—丘空间的一部分收缩，而不是整个空间都收缩，所以第10章的大小半径的等同性不适用了。）维数的不同带来了性质上的根本差异。[1]回想一下我们在第11章讲过的东西。当弦在空间移动时，它们能“套住”2维的球面。就是说，弦的2维世界叶能像图11.6那样把2维球面完全包裹起来。可以证明，这足以避免坍缩、破裂的2维球面可能产生的物理学灾难。但是，我们现在面临着卡—丘空间里的另一类球面，它的维太多，一根运动的弦不可能把它包围起来。如果你觉得这一点不好懂，请你考虑一个类似的低维的例子。你可以把3维球面想象成普通的2维沙滩皮球的表面，不过同时，你还得把1维的弦想象成0维的点粒子。这样，你可以看到，零维的点粒子什么也套不住，当然更套不住2维的球面；同样，1维的弦也不可能套住3维的球面。

这种思路引导弦理论家们猜想，假如卡—丘空间里的3维球面要坍缩——近似方程表明这是很可能（即使不是很普遍）在弦理论中发生的事情——那么它可能会带来灾难性的结果。实际上，20世纪90年代中期以前发展起来的近似弦理论方程似乎说明，假如那样的坍缩发生了，宇宙的活动可能会慢慢停歇下来；那些方程还意味着，某些被弦理论控制了的无限大将重新被那样的空间破裂“解放”出来。多年来，弦理论家们不得不生活在这样恼人的没有结果的思想状态下。但在1995年，斯特罗明戈证明，那些绝望的论调和猜想都是错误的。

跟着惠藤和塞伯以前的奠基性工作，斯特罗明戈发展了弦理论的新认识，那就是，以第二次超弦革命的新眼光来看，弦理论并不仅仅是1维的弦的理论。他的思路是这样的：1维的弦——用新的术语讲，即1膜——能完全裹住一块1维的空间，如图13.1的一个圆圈。（注意，这图跟图11.6不同，那里是1维的弦在运动中套住一个2维的球面。图13.1应看作是某一瞬间的镜头。）同样，我们在图13.1看到，2维的膜能卷起来完全包裹一个2维球面，就像一张塑料膜紧紧包裹一个橘子。虽然那很难想象，斯特罗明戈还是沿着这条思路发现，弦理论中新出现的3维物质基元——3膜——能卷曲并完全覆盖3维的球面。看清这点后，他接着用简单标准的物理计算证明，卷曲的3膜仿佛一个特制的盾牌，完全消除了弦理论家们害怕在3维球面坍缩时可能发生的灾难。

图13.1　一根弦可以包围卷起来的一片1维空间；2维膜可以卷起来包裹一块2维表面

这是奇妙而重要的发现，但它的力量要过些时候才能完全显露出来。

撕裂空间结构

物理学最激动人心的事情是在一夜之间发生认识的改变。斯特罗明戈在互联网上发布他论文的第二天早晨，我就在康奈尔的办公室里从互联网上看到它了。他用弦理论的新的激动人心的发现一举解决了关于额外维卷缩成一个卡—丘空间的棘手难题，不过，在我思考他的文章时，觉得他可能只做了一半的事情。

在第11章讲空间破裂翻转变换的现象时，我们研究了两个过程：2维球面收缩成一个点，使空间发生破裂，然后球面又以新的方式膨胀，从而修复裂痕。在斯特罗明戈的文章里，他分析了3维球面收缩成一点的过程，证明弦理论新发现的高维物体将确保物理学过程继续良好地进行下去。到这里，他的文章就结束了。他是不是忘了，也许还有事情的另一半——破裂的空间通过球面的重新膨胀而修复？

1995年春，那时莫里森正在康奈拜尔访我，那天下午我们一起讨论了斯特罗明戈的论文。两三个小时后，我们对“事情的另一半”有了一个轮廓。根据20世纪80年代末以来数学家们的一些研究成果——那些数学家包括，犹他大学克里门斯（Herb Clemens）、哥伦比亚大学弗里德曼（Robert Friedman）、沃威克大学雷德（Miles Reid）以及坎德拉斯、格林和胡布施（Tristan Hübsch）（那时都在得克萨斯大学奥斯汀分校）——的应用，我们发现，当3维球面坍缩时，卡—丘空间也许可能破裂然后通过球面膨胀而再复原。但是这里出现了很奇怪的事情：坍缩的球面是3维的，而新膨胀起来的球面只有2维。很难具体把它的样子画出来，不过我们可以从低维类比中得到一点认识。我们不去考虑那个令人难以想象的3维球面坍缩然后被一个2维球面取代的情形，让我们来想象一个1维球面的坍缩，然后它被一个0维球面所取代。

首先，什么是1维和0维的球面呢？让我们用类比来说明。2维球面是3维空间里的一个点集，集合中每一点到一个选定的中心的距离都相同，如图13.2（a）。根据同样的思想，1维球面是2维空间（如本页的表面）里的点集，每一点到某个中心有相同的距离。如图13.2（b）所示，其实它就是一个圆周。最后，根据这样的方式，0维球面是1维空间（直线）里到某中心等距离的点的集合。如图13.2（c）所示，0维的球面只有两个点，它的“半径”等于每点到公共中心的距离。这样，上面指的低维类比说的是一个圆（1维球面）收缩，然后破裂，接着成为两个点（0维球面）。图13.3实现了这个抽象的过程。

图13.2　看得见的几种球面——（a）2维，（b）1维，（c）0维

我们从一个面包圈的表面开始，它当然包含着1维的球面（圆），图13.3突出了一个。现在我们想象，随时间流逝，图中那个圆开始坍缩，引起空间结构收缩。我们可以像下面那样来修复陷落的空间结构：让它在瞬间破裂，然后用0维的球面（两个点）取代原来收缩的1维球面（圆）来弥合破裂生成的上下两个洞。如图13.3，这样的结果像一只弯曲的香蕉，通过轻微的变形（没有空间破裂），它可以再形成一个光滑的沙滩皮球样的表面。于是我们看到，当1维球面坍缩并被0维球面取代时，原来面包圈的拓扑（即它的基本形状）会发生巨大改变。在卷缩的空间维的情形中，图13.3的空间破裂过程将使图8.8的宇宙演化成为图8.7的宇宙。

图13.3　面包圈（环）上的一个圆周坍缩成一点，表面从那点分裂，生成两个破裂的洞。一个0维球面（两点）用来“黏合”它，从而取代了原来的1维球面（圆），修复了破裂的表面。这样的过程使原来的面包圈变成了形状完全不同的沙滩皮球

尽管这是一个低维类比，但在我们看来，它还是抓住了莫里森和我为斯特罗明戈设想的“事情的另一半”的基本特征。卡—丘空间里的3维球面坍缩以后，空间会破裂，然后它生成一个2维球面来修复自身，那将导致剧烈的拓扑改变，比惠藤和我们在以前的研究（11章讨论的）中发现的那些变化可怕得多。这样，从根本上说，一个卡—丘空间可以将自己变换成另一个形态完全不同的卡—丘空间——就像图13.3的面包圈变成沙滩皮球一样——而弦物理学在变化中仍然保持着良好的表现。虽然显露了一点风光，但我们知道还有许多重要的方面需要考虑，把它们都弄清楚了，我们才能肯定我们的“事情的另一半”不会带来任何奇怪的东西——令人厌恶的和物理上不能接受的结果。那天晚上，我们各自带着一时的欢喜回家了——欢喜我们有了一个新的重大发现。

E—mail风

第二天早晨，我收到斯特罗明戈的电子邮件，问我对他的文章有什么评论或反应。他说“它在某种程度上应该是与你同阿斯平沃尔和莫里森的工作有关的”，因为，后来我们知道，他也曾探索过它跟拓扑改变现象有什么可能的联系。我立即给他回了信，把莫里森和我刚得到的蓝图向他大概描绘了一下。从回答看，他的兴奋显然跟莫里森和我昨天的心情是一样的。

接下来的几天里，电子邮件如流水似的在我们3个人之间流淌，我们在狂热地寻求将空间破裂的拓扑改变思想严格定量地表达出来。所有的细节都逐渐确定下来了。到星期三，也就是斯特罗明戈发表他的发现一个星期后，我们合作论文的稿子已经写好，它揭示了随3维球面的坍缩而出现的一种新的巨大的空间结构变换。

斯特罗明戈原定在第二天去哈佛演讲，所以一早就离开圣巴巴拉了。我们说好由莫里森和我继续修饰论文，然后当天晚上在电子档案上发表。夜里11：45，我们把计算反复校核后，觉得没有问题了，便把文章发出去；我们也走出物理系的大楼。莫里森和我向我的车走去（他自己在访问期间租了房子，我想送他回去），我们的讨论也变得有点儿吹毛求疵。我们在想，如果有人不想接受我们的结果，最刺耳的批评会是什么样的？我们驱车离开停车场，驶出校园时，才发现尽管我们的论证很有说服力，但也不是完全无懈可击的。我们谁也没想过它可能会错，但确实感到在文章的某些地方，我们下结论的语气和特别的用词可能会招惹不愉快的争论，从而淡化了结果的重要性。我们都觉得文章本来可以做得更好一些：调子放低一点，结论下得温和一点，让物理学同行自己去判断文章的优劣，而不是让它像现在那个样子去惹人反感。

车往前开着，莫里森提醒我，根据电子档案的规则，我们可以在凌晨2：00以前修改我们的文章，过后它才在公共网上发表。我立即调转车头，开回物理楼，撤回原来的文章，开始降低它的语调。谢天谢地，这做起来很容易。在评论的段落里改换几个词，就把锋芒藏起来了，一点儿也不影响技术内容。不到1小时，我们又把它发出去，并且说好在去莫里森家的路上，谁也别再谈它。

第二天刚下午时，我们就发现文章引起的反响是很热烈的。在众多回信里有一封来自普里泽，他把我们大大恭维了一番，那可能是一个物理学家对别人最大的公开的赞美：“如果我能想到那一点就好了！”虽然头一天晚上还在担心，但我们让弦理论家们相信了，空间结构不仅能发生以前（第11章）发现的那种“温和的”分裂，像图13.3简单描绘的那种暴烈得多的破裂，也同样可能发生。

重回黑洞和基本粒子

上面讲的东西与黑洞和基本粒子有什么关系呢？关系可多了。为认识这一点，我们还得问自己一个我们曾在第11章提出过的问题：那样的空间破裂产生了什么可观测的物理结果？我们已经看到，对翻转变换来说，答案令人惊讶：什么也没发生。对于我们新发现的这种剧烈空间破裂变换——所谓的锥形变换（conifold transition）——结果还是一样的，没有传统广义相对论会出现的物理学灾难，但有更显著的看得见的结果。

图13.4　膜裹在卷缩维中的球面上时，看起来就像展开维里的一个黑洞

这些看得见的结果背后有两个相关的概念，我们一个一个来解释。首先，如我们讲的，斯特罗明戈的开拓性突破是他发现卡—丘空间里的3维球可能发生坍缩，却不会带来灾难，因为“裹”在它外面的3膜提供了理想的保护层。但那卷曲的膜像什么样子呢？答案来自霍罗维茨和斯特罗明戈以前的研究，他们曾证明，对我们这些只认识3个展开的空间维的人来说，“涂”在3维球面上的3膜将产生一个引力场，看起来像一个黑洞。[2]这不是一眼能看出来的，只有详细研究了膜的方程以后才能弄清楚。可惜，这种高维图像仍然很难画在纸上，不过图13.4用2维球面的低维类比传达了大概的意思。我们看到，2维的膜可以涂抹在2维球面上（球面本身也处在展开维的某个地方的卡—丘空间里）。如果有人通过展开维向那个地方看去，他会通过卷曲膜的质量和力荷而感到它的存在。据霍罗维茨和斯特罗明戈的证明，那些性质就像是一个黑洞的性质。而且，斯特罗明戈在他1995年的突破性论文里还证明了3膜的质量——也就是黑洞的质量——正比于它所包围的3维球面的容积：球面容积越大，包裹它的3膜就越大，从而质量也越大。同样，球面容积越小，包裹它的3膜的质量也越小。于是，当球面收缩时，裹在外面的膜，感觉起来像黑洞的膜，似乎该变得越来越轻。当3维的球面坍缩成一点时，相应的黑洞——请坐稳了！——也就没有质量了。尽管听起来太离奇——世上哪有没有质量的黑洞？——我们很快会把它跟我们熟悉的弦物理联系起来。

我们要说的第二点是卡—丘空间的孔洞数目，我们在第9章讨论过，它决定着低能量（从而也是低质量）弦振动模式的数目，而那些振动模式有可能解释表1.1的粒子和力荷。由于空间破裂的锥形变换改变了孔洞的数目（例如，在图13.3中，面包圈的洞被空间的破裂修补过程消去了），我们希望低质量的振动模式数目也会发生改变。实际上，莫里森、斯特罗明戈和我在具体研究这一点时发现，当新生的2维球面取代卷缩的卡—丘空间里的3维球面时，无质量的弦振动模式恰好增加了1个。（图13.3中面包圈变成沙滩皮球的例子可能会让你觉得模式数应该减少——因为洞少了，但这是低维类比带来的误会。）

为把上面讲的两点结合起来，我们想象一系列卡—丘空间镜头，在这个系列中，一个3维球面正变得越来越小。我们的第1点发现意味着，裹在3维球面上的一张3膜——在我们看来像一个黑洞——也将越变越小，最后在坍缩的终点变得没有质量。不过，我们还是要问，这是什么意思？借助第2点发现，答案就清楚了。我们的研究表明，那个从空间破裂的锥形变换中新生成的无质量弦振动模式就是黑洞转化成的无质量粒子的微观图景。于是我们发现，当卡—丘空间经过空间破裂锥形变换时，原来的大质量黑洞会越来越轻，最后转化为一个没有质量的粒子——如零质量的光子——在弦理论中，那不是别的，就是一根以某种特别方式振动的弦。这样，弦理论第一次明确地在黑洞和基本粒子间建立起了直接具体而且在定量上无懈可击的联系。

黑洞“消融”

我们发现的黑洞与基本粒子的这种联系，很像我们早就在日常生活中熟悉的一种现象，物理学叫它相变。相变的一个简单例子是我们在上一章谈到过的：水能以固体（冰）形式存在，也能以液体（液态水）和气体（蒸汽）形式存在。这些都是水的相，从一种形式转换为另一种形式，就是相变。莫里森、斯特罗明戈和我证明，这种相变与卡—丘空间从一种形式到另一种形式的空间破裂锥形变换，存在着密切的数学和物理学的相似。从没见过冰的人，不会一下子认识它跟水原来是同一样东西的两个不同的相；物理学家以前也没发现我们研究的黑洞跟基本粒子原来是同一弦物质的不同相。环境的温度决定水以哪种相的形式存在，类似的，卡—丘空间的拓扑形式——即空间形态——决定着弦理论中的某些物理结构是以黑洞还是以基本粒子的形态表现出来。就是说，在第一种相，即原来的卡—丘形态（类似于冰的相），我们看到有黑洞存在；在第二种相，第二种卡—丘形态（类似于液态的水），黑洞发生了相变——可以说它“消融”了——成为基本的弦振动模式。经过锥形变换的空间破裂，将我们从一个卡—丘空间的相引向另一个相。在这个过程中，我们看到黑洞与基本粒子像冰和水那样，是同一枚硬币的两面。我们看到，黑洞“安然”走进了弦理论的框架。

我们有意用同一个水的例子来比喻那些剧烈的空间破裂变换和5个弦理论形式间的转换（第12章），因为后两者有着深刻的联系。回想一下，我们用图12.11来说明5个弦理论是相互对偶的，从而它们统一在一个宏大的理论体系下面。但是，假如我们让额外的维随便卷缩成某个卡—丘形态，那些理论还能自由地从一种图景转换到另一种吗？——我们还能从图12.11上的任何一点出发达到别的点吗？在根本的拓扑改变结果发现以前，人们认为答案是否定的，因为不知道有什么办法让卡—丘形态连续地从一种转变成另一种。但是现在我们看到，答案是肯定的：通过那些在物理上可能的空间破裂的锥形变换，我们能将任何一个卡—丘空间连续地变成另一个。通过改变耦合常数和卷缩的卡—丘空间几何，我们看到所有的弦结构也都是同一理论的不同相。即使所有额外的空间维都卷缩起来，图12.11的统一也是不可动摇的。

黑洞熵

多年来，一些卓有成就的物理学家都考虑过空间破裂和黑洞与基本粒子相关的可能，尽管这些猜想当初听起来像科幻小说，但弦理论的发现和它融合广义相对论与量子力学的能力，使我们可以将那些可能性推向科学前沿的边缘。这样的成功激励我们进一步追问：我们宇宙的其他一些几十年没能解决的奇妙性质，是不是也将在弦理论的威力面前“屈膝投降”呢？其中最重要的概念是黑洞熵。这是弦理论大显神通的舞台，它成功解决了困惑人们四分之一个世纪的一个极深刻重要的问题。

熵是无序和随机的量度。例如，桌上高高地堆着些打开的书、没读完的文章、旧报纸和旧邮件，它就处于一种高度无序的，即高熵的状态。反过来，如果文章按字母顺序堆成一摞，报纸按日期一张张放好，书照作者名字顺序排列，笔放在笔架上，那么，你的书桌就处于一种高度有序的，也就是低熵的状态。这个例子说明了熵的大概意思。但物理学家对熵有一个完全定量的定义，使我们可以用确定的数值来描述一种事物的熵：数值越大，熵越大；数值越小，熵越小。具体说来有点复杂，简单地说，表示熵的数就是一个物理系统的组成元素在不影响整体表现情况下的所有可能组合方式的数量。当书桌整洁的时候，任何一点新安排——如改变书报或文章的堆放顺序，从笔架上拿一支笔——都会干扰原来高度有序的组合。这说明原来的熵很低。反过来说，如果桌子上本来很乱，随便你把报刊文章或邮件怎么翻动，它还是那么乱，整体没有受到干扰。这说明原来有很高的熵。

当然，我们说重新安排桌上的书报文章，决定哪些安排“不影响整体表现”，是缺乏科学精确性的。熵的严格定义实际上包括数或者计算一个物理系统基本物质组成的微观量子力学性质的可能组合，它们不会影响整体的宏观性质（如能量和压力）。细节并不重要，我们只需要认识熵是精确度量物理系统总体无序性的一个完全量化的量子力学概念。

1970年，贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）还在普林斯顿跟惠勒读研究生，他有一个大胆的建议。他的惊人的思想说：黑洞可能有熵，而且量很大。贝肯斯坦的动力来自古老而久经考验的热力学第二定律，这个定律宣告系统的熵总是增大的：事物都朝着更加无序的状态演化。即使你清理好混乱的书桌，减少它的熵，总熵——包括你身体的和房间里空气的——实际上还是增加了。原来，清理书桌时，你得消耗能量；你必须打乱体内脂肪的某些分子次序才可能生成肌肉需要的能量。而当你清理的时候，身体会散发热量，它会激发周围的空气分子进入更混乱的活动和更高的无序状态。所有这些效应都考虑进来，在补充书桌减小的熵之后还有多余的，因而总熵增大了。

贝肯斯坦的问题大概是，假如我们在黑洞事件视界的附近清理好书桌，并用真空泵把房间里新扰动的空气分子抽出来注入黑洞内部幽暗的角落，那么结果会怎样呢？我们还可以问得更极端一些：假如把房间里所有的空气、桌上所有的东西甚至连桌子一起都扔进黑洞里去，把你一个人留在冰冷的空荡荡的完全有序的屋子里，结果会怎样呢？显然，房间里的熵肯定减少了，贝肯斯坦认为，能满足热力学第二定律的唯一途径是黑洞也有熵，当物质进来时，它的熵会充分增大，足以抵消我们看到的洞外熵的减少。

实际上，贝肯斯坦可以借助霍金的一个著名结果来加强他的猜想。霍金曾证明，黑洞事件视界——回想一下，那是遮蔽黑洞的一个“不归面”，落下去的东西永远也回不来了——的面积在任何物理相互作用下总是增大的。霍金证明，假如一颗小行星落进一个黑洞，或者附近恒星的表面气体被吸积到黑洞，或者两个黑洞碰撞在一起结合成一个……在所有这些过程中，黑洞事件视界的总面积总是增大的。对贝肯斯坦来说，永远朝着更大面积的方向演化与热力学第二定律说的永远朝着更大的熵的方向演化应该有着联系。他指出，黑洞事件视界的面积为它的熵提供了精确的度量。

然而，经仔细考察，多数物理学家认为贝肯斯坦的思想不可能是正确的，原因有两点。第一，黑洞似乎本该是整个宇宙中最有序、最有组织的事物。我们测量黑洞的质量、携带的力荷和它的自旋，就准确地确定了它的一切。凭这样几个确定的特征，黑洞显然没有足够的结构造成无序，就像桌上只有一本书、一支铅笔，随便怎么弄也混乱不起来——黑洞那么简单，哪儿来的无序呢？贝肯斯坦的建议难以理解的第二个原因是，我们刚才讲过，熵是量子力学概念，而黑洞依然生在对立的广义相对论的原野里。在20世纪70年代初，没有什么办法结合广义相对论与量子力学，讨论黑洞可能的熵至少会令人感到不安。

黑洞有多黑

如我们所看到的，霍金也想过他的黑洞面积增大定律与熵增定律间的相似，但他认为那不过是一种巧合，没有别的意思。因为，在霍金看来，根据他的面积增加定律和他与巴丁（James Bardeen）和卡特尔以前发现的一些结果，假如当真承认了黑洞定律与热力学第二定律的相似性，我们不仅需要把黑洞事件视界的面积当作黑洞的熵，还得为黑洞赋予一定的温度（它的准确数值由黑洞在事件视界的引力场强度来决定）。但是，假如黑洞具有非零的温度——不论多小——那么，根据最基本可靠的物理学原理，它必然发出辐射，就像一根发热的铁棒。然而，谁都知道，黑洞是黑的，不会发出任何东西。霍金和差不多所有的人都认为，这一点绝对排除了贝肯斯坦的建议。另一方面，霍金更愿意相信，如果有熵的物质被扔进黑洞，那么熵也失去了，这样不是更清楚更简单吗？热力学第二定律，也在这儿终结了。

不过，1974年，霍金发现了真正令人觉得奇怪的事情。他宣布，黑洞并不完全是黑的。如果不考虑量子力学，只根据经典广义相对论的定律，那么像大约60年前发现的那样，黑洞当然不会允许任何事物——包括光——逃出它的引力的掌握。但量子力学的考虑会极大改变这样的结论。虽然霍金也没有广义相对论的量子力学体系，但他还是凭着两个理论的部分结合得到了有限然而可靠的结果。他发现的最重要结果是，黑洞确实在以量子力学的方式发出辐射。

霍金的计算冗长而艰难，但基本思想却很简单。我们知道，不确定性原理使虚空的空间也充满了沸腾和疯狂的虚粒子，它们在瞬间产生，然后在瞬间湮灭。这种紧张的量子行为也出现在黑洞事件视界周围的空间区域。然而霍金发现，黑洞的引力可以将能量注入虚光子，就是说能把两个粒子远远分开，使其中一个落进黑洞。光子对的一个伙伴落进黑洞深渊，另一个光子失去了湮灭的伙伴。霍金证明，剩下的那个光子将从黑洞的引力获得能量和动力，在伙伴落向黑洞时，它却飞离黑洞。霍金发现，从遥远的安全地方看着黑洞的人会看到，虚光子对分裂的最终结果是从黑洞发射出一个光子。这样的过程反反复复在黑洞视界的周围发生，从而形成一股不断的辐射流。黑洞发光了。

另外，霍金还能计算黑洞的温度——从远处的观测者看，即与辐射相应的温度——它由黑洞视界处的引力场强度决定，那还是黑洞物理学的定律与热力学定律之间的相似性所要求的。[3]贝肯斯坦对了：霍金的结果说明应该认真对待那种相似。实际上，这些结果说明那不仅仅是一种相似——本来就是同一样东西。黑洞有熵，黑洞也有温度。黑洞物理学的引力定律不过是热力学定律在极端奇异的引力背景下的另一种表达形式。这是霍金1974年的惊人发现。

现在我们来看那些量有多大。当我们仔细研究了所有细节，可以发现，质量约为3个太阳质量的黑洞，温度大约比绝对零度高一亿分之一度，不是零，但小得可怜；黑洞不黑，但一点儿也不亮。遗憾的是，这样低温的辐射太微弱了，不可能在实验中探测出来。不过，也有例外。霍金的计算还说明，黑洞质量越小，温度越高，从而辐射越强。例如：1颗小行星质量的黑洞会产生大约1万吨氢原子弹的辐射，辐射主要集中在电磁波的γ射线部分。天文学家在夜空寻找过这些辐射，但除了少数希望渺茫的可能性之外，什么也没找到。这似乎意味着，那样低质量的黑洞即使有也是罕见的。[4]正如霍金常开玩笑说的，这太糟糕了。如果哪天找到了他预言的黑洞辐射，他肯定会得诺贝尔奖。[71]

大质量黑洞的温度在百万分之一度以下，而熵却与它相反。例如，我们计算3个太阳质量的黑洞的熵，结果大得惊人：1078，1后面跟78个零！质量越大，熵越大。霍金的成功计算确凿地证明黑洞包含的无序是多么巨大！

但那是什么的无序呢？我们已经看到，黑洞看起来是特别简单的东西，那么惊人的无序是从哪儿产生出来的？关于这个问题，霍金的计算什么也没说。他那广义相对论与量子力学的部分结合可以用来计算黑洞熵的数值，却不能解释它的微观意义。20多年里，一些大物理学家曾试着去认识黑洞的那些微观性质可能解释熵的意义。但是，在没能将量子力学与广义相对论完全可信地结合起来之前，虽然能看到答案的一点儿影子，但谜却还藏在背后。

走进弦理论

那谜直到1996年才揭开。那年，斯特罗明戈和瓦法在苏斯金和森以前发现的基础上，向物理学电子档案发了一篇文章，题目是《贝肯斯坦—霍金熵的微观起源》。在这篇文章里，他们用弦理论认定了某一类黑洞的微观组成，准确计算了相应的熵。他们的研究依赖于一种新发现的方法，它部分超越了20世纪80年代和90年代初的微扰近似。他们的结果完全符合贝肯斯坦和霍金的预言，终于完成了20多年前没能画完的图。

斯特罗明戈和瓦法集中考虑了一类所谓的极端黑洞。这是一些带荷（你也可认为是电荷）的黑洞，而且有与荷相应的可能最小的质量组成。从这个定义，你可以看出它们与第12章讨论的BPS态是密切相关的。实际上，斯特罗明戈和瓦法彻底研究过两者的相似性。他们证明，他们能从一个特别的（具有一定维数的）BPS膜出发构造——当然是在理论上——某些极端的黑洞，并照准确的数学蓝图将它们结合在一起。我们知道构造原子——当然，还是在理论上——可以从一堆夸克开始，将它们组合成质子和中子，然后在周围安排一些沿轨道运动的电子；同样，斯特罗明戈和瓦法证明，弦理论中新发现的物质基元如何能以类似的方法结合起来形成特别的黑洞。

实际上，黑洞是星体演化的一种终结产物。恒星经过几十亿年的核聚变燃尽它所有的核燃料后，就不再有力量——向外的压力——抵抗强大的向内的引力。在不同的条件下，这都将导致恒星巨大质量的灾难性坍缩；它在自身重量下坍缩，最后形成黑洞。斯特罗明戈和瓦法没有用这样现实的方法来生成黑洞，他们说的是“设计者”的黑洞。他们改变了黑洞的形成法则；他们凭着理论物理学家的想象，仔细地、慢慢地、一点一点地将从第二次超弦革命中涌现出来的高维膜缝合在一起，系统地构造了需要的黑洞。

这种方法的力量很快就显露出来了。在完全由理论决定的黑洞微观构造的前提下，斯特罗明戈和瓦法可以很容易地直接计算黑洞微观构成在不影响整体可观测性质（质量和力荷）时的组合方式。然后，他们可以拿组合方式的数目与黑洞视界的面积——即贝肯斯坦和霍金预言的熵——进行比较，他们发现，结果是完全相符的。至少对那类极端的黑洞，斯特罗明戈和瓦法成功运用弦理论准确解释了它们的微观组成和相应的熵。一个困惑人们四分之一个世纪的问题就这样解决了。[5]

许多弦理论家把这一成功看作支持弦理论的一个重要而令人信服的证据。我们对弦理论的认识还太浅，不可能与实验观测（如夸克和电子的质量）建立直接准确的联系。但我们现在看到，弦理论为发现多年的一种黑洞性质提供了第一个基本解释，那是物理学家多年来用传统方法一直没能解决的。另一方面，黑洞的这个性质紧密联系着霍金关于黑洞辐射的预言，而那个预言在原则上是能够通过实验来观测的。当然，这需要我们在天空确定地找到黑洞，然后构造足够灵敏的仪器来探测它发出的辐射。如果黑洞质量足够小，后一步凭今天的技术是容易实现的。即使实验计划还没有成功，它也再一次强调了弦理论与关于自然世界的确定性物理结果之间的鸿沟是能够填补的。甚至格拉肖这位20世纪80年代以来一直反对弦理论的物理学家最近也说：“当弦理论家谈论黑洞时，他们几乎就是在谈可观测现象——那是令人惊奇的。”[72]

黑洞的未解之谜

即使取得了那些令人惊喜的进步，黑洞还有两个百年老问题。一个是关于黑洞对决定论概念的冲击。19世纪初，法国数学家拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace）提出了在牛顿运动定律下像时钟一样运行的宇宙所能带来的最严格也走得最远的结果。

理性能认识某一时刻所有令自然洋溢生机的力和组成其存在物的各自状态，而且，假如理性足够强大，将那些数据投入分析，那么它能将一切运动，从宇宙中最大的物体到最小的原子，都包罗在同一个公式里。对这样的理性来说，没有什么不确定的东西，将来与过去一样，它都看得见。[73]

换句话说，如果知道宇宙每个粒子在某一时刻的位置和速度，我们就可以用牛顿运动定律——至少在原则上——来确定它们在过去或未来任何时刻的位置和速度。从这样的观点看，一切事物的发生，从太阳的形成到耶稣被钉上十字架，到你的眼睛读过这一行文字，都严格遵从大爆炸瞬间过后宇宙各种粒子组成的位置和速度。这种严格的一步步展开的宇宙观跳出了令人困惑的关于自由意志的各种哲学泥潭，但它的重要性却因量子力学的发现而大大消减了。我们看到，海森伯的不确定性原理根本否决了拉普拉斯的决定论，因为从根本上说我们不可能知道宇宙组成物质的准确位置和速度。相反，量子波函数取代了那些经典的性质，它只能告诉我们某个粒子在这里或那里，有这样或那样的速度。

然而，拉普拉斯观的破灭并没有让决定论的思想彻底失败。波函数——量子力学的概率波——的演化仍然遵从准确的数学法则，如薛定谔方程（或者它更准确的伙伴，狄拉克方程和克莱茵—戈登方程）。这告诉我们，量子决定论取代了拉普拉斯的经典决定论：宇宙基本组成在某一时刻的波函数的信息能让“足够强大的”理性去决定以前或未来任何时刻的波函数。量子决定论告诉我们，任何特别事件在未来某一时刻发生的概率完全取决于以前任何时刻的波函数知识。量子力学的概率观极大地弱化了拉普拉斯的决定论，它将“注定的结果”变成“可能的结果”，不过在传统的量子理论框架下，那“可能”还是被完全决定了的。

1976年，霍金宣布，即使这个弱化的决定论也因黑洞的存在而被破坏了。背后的计算当然还是很困难，但基本思想却相当简单。当物质落进黑洞时，它的波函数也跟着被吸收了。这意味着在寻求未来所有时刻波函数的过程中，我们“足够强大的”理性也难免会迷失。为完整地预言未来的波函数，我们需要完全了解今天的波函数。但是如果有些波函数陷入了黑洞的深渊，它们包含的信息也就跟着丢失了。

乍看起来，黑洞带来的麻烦似乎不值得忧虑。因为黑洞事件视界背后的一切事物都从我们的宇宙“分离出去了”，我们忽略这些不幸的“坠落者”，有什么不妥吗？另外，从哲学上讲，我们似乎可以告诉自己，宇宙并没失去那些落入黑洞的物质所携带的信息，它们不过被锁进了一个我们理性的生命不愿面对的空间区域。在霍金发现黑洞并不全黑以前，这种说法当然没有问题。但霍金向全世界说，黑洞会辐射，事情就不同了。辐射携带着能量，所以黑洞在辐射时会慢慢减小质量——慢慢地“蒸发”。这样，从黑洞中心到事件视界的距离会慢慢收缩；当这遮蔽黑洞的外衣收缩时，原来从宇宙中分离出去的部分空间又能回到我们的宇宙舞台中来。于是，我们的哲学考虑必须面对这样一个问题：被黑洞吞没的物质所携带的信息——我们想象隐藏在黑洞内部的那些数据资料——会因黑洞蒸发而重新出现吗？量子决定论的成立需要这些失去的信息，所以，这个问题深入到了另一个问题的核心：黑洞是否给我们宇宙的演化带来了越来越深层的偶然性因素？

关于这个问题的答案，我写这本书时物理学家还众说纷纭。多年来，霍金强烈主张那些信息不会再出现——黑洞破坏了信息，“在普通量子理论的不确定性上又给物理学增添了新的层次的不确定性。”[74]实际上，霍金和加州理工学院的索恩（Kip Thorne）跟同在那儿的普雷斯基尔（John Preskill）就黑洞所获信息的问题打过赌。霍金和索恩认为那些信息永远地消失了，而普雷斯基尔则站在相反的立场，主张那些信息在黑洞辐射和收缩时还能找回来。赌注呢？还是“信息”：“输家向赢家提供一部赢家选择的百科全书”。

赌局还没分出输赢，不过霍金最近承认，根据我们上面讨论的弦理论对黑洞的新认识，那些信息有可能找到一条重新出现的路径。[75]新看法是这样的：对斯特罗明戈和瓦法研究的（后来许多物理学家也跟着研究过）那类黑洞来说，信息可以储藏在高维膜里，并能从那里还原。斯特罗明戈最近说，这个发现“使许多弦理论家忍不住要欢呼胜利了——信息在黑洞蒸发时回来了。在我看来，结论还下得太早。为弄清这是否正确，我们还有许多事情要做。[76]”瓦法也同意，他说，他“不懂这个问题——哪种情况都是可能的。[77]”回答这个问题是当前研究的中心目标。如霍金讲的：

多数物理学家都愿意相信那信息不会丢失，因为这样能使世界安宁，可以预言。但我相信，如果认真对待爱因斯坦的广义相对论，我们一定允许另外的可能：时空本身打成结，而信息消失在结中。决定信息是否真会丢失，是今天理论物理学的一个主要问题。[78]

第二个未解之谜是关于黑洞中心点的时空本性。[6]直接像施瓦氏1916年那样应用广义相对论，可以证明挤压在黑洞中心的巨大质量和能量将导致时空结构产生吞噬一切的裂隙，卷曲成一种无限曲率的状态——陷入一个时空奇点。根据这一点，物理学家可以得出的一个结论是，因为所有穿过事件视界的物质都注定要落向黑洞中心，而那里的物质没有未来，所以时间本身也在黑洞中心走到了尽头。还有些物理学家，这些年来用爱因斯坦方程探索了黑洞中心的性质。他们发现一个近乎疯狂的结果：黑洞中心可能隐约地连着另一个宇宙的入口。大概地说，我们宇宙时间在哪里结束，相连的另一个宇宙的时间就从哪里开始。

在下一章里我们会讨论这些令人难以想象的结果有什么意义。不过现在我们只谈重要的一点。我们必须记住关键的一课：在极端的大质量、小尺度下，密度大得难以想象，从而不能单独考虑爱因斯坦的经典理论，还必须同时考虑量子力学。这将我们引向一个问题：关于黑洞中心的时空奇性，弦理论有什么说法呢？这也是目前正在研究的一个课题，跟信息丢失问题一样，还没有答案。弦理论灵巧地处理过另外形式的奇异性——我们在第11章和本章第一部分讨论过的那些空间破裂。[7]但认识一种奇性并不意味着认识别的奇性。宇宙的结构能以不同的方式产生破裂。弦理论为某些奇性带来了深刻的认识，但另一些奇性，如黑洞的奇点，至今还躲在弦理论之外。根本的原因还是弦理论太依赖于微扰的工具，在这个问题上，那些近似的方法弱化了我们的能力，从而不能可靠而完全地分析发生在黑洞中心的事情。

然而，随着最近非微扰方法的巨大进步和它们在黑洞其他方面的成功应用，弦理论家满怀信心地希望能在不远的将来揭开黑洞中心的秘密。

第14章　宇宙学的沉思

人类自古以来就渴望认识宇宙的起源。也许没有哪个问题像这样超越文化和时代的分隔，它唤起祖先的想象，也引发今天宇宙学家的沉思。从深层说，人们渴望解释为什么会有一个宇宙，它是如何成为我们看到的那个样子的，它是因为什么——什么原理——而演化的。令人惊喜的是，人类今天看到一个正在显露的、能科学地回答那些问题的框架。

今天人们接受的宇宙创生的科学理论认为，宇宙在最初的瞬间经历过最极端的条件——巨大的能量、极高的温度和极大的密度。就我们今天的认识，这些条件把量子力学和引力都牵引到一起了，宇宙的诞生从而成为超弦理论尽情表现的大舞台。我们马上要来讨论那些新奇的发现，但我们还是先回顾一下弦理论以前的宇宙学，也就是人们常说的宇宙学标准模型。

宇宙学标准模型

宇宙起源的现代理论应追溯到爱因斯坦完成广义相对论15年以后。尽管爱因斯坦不相信他自己理论的表面意思，不相信它竟包含着一个既不永恒也非静态的宇宙，但弗里德曼相信。如我们在第3章讨论的，弗里德曼发现了我们现在说的爱因斯坦方程的大爆炸解——他声称宇宙是从一个无限压缩的状态爆炸出来的，现在还处于那场原始大爆炸引起的膨胀中。爱因斯坦坚信他的理论不会有这样随时间演化的解，他发表一篇短文说发现了弗里德曼的结果有个致命的毛病。不过，8个月后，弗里德曼说服了爱因斯坦，他的东西确实没有毛病；爱因斯坦公开认了错，但有点儿漫不经心的样子。不管怎么说，我们可以清楚地感到，爱因斯坦认为弗里德曼的结果跟宇宙没有一点儿联系。但是5年以后，哈勃用威尔逊山天文台的254厘米望远镜详细观测了几十个星系，证明宇宙确实在膨胀着。弗里德曼的结果后来由物理学家罗伯逊（Howard Robertson）和沃克（Arthur Walker）写成更系统更有效的形式，至今还是现代宇宙学的基础。

让我们把宇宙起源的现代理论说得更详细一点儿。大约150亿年以前，宇宙所有的空间和物质从一次奇异的大能量事件爆发出来。（你用不着去寻找大爆炸发生在什么地方，因为它发生在你今天所在的地方，也发生在任何别的地方；我们今天看来分离的不同地方，在宇宙开始的时候都是同一个地方。）大爆炸过后10-43秒，即所谓的普朗克时间，计算的宇宙温度大约是1032开（K），比太阳内部的温度还高10亿亿亿（1025）倍。然后，宇宙随时间膨胀、冷却，在这个过程中，均匀炽热的原初宇宙等离子体开始聚集成团，形成旋涡。大约十万分之一秒后，物质已变得足够冷了（大约10万亿开——比太阳内部温度高100万倍），夸克可以3个成团地聚在一起，形成质子和中子。百分之一秒后，周期表里最轻的一些元素的核也够条件从冷却的粒子等离子体中凝结出来。在接下来的3分钟里，宇宙逐渐冷却到10亿开，出现最多的核是氢和氦，同时也带着些氘（“重”氢）和锂。这就是所谓的原初核合成时期。

接下来的几十万年没发生什么特别的事情，宇宙还是在膨胀、冷却。但是，当温度降到几千开时，汹涌的电子流慢慢流向原子核（多数是氢和氦），原子核捕获住它们，第一次形成电中性的原子。这是重要的一刻：大体上说，从这一时刻开始，宇宙变得透明了。在电子捕获这一幕之前，宇宙充满了带电的等离子体——有些带正电，如原子核；有些带负电，如电子。只与带电体发生相互作用的光子，落在深深的带电粒子的汪洋里，不停歇地碰撞挤压，要么被偏转，要么被吸收，几乎穿越不了多少距离。因为带电粒子的屏障作用，光子不能自由运动，所以宇宙几乎完全是不透明的，就像在经历浓雾弥漫的早晨，或者遮天蔽日的沙尘暴。但是，当带负电的电子走进带正电的核的轨道，生成电中性的原子以后，带电的屏障消失了，浓雾散开了。从那时起，来自大爆炸的光子就无阻碍地漫游，整个宇宙也慢慢清澈明亮了。

约10亿年以后，宇宙已基本从沸腾的爆发状态安静下来，星系、恒星和行星终于一个个从原初元素的引力束缚堆里产生出来。大爆炸150亿年后的今天，我们也来了，在惊叹宇宙壮丽的同时，也惊讶我们自己能一点点地树起一个合理的而且经得起实验检验的宇宙起源理论。

但是实在说来，我们对大爆炸理论该有几分信赖呢？

大爆炸的检验

用最大的望远镜，天文学家可以在天空看到大爆炸几十亿年后的星系和类星体发出的光，这样他们可以验证那个时期以来的宇宙膨胀，结果都是“真的”。为了检验更早时间的理论，物理学家和天文学家必须用更间接的方法，其中最精妙的一个方法牵涉到所谓的宇宙背景辐射。

你一定给自行车胎打过气，打满气的车胎摸起来有点儿热。打气时耗去的能量有一部分转化来增高车胎里空气的温度。这反映了一个普遍的原理，在很多条件下，被压缩的事物会变热。反过来说，如果什么东西解压了——膨胀了——它就会冷却。空调和冰箱用的也是这个原理。工作物质（如氟利昂）经过循环的压缩、膨胀（同时也蒸发或凝结），可以让热朝着需要的方向流动。这样地球上寻常简单的物理事实，原来也令人惊奇地发生在整个宇宙。

我们刚才讲过，当电子与核结合成原子以后，光子就自由自在地在整个宇宙中穿行。这意味着宇宙充满了“光子气”，它们沿这样或那样的路径旅行，均匀地洒满宇宙的每个地方。宇宙膨胀时，自由奔流的光子气也跟着膨胀，因为从本质上说，宇宙就是它的一个大容器。一般气体（如轮胎里的空气）的温度在膨胀时会降低，同时，光子气的温度也会随宇宙膨胀而降低。实际上，盖莫夫和他的学生阿菲尔（Ralph Alpher）、赫尔曼（Robert Hermann）在20世纪50年代，以及迪克（Robert Dicke）和皮贝斯（Jim Peebles）在60年代，就发现我们今天的宇宙应该是一个原始光子的汪洋，它的温度经过150亿年的宇宙膨胀已经冷却到了可怜的绝对零度以上几度。[1]1965年，新泽西贝尔实验室的彭齐亚斯（Arno Penzias）和威尔逊（Robert Wilson）偶然做出了我们时代的一个最重大的发现。他们在寻找无线电通信干扰的原因时，偶然探测到了大爆炸留下的余温。后来，理论和实验都更精密了，在20世纪90年代初还用美国国家航空航天局（NASA）的“宇宙背景探索者”（COBE）卫星进行了测量。根据这些数据，物理学家和天文学家在很高精度上证实了我们的宇宙确实充满着微波辐射（假如我们的眼睛足够灵敏，就可以看见我们周围的点点微光），温度大约是2.7开，正符合大爆炸理论的预言。具体地说，在宇宙的每个立方米——包括你占据的那个——大约有4亿个光子，它们一起汇成宇宙微波辐射的汪洋，荡漾着宇宙创生的回响。当电视台没有节目时，你看到荧屏上的那些“雪花”，有的就来自大爆炸遗留的暗淡微波。理论与实验的一致，证实了大爆炸之后（ATB）几十万年以来——光子第一次在宇宙自由穿行以来——宇宙演化的图景。

我们对大爆炸理论的检验还能追溯到更早的时间吗？能。通过核理论和热力学的标准原理，物理学家可以很确定地预言在原初核合成阶段（ATB百万分之一秒到几分钟之间）产生的轻元素的相对丰度。例如，根据理论，宇宙大约23%的元素应该是氦。通过恒星和星云中氦丰度的测量，天文学家获得了令人信服的支持，预言确实是正确的。不过，也许更令人惊讶的是理论关于氘丰度的预言和证实，因为除了大爆炸以外，似乎没有别的天体物理学过程能说明氘的出现——虽然量很小，但宇宙中到处都有。这些丰度（以及最近锂丰度）的证实，很好地检验了我们对原初核合成以来的宇宙物理的认识。

这些认识足够我们骄傲了。我们掌握的所有数据都证明，我们的宇宙学理论能描绘宇宙从ATB 0.01秒到150亿年后今天的演化图景。不过，我们还应该看到，新生的宇宙是在瞬息间演化的。我们宇宙100多亿年来持续的特征，在大爆炸之初很短的时间里——比0.01秒还短得多——就第一次深深留下了印迹。所以，物理学家还在往前走，试图弄清更早时期的宇宙。当我们追溯更早的时间，宇宙更小、更热、更紧，于是更迫切需要量子力学来准确描写那时的物质和力。在前面的章节我们看到，点粒子量子场论在点粒子能量一般地处于普朗克能量附近时还能适用。在宇宙学背景下，普朗克能量出现在整个宇宙都压缩在普朗克尺度的一小团时，这时候的密度需要我们发挥想象，找些比喻才能感觉它有多大——在普朗克时刻，宇宙的密度可以用一个字来说，那就是“大”。在这样巨大的能量和密度下，引力论和量子力学不能再像点粒子量子场论那样，看作两个分立的理论。实际上，本书的中心思想就是，在这些高能状态下，我们一定要用弦理论。用现在的话来说，当我们追溯到ATB 10-43秒（普朗克时间）以下时，会碰到那样的能量和密度，因此，宇宙最早的瞬间原是弦理论的舞台。

我们先还是来看，在标准宇宙学模型中，宇宙从普朗克时间以后到ATB 0.01秒之前都发生了什么。

从10-43秒到0.01秒

回想一下我们在第7章讲过的（特别是图7.1），在宇宙早期极热的环境下，引力之外的3种力似乎是结合在一起的。根据这些力的强度随能量和时间而变化的计算，物理学家证明，大约在ATB 10-35秒以前，强力、弱力和电磁力原来是一个“大统一”的“超”力。在那种状态，宇宙比它在今天要对称得多。一堆混乱的金属加热熔化后，将形成均匀光滑的液体；同样，我们现在看到的几种力之间的巨大差别，在极早期宇宙的极端高能和高温下也是均匀地融合在一起的。但随着时间的流逝，宇宙不断地膨胀、冷却，量子场论证明，原来的对称性通过许多跳跃的过程丧失殆尽了，最后生成我们今天熟悉的不那么对称的样子。

这种对称性丧失——更准确的说法是对称破缺——背后的物理学是不难理解的。想象一个盛满水的大容器，H2O分子均匀地充满整个容器；不论从哪个角度看，水都是一样的。现在，我们降低温度，看容器中会发生什么事情。开始，表面看不出什么。在微观尺度上，也不过是水分子的平均速度减小了。然而，当温度降低到0℃时，你会突然看到激烈的事情发生了。液态的水开始冻结，转化为固态的冰。我们在前一章讲过，这是相变的一个简单例子。就现在的讨论而言，我们需要注意的重要一点是，相变会降低H2O分子所表现的对称性。从任何角度看，液态水看起来都是一样的——显然是旋转对称的——而固态的冰却不是这样的。冰具有晶体的结构，就是说，如果以足够的精度来检验，它跟任何晶体一样，在不同方向有不同的表现。相变使原来的旋转对称性的程度降低了。

尽管我们讨论的只是一个熟悉的例子，但结论却是普遍成立的：许多物理系统在温度降低时，在发生相变的地方总会使原来的对称性产生“破缺”。实际上，如果温度改变范围大，一个系统可能会经历一系列的相变。还是看水的例子。如果从100℃以上开始，水是气体，即水蒸气。在这种状态，系统的对称性比在液态时更多，因为这时单个的H2O分子从凝结的液体中解放出来了。它们在容器内四处飞舞，不形成任何小集团，没有哪些分子比别的分子更“亲近”，在高温下，所有分子都是平等的。如果把温度降到100℃以下，水滴自然在气液相变点凝结出来，而对称性也减少了。继续冷却，经过0℃时，将发生另一次相变，像我们上面说的那样，这一次从液态水到固态冰的相变会再一次大大降低系统的对称性。

物理学家相信，从普朗克时间到ATB 0.01秒，宇宙的行为也像那样，至少经历两次类似的相变。在1028开的温度以上，3种非引力作用表现为一种力，具有所有可能的对称性。（在本章末尾，我们将讨论弦理论如何在高温下把引力也包括进来。）但是，当温度冷却到1028开以下时，宇宙经历一次相变，3种作用以不同的方式从统一中分离出来；它们的作用强度和方式也开始出现差异。这样，随着宇宙的冷却，在高温下表现的力的对称性就被打破了。不过，格拉肖、萨拉姆和温伯格的研究（第5章）说明，并不是所有的高温对称性都消失了：弱力与电力还密切关联着。随着宇宙进一步膨胀和冷却，在1015开的时候——约太阳核心温度的1亿倍——宇宙又经历另一次相变，影响了电磁力与弱力。在这样的温度，两个力还是从以前更对称的统一状态中分离出来，随宇宙不断地冷却而显现出越来越大的差别。两次相变决定了宇宙中作用的3种表现迥然不同的力，即使这样，这一段宇宙的历史回顾也说明那些力实际上是紧密联系在一起的。

宇宙学疑难

普朗克时间以后的宇宙学为我们认识大爆炸瞬间以来的宇宙，提供了一个优美和谐的而且可以计算的框架。不过，跟所有成功的理论一样，新的认识也带来了更多更细的问题。那些问题虽然没有使前面的标准宇宙图景失去意义，但还是暴露了某些薄弱的东西，呼唤更深的理论的出现。我们来看其中的一个问题，所谓的视界问题，它是现代宇宙学最重要的问题之一。

宇宙背景辐射的仔细研究表明，不论测量天线对准什么方向，辐射的温度都是相同的，精确到十万分之一。细想一下会发现，这是很奇怪的事情。在宇宙中相隔那么遥远的地方为什么会有那么一致的温度？我们大概自然会想到，这并不奇怪，因为今天在空中遥遥相对的两个地方，不过是出生以后分离的孪生兄弟，在宇宙最初的瞬间（和任何别的事物一样）本是紧紧相连的。由于它们源自共同的一点，留下相同的痕迹（如温度）也就不足为奇了。

在标准的大爆炸宇宙学里，那种想法是错误的。为什么呢？一碗热汤慢慢冷却到房间的温度，是因为它与周围的冷空气相通。只要等待足够的时间，汤的温度与空气的温度通过相互接触，总会变得相同。但是，如果把汤装在热水瓶里，它会保温很长一段时间，因为与外界几乎没有多少接触。这说明，两个物体的温度趋于相同，是因为它们有长时间稳定的相互交流作用。为了检验刚才说的，现在空间分隔遥远的两点具有相同温度，是因为它们原来曾经接触过，我们必须检验它们在宇宙早期是不是有足够的信息交流。乍看起来，你可能想，那时两点离得很近，交流该是很容易的事情。但空间的邻近只是事情的一个方面，事情的另一方面是时间间隔。

为更完整地考察这一点，我们来看一场宇宙膨胀的“电影”，不过是倒着放的，从今天开始，回到大爆炸的瞬间。因为任何形式的信号和信息的传播速度都以光速为最高极限，所以在某个时刻，空间两个区域的物质，只有在相隔的距离小于光自大爆炸时刻以来能达到的距离，才可能交换热量，从而才可能达到共同的温度。这样，在倒放影片时，我们可看到一场竞争：空间区域离得多近，我们回到过去多远。[2]例如，为了让两个空间位置相距3×105千米（即光走1秒经过的距离），我们必须回到ATB 1秒以前，那时候，即使距离那么近，两个空间也不能产生相互影响，因为光需要整整1秒钟的时间才能走过它们之间的距离。如果空间分离的距离更小，如300千米，我们必须回到ATB 0.001秒以前，刚才的结论也同样成立：两点也不可能产生相互影响，因为在0.001秒之内，光不可能走过300千米的距离。沿着同样的思路，如果我们的镜头回到ATB 10-9秒以前，两个空间位置相距30厘米，它们仍然不可能相互影响，因为大爆炸的光没有足够的时间走过那30厘米。这说明，尽管随我们回溯大爆炸，时空间隔会越来越小，但它们未必能像热汤和空气那样产生热接触，未必能达到相同的温度。

物理学家已经精确证明了，在标准的大爆炸模型中会产生这个问题。详细计算表明，现在相隔遥远的空间区域没有办法实现能量交换，从而解释不了为什么它们会有相同的温度。物理学家把这个解释不了的宇宙大范围的温度均匀性问题称为“视界问题”——视界在这里说的是我们能看多远；或者也可以说，光能走多远。这个疑难并不意味着标准宇宙模型错了；不过，温度的均匀性确实在强烈提醒我们，宇宙故事里某一幕重要的场景被遗忘了。1979年，物理学家古斯（Alan Guth，现在麻省理工学院）找到了那失去的一幕。

暴胀

视界问题的实质在于，为了让宇宙中任意两个远离的区域靠近，我们必须回到时间的开始。实际上，在那样早的时刻，任何物理影响都不可能有足够的时间从一个区域传到另一个区域。于是，问题就成了，当我们的宇宙影片回放到大爆炸时，宇宙没有足够快地收缩回去。

这只是大概的意思，我们还应该说得更具体一些。视界问题源自这样的事实：膨胀的宇宙像飞出的皮球一样，会因引力的拖曳作用而慢下来。这意味着，为了看到宇宙的两个位置间隔更小，例如，现在距离的一半，我们的宇宙影片必须回放过一半。就是说，为了让那间隔减小一半，我们必须回到大爆炸以来宇宙年龄的一半以前。大致说来，时间越早，两个区域尽管离得更近，但它们的交流越难。

古斯对视界问题的解决现在说起来就很简单了。他发现，爱因斯坦方程还有另一个解，宇宙在极早期经历过短暂的迅猛膨胀的阶段——在这个阶段里，宇宙空间以意想不到的指数的膨胀速率“暴胀”。指数式的膨胀不像抛向空中的皮球会慢下来，它会越来越快。当我们回放宇宙影片时，迅猛的加速膨胀的镜头表现为迅猛的减速收缩。这意味着为了使宇宙两个位置（在暴胀时期）的间隔减小一半，我们的电影不必回到一半以前——实际上远远用不了那么多时间。这样，两个区域就像热汤和空气那样，有了足够的时间进行热的接触和交换，从而达到相同的温度。

经过古斯的发现和后来林德（Andrei Linde，现在斯坦福大学）、斯坦哈特（Paul Steinhardt）和阿布雷切特（Andreas Albrecht，那时在宾夕法尼亚大学）以及其他许多人的重要修正，标准的宇宙学模型成了暴胀的宇宙学模型。在这个框架下，标准模型在ATB 10-36秒到10-34秒之间的小小“时间窗口”里被修正了——在这个“窗口”里，宇宙膨胀了至少1030倍，相比之下，在标准图景中，宇宙在相同时间间隔内只膨胀了大约100倍。这意味着，在ATB10-36秒的瞬间，宇宙比它在150亿年以后增大的还多。在暴胀以前，现在相隔遥远的物质离得很近，比在标准模型里近得多，从而可以很容易达到共同的温度。然后，通过古斯的宇宙暴胀——紧跟着标准模型的寻常膨胀——那些空间区域就像我们今天看到的一样，相隔遥远。这样，标准的宇宙学模型经过瞬间暴胀的重要修正，解决了视界问题（以及许多其他我们没有讨论的问题），因而获得了宇宙学家的认同。[3]

我们根据今天的理论，把宇宙从普朗克时间到现在的历史总结在图14.1中。

图14.1　宇宙历史上的几个重要时刻

宇宙学和弦理论

在图14.1中，从大爆炸到普朗克时间还留着一丝空白没有讨论。把广义相对论的方程贸然用于这个区域，我们可以发现，当时间越近大爆炸，宇宙会变得越小、越热、越密。在零时间的那一点，宇宙大小消失了，温度和密度顿时成为无穷大，这最明显不过地警告我们，在经典的广义相对论引力框架中树起的宇宙理论模型彻底崩溃了。

大自然坚决地告诉我们，在这样的条件下，我们必须把广义相对论和量子力学结合起来——换句话说，我们必须利用弦理论。目前，弦理论在宇宙学的应用正方兴未艾。微扰论的方法最多能得到大概的轮廓，因为极端的能量、温度和密度需要精确的分析。尽管第二次超弦革命带来了一些非微扰的技术，但它们需要经过一段时间的锤炼才可能满足宇宙学背景下的计算。不过，正如我们现在讨论的，在最近10年左右，物理学家已经迈出了认识弦宇宙学的第一步。下面就是他们发现的一些东西。

弦理论似乎有三条基本途径来修正标准宇宙模型。第一，弦理论以一种今天还不太说得清楚的方式让宇宙有一个可能的最小尺度，这对我们认识大爆炸时刻的宇宙有着重大影响，而标准理论说那时宇宙收缩到了零尺度。第二，弦理论具有大小半径的对偶性（与它有最小尺度密切相关），我们马上会看到这也有着深刻的宇宙学意义。最后，弦理论具有更多的时空维（大于4），从宇宙学的观点看，我们必须说明所有维的演化。让我们更详细地来讨论这几个问题。

开端有团普朗克尺度的火球

如何用那些弦的理论特征来修正标准宇宙学框架下的结论呢？20世纪80年代末，布兰登伯格和瓦法朝这个方向迈出了重要的第一步。他们得到两点重大发现：第一，当时间倒流，回到开始，温度会不断升高；但当宇宙在所有方向都达到普朗克长度时，温度达到它的最大值，然后开始降低。从直觉说，这一点并不难理解。为简单起见，我们想象（布兰登伯格和瓦法也是那么做的）宇宙所有的空间维都是圆形的。当时间倒流，每一维的半径都会收缩，宇宙的温度也会升高。但是，当每一维的半径坍缩经过普朗克长度时，我们知道，在弦理论中，这在物理上相当于半径从普朗克长度反弹回来。由于宇宙的温度在膨胀中降低，所以可以预料，我们看不到宇宙坍缩到普朗克尺度以下，我们实际只能看到温度在普朗克尺度达到最大，停止升高，然后开始下降。经过仔细计算，布兰登伯格和瓦法证明，事情真是那样的。

这个发现令布兰登伯格和瓦法看到了下面的宇宙学图景。开始时，弦理论的所有空间维都紧紧卷缩成它们最小的可能尺度，大约是普朗克长度。温度高，能量大，但都不是无限的，因为弦理论已经排除了无限压缩的零尺度的起点。在这宇宙开始的瞬间，弦理论的所有空间维都是平等的——完全对称的——都卷缩成一个多维的普朗克尺度的小宇宙。然后，根据布兰登伯格和瓦法的发现，宇宙经历第一次对称破缺；在大约普朗克时间，3个空间维生长出来，而其余的维还保持原来的普朗克尺度。那3个空间维就成了暴胀宇宙图景的主角，它们经历图14.1所概括的普朗克时间以后的演化，膨胀到今天的样子。

为什么是3维呢

紧跟着的一个问题是，什么东西打破了对称性而生出3个膨胀的空间维？就是说，除了我们看到只有3个空间维膨胀到现在的大尺度之外，弦理论是否能提出根本的理由来说明为什么不是其他数目的空间维（如4、5、6等）在膨胀？更对称地讲，为什么不是所有的维都膨胀呢？布兰登伯格和瓦法找到一种可能的解释。回想一下，弦理论的大小半径的对偶性依赖于这样一个事实：当空间维卷缩成圆圈时，弦可以缠绕着它。布兰登伯格和瓦法发现，缠绕着维的弦有限制那个维的倾向，不让它膨胀，就像自行车的外胎套着内胎一样。乍看起来，这似乎在说每个维都会被困住，因为它们都可能被弦缠上。问题是，如果缠绕的弦和它的反伙伴（大概说就是沿反方向缠绕空间维的弦）都考虑进来，它们将立即湮灭，生成一根解开的弦。假如这样的过程发生得足够快、足够多，那么套在空间的许多橡皮套都会被解开，那些维也能自由膨胀了。布兰登伯格和瓦法猜想，缠绕的弦只能在3个维上解开，为什么呢？

假定1维直线（如直线王国的空间）上有两个沿同一方向滚动的粒子，如果两个粒子的速度不同，迟早会有一个赶超另一个，从而发生碰撞。不过我们得注意，假如同样两个粒子随机地在2维平面（如平直世界的空间）上滚动，它们很可能永远也不会相遇。第二个空间维为每个粒子打开了一个新路径的世界，那些路径几乎不可能在同一时刻交汇在同一点。在3维、4维或其他更高维的情形中，两个粒子就更不容易相遇了。布兰登伯格和瓦法发现，如果把点粒子换成缠绕在空间维上的弦圈，类似的结果也会出现。尽管很难看到，但我们相信，在3个（或更少的）卷缩空间维时，两根缠绕的弦很可能相互碰撞——就像两个点粒子在1维线上运动的情形。但是，在4维或更高维的空间里，缠绕的弦就不太可能发生碰撞——像点粒子在2维或更高维空间一样。[4]

这样，我们看到下面的景象：在宇宙最初的瞬间，源自极高（然而有限）温度的“骚动”驱使所有卷缩的空间维膨胀，但遇到了缠绕在那些维上的弦的约束，从而它们又回到原来的普朗克尺度的半径。但是，随机的热涨落迟早会使3个空间维长得比别的维大，这样，我们刚才的讨论说明，绕在那3维的弦很可能发生碰撞。大约一半的碰撞牵涉到弦与反弦构成的对，它们将相互湮灭，从而不断地解开约束，使得那3个维能持续膨胀下去。它们长得越大，就越不可能被别的弦所缠绕，因为缠绕大的维度需要更大的能量。这样，膨胀是自我发展的，维长得越大，所受约束就越小。现在我们可以想象那3个空间维如何以上一节讲的方式持续演化，长到我们今天看到的宇宙那么大（或者更大）。

宇宙学和卡—丘空间

布兰登伯格和瓦法考虑了一种简单情形，假定所有空间维都卷缩成圆圈。实际上，如我们在第8章看到的，只要这些圆足够大，超越我们今天的观测能力，那它们跟我们看到的宇宙形态就是一致的。但对仍然很小的维来说，更现实的图像是它们卷缩成一个复杂得多的卡—丘空间。当然，问题的关键在于应该是哪一个卡—丘空间？如何决定那个特殊的空间？没人能回答这个问题。但是，结合以前讲过的那些拓扑改变结果和这些宇宙学认识，我们可以提出一个框架。我们现在知道，通过空间破裂锥形变换，任何卡—丘空间都可以演化成别的形式。这样，我们能想象，在大爆炸后喧嚣的热运动中，空间卷缩的卡—丘部分尽管依然很小，却在跳着“热烈的舞蹈”，结构在舞蹈中破裂，破裂后复原，永不停息，历经数不清的不同的卡—丘形态。当宇宙冷却，生出3个大的空间维，卡—丘空间从一种形态向另一种形态转变的脚步也慢下来了，而其余的维度都最终卷缩在某个卡—丘形态，生成我们在周围世界看到的那些物理性质。物理学家面临的挑战是，详尽地认识卡—丘空间的演化，从理论的原则预言它们现在的形态。我们已经看到，卡—丘空间能从一种形态光滑地变成另一种形态，根据这一点，卡—丘形态的选择问题实际上可能归结为一个宇宙学问题。[5]

开始之前

因为没有精确的弦理论方程，布兰登伯格和瓦法在他们的宇宙学研究里做了好多近似和假设。就像瓦法最近说的：

我们的工作照亮了一条新途径，弦理论因此可以用来谈一些标准宇宙学方法里的顽固的老问题。例如，我们看到，原初的奇点概念在弦理论中是完全可以避免的。但是，凭我们现在对弦理论的了解，很难在这样极端的条件下做出完全令人信服的计算，所以我们的工作只是投向弦理论宇宙学的第一眼，离最后的结果还远着呢。[79]

自他们的研究以来，物理学家在深入认识弦宇宙学的路上不断地前进着，走在前头的是维尼齐亚诺和他的伙伴、都灵大学的盖斯佩雷尼（Maurizio Gasperini）。他们提出了自己的一套有趣的弦宇宙学，具有上面讲过的某些特征，但差别也很大。跟布兰登伯格和瓦法的工作一样，他们也靠弦理论的最小长度概念来避免标准的和暴胀的宇宙理论中出现的无限温度和能量密度。不过，他们不认为那意味着宇宙来自一个极热的普朗克尺度的小火球，而认为宇宙可能有一部史前的历史——远在我们所谓的零时间之前就开始了——它将我们引向“普朗克的宇宙萌芽”。

在这大爆炸以前的图景里，宇宙的起点大不同于它在大爆炸框架下的状态。盖斯佩雷尼和维尼齐亚诺的研究告诉我们，宇宙的开端并不是炽热地紧紧卷缩在一起的空间小元胞，而是冰冷的、本质上无限延展的空间。那时候弦理论方程表现出一种迅速的不稳定性——多少有点儿像古斯的暴胀时期——把宇宙的每一点都迅速地驱散开去。他们证明，这使得空间越来越卷曲，温度和能量密度越升越高。[6]一定时间以后，在大空间里会出现一个毫米大小的三维区域，看起来就像从古斯的暴胀中产生的那个超热超密的小火球。接下来，那个小火球经历寻常大爆炸宇宙学的膨胀，形成我们今天熟悉的宇宙。另外，因为这发生在大爆炸以前的一幕本来就经历了暴胀，所以古斯关于视界问题的答案自然包含在这个“前大爆炸宇宙学”图景里。正如维尼齐亚诺说的，“弦理论为我们和盘托出了暴胀宇宙学的蓝图。”[80]

超弦宇宙学正在迅速成为活跃而多产的研究舞台。例如，大爆炸之前的图景已经激起了许多热烈而富有成果的争论，我们现在还远不清楚它在弦理论最终将产生的未来宇宙学框架内会起什么样的作用。当然，为了认识这一点，物理学家必须把握第二次超弦革命的方方面面。例如，高维的基本膜的存在会带来什么宇宙学的结果？假如弦理论的耦合常数“偶然”把我们从图12.11的5个边缘引向了中心，我们讨论过的那些宇宙性质会有什么改变吗？就是说，成熟的M理论对宇宙的最初瞬间会产生什么影响？这些核心问题的研究现在正热火朝天。我们已经看到了一线光明。

M理论与力的融合

在图7.1里我们看到，引力以外的3种相互作用的强度，在宇宙温度足够高的时候是融合在一起的。那么，引力作用的强度如何满足这幅图呢？M理论出现之前，弦理论家可以证明，如果选择最简单的卡—丘空间形态，引力作用差不多也能像图14.2那样与其他3种力融合。弦理论家发现，通过小心选择卡—丘空间形态（当然还有其他一些技巧），可以尽可能避免偏离。但这样事后的调整并不能让物理学家们感到满意。因为现在谁也不知道怎么准确预言卡—丘空间的形态，依靠那些与具体形态细节强烈相关的答案是很危险的。

然而，惠藤证明，第二次超弦革命提供了更强有力的答案。惠藤考察了在弦耦合常数不一定很小的情况下，力的强度会有什么变化。他发现，引力的变化曲线会像图14.2的虚线那样逐渐倾向于与其他力融合，不需要特别选择卡—丘空间形态。尽管为时尚早，但这大概还是说明，在M理论的宏大框架下，宇宙的统一可能会更容易实现。

图14.2　在M理论中，4种相互作用自然融合在一起

这一节和前面几节讨论的发现，是我们朝弦和M理论的宇宙学迈出的头几步，多少还只能说是暂时的结果。在即将到来的岁月里，随着弦/M理论非微扰工具的改善，物理学家希望能把它们用于宇宙学问题，并得到某些最深刻的发现。

但我们目前还没有足够有力的方法完全依照弦理论来认识宇宙学，所以我们还是需要一般地考虑宇宙学在寻求未来终极理论的过程中可能发挥怎样的作用。大家应该小心的是，这里的一些思想比以前讨论的更玄，不过它们确实提出了一些未来理论终归要回答的问题。

宇宙学的沉思和终极理论

宇宙学能紧紧抓住我们的心灵，因为认识事物怎么开始，与认识它们为什么开始，在感觉上是很近的（至少对某些问题是这样）。这并不是说现代科学把“怎么”的问题与“为什么”的问题联结起来了——没有，而且似乎也从来没有谁见过这样的科学联系。但是，宇宙学的研究似乎有希望让我们最完全地认识“为什么”的源头——宇宙的诞生——它至少可以使我们能在一个有科学依据的框架下来提问题。有时候，彻底认识一个问题也就差不多算拥有了问题的答案。

在终极理论的追求中，宇宙学的宏大构思也带来许多更具体的问题。我们相信。宇宙万物今天的表现——即图14.1的时间线上最右端的路线——依赖于物理学的基本定律，但它也可能依赖于宇宙从时间线的左端向右端演化的诸多方面，即使最深远的理论也没能将它们包括进来。

我们不难想象怎么可能是这样的。例如，我们来看皮球抛向天空会发生什么事情。引力定律决定着皮球后来的运动，但我们不能根据那些定律预言皮球一定会落在什么地方。我们还需要知道皮球离开我们的速度——包括大小和方向。就是说，我们必须知道皮球运动的初始条件。同样，还有些宇宙特征具有历史的偶然性——为什么这儿有颗恒星，那儿有颗行星？它们都依赖于一系列复杂的事件，从原则上讲，我们可以追溯宇宙在开始的时候所具有的某些特征。但是，即使最基本的特征，哪怕是最基本的物质和力的粒子的性质，也可能直接依赖于宇宙演化的历史——而演化本身也偶然地依赖于宇宙的初始条件。

实际上，我们在弦理论中已经看到了这种思想的可能体现。随着炽热的早期宇宙的演化，额外的空间维可能从一种形态变换为另一种形态，最后当宇宙冷却下来时卷缩成某个特殊的卡—丘形态。通过这最后的卡—丘形态对粒子质量和力的性质的影响，我们看到，宇宙初始的演化和状态会极大地影响我们今天看到的物理。

我们不知道宇宙的初始条件是什么，也不知道该用什么思想、概念和语言来描绘它们。我们相信，标准和暴胀的宇宙学模型里出现的那个无限大能量密度和温度的奇异的初始状态，只不过说明那些理论失败了，没能正确描写实际存在的物理条件。弦理论有一点进步，它告诉我们如何避免这种无限的极端；但是，关于事物到底是怎样开始的，我们还是一无所知。事实上，我们的无知更加可怕：我们甚至不知道决定初始条件的问题问得是否合理，不知道这个问题是不是永远超越了任何一个具体的理论——就像要广义相对论来回答把球扔向天空需要多大力气。霍金和加利福尼亚大学的哈特（James Hartle）等物理学家曾大胆尝试把宇宙初始条件的问题带进物理学理论的保护伞下，但他们的努力还没有结果。在弦/M理论的情形中，我们今天的认识还肤浅得很，不能决定“包罗万象”的理论候选者是否真的名副其实，不能决定它自己的宇宙学初始条件，当然也就不能把它提到物理学定律的高度。这是未来研究的一个基本问题。

不过，即使不谈初始条件和它们对后来宇宙曲折演化历程的影响，最近的一些猜想仍然意味着任何一个所谓最后的理论都存在解释能力的极限。谁也不知道这些想法是否正确，它们目前当然还处在主流科学的边缘。不过，它们还是以某种方式——尽管存在争论和猜想——让我们看到了未来的终极理论可能会遇到什么样的麻烦。

这个思想源自下面的可能：我们所谓的那个宇宙实际上只是巨大天空的一小部分，汪洋里无数宇宙岛中的一个。尽管听起来很牵强——最后也许是那样——但林德还是提出了一个具体的生成那个大宇宙的机制。他发现，我们以前讨论的短暂而重要的暴胀可能不是唯一的一次事件。他指出，发生暴胀的条件可以多次出现在宇宙众多的独立区域，然后那些区域各自暴胀，演化成为新的分离的宇宙。在每个这样的宇宙中，同样继续着那些过程，新的宇宙又从旧的广大区域里喷涌而来，从而形成一张无穷的宇宙膨胀的大网。这些词儿听起来有点儿累，我们还是用一个流行的词，把这个推广的概念叫多重宇宙，它的每一个组成部分还是叫宇宙。

我们在第7章讲过，我们所了解的一切说明物理学在我们的宇宙中是和谐的，处处一致的，但这与其他宇宙的物理学没有关系——只要它们与我们是独立的，或者至少离得太远，它们的光还没来得及赶到。所以，我们可以想象物理学是随宇宙的不同而改变的。在某些宇宙，区别可能不太大，例如，电子质量或强力的强度可能比我们的宇宙大（或者小）十万分之一；在另一些宇宙，区别可能很显著，上夸克的质量可能比我们测量的大10倍，电磁力的强度也可能比我们的强10倍，它们同时也给星体和生命带来巨大的影响（如我们在第1章讲的）。还有些宇宙，物理学的差别可能更惊人。例如，基本粒子和力的名单可能跟我们的完全不同；拿弦理论来说，展开的维数也可能不同。紧缩的宇宙可能只有一两个甚至没有展开的空间维，而开放的宇宙可能有八九个甚至十个展开的空间维。如果让我们自由想象，那么定律本身也可能是各不相同的。可能性是无限多的。

问题是这样的。例如我们浏览一下那么多的宇宙，绝大多数都不具备生命存在的条件——至少不会有我们所认识的那些类型的生命。对我们熟悉的物理巨变来说，这是很清楚的：如果宇宙真像花园的水管那样，我们所理解的生命就不会存在。即使不那么剧烈的物理变化，也会影响星体的形成。例如，可能不会有合成复杂生命原子的宇宙大熔炉——像碳、氧等分子，通常都是从超新星的爆发中喷洒出来的。生命的存在离不开具体的物理，从这点看，如果现在问，为什么自然的力和粒子具有我们看到的那些性质，可能有人会回答说：在整个多重宇宙中，那些性质是变化无常的；它们在不同的宇宙可能不同，实际上也的确不同。我们所看到的粒子和力的性质之所以特殊，显然在于它们允许生命的形成。而生命，特别是智慧生命，却是发问的主人：为什么我们的宇宙像这个样子呢？通俗地讲，宇宙万物之所以这样，是因为如果它们不那样，就不会有我们在这儿注意它们。举一个轮盘赌的例子。赢家会惊喜自己能继续赌下去，但他很快就会平静下来。他发现，如果自己没赢，就不可能有那种感觉。多重宇宙的假说也能使我们安静一些，别总想着去解释我们的宇宙为什么会是那样的。

这一路论证不过是一个老思想，有名的人存原理。正如我们看到的，它与我们那个严格的完全能预言的统一理论的梦想是针锋相对的。我们曾经梦想，事情之所以是这个样子，是因为宇宙不可能是别的样子。多重宇宙不是诗，其中的万物也不像在诗里那么天衣无缝地和谐；它和人存原理一样，描绘了一个无限的宇宙集合，对数不清的变化似乎贪得无厌。多重宇宙的图景是否正确，对我们来说，即使能够理解，也是非常困难的。即使存在别的宇宙，我们也可以想象永远不跟它们往来。不过，多重宇宙的概念扩大了我们的“外面的世界”——相比之下，哈勃发现的银河系外更多的星系就显得太小了——至少会提醒我们：我们对终极理论的要求是不是太多了？

我们应该要求我们的终极理论能给出一幅和谐的描述所有力和物质的量子力学图景。我们应该要求我们的终极理论能给出一个我们宇宙的宇宙论。然而，假如多重宇宙的图景是对的——当然，这是大大的“假如”——那么，要我们的理论来解释粒子质量、电荷和力的具体性质，可能还是要求太多了。

但是必须强调，即使我们接受多重宇宙的设想，也并不一定能说它会损害我们的预言能力。原因呢，简单说来就是，假如我们驰骋想象去考虑一个多重宇宙，我们也会摆脱理论的束缚，去寻找克服多重宇宙那显然的随机性。从相对保守的思想看，我们可以想象，如果多重宇宙的图景是对的，我们能够将我们的终极理论推广到整个宇宙，那个“推广的终极理论”可能会准确地告诉我们，基本的参数为什么那样“洒落”在每一个宇宙？它们是如何洒落下来的？

更激进的思想来自宾夕法尼亚州立大学的斯莫林（Lee Smolin），他从大爆炸和黑洞中心的条件的相似——同样都是挤压在一起大密度的物质——得到灵感，提出每一个黑洞都是一粒新宇宙的种子，新宇宙从种子爆发出来，但永远藏在黑洞视界的背后，我们看不见。斯莫林不仅提出了一种新的生成多重宇宙的机制，还引进来一种新的精神——一种宇宙的基因突变观——把与人存原理相关的科学极限问题引向尽头。[81]他说，我们来想想看，当一个宇宙从黑洞中心喷出来时，它的物理属性，如粒子质量和力的强度，跟产生它的母宇宙是接近的，但不会完全相同。因为黑洞来自不同星体，而星体的形成完全依赖于粒子质量和作用强度的精确数值，所以，任何一个宇宙能生成多少黑洞，也完全取决于那些参数。于是，“后代”宇宙小小的参数变化可能会比母宇宙更有利于黑洞的形成，从而可能拥有更多的自己的“后代”。[7]这样，经过许多代以后，孕育了很好的黑洞生成条件的子孙宇宙将在多重宇宙中占绝大多数。于是我们看到，斯莫林没有借人存原理，而是提出了一个动力学的机制，说明一代代的宇宙如何一步步接近特殊的参数值——那是最有利于黑洞生成的参数值。

这条思路引出另一种方法，即使在多重宇宙的背景下，它也能解释基本物质和力的参数。假如斯莫林的理论是正确的，假如我们不过是长大的多重宇宙中的一个代表（当然，这些都是“假如”，在许多方面还大有争议），那么，我们测量的粒子和力的参数，应该最有利于黑洞的产生。就是说，我们宇宙的那些参数的一丁点儿改变，都会使黑洞不容易形成。物理学家已经在考察这个预言了，目前还没有大家都能接受的看法。不过，即使证明斯莫林的具体观点错了，它也确实提供了终极理论可能具有的另一种形式。乍看起来，终极理论似乎立场不够坚定，我们可以看到它能描写好多宇宙，而多数都跟我们所在的宇宙无关。另外，我们可以想象那些宇宙都是能够在物理上实现的，从而产生一个多重的大宇宙——表面看，它将永远限制我们的预言能力。然而，实际上这种讨论说明，最终的解释总是可以找到的，只要我们不仅把握了终极的定律，而且还懂得它们在宇宙的大尺度演化的意义。

当然，弦理论和M理论的宇宙学意义在进入21世纪以后都将是一个重大的研究领域。没有能产生普朗克尺度能量的加速器，我们将不得不越来越依赖于大爆炸的宇宙加速器，依赖于它留给我们的遍布宇宙的遗迹，拿它们来当我们的实验数据。凭运气和毅力，我们总有一天能回答那些基本的问题：宇宙是怎么开始的？它为什么演化成我们看到的苍天和大地？当然，在我们和这些基本问题的完整答案之间，还隔着一大片荒漠。但是，引力的量子理论经过超弦理论的发展，为我们带来了信心和希望。我们相信自己现在掌握了应有的理论工具，可以迈步踏进那片无知的荒漠，经历千辛万苦之后，我们一定能带着某些最深沉的问题的答案，重新走出来。

《宇宙的琴弦》（4）弦理论与空间结构