阿基米德的头脑，比荷马的头脑更有想象力。

——伏尔泰

叙拉古的围攻

整个希腊化时代，数学活动的中心一直是亚历山大城，但是，那个时代——也是整个古代——首屈一指的数学家却不是亚历山大城的本地人。阿基米德可能一度在亚历山大城求学，师从欧几里得的弟子，他一直跟那里的数学家们保持着联系，但他生活在叙拉古，并在那里去世。他生平的详细材料很稀有，但我们从普鲁塔克对罗马将军马塞拉斯的生平记述中得到了一些关于他的信息。在第二次布匿战争期间，叙拉古城被拖入了罗马与迦太基之间的权力之争；在把它的命运与后者绑在一起之后，这座城市在公元前214～212年间遭到了罗马人的围攻。据说，整个围城期间，阿基米德发明了一些巧妙的战争机器——投石的弩炮，袭击罗马战船的索套、滑轮和钩子，纵火烧船的装置，使敌人无法逼近。然而，叙拉古最后还是由于“第五纵队”而兵败。在叙拉古城的洗劫中，阿基米德被罗马士兵杀害，尽管马塞拉斯此前已经下令，要饶这位几何学家一命。由于据说阿基米德当时已经75岁高龄，因此，他很可能出生于公元前287年。他的父亲是一位天文学家，阿基米德也在天文学领域确立了自己的名声。据说，马塞拉斯把阿基米德建造的那台用来描绘天体运动的设计精巧的天象仪作为战利品，据为己有。然而，关于阿基米德生平的记述都一致写到，跟他的思想的产物比起来，阿基米德认为自己的机械发明没有多少价值。即使当他处理杠杆及其他简单装置的时候，他更多的也是关注一般原理，而不是实际应用。

杠杆原理

当然，阿基米德并不是第一个使用杠杆的人，甚至也不是第一个阐述其一般原理的人。阿基米德的作品包含这样一个陈述：杠杆上的两个重物，当它们离支点的距离与重量成反比的时候便达到平衡；而逍遥学派的人把这一原理跟他们的假说联系在一起：垂直直线运动是地球上唯一自然的运动。他们指出，两臂不等的杠杆的端点，在它们围绕支点移动的时候，它们描画出来的轨迹是圆而不是直线；长臂端点画的圆更大，所以，其轨迹比短臂端点的轨迹更接近于自然垂直直线运动。因此，杠杆原理是运动学原理的自然结果。另一方面，阿基米德是从更合理的静态假设推导出了这一原理——两边对称的物体处于平衡状态。也就是说，假设一根没有重量的杆，长度为4个单位，支撑3个单位的重量：两端各一个单位，中间一个单位（图8.1），就被处在中心的支点所平衡。根据阿基米德的对称公理，这一系统处在平衡状态。但对称原理还表明，仅考虑系统的右半边，如果把相隔两个单位的两个重物合在一起，置于右半边的中点上，系统依然会保持平衡。这意味着，距离支点2单位的一个1单位重物，将会支撑另一臂上距离支点1单位的一个2单位重物。通过这个过程的一般化，阿基米德仅根据静态原理确立了杠杆原理，而没有借助于亚里士多德学派的运动学论证。我们将会在中世纪科学史中发现，静态观点和运动观点的结合，导致了科学和数学的进步。

图　8.1

阿基米德论述杠杆原理的作品是其两卷本专著《论平面图形的平衡》（On the Equilibrium of Planes）的一部分。此书并不是论述我们所谓的物理科学的最早的现存作品，因为亚里士多德大约在一个世纪之前就出版了一部颇有影响的八卷本著作，题为《物理学》（Physics）。但亚里士多德的方法是推理性的和非数学的，阿基米德的阐述类似于欧几里得的几何学。从一组简单的公设开始，阿基米德推导出了深刻的结论，建立起了数学与力学的密切关系，这种关系无论是对物理学还是对数学都有着极其重要的意义。《论平面图形的平衡》第一卷涉及到直线图形，结束于三角形和梯形的重心；第二卷集中关注抛物线段的重心，包括证明下面这个事实：这个重心在抛物线段的直径上，并把直径分成为3比2的两段。使用的步骤类似于穷举法，不过，一个熟悉微积分和力矩原理（或杠杆原理）的学生，可以很容易证明这个结论。

流体静力学原理

阿基米德完全可以被称作数学物理学之父，这不仅仅因为他的《论平面图形的平衡》，而且还因为他的另一部专著《论浮体》（On Floating Bodies）。他再一次从一个关于流体压力性质的简单公设开始，获得了一些很有深度的结论。在较早的命题中，有两个命题阐述了众所周知的阿基米德流体静力学原理：

如果把比流体轻的任何固体放入流体中，它将刚好沉入到固体重量与它排开流体的重量相等这样一种状态。（第一卷命题5）

如果把一个比流体重的固体放入流体中，它将沉至流体底部，若在流体中称量固体，其重量等于其真实重量与排开流体重量的差。（第一卷命题7）

浮力定律的这一数学起源无疑是一个伟大的发现，正是这个发现，导致神情恍惚的阿基米德跳出浴缸，赤身裸体跑回家，大喊“Eureka”（找到了）。还有可能，虽说可能性不是那么大，这一原理曾帮助他检验一位金匠的诚实，有人怀疑，这位金匠在为阿基米德的朋友、叙拉古国王希罗打造的一顶王冠（更有可能是一个花冠）里用一些银子取代了黄金。这样的欺骗可以用更简单的方法比较金、银和王冠的密度来发觉，只要把同等重量的金、银和王冠依次放入满水容器中，用一个简单的装置来测量水的排出量就行。后来，罗马建筑师维特鲁威把这个方法归到阿基米德的名下，然而，一部佚名作者的拉丁文叙事诗《重量和容量》（De ponderibus et mensuris，大概写于公元500年）认为阿基米德使用了浮力定律。

阿基米德的专著《论浮体》所包含的内容，远远多于我们迄今为止所描述的简单的流体属性。比方说，整个第二卷实际上都是关注抛物面的平衡位置，它向我们显示，静止位置取决于固体抛物面与它漂浮其中的流体的相对比重。最典型的是命题4：

给定一个回转抛物面的适当部分，其轴a大于（这里，p为主参数），其比重比流体要小，但两者之比不小于，若抛物面被放入流体中，其轴与铅垂面有任一倾角，其底不与流体表面接触，抛物面将不停留在那一位置，而要移动至其轴铅锤的位置。

接下来是一些更为复杂的实例，有很长的证明。阿基米德完全可以教授造船课程，虽说他大概更愿意教授纯数学的研究生课程。他可不是一位纸上谈兵的学者，在出现机械方面的紧急情况时，他总是施以援手。有一次，据报告，一艘为希罗国王建造的大船由于太重而没法下水，而阿基米德借助杠杆和滑轮的组合，完成了这一任务。据说，他曾经自吹，如果给他一根足够长的杠杆，再加上一个支撑杠杆的支点，他就可以撬动地球。大概是在亚历山大城，阿基米德对从尼罗河提水灌溉这一流域可耕土地的技术问题产生了兴趣；为此他发明了一个装置，如今被称作阿基米德螺旋泵：把螺旋管固定在一根带有手柄的斜轴上，通过手柄可以旋转斜轴。

《数沙术》

在古希腊，不仅理论与应用之间泾渭分明，而且还在常规机械计算与数的属性的理论研究之间作出了清楚的区分。据说，希腊学者对前者很是不屑，赋予它计算这个名字，而算术是一种值得尊敬的哲学追求，被理解为仅仅关注后者。有人甚至认为，对常规计算的古典态度反映了古代的社会结构，在这样的结构中，计算沦为奴隶。这一观点中不管有多少道理，看来似乎是言过其实了，因为希腊人不辞麻烦，用一种明显更便利的计算体系——爱奥尼亚体系或字母体系——取代了他们更古老的雅典体系。阿基米德生活的时代，大约正是从雅典计算向爱奥尼亚计算过渡开始产生效果的时代，这或许解释了下面这个事实：他屈尊俯就，对计算作出了一项贡献。在一篇题为《数沙术》（SandReckoner）的作品中，阿基米德夸下海口，他能够写下一个数，比填满宇宙所需要的沙粒数还要大。在这样做的时候，他提到了古代最大胆的天文学推测之一，在这个推测中，萨摩斯岛的阿里斯塔克斯（接近公元前3世纪中叶）提出，地球围绕太阳运动。这样一个天文学体系使人联想到，当地球围绕太阳运行移动了数百万英里时，恒星的相对位置应该改变。不存在这样一种视差移位，是导致古代最伟大的天文学家（推测起来，应该也包括阿基米德）拒绝日心假说的因素；但阿里斯塔克斯断言，没有视差可能归因于恒星与地球的距离十分巨大。好了，为了兑现他夸下的海口，阿基米德必须为宇宙所有可能的尺寸做好准备，因此，他表明他能够计算出填满阿里斯塔克斯的巨大世界所需要的沙粒。阿基米德首先从他那个时代对地球、月亮和太阳的尺寸以及月亮、太阳和星星之间的距离所作出的某些估算开始。他说，他那个时代对地球周长的估算被给定为300000斯塔迪（约30000英里，人们通常使用的斯塔迪约为1英里的1／10）；阿基米德考虑到了低估，并假定这个周长为3000000斯塔迪。此外，阿里斯塔克斯还估算太阳的直径是月亮直径的18至20倍，而月亮的直径比地球小。为了保险，阿基米德假定太阳的直径不大于月亮（更不大于地球）的30倍。接下来，阿基米德假定，太阳的尺寸大于一个圆的千分之一，因为阿里斯塔克斯估计它大约为半度，这个结果已被观察所证明。已知太阳实际尺寸的上限及其视尺寸的下限，就很容易求出其距离。最后，阿基米德解释阿里斯塔克斯的宇宙的半径与太阳的距离之比，等于这一距离与地球半径之比。从这些假设出发，阿基米德显示，平常宇宙（远至太阳）的直径小于10^10 斯塔迪。接下来，他必须估算一粒沙子的大小；还是为了保险起见，他估算10000粒沙子不小于一颗罂粟种子，一颗罂粟种子的直径不小于一手指宽度的四十分之一，而一斯塔迪不小于10000手指宽度。把所有这些不等量合在一起，阿基米德得出结论：填满当时一般认为是宇宙的那个球体，所需要的沙粒数小于一个数，我们将把这个数写作10^51 。至于阿里斯塔克斯的宇宙（它与平常宇宙的比，等于后者与地球的比），阿基米德显示，所需要的沙粒数不会超过10^63 。阿基米德并没有使用这一标记法，而是把这个数字描述为1000万个第8级单位数（这里，第2级数从1亿开始，第8级数是1亿的7次幂）。为了显示他能够表达甚至比这还要大得多的数，阿基米德扩展了他的术语，把所有小于1亿级的数称作第一期，因此，第二期从（10^8 ） 108 开始，这个数字包含800000000个零。当然，期还可以继续到第10^8 期。也就是说，他的体系可以直到第1亿期的第1亿级的1亿个单位——这个数字要在1后面写800万亿个0。顺便说一下，后来对数的发明，与阿基米德的这篇论述巨大数字的作品有关——数的“级”（相当于基数为100000000的幂）相加，相当于求数的积。

圆的度量

阿基米德在对一个圆的周长与直径之比所作的近似计算当中，再一次显示了他的计算技巧。他从内接正六边形开始，计算出通过连续加倍边数（直至96边）所获得的多边形的周长。他对这些多边形反复所作的迭代步骤，与有时候被称作“阿基米德算法”的那种方法有关。首先设定序列：P^n 、p^n 、P^2n 、p^2n 、P^4n 、p^4n … ，式中P n 和p n 是边数为n的外切和内接多边形的周长。从第三项开始，通过交替取前两项的调和平均数和几何平均数计算任意一项。也就是说，P2n＝2pn^Pn（／pn＋Pn），p2n＝依此类推。如果愿意的话，你也可以代用序列：a^n 、A^n 、a^2n 、A^2n …，式中，a^n 和A^n是边数为n的内接和外切正多边形的面积。第三项及后续各项通过交替取前两项的几何平均数和调和平均数，即：，依此类推。他在求外切正六边形周长时所使用的计算平方根的方法，以及计算几何平均数的方法，类似于巴比伦人所使用的方法。阿基米德对圆进行计算的结果是π的近似值，用不等式表达为：319＜π＜319，这个估算比埃及人和巴比伦人更7170准确。（应该记住的是，无论是阿基米德，还是其他任何希腊数学家，都不曾使用我们的符号π来表示圆周长与直径的比。）这个结果是在他的专著《论圆的度量》（On the Measurement of the Circle）命题3中给出的，在阿基米德作品当中，这本书是在中世纪最受欢迎的一部。这部篇幅很小的作品（当它传到我们手里的时候大概不完整）只包括三个命题，其中一个命题是通过穷举法证明：圆的面积，等于以圆周长为一边、以圆半径为另一边的直角三角形的面积。阿基米德不大可能是这一定理的发现者，因为据推测，圆面积的求法出自狄诺斯特拉图。

三等分角

阿基米德像他的前辈们一样，也被三个著名的几何难题所吸引，而鼎鼎大名的阿基米德螺线提供了其中两个难题的解答（不过，当然不是只用直尺和圆规）。这条螺线被定义为一个点的平面轨迹，这个点从一条射线（或称半直线）的端点开始，沿这条射线匀速移动，同时这条射线绕其端点匀速旋转。在极坐标中，这条螺线的方程式是r＝aθ。给定这样一条螺线，三等分角就很容易实现了。把要三等分的角这样放置：使角的顶点和始边与螺线的始点O和旋转线的初始位置OA重合，角的终边与螺线相交于点P，然后，线段OP在点R和点S处被三等分（图8.2），再以O为圆心、分别以OR和OS为半径画圆。若这两个圆分别与螺线相交于点U和点V，则直线OU和OV三等分角AOP。

图　8.2

希腊数学有时候被描述为本质上是静态的，不大重视可变性的概念；但阿基米德在研究螺线的时候，似乎通过类似于微分的运动考量，求出了一条曲线的切线。想到螺线r＝aθ上的一点受到双重运动——远离坐标原点的匀速径向运动和围绕原点的圆周运动——的影响，他似乎通过记录两个组成运动的合成矢量，从而得出了（通过速度的平行四边形）运动的方向（因而也得出了这条曲线的切线的方向）。这似乎是得出一条不是圆的曲线的切线最早的实例。

图　8.3

阿基米德对螺线（他曾把这条曲线归到自己的朋友亚历山大城的康农的名下）的研究，是希腊人探索三大著名难题的解法的组成部分。这条曲线使得三等分角变得极为容易，完全有可能是康农专门为这个目的设计出来的。然而，正如在割圆曲线的实例中一样，它还可以用来求与圆面积相等的正方形，就像阿基米德所显示的那样。在点P画出螺线OPR的切线，在点O作OP的垂直线，与切线相交于Q。然后，阿基米德显示，若以O为圆心、以OP为半径所作圆，则线段OQ（被称作点P的极次切距）的长度等于初始线（极轴）与直线OP（矢径）之间的弧PS（图8.3）。阿基米德通过典型的双重归谬法所证明的这个定理，一个学过微积分的学生也可以证明，只要他还记得：tanψ＝r／r′，式中，r＝f（θ）是曲线的极坐标方程，r′导数是r对θ的导数，ψ是点P的矢径与曲线在点P处的切线之间的角。阿基米德的大部分作品都是如此，以至如今会包含在微积分课程里，他的《论螺线》（On Spirals）尤其是这样。如果螺线上的点P被选定为螺线与极坐标中90°线的交点，那么，极次切距OQ就刚好等于半径为OP的圆的周长的四分之一。因此，整个圆的周长就很容易按照线段OQ的4倍作出，而且，根据阿基米德定理，一个与圆面积相等的三角形就找出来了。接下来，简单的几何转换就可以得出一个正方形取代三角形，求与圆面积相等的正方形就这样实现了。

在《论螺线》里的28个命题当中，有几个命题涉及的是跟螺线有关的面积。例如，命题24显示，矢径在第一次公转中所扫过的面积是“第一圆”面积的三分之一，所谓的“第一圆”，就是以极点为圆心、半径等于第一次公转后矢径长度的圆。阿基米德使用了穷举法，但今天的学生很容易又一次证明这个结论，只要他还记得：这个面积是

此外，就像阿基米德用更困难的穷举法来证明一样，还可以很容易地通过微积分来证明：在下一次旋转中，增加的环形区域R^2 （其边界线是螺线的第一圈和第二圈，以及极轴上第一圈和第二圈与极轴的两个交点之间的部分）是第一次公转所扫过的区域R^1 的6倍。连续公转所增加的环形区域，通过简单的连续法则给出：Rn＋1＝n Rn（／n－1），就像阿基米德所证明的那样。

抛物线段的面积

图　8.4

《论螺线》这部作品大受赞赏，但读者寥寥，因为它通常被认为是阿基米德所有作品中最难懂的。在主要涉及穷举法（也就是积分）的论文中，最通俗的是《抛物线的求积》（Quadratureof the Parabola）。阿基米德写这篇论著的时候，人们知道圆锥截面已经差不多一个世纪，然而在求其面积上却没有什么进展。正是这位古代最伟大的数学家，在这部以求面积为目标的作品的命题17中，实现了圆锥截面——即一段抛物线段——的求积。通过标准的穷举法所给出的证明十分冗长，而且复杂难懂，但阿基米德严密地证明了抛物线段APBQC（图8.4）的面积K是同底等高的三角形面积T的三分之四。在随后的（也是最后的）7个命题中，阿基米德给出了同一个定理的第二种不同的证明。他首先证明，最大的、以AC为底的内接三角形ABC的面积，是分别以AB和BC为底的两个内接三角形之和的4倍。通过继续这一关系所暗示的这个过程，有一点变得很清楚：抛物线段ABC的面积K被无穷级数T＋T／4＋T／4 2 ＋…＋T／4n＋…给出，当然，这个和就是4/3T。阿基米德没有提到这个无穷级数的和，因为无穷的步骤在他那个时代总是让人大皱眉头，他通过双重归谬法证明了K既不大于、也不小于4/3T。（阿基米德像他的前辈们一样，也没有使用“抛物线”这个名称，而是使用“orthotome”［直锥截面］这个词。）

在《抛物线的求积》的序言中，我们发现了今天通常被称作“阿基米德公理”的假设或引理：“两不等面积之差，通过重复相加，可超过任一预先给定的有限面积。”这一公理实际上一笔勾销了柏拉图时代曾经广为讨论的固定无穷小或不可分的概念。它本质上跟穷举公理是一样的，阿基米德坦率地承认：

早期的几何学家也使用过这一引理，因为他们正是使用这一引理证明了：两圆面积之比是它们直径的二次比，两球体积之比是它们直径的三次比，以及棱椎体积是同底等高棱柱体积的三分之一；还利用了类似于上述引理证明了圆锥体积是同底等高圆柱体积的三分之一。

这里提到的“早期的几何学家”，大概包括欧多克索斯及其衣钵传人。

抛物线体的体积

阿基米德明显不能求出一段椭圆或双曲线的面积。用现代积分法求抛物线段的面积，所涉及到的不比多项式更麻烦，但在求一段椭圆或双曲线的面积时所涉及到的积分，则需要超越函数。然而，在他的重要专著《论劈锥曲面与回转椭圆体》（On Conoids and Spheroids）中，阿基米德求出了整个椭圆的面积：“椭圆的面积之比等于其轴所构成的矩形面积之比”（命题6）。这就等于说：x^2 ／a^2 ＋y^2 ／b^2 ＝1的面积是πab，或：椭圆的面积等于以椭圆半轴的几何平均数为半径的圆的面积。此外，也是在这部专著中，阿基米德还证明了如何求椭圆体、抛物线体或（双叶）双曲线体上所截片段的体积。设ABC为一段抛物线体（或抛物线“劈锥曲面”），轴为CD（图8.5）；绕该抛物线体作外接圆柱体ABFE，也以CD为轴。把轴分为n等分，每一部分的长度为h，通过各分点作平面与底平行。在这些平面切割抛物线体所形成的圆截面上作内接和外接的圆柱平截体，如图所示。那么，通过抛物线的方程式和算术级数之和，很容易确定下列比例式和不等式：

图　8.5

之前阿基米德已经表示，外接图形与内接图形体积之差等于最底一截外接圆柱的体积，通过增加轴上等分的数量n，由此使得每一截圆柱体更薄，外接图形与内接图形之差可以小于任何预先给定的量。因此，不等式将导致这样一个必然的结论：圆柱的体积是劈锥曲面体的体积的两倍。这一工作与现代积分步骤的不同，主要在于缺乏函数极限的概念——这个概念就是近在眼前，然而却从未被古人阐述过，阿基米德是最接近实现它的人，他也没阐述过。

球截体

阿基米德撰写过很多不可思议的专著，其中，他的后继者们往往最赞赏《论螺线》。作者本人似乎偏爱另一篇《论球和圆柱》（On the Sphere and Cylinder）。阿基米德曾请求在他的墓上雕刻一个内接于正圆柱体的球体，圆柱体的高度与半径相等，因为他发现并证明了：这个圆柱与球体的体积之比等于面积之比——即3比2。这一属性，是阿基米德在写完《抛物线的求积》之后发现的，他说，他之前的几何学家一直不知道。曾经有人认为，埃及人知道如何求出半球的面积；但现在看来，阿基米德似乎是第一个知道并证明了球体面积是其大圆面积4倍的人。此外，阿基米德还证明了“任何球截体的表面都与一个圆的面积相等，这个圆的半径等于从球截体的顶点向球截体底的圆周所作线段。”当然，这相当于我们更熟悉的命题：任何球截体的表面积等于一个圆柱曲面的表面积，这个圆柱的半径等于球的半径，它的高等于球截体的高。也就是说，球截体的表面积并不依赖于它跟球心的距离，而是仅仅依赖于球截体的高度（或厚度）。关于球体表面的最重要的定理出现在命题33中，接下来是一长串初步定理，包括一个相当于求正弦函数的积分的定理：

如果弓形LAL′（A为弓形的中点）的内接多边形为LK…A…K′L′，除了底LL′之外，其余各边相等，且边数为偶数；若线段BB′、CC′…平行于底LL′，那么：（BB′＋CC′＋…＋LM）：AM＝A′B：BA，这里，M是LL′的中点，AA′是通过M的直径（图8.6）。

图　8.6

这是三角方程的几何等价物：

从这个定理很容易通过把上述等式的两边同时乘以θ／n，并取极限为n的无限增大，从而推导出现代表达式：∫ φ 0 sinxdx＝1－cosφ。等式的左边成为：

式中，x^i ＝iθ／n，i＝1，2…n，Δx^i ＝θ／n，i＝1，2…n－1，Δx^n ＝θ／2n。等式的右边便成了：

相当于阿基米德在前面的命题中给出的特例：∫ π

0sinxdx＝1－cosπ＝2。我们熟悉的球体体积的公式出现在《论球和圆柱》第一卷的命题34：

任何一个球体等于一个圆锥体的4倍，该圆锥体的底等于球体的最大圆，它的高等于球体的半径。

这个定理用通常的穷举法来证明，对于球体和外接圆柱的体积与表面积之比，阿基米德遵循了同样容易的推论方法。球体内接圆柱的图示确实被雕刻在他的墓上，正如我们从西塞罗的记述中所知道的那样。当他担任西西里的度支官的时候，这位罗马演说家找到了这座带有雕刻的无人照看的坟墓。他修复了这座墓——这几乎是罗马人对数学史所作出的唯一贡献——但打那之后，它的所有踪迹都消失不见了。

《论球和圆柱》

《论球和圆柱》第二卷中的一个问题让我们看到了希腊几何代数中有趣的一面。在命题2中，阿基米德证明了他的求给定球截体体积的公式；在命题3中，他显示了如何用一个平面切割一给定球体，使所得球截体的表面积之比等于一给定比，你只要让垂直于直径的平面通过直径上的一点，该点把直径分为其比等于给定比的两段。然后，他在命题4中显示了如何切割一给定球体，使两个球截体的体积之比等于一给定比——这个问题要难得多。用现代符号表示法，阿基米德得出了下列方程式：

这里，m∶n是两个球截体的比。这是一个三次方程，阿基米德像他的前辈们解决倍方问题一样来求这个方程的解——通过相交的圆锥曲线。有趣的是，这个希腊人处理三次方程的方法完全不同于处理二次方程的方法。在后者的情况下是通过“面积的应用”，照此类推，我们预料大概会“体积的应用”，但他并没有采用这种方法。通过代入法，阿基米德把他的三次方程简化为下面的形式：x² （c－x）＝db² ，并允诺就正根的数量分别给出这个三次方程的全分析。这一分析显然失传了，直到几百年之后，6世纪初叶的一位重要的注释者欧托基奥斯找到了一些片段，似乎包含真实可信的阿基米德的分析。解法是通过抛物线cx² ＝b²y和双曲线（c－x）y＝cd的交点来实现的。进一步，他找到了决定满足要求的实根数的系数的条件——这个条件相当于得出三次方程bd＝x（c－x）的判别式：27bd－4c。（这很容易通过初等微积分的应用来证明。）由于所有三次方程都可以转变为阿基米德的那种类型，我们这里便有了一般三次方程全分析的本质。在阿基米德之后，人们对三次方程的兴趣完全消失了，一度被欧托基奥斯所复活，接下来，几个世纪之后，又被阿拉伯人所复活。

《引理集》

图　8.7

我们前面所描述的阿基米德的专著，大多数是高等数学的组成部分，但这位伟大的叙拉古人并非不屑于提出初等数学的问题。例如，在他的《引理集》（Book of Lemmas）中，我们发现了对所谓的“鞋匠刀形”（arbelos）的研究。鞋匠刀形是由三个两两相切的半圆围成的区域（图8.7），要求面积的是最大半圆之内和两个较小半圆之外的那一部分。阿基米德在命题4中显示：如果CD与AB垂直，则以CD为直径的圆的面积等于鞋匠刀形的面积。在下一个命题中，他证明了：线段CD把鞋匠刀形分成了两个区域，它们里面的两个内切圆相等。

《引理集》还包含了一个定理（命题14），所研究的图形阿基米德称为“盐瓶”（salinon）。以线段AB、AD、DE和EB（AD＝EB）为直径画半圆（图8.8）。那么，盐瓶形（完全由半圆弧所围成）的总面积等于以这个图形的对称线FOC为直径的圆的面积。

图　8.9

在《引理集》中，我们还发现了（命题8）鼎鼎大名的阿基米德三等分角。设ABC为要三等分的角（图8.9）。那么，以B为圆心、以任意长度为半径画圆，交AB于P，交BC于Q，交BC的延长线于R。然后，画直线STP，使S在CQBR的延长线上，T在圆上，并使ST＝BQ＝BP＝BT。于是很容易证明：由于三角形STB和TBP是等腰三角形，角BST恰好就是要三等分的角QBP的三分之一。当然，阿基米德和他的同时代人都知道，这并不是正儿八经的柏拉图意义上的三等分，因为它涉及到他们所谓的“斜向法”（neusis）——也就是说，在两个图形（这里是QR的延长线和圆）之间插入了一定的长度。

《引理集》的希腊文原版没有幸存下来，而是通过阿拉伯译文传到我们手里，后来又被转译为拉丁文（因此，人们常常按照拉丁文标题Liber assumptorum来引用它。）事实上传到我们手里的这部作品，不可能是阿基米德的原作，因为正文中几次引用他的名字。然而，即便这部专著只不过是被阿拉伯人归到阿基米德名下的各种定理的结集，这部作品大概依然足够可靠。关于“群牛问题”的真实性也有疑问，这个问题通常被认为是阿基米德提出的，肯定可以追溯到他死后的几十年之内。群牛问题对数学家是个挑战，要解有8个未知量的不定联立方程——4种不同颜色的公牛和母牛的数量。问题的表述有些歧义，但据一种解释说，需要600多页的篇幅，才能给出一种可能解法中的8个未知量的值。这个问题涉及到方程x² ＝1＋4729494y² 的解，不经意间提供了后来被称作“佩尔方程”的最早实例。

半正多面体和三角学

毫无疑问，阿基米德的作品并非全都幸存下来了，因为在后来的一则（帕普斯的）注释中我们得知，阿基米德发现了全部13个可能的所谓半正多面体。正多面体的面都是同一类型的正多边形，而半正多面体是一个凸多面体，它的面也是正多边形，但并非全都是同一种类型。例如，如果我们从一个立方体a的8个角上各切掉一个边长为的四面体，结果得到的图形就是一个半正多面体，或称阿基米德多面体，其表面由8个等边三角形和6个正八边形构成。

阿基米德作品的完整数量已经不得而知，这一点可以从很多参考材料中清楚地看出。阿拉伯学者告诉我们，人们所熟悉的根据三角形的三条边求该三角形的面积的公式，通常被称作“海伦公式”——K＝式中s是周长的一半——在海伦生活时代的几百年之前，阿基米德就已经知道了。阿拉伯学者把“折弦定理”归到了阿基米德的名下——如果AB和BC构成了圆上的一条折弦（AB≠BC），且M是弧ABC的中点，F是从M向长弦所作垂直线的垂足，则F是折弦ABC的中点（图8.10）。据阿拉伯人说，阿基米德给出了这个定理的几个证明，其中一个证明是通过在图中画虚线来实现的，作FC′＝FC，并证明△MBC′≌△MBA。因此，BC′＝BA，且由此可得：C′F＝AB＋BF＝FC。我们不知道阿基米德是否在这个定理中看出了任何三角学的意义，但有人暗示，对他来说，这个定理起到了一个公式的作用，这个公式类似于我们的sin（x－y）＝sinxcosy－cosxsiny。要证明这种等价，我们设现在，这三段弧所对应的弦分别是：MC＝2sinx，BM＝2siny，AB＝2sin（x－y）。MC和MB在BC上的投影分别是FC＝2sinx和FB＝2sinycosx。最后，如果我们把折弦定理写作AB＝FC－FB，并且把这三条弦换成它们的三角学等价物，那么，就得出了sin（x－y）的公式。当然，从同样的折弦定理，还可以得出另外一些三角恒等式，这表明，阿基米德可能从这个定理中找到了他的天文学计算中很有用的工具。

图　8.10

《方法》

阿基米德的专著不像欧几里得的《几何原本》（这部著作幸存在很多希腊文和阿拉伯文手抄本中），是通过一根细线传到我们手中的。几乎所有副本都来自一份存在于16世纪初叶的希腊文原本，而其本身则是从一份约存于9世纪或10世纪的原件抄录的。欧几里得的《几何原本》为古往今来的数学家所熟悉，实际上自它撰写以来几乎从未中断过，但阿基米德的专著，经历更为坎坷。有几个时期，阿基米德的作品知者寥寥，甚或完全不为人知。欧托基奥斯是公元6世纪的一流学者和技巧娴熟的注释者，在他那个时代，阿基米德的众多作品中，只有三部作品普遍被人们所知——《论平面图形的平衡》、未完成的《论圆的度量》和令人赞赏的《论球和圆柱》。在这样的环境下，人们不免要惊讶，竟然有这么大比例的阿基米德的作品幸存至今。说到阿基米德作品的出处，最令人啧啧称奇的是，在20世纪竟然发现了他的一部最重要专著，阿基米德简单地把这部专著称作《方法》（The Method），自公元纪元最初的几个世纪之后，这部作品就失传了，直到1906年被再次发现。

阿基米德的《方法》有着特殊的意义，因为它向我们揭示了阿基米德的思想中一个在其他地方没有发现过的方面。他的其他专著都是逻辑精确性的瑰宝，很少有导致明确公式化的初等分析的线索。在17世纪的一些作者看来，他的证明完完全全没有丝毫动机，以至于他们怀疑阿基米德隐瞒了他的研究方法，为的是让他的作品受到更多人的赞赏。对这位伟大的叙拉古人所作的这种心胸狭隘的估判，究竟有多少道理，随着1906年那份包含《方法》的手抄本的发现，而变得一清二楚了。在这部作品中，阿基米德向全世界阅读它的人描述了一些初步的“力学”研究，正是这些研究使他得出了很多重要的数学发现。他认为，他的“方法”缺乏严密性，例如，他假设面积是线段之和。

图　8.11

我们所看到的《方法》，包含了大约15个命题的大多数文字，其形式是写给数学家和亚历山大大学图书馆馆长埃拉托斯特尼的一封信。作者一开始便说，如果我们首先对一个定理所涉及到的东西有所了解的话，就更容易提供它的证明；他引用了欧多克索斯关于圆锥和棱椎的证明作为例子，这些证明可以借助德谟克利特提出但没有证明的初步命题而变得更容易。接下来，阿基米德宣布，他自己有一种“力学”方法为他的某些证明铺平了道路。他通过这一方法所发现的第一个定理是关于抛物线段的面积的定理；在《方法》的命题1中，作者描述了他如何通过平衡线（就像一个人平衡力学中的重量一样）得出了他的定理。他把抛物线段ABC和三角形AFC（这里，FC是抛物线在点C上的切线）的面积想象为一组与抛物线直径QB平行的线段（例如抛物线的OP和三角形的OM）的总和（图8.11）。如果你在点H（这里，HK＝KC）放上一条线段等于OP，那么，这条线段就刚好跟位于现在位置的线段OM平衡，K是支点。（这可以通过杠杆原理和抛物线的属性来证明。）因此，如果以H为重心来放置抛物线的话，那么抛物线的面积刚好就与三角形平衡，而三角形的重心在KC上，位于从K到C的三分之一处。由此，你很容易看到，抛物线段的面积是三角形AFC的面积的三分之一，或者是其内接三角形ABC的三分之四。

球的体积

阿基米德最喜爱的定理（雕刻在他的墓上），也是通过他的力学方法想到的。《方法》的命题2是这样描述的：

任何球截体与同底等高的圆锥体之比，等于球的半径跟互补球截体的高度之和与互补球截体的高度之比。

图　8.12

这个定理很容易从阿基米德所发现的一个很优美的平衡属性推导出来（也很容易按照现代的公式来证明）。设AQDCP是一个以O为球心、以AC为直径的球体的横截面（图8.12），AUV是一个以AC为轴、以UV为底部直径的正圆锥体的剖面。设IJUV是一个以AC为轴、以UV＝IJ为直径的圆柱体，且延长CA至H，使AH＝AC。如果一个平面通过轴AC上的任意一点S且垂直于AC，这个平面将切割圆锥、球和圆柱，切面圆的半径分别是：r^1 ＝SR，r² ＝SP，r³ ＝SN。如果我们把这些圆的面积分别称作A^1 、A² 和A³ 的话，那么，阿基米德发现，当他以H为重心放置A^1 和A 2 的时候，它们就刚好与位于现在位置的A3平衡，A为支点。因此，如果我们把球、圆锥和圆柱的体积分别成为V^1 、V² 和V³ 的话，那么可以得出：V^1 ＋V² ＝1/2V³ ；而且，由于V² ＝1/3V³ ，则球的体积必定等于1/6V³ 。因为圆柱的体积V³ 是已知的（从德谟克利特和欧多克索斯那里知道），那么，球的体积也就知道了——用现代符号表示法就是：V＝4/3πr³ 。通过把同样的平衡技术应用于以BD为底部直径的球截体、以EF为底部直径的圆锥体和以KL为底部直径的圆柱体，就以同样的方式得出了球截体的体积。

《方法》的复原

图　8.13

以顶点为支点的圆截面的平衡方法，被阿基米德应用于发现三个回转体——椭球体、抛物线体和双曲线体——的体积，以及发现抛物面（劈锥曲面）、半球和半圆的重心。《方法》结束于确定两个在现代微积分书中特别受青睐的立体的体积：一个是两个平面从一个正圆柱体上切割下来的楔子的体积（图8.13），另一个是两个垂直相交的相等正圆柱体共同部分的体积。这部作品包含了2000多年前如此令人拍案惊奇的成果，在1906年几乎是偶然地重见天日。不屈不挠的丹麦学者J.L.海伯格获悉君士坦丁堡有一份包含数学内容的重写卷。（所谓重写卷，是原文被擦除后重新抄写过不同文本的羊皮纸卷，但原文通常并没有擦干净。）仔细检查之下，他看到原抄本包含阿基米德的一些作品，通过拍照，他能够读出大多数阿基米德的原文。这份手抄本由185页羊皮纸组成，除了少数几页之外，大多数是重写卷，以12世纪的手写体抄录了阿基米德的原文。曾经有人试图——幸亏不太成功——擦除羊皮纸上的文字，为的是用来重新抄写《圣事礼典》（东正教会使用的祈祷文集），大约写于13世纪。其中的数学文本包括：《论球和圆柱》、《论螺线》的大部分、《论圆的度量》、《论平面图形的平衡》以及《论浮体》的一部分，这些内容全都在其他手抄本中保存了下来；最为重要的是，这份重写卷给我们带来了唯一幸存的《方法》。在某种意义上，这份重写卷是中世纪贡献的象征。对宗教关切的强烈关注，险些擦除了古代最伟大数学家的最重要作品之一，然而归根到底，正是中世纪的学术无心插柳地保护了这份文献，否则的话，它很可能就失传了。

《数学史》第8章 叙拉古的数学

《数学史》第8章　叙拉古的数学