有一次，托勒密问欧几里得，是否有比研究《几何原本》更简捷的途径，可以获得几何学的知识。对此，欧几里得答道：不存在通向几何学的王室大道。

——普罗克洛斯

《几何原本》的作者

亚历山大大帝的去世，导致了希腊军队将领之间的互相残杀；不过，到公元前306年，帝国的埃及部分的控制权已经牢牢掌握在托勒密一世的手里，这位开明的统治者得以能够把他的注意力转移到建设性的努力上来。他的早期行动之一，就是在亚历山大城创建一所学校——缪斯学院（Museum），在当时首屈一指。他请来一帮最重要的学者，到学校执掌教席，其中就包括有史以来最成功的数学教科书《几何原本》的作者欧几里得。考虑到这位作者的名声以及他的超级畅销书，人们对欧几里得生平的所知甚少就显得格外醒目了。他的生平如此不详，甚至没有个出生地跟他的名字联系在一起。尽管各种版本的《几何原本》上都把作者标为“麦加拉的欧几里得”，还有一幅“麦加拉的欧几里得”的肖像常常出现在数学史中，但这是一个张冠李戴的实例。真正的麦加拉的欧几里得是苏格拉底的一位学生，而且，尽管这位欧几里得关心逻辑学，但对数学并不比他的老师更感兴趣。相比之下，我们的欧几里得被称作亚历山大城的欧几里得，因为他被请去那里教授数学。根据他的工作性质，有人推测，他即便没有在柏拉图学园学习过，也应该与柏拉图的学生一起学习过。与欧几里得有关的传说把他描绘为一个友善而和蔼的老人。前面曾提到过亚历山大大帝询问学习几何学的捷径的故事是重复了托勒密国王的例子，据传说，欧几里得的回答是：“不存在通向几何学的王室大道。”很显然，欧几里得并不强调他所研究的课题的实用方面，因为有故事讲到，当他的一个学生问他研究几何学有什么用的时候，欧几里得吩咐自己的奴隶给这个学生三个硬币，“因为他硬要从自己所学的东西中获得收益。”

人们常常把欧几里得与《几何原本》混为一谈，实际上，这个人写过十多本专著，这些专著涵盖广泛的主题，从光学、天文学、音乐和力学，直到一本论述圆锥曲线的书。除了奥托利科斯的《论运动的球体》之外，幸存下来的欧几里得的著作是现存最古老的希腊数学专著；然而，欧几里得所写的东西半数以上失传了，包括他的一些最重要的作品，比如一篇关于圆锥曲线的专论。欧几里得认为阿里斯泰奥斯（一位同时代的数学家）应该得到更大的荣誉，因为他写了一部更早的专著《立体轨迹》（Solid Loci，这是圆锥曲线的希腊名称，大概源自于门奈赫莫斯作品中的曲线的立体几何定义）。阿里斯泰奥斯和欧几里得关于圆锥曲线的专著都失传了，多半再也无法挽回，这大概是因为它们很快就被后文所描述的阿波罗尼奥斯论述圆锥曲线的更详尽的作品所取代。欧几里得失传的作品还包括一本《曲面轨迹》（Surface Loci）、一本《纠错集》（Pseudaria）和一本《系论集》（Porisms）。我们从古代的参考文献中甚至搞不清楚这些著作包含什么样的材料。例如，《曲面轨迹》可能涉及到古人所知道的一些曲面——球体、圆锥体、圆柱体、环面、回转椭球、回转抛物面以及双叶回转双曲面——或者涉及这些曲面上的曲线。就我们所知道的而言，希腊人只研究回转体的表面。

欧几里得的《系论集》的失传特别让人不能释怀，因为它很可能描绘了古代跟解析几何相似的东西。帕普斯后来说，系论就是介于定理（其中有些东西要证明）与问题（其中有些东西要解释）之间的中间物。还有一些人把系论描述为决定已知量与可变量（或未定量）之间关系的命题，这或许是古代最接近于函数概念的东西。如果真的像人们所认为的那样，系论就是一种用文字表达的曲线的程式，那么，欧几里得的《系论集》与我们的解析几何的不同之处，主要就在于缺少代数的符号和技术。19世纪的几何史家米歇尔·沙勒曾暗示，一个典型的欧几里得系论，就是确定一个点的轨迹，这个点与两个定点之间距离的平方和为一个常量。

其他作品

欧几里得有五部作品幸存至今：《几何原本》、《已知数》（Data）、《图形的分割》（Division of Figures）、《现象篇》（Phaenomena）和《光学》（Optics）。最后提到的这部作品很有意思，因为它是论述透视或直视几何的早期作品。古人把光学现象的研究分为三个部分：（1）光学（直视几何）；（2）反射光学（反射几何）；（3）折射光学（折射几何）。有一本《反射几何》（Catoptrica），有时候被归到欧几里得的名下，其真实性很可疑，它多半是生活在6个世纪之后的亚历山大城的塞翁的作品。欧几里得的《光学》因为支持视觉的“发射”理论而著称于世，根据这一理论，眼睛发送传播到目标物的射线，这跟亚里士多德的学说针锋相对：据亚里士多德说，是媒介的活动沿着直线从目标物向眼睛传播。应该注意的是，不管采用这两种理论中的哪一种，透视数学（相对于物理描述）都是一样的。在欧几里得的《光学》中所发现的定理当中，有一个定理——若o＜α＜β＜π／2，则tanα／tanβ＜α／β——在古代被广泛使用。《光学》的一个目标就是要推翻伊壁鸠鲁所坚持的观点：一个物体刚好就像它看上去的一样大，而不考虑透视导致的缩短。

欧几里得的《现象篇》很像奥托利科斯的《论运动的球体》——换句话说，它也是论述天文学家所使用的球面几何学。比较这两部作品，可以看出，两位作者都十分倚重他们那一代人当中众所周的教科书传统，欧几里得的《几何原本》很有可能也是如此，不过就这本书的情况而言，没有现存的同时代作品可供比较。

图　7.1

欧几里得的《图形的分割》很有意义，因为，要不是因为阿拉伯学者的学识的话，它大概也失传了。它不是以最初的希腊文的形式幸存下来的，而是在希腊文版本消失之前有人把它翻译成了阿拉伯文，这个版本后来又被翻译成了拉丁文，最终翻译成了现代语言。这在古代作品当中并不是什么稀罕事。《图形的分割》包括36个与平面图形有关的命题。命题1要求作出一条直线，与一个三角形的底边平行，并把三角形的面积分为两个相等的部分。命题4要求通过一条与底边平行的直线把梯形abqd分成两等份（图7.1）；通过找出z，使ze2＝ a2），从而得出要求的直线另外的命题有：要求通过平行四边形一边上给定的点作等分该平行四边形的直线（命题6），通过平行四边形外给定的点作等分该平行四边形的直线（命题10）。最后一个命题要求通过四边形一边上给定的点作直线，按给定的比例分割该四边形。就性质与目标而言，欧几里得的《已知数》跟《图形的分割》有点类似，这部作品以希腊文和阿拉伯文流传到了我们的手里。在我们看来，它似乎是在亚历山大城的大学里撰写的，充当《几何原本》前六卷的参考书，颇有点类似于补充教科书的图表手册。作为分析几何问题、以便发现证明方法的指南，它很有用。它从关于量值和轨迹的15个定义开始。正文的主体包括95个命题，涉及到可以在一个问题中给出的条件和量值的含义。前两个命题是：如果两个量值a和b被给定，那么它们的比就被给定了；如果一个量值被给定，且它与第二个量值的比被给定，那么第二个量值就被给定了。有大约二十几个类似的命题，充当了代数的规则或公式。接下来是一些简单的关于平行线和比例值的几何法则，提醒学生问题中给定已知数的含义。比如这样一个忠告：当两条线段有一个给定比例的时候，那么你就可以知道在这两条线段上所作的相似直线形的面积之比。有些命题是二次方程解的几何等价物。例如，我们被告知，如果一个给定面积（的矩形）AB沿着一条给定长度的线段AC放置（图7.2），且矩形BC是给定的整个矩形AD中减去矩形AB，那么矩形BC的面积就可以求出。这个命题的真实性很容易通过现代的代数学来证明。设AC的长度为a，AB的面积为b² ，且FC与CD之比为c∶d。那么，若FC＝x，CD＝y，我们有：x／y＝c／d，且（a－x）y＝b² 。消除y，得：（a－x）dx＝b² c，或：dx² －adx＋b² c＝0，由此可得：x＝a／2± 除了根号前面所使用的符号之外，欧几里得给出的几何解法与此相当。《已知数》中的命题84和命题85，是我们所熟悉的巴比伦人的xy＝a 2 ，x±y＝b的代数解法的几何替代物，这又是联立方程解法的等价物。《已知数》中最后几个命题，涉及到一个给定圆中线度量与角度量之间的关系。

图　7.2

《几何原本》的目的

亚历山大城的大学明显跟现代的高等学术机构没什么不一样。有些教职员大概擅长研究，另一些适合管理，还有一些人则因为他们的教学能力而著称。从我们得到的传闻来看，欧几里得肯定适合于最后一类。没有任何新发现归到他的名下，但他以非凡的阐释技巧而著称。这正是他最伟大的作品《几何原本》获得成功的关键。这本书明显是一本教科书，而且决不是最早的教科书。我们知道至少有三本更早的此类教科书，包括希俄斯岛的希波克拉底撰写的那本；但这些书全都了无踪迹，古代时期也没有其他潜在的竞争对手。欧几里得的《几何原本》把所有竞争者都远远抛在了后面，就只有它幸存了下来。《几何原本》并不像人们有时候所认为的那样，是一部所有几何知识的概要，而是一本涵盖所有初等数学的基础教科书——换句话说，它涵盖了算术（英国人所谓的“高等算术”、美国人所谓的“数论”那种意义上的），综合几何（点、线、面、圆和球），以及代数（不是现代符号意义上的，而是披着几何外衣的等价物）。要注意，计算的艺术并不包括在内，因为它不属于大学里讲授的内容；也不包括圆锥曲线或高次平面曲线，因为这些是更高级数学的组成部分。普罗克洛斯把《几何原本》跟数学其余部分的关系描述为字母表中的字母跟语言的关系。《几何原本》倘若打算作为一个全面的信息储藏的话，作者大概会包括对其他作者的参考，对最近研究介绍，以及非正式的解释。而事实上，《几何原本》严格地局限于手头之事——解释初等数学基础的逻辑次序。然而，后来的作者偶尔把一些解释性的注释插入了正文中，而这些添加的内容又被后来的抄写者抄录下来，作为原文的组成部分，其中有些这样的内容出现在现存的每一份手抄本中。欧几里得本人并没有主张自己的原创性，很显然，他从前辈的作品中汲取了大量的东西。有人相信，编排是他自己的，推测起来，有些证明也是他提供的；但要想走得更远，要想评估这本历史上最有声望的数学著作中能够找到的原创性的程度，则殊非易事。

定义与公设

《几何原本》分为13卷，前6卷论述初等平面几何，接下来3卷论述数论，第十卷论述不可公度量，最后3卷主要论述立体几何。这部作品没有导言或绪论，第一卷开门见山，上来就列出了23个定义。这样做的缺点是，由于没有一套先在的、无需定义的原理用来定义其他原理，所以其中有一些定义并没有得到确切的界说。因此，像欧几里得所做的那样，说“点没有组成部分”“线只有长度没有宽度”“面只有长度和宽度”，几乎没有明确界定这些实体，因为，一个定义必须根据那些先于欲定义事物而存在的已知事物来定义。对欧几里得的其他所谓“定义”，很容易因为逻辑循环而提出反对，比如“线的末端是点”，或“直线是其自身上的点均匀平放着的线”，或“面的边缘是线”，所有这些定义可能都要归功于柏拉图。欧几里得把一个平面角定义为“在同一平面内、但不在同一条直线上的两条相交线相互的倾斜度”，这是先前不曾定义过的，而且，再也没有比“角”这个词更好的叫法了。

紧接着这些定义，欧几里得列出了5个公设和5个公理。亚里士多德曾对公理和公设作出了清楚的区分，他说，前者必须是不证自明的——是一切研究所共知的真理——而后者则不那么明显，且不预先假定学习者会赞成，因为它们仅仅适用于手头的问题。后来的一些作者这样来区分这两种不同类型的假说：用“公理”这个词来称呼已知的事物，或者作为显而易见之事而被人们接受的事物；用“公设”这个词来称呼“欲求”的事物。我们不知道，欧几里得究竟同意这两种观点中的哪一种，甚或不知道他是否区分这两种不同类型的假说。幸存下来的手抄本在这个问题上莫衷一是，在有些抄本当中，这10个假说一起出现在一个类别中。现代数学家并不认为公理与公设之间有什么本质的不同。在《几何原本》的大多数抄本中，我们都发现了下面10个假说：

公设：

1.由任意一点到另外任意一点可作直线。

2.一条有限直线可以继续延长。

3.以任一点为圆心、任一距离为半径可作圆。

4.所有直角都相等。

5.若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

公理：

1.与同一量相等的量彼此相等。

2.等量加等量，其和仍相等。

3.等量减等量，其差仍相等。

4.彼此能重合的物是全等的。

5.整体大于部分。

亚里士多德曾写道：“若其他条件相同，假设越少，所得出的证明越好。”欧几里得明显同意这个原则。例如，公设3是按照非常有限的字面意义来解释的，有时候被描述为欧几里得（可折叠）圆规的使用，这种圆规的两条腿，只要端点在纸上就一直保持张开，而当它们被抬起来的时候便折拢在一起。换句话说，这个公设不能被解释为允许使用一个圆规，从一个端点出发，在一条不相邻的较长线段上截取一段与某条线段相等的距离。第一卷前三个命题中证明了，即便是根据公设3的严格解释，后面这种作图法始终是可能的。第一个命题证明了在给定再以B为圆心作另一圆通过A，设C是两圆的交点。（它们的相交被不言而喻地假定了。）接下来，命题2是建筑在命题1基础上的：以任意一点A为端点（图7.3），线段AB上作等边三角形ABC的作法：以A为圆心作作圆通过B，可以截取一条线段等于给定的线段BC。欧几里得首先画出AB，并在其上作等边三角形ABD，分别延长边DA和DB至E和F。以B为圆心画圆通过C，与BF相交于G；然后，以D为圆心画圆通过G，与DE相交于H。那么，很容易看出，线段AH就是所求的线段。最后，在命题3中，欧几里得利用命题2显示，给定任何不相等的两条线段，你可以从较长线段上截取一条线段与较短线段相等。

图　7.3

第一卷的范围

在前三个命题中，欧几里得费了老大的劲向我们显示，公设3的那种很受限制的解释依然意味着可以自由使用圆规，就像初等几何中截取距离时通常所做的那样。然而，按照现代的严格标准，欧几里得的假设很不充分，在他的证明中，欧几里得常常利用不言自明的公设。例如，在《几何原本》的命题1中，他未经证明而假设两个圆会相交于一点。为了诸如此类的情形，就必须增加一个相当于连续性原理的公设。此外，根据欧几里得的表述，命题1和命题2既没有保证通过两个不重合点的直线的唯一性，也没有保证它的无限性；这两个命题只是断言，至少有一条直线，而且它没有终点，然而，在他的证明中，欧几里得随意地利用了唯一性和无限性。当然，很容易根据后来的发展来批评一个人的作品，而忘掉了“到当时为止它足够严格”。在当时那个时代，《几何原本》明显是初等数学最符合逻辑的发展，两千年过去，才出现更周到细致的表述。在这段漫长的时间里，大多数数学家都认为这种处理在逻辑上是令人满意的，在教学上是靠得住的。

《几何原本》第一卷中大多数命题，任何一个上过中学几何课的人都很熟悉。其中的内容都是人们所熟悉的定理：关于全等三角形（但没有证明全等方法的公理），关于使用直尺和圆规的简单作图，关于平行线的属性（得出了这样一个事实：三角形的内角和等于两个直角），以及关于平行四边形（包括根据给定的角作平行四边形，使其面积等于给定的三角形或给定的直线形）。这一卷结束于毕达哥拉斯定理及其逆定理的证明（命题47和48）。欧几里得所给出的毕达哥拉斯定理的证明，并不是今天的教科书通常所给出的，在今天的证明中，简单的比例被应用于从顶点向斜边所作垂线而形成的相似三角形的各边。据说，欧几里得因为涉及到公度性的困难而避开了这样的证明。仅仅在第五卷中，欧几里得才求助于有根有据的比例理论，直到这时候依然尽可能避免使用比例。对毕达哥拉斯定理，欧几里得用一个几何图形给出了非常漂亮的证明，这个图形有时候被描述为风车，或孔雀的尾巴，或新娘的椅子（图7.4）。证明是这样实现的：AC上的正方形等于三角形FAB的两倍，或等于三角形CAD的两倍，或等于矩形AL，而且，BC上的正方形等于三角形ABK的两倍，或等于三角形BCE的两倍，或等于矩形BL。因此，这两个正方形的和等于这两个矩形的和，也就是等于AB上的正方形。有人猜想，这个证明是欧几里得的原创，并对一些更早的证明形式作出了很多推测。自欧几里得的时代以来，人们提出了很多可选的证明。

图　7.4

毕达哥拉斯定理之后，紧接着是它的逆命题的证明，这个证明被归功于欧几里得，逆定理是：如果一个三角形内，一条边上的正方形等于另外两条边上的正方形之和，那么这另外两条边之间的角就是直角。现代教科书中，在毕达哥拉斯定理的证明之后，很少出现这样的练习，不要求证明定理本身，而要求证明尚未证明的逆定理。《几何原本》中可能有很多无伤大雅的缺点，但这本书具备所有重要的逻辑优点。

几何代数

图　7.5

《几何原本》的第二卷很短，只包含14个命题，其中没有一个命题在现代教科书中扮演任何角色。然而，在欧几里得那个时代，这一卷却非常重要。古代和现代观点的这种显著差异很容易解释——我们今天有符号代数和三角学，它们取代了源自希腊的几何等价物。例如，第二卷命题1声称：“如果有两条线段，其中一条被截成任意几段，则原来两条线段构成的矩形等于各个小段和未截的那条线段构成的矩形之和。”这个定理就是宣称（图7.5）：AD（AP＋PR＋RB）＝AD·AP＋AD·PR＋AD·RB，这只不过是一个算术基本定律的几何表述，这个定律如今被称作交换律，即：a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad。在《几何原本》的后来几卷中（第五卷和第七卷），我们发现了乘法的交换律和结合律的证明。在我们这个时代，量值被字母所代表，这些字母通常被理解为数字（已知数或未知数），我们按照代数的算法规则操作这些字母，而在欧几里得那个年头，量值被画作线段，符合几何的公理和定理。偶尔有人宣称，希腊人没有代数，但这个说法明显是错的。他们有《几何原本》第二卷，这就是几何代数，在很大程度上像我们今天的符号代数一样，也是服务于同样的目的。几乎用不着怀疑，现代代数极大地方便了数量关系的处理。但同样毫无疑问的是，一个精通欧几里得“代数”的14条定理的希腊几何学家，在把这些定理应用于实际测量上，远比今天一位富有经验的几何学家更熟练。古代的几何代数算不上一个理想的工具，但它也远非不起作用。欧几里得声称（命题4）：“若任意两分一条线段，则在整个线段上的正方形等于各小线段上的正方形之和加上由两小线段构成的矩形的二倍”。这个命题其实就是（a＋b）² ＝a² ＋2ab＋b² 的一种有点啰唆的说法，但对亚历山大城的一个学生来说，它在视觉上的吸引力想必远比现代代数表示法要生动得多。诚然，《几何原本》中的证明占到了大约一页半的篇幅，但今天的中学生如何能对他们如此毫不犹豫地加以应用的代数法则给出一个仔细的证明呢？对《几何原本》第二卷的命题5，同样可以这样说，它所包含的内容，我们大概要认为是a² －b² ＝（a＋b）（a－b）的一种太过啰嗦的说法：

如果把一条线段先分成两条相等的线段，再分成两条不相等的线段，则由两条不相等的线段所构成的矩形与两个分点间的一条线段上的正方形之和，等于原来线段一半上的正方形。

欧几里得在这个命题中所使用的图示，在希腊代数中扮演了一个关键角色；因此，我们将在这里复制它 (1) ，并给予进一步的解释。在这个图示中（图7.6），我们设AC＝CB＝a，且CD＝b，这个定理宣称：（a＋b）（a－b）＋b² ＝a² 。这个命题的几何证明并不难。然而，这个图示的重要性，更多的并不在于这个定理的证明，而在于希腊的几何代数学家们给类似的图示派上的用场。代数学中让现代的中学生颇感得意的是二次方程的解法（他也许能证明、也许不能证明这个解法），一个类似于图7.6的图示，是希腊学生的几何等价物。如果希腊的学生被要求作一条线段x，使它符合ax－x² ＝b² ，这里a、b都是线段，且a＞2b，那么，他会画出线段AB＝a，并且在点C处等分这条线段。接下来，他会在点C处作垂直线CP，使它的长度等于b；再以P为圆心、a／2为半径画圆，在点D处分割线段AB。然后，他会在AB上作矩形ABMK，使BM＝BD，并完成正方形BDHM。这个正方形的面积就是x 2 ，符合那个二次方程所指定的属性。按照希腊人的表述，我们把一个与一给定正方形（b² ）相等的矩形AH（＝ax－x² ）置于线段AB（＝a）上，（比AM）少一个正方形DM。这个证明由上面引用的命题（第二卷命题5）提供，很显然，矩形ADHK等于凹多边形CBFGHL——也就是说，它等于（a／2）2减去正方形LHGE，根据作图，该正方形的边就是

以一种完全一样的方式，二次方程ax＋x 2 ＝b² 可以通过使用第二卷的命题6来求解：

图　7.6

若等分一条线段，并在同一线段上给它加上一条线段，则合成线段和添加线段构成的矩形与原线段一半上的正方形之和，等于原线段一半与添加线段之和上的正方形。

图　7.7

这一次，我们“把一个与一给定正方形（b 2 ）相等的矩形（AM＝ax＋x 2 ）置于一给定线段（AB＝a）上，比矩形（AH）多出一正方形”（图7.7）。在本例中，距离CD＝由于根据比例可知，矩形AM（＝ax＋x² ）加正方形LG［＝（a／2）² ］等于正方形CF［＝（a／2）² ＋b² ］，因此满足ax＋x 2 ＝b 2 的条件。

图　7.8

第二卷中接下来的几个命题都是我们已经说明过的几何代数的变种，命题11是命题6的一个重要特例。在这个命题中，欧几里得这样求出了方程ax＋x² ＝a² 的解：以a为边长画正方形ABCD，在点E处等分边AD，画EB，延长边DA至F，使EF＝EB，并完成正方形AFGH（图7.8）。然后，延长GH与DC相交于K，我们将把一个与给定的正方形ABCD（＝a² ）相等的矩形FGKD（＝ax＋x² ）置于线段AD上，并多出一个正方形（x² ）。

图　7.9

欧几里得在第二卷定理11中使用、并在第六卷定理30中再次使用的这个图示（图7.8），是今天的很多教科书中一个用来说明黄金分割属性的图示的基础。我们给磬折形BCDFGH（图7.8）增加点L，以完成矩形CDFL（图7.9），并在小矩形LBHG（它与大矩形LCDF相似）内作图，使GO＝GL，则磬折形LBMNOG相似于磬折形BCDFGH。现在，在矩形BHOP（它与矩形CDFL和LBHG相似）内，我们作磬折形PBHQRN相似于磬折形BCDFGH和LBMNOG。以这种方式无限地继续下去，我们就得到了一连串没有穷尽的嵌套相似矩形，趋近于一个极限点Z。很容易看出，这个Z是直线FB和DL的交点，它也是与点C、A、G、P、M、Q…上的矩形各边相切的对数螺线的极点。在这个饶有趣味的图示中，还可以找出另外一些引人注目的属性。

第二卷的命题12和13很有趣，因为它们预示了跟三角学有关的东西，而不久之后，三角学便会在希腊繁荣兴旺。读者将会认识到，这两个命题就是后来被称作平面三角余弦定理的几何表示——前者针对钝角，后者针对锐角。

命题12：在钝角三角形中，钝角对边上的正方形，比钝角两夹边上的正方形之和大一个矩形的两倍，这个矩形即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。

命题13：在锐角三角形中，锐角对边上的正方形，比锐角两夹边上的正方形之和小一个矩形的两倍，这个矩形即由一锐角向对边作垂直线，垂足到原锐角顶点之间的一段与该边所构成的矩形。

命题12和13通过两次应用毕达哥拉斯定理的证明类似于今天三角学中所使用的方法。第三卷和第四卷

人们普遍推测，《几何原本》前两卷的内容是毕达哥拉斯学派的作品。另一方面，第三卷和第四卷处理圆的几何学，这两卷的材料被认为主要取自希俄斯岛的希波克拉底。这两卷的内容跟今天的教科书中关于圆的定理并无不同。比方说，第三卷的定理1要求作一个圆的圆心；最后一个（命题37）类似于宣称：如果从圆外的一点作一条切线和一条割线，则切线上的正方形等于整个割线与其圆外线段所构成的矩形。第四卷包含16个命题，大多为现代学生所熟悉，关于圆的内接或外切图形。度量角的定理被留到了比例理论确立之后。比例理论

《几何原本》的13卷当中，最受推崇的是第五卷和第十卷——前一卷论述一般比例理论，后一卷论述不可公度量的分类。不可公度量的发现预示了一次逻辑学危机，使人怀疑那些求助于比例的证明，但通过欧多克索斯所阐述的原理，成功地化解了这场危机。尽管如此，但希腊的数学家们依然倾向于避免使用比例。我们已经看到，欧几里得曾尽可能地摆脱比例，以及像x∶a＝b∶c这样的长度关系被看作是面积关系cx＝ab。然而，比例迟早总是需要的，于是，欧几里得便在《几何原本》的第五卷中解决了这个问题。有些注释者甚至暗示，整个这一卷（包含25个命题）都是欧多克索斯的作品，但这似乎不大可能。某些定义——例如比的定义——太含糊不清，以至没什么用处。然而，定义4本质上是欧多克索斯和阿基米德的公理：“两个量当中，如果一个量增加若干倍后大于另一个量，则可以说这两个量有一个比。”定义5（比的相等）正是早先讲到欧多克索斯对比例的定义时所给出的。

对马虎的读者来说，第五卷看上去可能像第二卷一样多余，因为这两卷的内容如今都已经被符号代数中的相应法则所取代。对公理体系感兴趣的更细心的读者会看到，第五卷处理了在所有数学中有着根本重要性的论题。它最开始的两个命题，相当于乘法对加法的分配律，以及乘法的结合律：（ab）c＝a（bc）。接下来是“大于”和“小于”法则，以及众所周知的比例属性。人们经常宣称，希腊的几何代数，在平面几何中不可能超过二次，在立体几何中不可能超过三次，但情况实际上并非如此。一般比例理论允许使用任何次数的乘积，因为一个形如x^4 ＝abcd的方程式，相当于像x／a·x／b＝c／x·d／x这样的线段比例的乘积。

在第五卷中发展出了比例理论之后，欧几里得便在第六卷中利用了这一理论，来证明涉及到相似的三角形、平行四边形或其他多边形的比和比例的有关定理。值得注意的是命题31，它是毕达哥拉斯定理的一般化：“在直角三角形中，对直角的边上所作的图形等于夹直角边上所作与前图相似且有相似位置的二图形之和。”普罗克洛斯把这一扩充归功于欧几里得本人。第六卷还包含了（在命题28和29中）面积应用方法的一般化，因为第五卷中所给出的比例的坚实基础使得作者如今能够随心所欲地使用相似的概念。第二卷中的矩形现在被平行四边形所取代，要求把一个与给定直线形相等的平行四边形置于一条给定线段之上，并不足（或多出）一个与给定的平行四边形相似的平行四边形。这些作图，就像第二卷命题5和6的作图一样，实际上都是二次方程bx＝ac±x 2 的解，受到了判别式不是负数这个条件的限制（第九卷的命题27暗示了这样的限制）。

数论

欧几里得的《几何原本》常常被人们误认为仅限于几何学。我们已经描述了几乎完全是代数的两卷（第二卷和第五卷）；还有几卷（第七、八、九卷）则专门阐述数论。对希腊人来说，“数”这个词总是指我们所说的自然数——正整数。第七卷一开始列出了22个定义，区分不同类型的数——奇数与偶数，素数与合数，平面数与立体数（即两个整数之积或三个整数之积）——最后把完全数定义为“等于其自身各真因子之和”。第七、八、九卷中的定理，学过初等数论课程的读者可能都熟悉，但证明的语言肯定不熟悉。整个这几卷中，每一个数字都由一条线段来代表，因此，欧几里得会把一个数说成是AB。（不可公度量的发现表明，并非所有线段都可以与整数联系在一起；但逆命题——数总是能被线段所代表——明显依然为真。）因此，欧几里得并没有使用“是×的倍数”或“是×的因数”这样的术语，而是分别用“被×量尽”或“量尽×”取而代之。换句话说，有两个数n和m，若有第三个数k，使n＝km，则n被m量尽。

第七卷开头两个命题构成了数论中的一个著名法则，今天被称作“欧几里得算法”，这个法则被用来求两个数的最大公约数。这个办法让人想到对欧几里得公理的重复的相反应用。设有两个不相等的数，反复从较大数b上减去较小数a，直至得出余数r 1 小于较小数；然后，反复从a上减去r^1 ，直到余数r^2 ＜r^1 ；接下来反复从r^1 上减去r² ；如此这般，继续下去。最后，这个过程会得出余数r^n ，它会量尽r^n－1 ，并因此量尽前面所有的余数，还有a和b；这个r^n 就是a和b的最大公约数。在随后的命题当中，我们发现了一些我们所熟悉的算术定理的等价物。例如，命题8：若an＝bm，且cn＝dm，则（a－c）n＝（b－d）m；命题24：若a和b都是c的素数，则ab也是c的素数。这一卷最后是一个求几个数的最小公倍数的法则（命题39）。

第八卷是《几何原本》13卷当中最没有价值的。它最开始是几个关于连比（几何级数）中的数的命题，接下来转到了正方形和立方体的几个简单属性，最后是命题27：“相似立体数相比如同立方数相比。”这个命题的意思只不过是：如果我们有一个“立体数”ma·mb·mc，以及一个“相似立体数”na·nb·nc，那么，它们的比是m3∶n3——也就是一个立方数与一个立方数之比。

素数与完全数

第九卷是三卷数论中的最后一卷，它包含几个特别有趣的定理，其中最著名的是命题20：“预先给定任意多个素数，则有比它们更多的素数。”也就是说，欧几里得在这里给出众所周知的基本证明：素数的数量是无限的。证明是间接的，因为它显示，假设素数的数量有限会导致矛盾。设P是所有素数（假设其数量有限）之积，考虑到数N＝P＋1。现在，N不可能是素数，因为这与P是所有素数之积这个假设相矛盾。因此，N是合数，且必定能被某个素数p量尽。但p不可能是P的任何素因子，因为那样一来它就必定是1的因子。因此，p必须是一个不同于积P的所有因子的素数；因此，P为所有因素之积这个假设必定为假。

本卷的命题35包含了一个求几何级数中各数之和的公式，它的表述简洁而不同寻常：

如果让任意多个数成连比，并从第二个与最后一个数减去与第一个数相等的数，则第二个数的余数与第一个数之比，等于最后一个数的余数与最后一个数之前的所有数之和的比。

当然，这个命题相当于下面这个公式：

而这个公式又相当于：

2 ＋2²…＋2^n－1 ＝2^n －1 是素数，那么，2^n－1 （2^n －1）是完全数。证明很容易根据第七卷中给出的完全数的定义来证实。古希腊人知道前4个完全数：6、28、496和8128。欧几里得没有回答相反的问题——他的公式是否提供了所有的完全数。现在人们知道：所有偶完全数都是欧几里得那种类型的，但是否存在奇完全数的问题依然是一个尚未解决的难题。如今知道的二十几个完全数全都是偶数，但通过归纳法得出所有完全数必定都是偶数这个结论是危险的。

在第九卷命题21至36中，存在着一种统一，这种一致性让我们想到，这些定理曾经是一套自足的数学体系，多半是数学史上最古老的体系，推测起来大概源自于公元前5世纪中叶或早期。有人认为，第九卷中从命题1直到命题36，是欧几里得从毕达哥拉斯学派的一本教科书中全盘接受过来的，没有本质上的改动。

不可公度性

在现代代数出现之前，《几何原本》第十卷是最受推崇的——也是人们最害怕的。它涉及到不可公度线段的系统分类，形如：a± 这里的a和b在它们使用同一度量单位的时候是不可公度的。今天我们往往认为这一卷是论述上述类型的无理数，这里a和b都是有理数，但欧几里得认为这一卷属于几何、而不是算术的组成部分。事实上，这一卷的命题2和3是为几何量值而复制第七卷的前两个命题，在那两个命题中，作者处理的是整数。而在这两个命题中，他证明了，如果把两条不相等的线段应用于上文所描述的欧几里得算法的过程，若余量不能量尽其之前的那个余量，则这两个量是不可公度的。命题3显示，把这个算法应用于两个可公度量，就可以求出这两条线段的最大公度量。

第十卷包含115个命题——比其他任何一卷都要多——其中大多数命题包含如今我们在算术上称作不尽根的几何等价物。其中一些定理相当于把分式a／（b± 和a／（的分母合理化。由平方根或平方根之和的平方根所给定的线段，像有理数组合一样很容易用直尺和圆规作出。考虑到没有实数的概念，希腊人之所以求助于几何代数而不是算术代数，其中一个理由是：前者看上去似乎比后者更普遍。例如，ax－x 2 ＝b 2 的根总是可以作出（只要作出a－2b就行）。那么，欧几里得为什么要在第十卷命题17和18中煞费苦心地证明这个方程式的根与a可公度的条件呢？他向我们显示，这个根与a可公度还是不可公度，取决于与a可公度还是不可公度。这暗示了，诸如此类的考量表明，希腊人把他们的二次方程的解法也用于数的问题，很像巴比伦人在他们的方程式x＋y＝a，xy＝b² 中所做的。在这样的情况下，知道根是否可表示为整数之商是很有利的。仔细研究希腊的数学，似乎可以看出，在几何的迷人外表之下，对逻辑近似和数字近似的关注，比幸存下来的古典文献所描述的要多。

立体几何

第十一卷包含39个关于三维几何的命题，其中的材料大多为一个学习过立体几何基础课程的人所熟悉。再一次，定义很容易受到批评，因为欧几里得把立体定义为“有长、宽、高的东西”，然后告诉我们：“立体的边界是面”。最后4个定义是4个正多面体的定义。四面体没有包括在内，推测起来大概是因为此前已经把棱椎体定义为“几个交于一点的面及另外一个面构成的立体图形。”第十二卷的18个命题全都跟使用穷举法的图形度量有关。这一卷开头便仔细证明了这样一个定理：圆面积之比等于其直径上正方形之比。接下来，典型的双重归谬法的类似应用用于求棱椎体、圆锥体、圆柱体和球体的体积。阿基米德把这些定理的严格证明归功于欧多克索斯，欧几里得多半是从他那里采用了很多材料。

最后一卷完全致力于讨论5个正多面体的属性，这一事实导致一些历史学家说，《几何原本》是为了颂扬宇宙图形（或称柏拉图图形）而编写的。由于有那么大比例的早期材料远离与正多边形有关的任何东西，这样的假设完全没有道理；但对一部引人注目的著作来说，最后几个定理倒是恰如其分的高潮。它的目标是把每一个正多面体“包含”在球体中——换句话说，就是得出多面体的边与外接球体的半径之比。希腊的评注者把这样的计算方法归到了泰阿泰德的名下，第十三卷的很多内容多半要归功于泰阿泰德。在这些计算方法的预备步骤中，欧几里得再一次借助于中外比，显示“大线段与原线段一半之和上的正方形等于原线段一半上正方形的五倍”——很容易通过解方程a／x＝x（a－x）来证明——并列举了正五边形对角线的其他属性。接下来，在命题10中，欧几里得证明了这样一个众所周知的定理：若一个三角形的边分别是同一个圆的内接等边五边形、六边形和十边形的边，则它是一个正三角形。命题13至17依次表达了每一个内接正多面体的边与半径之比：正四面体的e／d是八面体是，立方体或正六面体是正二十面体是√（5－√5）／10，正十二面体是（√5－1）／2√3。最后，在命题18（《几何原本》中的最后一个命题）中，轻而易举地证明，除了这5种正多面体之外，不可能有其他的正多面体。大约1900年之后，天文学家开普勒对这一事实的印象极为深刻，他把宇宙学建立在这5种正多面体的基础之上，并相信，它们必定是掌握天体结构的造物主的钥匙。

伪书

古时候，把并非出自本人之手的作品归到一位著名作者的名下并不是什么稀罕事。因此，有些版本的《几何原本》包括了第十四卷，甚至第十五卷，这两卷都被后来的学者揭露出是伪书。所谓的第十四卷继续了欧几里得对球内接正多面体之面的比较，主要结论是：内接于同一球体的十二面体和二十面体的面之比等于它们的体积之比，这个比就是立方体的边与二十面体的边之比，即：有人认为，这一卷可能是许普西克勒斯在阿波罗尼奥斯的一篇比较十二面体与二十面体的论文（今已失传）的基础上编写的。（许普西克勒斯可能生活于公元前2世纪的下半叶，被认为是一部天文学作品《论星的升起》［Deascensionibus］的作者，把圆分为360等分可能就采用自这部著作。）同一圆既外接于十二面体的五边形又外接于二十面体的三角形（这两个多面体内接于同一球体）据说是与欧几里得大致同时代的阿里斯泰奥斯证明的。

伪造的第十五卷质量更低劣，被认为是（至少部分是）米利都的伊西多尔（约生活于公元532年前后）的作品，此人是个建筑师，设计了君士坦丁堡著名的圣索菲亚大教堂。这一卷也是论述正多面体，显示了如何作某些正多面体使它们内接于其他正多面体，计算正多面体的边和立体角，求相交于一边的面的二面角。有趣的是，我们注意到，尽管有这样的列举，古人全都没有注意到欧拉在18世纪阐述的所谓的多面体公式。

《几何原本》的影响

欧几里得的《几何原本》不仅是传到我们手里的希腊最早的重要数学著作，而且也是古往今来最有影响的教科书。它编写于大约公元前300年前后，之后被反复传抄。错误和变动不可避免地混迹其中，后来的一些编辑者，尤其是4世纪末亚历山大城的塞翁，试图在原作的基础上进行改进。然而，欧几里得版本的内容，很可能已经通过比较七八个以上的希腊手抄本（它们大多出自10～12世纪）有了很好的改进。后来增加的内容，一般是作为注释出现的，增加了一些补充材料，常常属于历史性质的，在大多数情况下，很容易把它们跟原作区分开来。《几何原本》的副本还通过阿拉伯语译本传到了我们手里，后来在12世纪转译为拉丁语，最后在16世纪被翻译成现代用语。《几何原本》的第一个印刷版1482年出现于威尼斯，是排版印刷的最早的数学书之一，有人估计，以后又出版过上千个版本。除了《圣经》之外，大概再也没有哪本书敢自夸有这么多版本，肯定没有任何数学书的影响可以跟欧几里得的《几何原本》相提并论。欧几里得的继任者们把他称作“原本者”（Elementator），真是再恰当不过了！

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(1) 整个这一章，译文和大多数图示都是基于T.L.希斯编辑的《欧几里得〈几何原本〉十三卷》（Thirteen Booksof Euclid's Elements）。

《数学史》第7章 亚历山大城的欧几里得

《数学史》第7章　亚历山大城的欧几里得