这个著名的海盗分金币问题，常出现于博弈相关的书籍中。

有5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：

首先由1号提出分配方案，然后5人表决，投票要超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，由下一位再次提出方案，依此类推。请问：1号最多能给自己分配并得到多少金币？

这个问题是博弈问题，有一个重要假设：海盗是完全理性的且完全理性是公共知识。

这道题的答案，将完全超乎你的想象。

海盗的收益很好量化。首先要活着，则死亡的收益为-∞；在保全性命的情况下，自己获得金币数即为收益。

海盗的性格特点会影响到结论，所以这里先不定义。

问题直接思考并不容易，原因是五个人各怀鬼胎，又互相影响，没法同时分析。常用套路为减少变量简化问题，从简单入手发现规律（一般是递推规律），即逆向归纳法。

所以，我们先从最后只剩2个海盗的情况分析，然后逐渐增加，最后递推出，1号海盗最多可以给自己分配多少金币并成功拿到。

两个海盗的情况

首先看只有两个海盗时的情况。

当只有4号5号两个海盗时，注意到题目中是“超过半数”，仅有1个海盗同意的话，正好是50%，没有超过半数。所以4号和5号必须都同意，4号才能活着。

如果4号当分配给自己超过0枚金币时，5号必不同意（这样方案被拒，4号喂鲨鱼，剩下的所有金币会落到5号的身上，5号的收益从原来的不到100变为100，收益增加）。于是4号只能分配给自己0枚金币，此时自己的收益为0或-∞。

这里我们发现会有两种可能，原因是5号拿到100枚金币前，可以选择同意方案或者拒绝方案，从收益来看，对他没有区别，所以接下来要分类讨论了，用海盗的性格特点来决定分类：

类1，在相同收益情况下，海盗心狠手辣，尽可能地使其他海盗收益更低；

类2，在相同收益情况下，海盗念及旧情，尽可能地使其他海盗收益更高；

类3，在相同收益情况下，海盗看心情随机选择。

类1下双方收益为(-∞,100)；类2下双方收益为(0，100)。

结论：当只剩两个海盗时，4号海盗什么都拿不到，为了活命只能把所有金币给5号海盗。

三个海盗的情况

当有3号4号5号三个海盗时，情况会发生一些变化。

如果是类1的情况下，根据我们上面的结论，此时4号已经知道，如果最后只剩两个海盗时，自己必死，所以当只有3个海盗时，4号肯定会无条件同意3号的选择，于是1号的分配结果为 (100,0,0)。这样的话，就是3号4号同意、5号反对的局面，分配成功。

如果是类2的情况下，此时4号已经知道了当只有两个海盗时，自己收益为0，所以当只有3个海盗且3号的分配结果为(100,0,0)时，4号必同意（否则自己收益不变，3号收益变为-∞，不符合念及旧情）。

关键来了，如果是类3的情况下，3号的分配结果还是(100,0,0)吗？

考虑一种可能：4号心狠手辣，5号念及旧情，当1号分配方案为(100,0,0)，4、5号均拒绝。注意到死亡的收益是-∞，即是说即使有万分之一的可能，3号也不会铤而走险，而是求稳，于是3号的分配结果是(99,1,0)。

结论：当只剩三个海盗时，3号海盗最少能拿99个金币。

四个海盗的情况

当有2、3、4、5号四个海盗时，2号知道想要方案通过，要超过半数人同意，即有3人同意才行。

这三个人中，自己肯定同意，但3号除非给99或以上才可能同意，舍弃，这样下来，4、5号的同意票一定要拿下。在类1的情况下，想要4、5号同意，2号必须给4、5号比三个海盗的局面下更多的金币，即(98,0,1,1)。

在类2的情况下，2号的分配结果为(100,0,0,0)时，4、5号念及旧情仍会同意。

类3的情况是最难分析的。

2号需要考虑在最坏的情况下，4、5号也必须支持自己，则分配结果为(97,0,2,1)。否则，若分配方案为(98,0,1,1)时，4号心狠手辣，不同意四人方案，让2号喂鱼，接着同意三人方案，自己收益均为1没变，但2号收益降低，这是他喜闻乐见的结果；若分配方案为(98,0,2,0)时，5号心狠手辣，不同意四人方案，让2号喂鱼，接着心情变化为念及旧情，同意三人方案，自己收益均为0没变，变的只有自己的心情。

结论：当剩四个海盗时，2号海盗最少能拿97个金币。

五个海盗的情况

递推规律已经慢慢显现出来，当有1、2、3、4、5号五个海盗时，同理，1号海盗知道自己同意，2号舍弃，则3、4、5号海盗中，ta他必须争取到2票。

在类1的情况下，由于3号在上面原本1枚都没有，现在给1枚就可以支持自己，然后再给4，5号其中任意一个2枚即可，分配结果为(97,0,1,2,0)或者(97,0,1,0,2)。

在类2的情况下，1号的分配结果为(100,0,0,0,0)时，3、4、5号念及旧情仍会同意。

在类3的情况下，同理分析，得分配结果为(97,0,1,0,2)（唯一结果）。

结论：1号海盗最终可以拿到97枚金币，且超过半数人同意。

到这里原问题就被解决了。总结一下：

1、海盗的性格特点是会影响到结论的，心狠手辣、念及旧情、心情不定会导致不同的结果。

2、在递推过程中，是从后往前推理，这是逆向思维，是一种常见的分析方法。

3、涉及完全理性是公共知识的问题，换位思考是十分必要的。

4、考虑所有情况，特别是最坏的情况。

那，六个海盗呢？

如果问题改成6人分金币，也容易按此思维方式推理下去。

不过要注意的是，在类1的情况下，五人问题是双解，所以在考虑六人问题时，要考虑所有情况，即1号的分配结果为(95,0,1,2,2,0)或者(95,0,1,2,0,2)。最后两个海盗如果给1枚是不行的，因为五人问题时，他俩都有一定概率被赋予2枚，所以可能会拒绝六人时的方案，而对于1号来说，方案拒绝意味着收益为-∞，万分之一的可能都要规避。

另一方面，最后两个海盗如果给2枚是可行的，因为确定2枚的收益显然大于有概率2枚或0枚。在类2下，容易得到，1号的分配结果为(100,0,0,0,0,0)时，3、4、5、6号均会同意。在类3下，1号的分配结果为(96,0,1,2,1,0)。到这里，会发现一个奇怪的现象，所有海盗心狠手辣，比所有海盗心情不定，1号竟然能分配到更多的金币。原因也很简单，在五人问题时，类1多解，类3唯一解，1号为了规避不确定性所以要让出更多的利益。

关于此问题还有诸多变式，比如把题目中的“超过半数”改为“不少于半数”，这又是一个新的问题了。100和5也可以换成其他数。利益与性格特点也可以耦合，比如常见修改是“海盗在损失不超过1枚金币的情况下，更乐见同伴死亡”，等等。

不过只要善用递推及上述的推理原理，不难解决。

来源：新东方智慧学堂

编辑：Eric

你会解这个著名的海盗分金币问题么？