我宁愿发现一个原因，而不想得到波斯王国。

——德谟克利特

活动中心

关于希腊数学起源的记述，集中在所谓的爱奥尼亚学派与毕达哥拉斯学派以及各自的代表人物——泰勒斯与毕达哥拉斯——的身上，虽说对其思想的重构依赖于随后数百年里逐步积累起来的零零碎碎的传闻和传说。在某种程度上，这一情形贯穿于公元前5世纪。实际上，在公元前4世纪的柏拉图时代之前，一直没有现存的数学或科学文献。然而，在公元前5世纪的下半叶，一直流传着关于少数几个数学家的持续而一致的传闻，他们都深深卷入了奠定后来几何学发展基础的那些问题。是故，我们提到这一时期的时候，应该把它称为“数学史上的英雄时代”，因为，无论是此前还是之后，都很少有人能够以如此之少的工作，解决具有如此基础性意义的数学问题。数学活动也不再几乎完全集中于希腊世界差不多遥遥相对的两个边境地区；在地中海地区也昌盛起来。在今天意大利的南部，有塔伦图姆的阿契塔（约生于公元前428年）和梅塔蓬图姆的希帕索斯（约公元前400年在世）；在色雷斯的阿伯德拉，我们认识了德谟克利特（约生于公元前460年）；在希腊世界的中心附近，在阿提卡半岛，有厄利斯的希庇亚斯（约生于公元前460年）；在雅典附近，在危机四伏的公元前5世纪下半叶的不同时期，生活着三位来自其他地区的学者：希俄斯岛的希波克拉底（约公元前430年在世），克拉左美奈的阿那克萨哥拉（卒于公元前428年），以及埃利亚的芝诺（约公元前450年在世）。我们就通过上述7个人的工作，来描述公元前400年之前的那段时间里数学中发生的根本性改变。

克拉左美奈的阿那克萨哥拉

公元前5世纪是西方文明史上至关重要的时期，它始于波斯入侵者的溃败，终于雅典向斯巴达投降。在这两个事件之间，是伟大的“伯里克利时代”，及其文学和艺术上的非凡成就。在这个世纪，雅典的繁荣和知识氛围，吸引着来自希腊世界各地的学者，并实现了各方面的综合。有人（比如阿那克萨哥拉）从爱奥尼亚带来了务实的倾向；有人（比如芝诺）从意大利南方带来了更强大的形而上学倾向。阿伯德拉的德谟克利特支持唯物主义的世界观，而意大利的毕达哥拉斯则在科学和哲学中抱持唯心主义的看法。在雅典，你会发现热衷于新、旧学术分支的爱好者，研究范畴从宇宙学到伦理学。有一种自由探究的大胆精神，有时候与既定的传统习俗产生冲突。特别是，阿那克萨哥拉在雅典以不虔诚的罪名遭到监禁，因为他声称：太阳并不是一尊神，而是一块像整个伯罗奔尼撒半岛一样大的炽热巨石；月亮是一片有人居住的陆地，从太阳那里借来光。他很好地代表了理性探究的精神，因为他把对宇宙特性的研究视为自己毕生的目标——这一目标是他从泰勒斯所奠立的爱奥尼亚传统那里继承来的。阿那克萨哥拉对智力活动的热爱，通过第一本科学畅销书与他的同胞分享——这就是《论自然》（On Nature）一书，只需一个德拉克马就可以在雅典买到。阿那克萨哥拉是雅典执政官伯里克利的老师，在他的关照下，阿那克萨哥拉最后从监狱里放了出来。苏格拉底起初被阿那克萨哥拉的科学观念所吸引，但这个雅典的使人厌恶者发现，爱奥尼亚人的自然观不如探究道德真理那么令人满意。

希腊科学根植于高智力的好奇心，这与前希腊时期思想的功利主义的直接性形成鲜明对照。阿那克萨哥拉清楚地表现出了典型的希腊动机——对认知的渴望。在数学上，希腊人的看法也明显不同于较早的河流文化。这种对比，很清楚地反映在那些通常被归到泰勒斯和毕达哥拉斯名下的文献中，并继续显示在那些更可靠的流传于英雄时代的雅典的传闻中。阿那克萨哥拉首先是个自然哲学家，而不是数学家，但他的爱追根究底的精神导致他同样也探求数学问题。普鲁塔克告诉我们，阿那克萨哥拉入狱期间曾专心致志地求与圆面积相等的正方形。这是最早提及一个让数学家们痴迷了2000多年的问题。关于这个问题的起源或支配它的法则，没有进一步的详细材料。后来，人们懂得，欲求的正方形（面积与圆完全相等），就是要仅用圆规和直尺作出。这里，我们看到了一种类型的数学，它完全不同于埃及人和巴比伦人的数学。它不是生活经验的数字方面的实用科学，而是一个理论问题，涉及近似值中的准确度和思考中的精确性之间的细微差别。阿那克萨哥拉在这里思考的数学问题，跟他在科学中所提出的关于事物终极结构的那些问题比起来，同样不是技术专家所操心的问题。在希腊世界，数学更接近于哲学，而不是实际事务，这种关系一直持续到了今天。

三大著名难题

阿那克萨哥拉死于公元前428年，这一年，阿契塔出生，恰好是柏拉图出生的前一年和伯里克利去世的后一年。据说，伯里克利死于瘟疫，那场瘟疫夺去了大概四分之一雅典人口的生命，这场大灾难给人们留下的深刻印象，多半是第二个著名数学难题的起源。据传，雅典人派出了一个代表团，去得洛斯岛找阿波罗的神使，询问如何能够避开这场瘟疫，神使的答复是：必须把阿波罗的立方体祭坛扩大一倍。据说雅典人忠实地把祭坛的尺寸扩大了一倍，但这并没有控制住瘟疫。在体积上，祭坛当然增加了8倍，而不是两倍。据传，这就是“立方体加倍”问题的起源，从此之后，这个问题通常称作“得洛斯难题”——给定立方体的边，仅用圆规和直尺作出另一个立方体，使它的体积等于第一个立方体体积的两倍。大约在同一时期，依然是在雅典，流传着第三个著名难题：给定任意角，仅用圆规和直尺作出另一角，使之等于给定角的三分之一。这三个难题——化圆为方（求与圆面积相等的正方形）、立方体加倍、三等分角——从此之后被称作古代“三大著名（或古典）难题”。2200多年之后，有人证明：这三个难题，仅凭直尺和圆规，是无法解决的。然而，在努力完成这件不可能完成之事的过程中——或者，在失败之后修改法则的过程中——却暗示了希腊数学及后来数学思想中更有价值的部分。英雄时代在这些法则下没能实现它的直接目标，但人们所付出的努力却在其他方面赢得了辉煌的成功。

求月牙形面积

希俄斯岛的希波克拉底比阿那克萨哥拉稍微年轻一些，最初大约来自希腊世界的同一地区。不要把他混同于另一位更有名的同时代人：科斯岛的医生希波克拉底。科斯和希俄斯都是多德卡尼斯群岛中的岛屿；但希俄斯岛的希波克拉底大约在公元前430年离开了故乡，以一个商人的身份去了雅典。亚里士多德说，希波克拉底不如泰勒斯精明，他在拜占庭因为骗局而血本无归；另有人说，他遭到了海盗的围攻。不管怎样吧，受害人从未对这件事情感到遗憾，因为他把这视为自己的好运，结果让他转向了几何学研究，在这方面，他取得了引人注目的成就——这是一个典型的英雄时代的故事。普罗克洛斯曾写到，希波克拉底编写过一部《几何原理》，比欧几里得那部赫赫有名的《几何原本》早100多年。然而，希波克拉底的这部教科书——也有传闻说是柏拉图学派晚期的一位同人利昂所写——失传了，尽管亚里士多德知道这本书。事实上，公元前5世纪的数学论文无一幸存；但我们有一个希波克拉底的著作片段，对此，辛普里丘（约520年在世）声称是从欧德谟斯的《数学史》（History of Mathematics，今已失传）中逐字抄录的。这段简短的陈述，是我们所能得到的最接近于那一时期数学原始材料的东西，它描述了希波克拉底作品中处理求月牙形面积的部分。月牙形是由两段半径不等的圆弧所围起来的几何图形，求月牙形面积的问题无疑源自于化圆为方问题。欧德谟斯的片段把下面这条定理归到了希波克拉底名下：

相似弓形的面积之比等于其底边的平方之比。

欧德谟斯的记述称，希波克拉底首先指出，两个圆的面积之比等于各自直径的平方之比，从而证明了上述定理。这里，希波克拉底采用了在毕达哥拉斯思想中扮演了极为重要角色的比例的语言和概念。事实上，有人认为，希波克拉底也成了一个毕达哥拉斯的信徒。克罗顿的毕达哥拉斯学派遭到了取缔（可能是因为它的秘密性，也可能是因为它保守的政治倾向），但它的信徒却散落各地，遍及整个希腊世界，这只不过起到了扩大该学派影响的作用。希波克拉底无疑（直接或间接地）感觉到了这种影响。

希波克拉底关于圆面积的定理，似乎是希腊世界中最早的对曲线求积法的准确陈述。欧德谟斯相信，希波克拉底给出了这一定理的证明，但严格的证明在那一时期（即公元前430年前后）似乎是不大可能的。在这一阶段，比例论大概仅仅是为可公度量而建立的。欧几里得第二十二卷第2节中所给出的证明，源自于欧多克索斯，因此下面这个假设看来是合理的：《几何原本》第三和第四卷中的很多公式源自于希波克拉底的作品。而且，如果希波克拉底给出了这个关于圆面积定理的证明，那么有可能就是他把间接的证明方法引入了数学。也就是说，两个圆的面积之比等于（或不等于）其直径平方之比。通过对两种可能性的第二种作归谬法，唯一可选的证明得以确立。

从这个关于圆面积的定理，希波克拉底轻而易举地发现了数学史上第一个求曲线区域面积的严谨方法。他从一个内接等腰直角三角形的半圆开始，在底（斜边）上作出了一个与直角三角形边上的圆弓形相似的弓形（图5.1）。因为这些弓形的面积之比等于其底的平方之比，由直角三角形的毕达哥拉斯定理可知，两个小弓形之和等于大弓形。因此，半圆AC与弓形ADCE之差等于三角形ABC。所以，月牙形ABCD正好等于三角形ABC；由于三角形ABC等于AC一半的平方，月牙形面积的求法也就找到了。

图　5.1

欧德谟斯还描述了一种基于等腰梯形的希波克拉底月牙形面积求法，内接于圆的等腰梯形ABCD，其最长边（底）AD的平方等于三个较短边AB、BC和CD的平方之和（图5.2）。那么，如果在边AD上作一个弓形AEDF相似于三个等边上的弓形，则月牙形ABCDE等于等腰梯形ABCDF。

图　5.2

图　5.3

下面这个事实表明，我们在描述希波克拉底的月牙形面积求法时，是有着相对可靠的历史根据的：除了辛普里丘之外，还有别的学者也提到了这项工作。辛普里丘生活在6世纪，但他所依据的并不仅仅是欧德谟斯（约公元前320年在世），而且还有亚里士多德的主要注释者之一、阿芙洛蒂斯的亚历山大（约公元200年在世）。亚历山大描述了两种不同于上述方法的月牙形面积求法。（1）如果分别在等腰三角形的斜边和直角边上作半圆（图5.3），那么，在较短边上所创造出来两个月牙形之和就等于三角形。（2）如果在一个半圆的直径上作一个三边相等的等腰梯形（图5.4），并在三条等边上作半圆，则梯形的面积就等于四个曲线区域的面积之和：三个月牙形和梯形等边上的一个半圆。从第二种月牙形面积求法可以得出：如果能求出与月牙形面积相等的正方形，那么，与半圆——因此也包括圆——相等的正方形也是可以求出的。这个结论似乎鼓励了希波克拉底，还有他的同时代人和早期继任者，使之满怀信心地希望最终能够求出与圆面积相等的正方形。

图　5.4

连比

希波克拉底的月牙形面积求法，其意义更多的是显示了当时的数学水平，而不是在求与圆面积相等的正方形上所做的努力。它们表明，雅典的数学家们很擅长处理面积和比例的转换。特别是，他们在把矩形的边a和b转换为一个正方形上明显毫无困难。这需要求出a和b之间的比例中项或几何平均数。也就是说，如果a∶x＝x∶b，那年头的几何学家们就能够轻而易举地作出线段x。因此，自然而然，几何学家们将在两个给定值a和b之间插入两个平均数，从而把这个问题一般化。换句话说，给定两条线段a和b，他们希望作出另外两条线段x和y，使a∶x＝x∶y＝y∶b。据说，希波克拉底曾经承认：这个问题等价于立方体加倍；因为，如果b＝2a，那么，在消除y之后，连比就会导致这个结果：x³ ＝2a³ 。

关于希波克拉底从他的月牙形面积求法得出了何种推论，有三种观点。有人指责他相信自己能求出所有月牙形的面积，因此也能求出与圆面积相等的正方形。另一些人则认为，他知道自己的工作的局限性，只能处理某些类型的月牙形。至少有一位学者曾坚持认为，希波克拉底知道自己求不出与圆面积相等的正方形，但他却试图欺骗他的同胞，使他们误认为自己成功了(1) 。关于希波克拉底的贡献，还有另外一些问题，因为第一个在几何图形中使用字母也归到了他的名下（这有点靠不住）。有趣的是，他使三大难题中的两个取得了进展，但在解决三等分角的问题上却毫无建树，厄利斯城的希庇亚斯后来对这个问题作过一些研究。

厄利斯城的希庇亚斯

图　5.5

到公元前5世纪末的时候，雅典活跃着一群跟毕达哥拉斯的信徒们完全不同的职业教师。毕达哥拉斯的弟子们被禁止因为与他人分享自己的知识而接受报酬。然而，这些诡辩家们却公开地通过辅导市民同胞而养活自己——不仅在诚实的智力工作上，而且还传授“坏事变好事”的技艺。在某种程度上，指控诡辩家们浅薄是有根据的；但这并不应该遮蔽下面这个事实：在很多领域，诡辩家们通常都见多识广，其中有些人对学术做出了真正的贡献。希庇亚斯就是其中的一位，他的老家是厄利斯城，公元前5世纪下半叶活跃在雅典。他是我们拥有第一手资料的最早的数学家之一，因为我们从柏拉图的对话录中知道了很多关于他的事情。比方说，我们读到，希庇亚斯曾自吹，他挣到的钱比其他任何两个诡辩家加在一起还要多。据说他写过很多东西，从数学到演讲术，但他的著作无一幸存。他有着非凡的记忆力，他曾自吹他的学识无边无涯，他也精于手工艺。在圆和直线之外最早把曲线引入数学的功劳，显然要归功于希庇亚斯（希腊有很多人叫这个名字）。普罗克洛斯及其他注释者都把所谓的三等分角线（或希庇亚斯割圆曲线）归到他的名下(2) 。它是这样画出来的：在正方形ABCD（图5.5）中，让边AB从当前位置匀速向下移动，直至与DC重合，与此同时，让边DA从当前位置沿顺时针方向旋转，直至与DC重合。如果两条正在移动的直线的位置在任何给定的时间分别由A′B′和DA″标出，如果P是A′B′和DA″的相交点，那么，移动其间的P点就是图中的希庇亚斯三等分角线APQ。给出了这条曲线，角的三等分就会轻松实现。例如，如果PDC是要三等分的角，你可以简单地在R、S、T和U各点将线段B′C和A′D三等分。如果线段TR和US分别在V和W切割三等分角线，那么，根据三等分角线的特性，线段VD和WD就会把角PDC分成三个相等的部分。

希庇亚斯的曲线通常称为割圆曲线，因为它能够用来求与圆面积相等的正方形。希庇亚斯本人是否知道这一应用，如今无法确定。据推测，希庇亚斯知道求面积的方法，但无法证明它。通过希庇亚斯曲线求面积的方法，后来由狄诺斯特拉图明确给出了，我们将在下一章描述这项工作。希庇亚斯至少活到了苏格拉底（卒于公元前399年）去世的时候，从柏拉图的笔下，我们得到了一份关于他的坦率记述：一个典型的诡辩家——虚荣，自负，贪得无厌。据传，苏格拉底曾把希庇亚斯描述为英俊潇洒、学识渊博，但自负而浅薄。柏拉图那篇关于希庇亚斯的对话讽刺了他的炫耀知识，色诺芬的《大事记》（Memorabilia）中也有一篇对希庇亚斯的坦率记述，把他描述为一个自视为无所不通的专家，从历史和文学，到手工艺和科学。然而，在判断这些记述的时候，我们必须记住，柏拉图和色诺芬一直毫不妥协地从总体上反对诡辩家。最好是还要记住，“诡辩家的开创者”普罗塔哥拉和这场运动的主要反对者苏格拉底都是反对数学和科学的。至于性格，柏拉图把希庇亚斯与苏格拉底作过对比，但你也可以把希庇亚斯和另一个同时代人——毕达哥拉斯学派的数学家、塔伦图姆的阿契塔——作对比，从而得出同样的比照。

塔伦图姆的菲洛劳斯和阿契塔

据说，毕达哥拉斯在生命即将结束的时候退隐到了梅塔蓬图姆，大约于公元前500年死于那里。传统上人们认为，他没有留下文字作品，但他的观念被他大量的狂热弟子所传承。当一个来自锡巴里斯的竞争的政治团体发动突袭并杀死了很多首领的时候，他们位于克罗顿的活动中心被放弃了，但那些逃过此劫的人却把这一学派的学说带到了希腊世界的其他地方。在那些从流亡者们那里接受指导的人当中，就有塔伦图姆的菲洛劳斯，据说，他曾写过第一部关于毕达哥拉斯主义的记述——据传说，他曾获得许可，以恢复他受损的财富。很显然，柏拉图正是从这本书中，得到了他的关于毕达哥拉斯学派的知识。这个兄弟会的典型特征就是对数字的狂热，菲洛劳斯显然也带有这样的特征，很多关于“数的四重体”的神秘知识，还有关于毕达哥拉斯宇宙学的知识，正是源自他的记述。据说，菲洛劳斯的宇宙系统后来得到了另外两位毕达哥拉斯信徒埃克方杜斯和希西塔斯的修正，他们抛弃了中心火和“对地”，并把一个旋转的地球置于宇宙的中心，从而解释了白昼和黑夜。菲洛劳斯数字崇拜的极端似乎也经历了某种修正，尤其是在菲洛劳斯的学生阿契塔的手上，则更是如此。

毕达哥拉斯学派在整个大希腊地区发挥了强大的智力影响，带有某种政治寓意，可以描述为一种“反动国际”，或者毋宁说是奥菲士教和共济会的杂交。在克罗顿，政治方面尤其值得注意，但在毕达哥拉斯学派的一些边远中心（比如塔伦图姆），冲击首先是智力上的。阿契塔坚定地相信数字的功效，他对这座城市的统治（这赋予了他独裁专制的权力）是公正而克制的，因为他把理性视为推动社会进步的力量。他连续多年被推选为将军，他从未被击败过；然而他是仁慈的，而且很爱孩子，传说他曾为孩子们发明了“阿契塔急响器”。据说，木制的机械鸽子很可能也是他造的，为的是逗小家伙们发笑。

阿契塔延续了毕达哥拉斯学派把算术置于几何之上的传统，但他对数字的狂热，要少于我们在菲洛劳斯身上发现的那种宗教和神秘混合的程度。他论述过算术、几何及小反对平均数对音乐的应用，把最后一个平均数改名为“调和平均值”的人，大概既不是菲洛劳斯，也不是阿契塔。在他对这个关系的陈述中，就有这样的观察：比例n：（n＋1）中的两个整数之间，不可能有整数是几何平均数。和他的前辈们相比，阿契塔更多地关注音乐，他觉得，在儿童教育中，这一科目应该扮演一个比文学更重要的角色。他的猜想之一是：音调中的差别归因于由引发声音的流动所产生的不同的运动速度。阿契塔似乎对数学在课程中扮演角色，给予了相当大的关注，人们通常把4个学科分支命名归到他的名下——算术（静止的数）、几何（静止的量）、音乐（运动的数）和天文学（运动的量）。这些学科，再加上由语法、修辞和逻辑（亚里士多德把这一学科追溯到了芝诺）组成的三学科，后来组成了文科七艺；因此，数学在教育中扮演突出角色，很大程度上要归功于阿契塔。

倍立方

很有可能，阿契塔有条件接触到论述数学原理的早期著作，常常用阿契塔的名字命名的求平方根的迭代过程，很久之前就在美索不达米亚得以使用。然而，阿契塔本人也对一些原创的数学成果作出了贡献。最引人注目的贡献是得洛斯难题的三维解法，这种解法，可以用现代解析几何语言（有点时代错位）轻而易举地予以描述。设a是要加倍的立方体的边长，点（a，0，0）是三个半径为a的互相垂直的圆的圆心，每个圆都位于一个与坐标轴垂直的平面上。通过与x轴垂直的圆作一个以（0，0，0）为顶点的正圆锥体；通过与xy平面垂直的圆作一个正圆柱体；让xz平面上的圆绕z轴旋转，以产生一个环面。这三个曲面的方程式分别是x² ＝y² ＋z² 、2ax＝x² ＋y² 和（x² ＋y² ＋z² ）² ＝4a² （x² ＋y² ）。这三个曲面相交于一点，其x坐标是那么，这条线段的长度就是所求的立方体的边长。

如果我们还记得阿契塔的解法是在没有坐标帮助的情况下用综合的方法得出的，那么，他的成绩就更加令人印象深刻了。然而，阿契塔对数学的最重要的贡献，可能还是他对暴君戴奥尼索斯的干涉，从而救了他的朋友柏拉图一命。后者到生命的最后一刻，都一直致力于毕达哥拉斯的数字和几何崇拜，而雅典在公元前4世纪的数学世界中至高无上的地位，也主要来自“数学缔造者”柏拉图的狂热。然而，在着手处理柏拉图的角色之前，有必要先讨论一位早期毕达哥拉斯信徒的工作，此人是一个名叫希帕索斯的背教者。

梅塔蓬图姆（或克罗顿）的希帕索斯大致跟菲洛劳斯同时代，据传他最初是毕达哥拉斯的门徒，但后来被逐出了这个兄弟会。有人说，毕达哥拉斯信徒们为他竖起了一块墓碑，就好像他已经死了；另一个故事说，死亡惩罚了他的叛教：他在一次海难中葬身鱼腹。这次破裂的确切原因不为人知，这部分程度上是因为该团体的保密规则，但人们间接提到了三种可能性。据第一种解释说，希帕索斯是因为政治不服从而被逐出教门，他领导了一场反对保守的毕达哥拉斯统治的民主运动。第二个传说把这次驱逐归因于泄露了关于五边形或十二面体的几何学——多半是一个几何图形的作法。第三种解释则认为，这次驱逐牵涉到一个数学发现的泄露，这个发现颠覆了毕达哥拉斯哲学的意义——这就是：存在有不可公度量。

不可公度性

毕达哥拉斯主义的一个基本原则是，一切事物（无论是几何学中的，还是人类的实际事务和理论事务）的本质，都是可以根据arithmos（亦即整数或整数比的本质特性）来解释。然而，柏拉图的对话录显示，有一个发现使得希腊数学界大为震惊，这个发现实际上颠覆了毕达哥拉斯学派整数信仰的基础。这就是：在几何学本身之内，整数及整数比并不足以说明哪怕是很简单的基本属性。比方说，它们不足以把一个正方形或立方体或正五边形的对角线与其边长相比较。不管你所选择的度量单位多么小，这些线段是不可公度的。这个发现究竟是在什么时候、以及如何得出的，如今不得而知，但人们还是费了大量的笔墨，来支持这样或那样的假说。早期的支持这一发现源于印度的论点缺乏根据，而且，毕达哥拉斯本人知道不可公度问题的可能性微乎其微。貌似有理的意见是，这一发现是后来的毕达哥拉斯信徒在公元前410年之前的某个时候得出的。有人明确地把它归到梅塔蓬图姆的希帕索斯名下，时间在公元前5世纪最后四分之一之初，而另外一些人则把它定在半个世纪后的某个时期。

围绕对不可比较线段的最早认识，当时的环境与发现的时间一样不确定。人们通常以为，这一认识与毕达哥拉斯定理在等腰直角三角形上的应用有关。关于正方形对角线与边长的不可公度，亚里士多德提到了一个证明，表明它是基于奇和偶之间的区别。这样的证明很容易作出：设d和s分别为正方形的对角线和边，假设它们是可通约的——即，d／s是有理数，且等于p／q，这里，p和q是没有公因子的整数。这样，由毕达哥拉斯定理可知：d² ＝s²

＋s² ，因此，（d／s）² ＝p² ／q² ＝2，或者p²＝2q² 。这样一来，p² 必定是偶数，所以p也必定是偶数。因此，q必定是奇数。设p＝2r，代入等式p² ＝2q2 ，得4r² ＝2q² ，即q² ＝2r² 。那么，q² 必定是偶数，于是，q也必定是偶数。然而，上面的论证表明，q是奇数，一个整数不可能既是奇数又是偶数。因此，根据归谬法可知，d与s可通约这个假设必是假的。

黄金分割

这一证明中的抽象程度极高，要说它是最初发现不可公度的基础的可能性恐怕就大有疑问。然而，还有另外的办法可以得出这个发现。其中有一个简单的观察：我们画出一个正五边形的5条对角线的时候，这些对角线形成了一个较小的正五边形（图5.6），第二个正五边形的对角线反过来又形成了第三个更小的正五边形。这个过程可以无限继续下去，产生的正五边形要多小有多小，并导致这样一个结论：正五边形的对角线与其边长的比不是有理数。事实上，这个比的无理性，是一个与图4.2相关的论证的结果，该图所显示的黄金分割可以一遍又一遍地重复。是不是这一特性导致发现了不可公度性呢（可能是希帕索斯发现的）？还没有现存的文献能够解答这个问题，但这个联想至少是一个看似合理的联想。假如真是这样的话，那么最早揭示存在不可公度量的就不是而是，因为，方程a∶x＝x∶（a－x）的解就是正五边形边长与对角线之比。立方体对角线与边长之比是√3，在这里，不可公度的幽灵又抬起了它那令人恐怖的头。

图　5.6

与证明五边形对角线与边长之比类似的几何学证明，也可以用来证明正方形的对角线与边长之比。在正方形ABCD中（图5.7），如果在对角线AC上截取线段AP＝AB，且在P点作垂直线PQ，则CQ与PC之比等于AC与AB之比。又，如果在CQ上截取QR＝QP，并作RS与CR垂直，则斜边与直角边之比会再一次像前面一样。这个过程也可以无限继续下去，因此就得出证明：不可能找出任何这样的长度单位（无论多么小）使得斜边与直角边可公度。

图　5.7

芝诺悖论

毕达哥拉斯的学说“数字组成了整个天国”，如今确实面临着一个非常严肃的难题；但它并不是唯一的难题，因为该学派还面临着邻近的埃利亚人（一个竞争的哲学团体）提出的论点。小亚细亚的爱奥尼亚哲学家们试图找出万物的第一本原。泰勒斯曾想到要到水中去寻找这个第一本原，但其他人更愿意认为气或火是基本元素。毕达哥拉斯学派则采取了更抽象的方向，假定数字是现象背后的基本要素；这种数字原子论，在形数几何学中得到了极好的说明，遭到了埃利亚的帕曼尼迪思（约公元前450年在世）的追随者们的抨击。埃利亚人的基本原则是存在的统一和持久，这一观点与毕达哥拉斯学派多样和变化的观念形成鲜明对照。帕曼尼迪思的弟子当中，最知名的是埃利亚学派的芝诺（约公元前450年在世），他提出了一些论点，能够证明多样性和可分性的观念中的矛盾。芝诺所采用的方法是辩证的，在这种间接的论证方式上领先于苏格拉底：从对手的前提开始，最后把这些前提归纳为谬论。

毕达哥拉斯学派曾假设，空间和时间可以被认为是由点和瞬间组成的；但空间和时间还有一个特性，比起定义来，更容易凭直觉认知，这一特性称作“连续性”。组成多数的终极元素，一方面被假定为具有几何单位（点）的特征，另一方面又具有数字单位（数）的某些特征。亚里士多德把毕达哥拉斯学派的点描述为“有位置的统一”，或“着眼于空间的统一”。有人提出(3) ，正是为了反对这种观点，芝诺才提出了他的那些经常被人们引用的悖论。这些悖论通过亚里士多德及其他人传到了我们的手里，其中四个似乎导致了最大的麻烦：（1）二分法问题；（2）阿喀琉斯问题；（3）箭头问题；（4）赛跑场问题。第一个悖论认为：在一个移动的物体通过一段给定的距离之前，它必须首先通过这段距离的一半；但在通过这一半距离之前，它必须通过给定距离的四分之一；而这之前，它必须通过给定距离的八分之一，以此类推，它必须通过无穷多个细分的距离。奔跑者要想动身出发，就必须在有限时间内接触无穷多个点，而穷尽一个无穷集合是不可能的，因此运动的开始也是不可能的。第二个悖论跟第一个类似，只不过其无穷细分是累进的，而不是递减的。在这个悖论中，阿喀琉斯与一只领先一段给定距离的乌龟赛跑，据论证：不管阿喀琉斯跑得多快，他也赶不上这只乌龟，不管它爬得多慢。等到阿喀琉斯到达乌龟的起始位置的时候，后者就会前进了一段较短的距离；等到阿喀琉斯通过了这段距离的时候，乌龟又会前进一段距离；以此类推，这个过程可以无限地继续下去，结果是，速度飞快的阿喀琉斯无论如何也赶不上慢吞吞的乌龟。

二分法悖论和阿喀琉斯悖论证明：在空间和时间无穷可分这个假设的前提下，运动是不可能的；另一方面，箭头悖论和赛跑场悖论则证明：即使你做出相反的假设——空间和时间是不可分的——运动也同样是不可能的。在箭头悖论中，芝诺论证道：一个飞行的物体总是占据与其不运动的自身相等的空间。因此，飞行的箭头在所有时间都是静止的，所以，它的运动是一种幻想。

关于运动的悖论，争论最多、并且最难描述的是赛跑场悖论，但论证可以被简短地描述如下：设A¹ 、A² 、A³ 、A⁴ 为同等大小的物体，B¹ 、B² 、B³ 、B⁴为大小与A相等的物体，让所有的A向右移动一段时间——最小可能的时间间隔——使得各B经过各A。设C1、C2、C3、C4为大小与A和B相等的物体，让并让所有C以与A相等的速度，向左作匀速移动，使得各C在一段时间内经过各A。让我们假设，在一段给定的时间内，各物体占据的相对位置如下：

那么，在经过一段瞬间——即一段不可分的时间——之后，位置就会如下：

那么，很清楚，C¹ 会经过两个B；因此，这一瞬间不可能是最小的时间间隔，因为我们可以花一段新的和更小的单位时间，让C¹ 通过一个B。

芝诺的论证，对希腊数学的发展似乎有着深远的影响，可以跟或许与之有关的不可公度量的发现相媲美。起初，在毕达哥拉斯学派的圈子中，量值是用卵石来表示的（我们的“计算”一词就来源于此），但到了欧几里得时期，观点完全改变了。人们一般不把量值跟数字或卵石相联系，而是跟线段相联系。在《几何原本》中，就连整数本身也用线段来表示。数域继续具有不连续的特性，但连续量值的世界（这包括了大多数前希腊时期和毕达哥拉斯学派的数学）是远离数字的事物，必须通过几何的方法来处理。看来，似乎是几何而不是数字统治着世界。这或许是英雄时代影响最深远的结论，在很大程度上，把这归功于埃利亚的芝诺和梅塔蓬图姆的希帕索斯并非是不合适的。

演绎推理

人们一般认为，演绎的元素是由泰勒斯引入到数学中来的，但近来有人反对这个论点：公元前6、7世纪的数学太原始了，不可能支持这样的结论。那些坚持这个论点的人有时候认为，可能是芝诺和希帕索斯的论证启发了演绎的方法。可以肯定的是，这一结论所产生的怀疑和问题，对演绎推理的生长发展来说，是一片沃土。把公元前5世纪末视为我们所熟悉的演绎推理形式的肇始，并非毫无道理。因此，我们最好是就这一点指出：关于导致前希腊时期的数学法则转变为希腊所出现的演绎结构的原因，存在着几种推测。有人提出，泰勒斯在旅行中注意到了前希腊时期的数学——比如埃及人和巴比伦人求圆面积的法则——中的误差，因此，他和他的早期继任者认识到了严格推理方法的必要。另一些更保守的人，则把演绎的形式放到了更后的时期——或许甚至迟至公元前4世纪初叶，紧接着发现不可公度量之后。还有一些人则在数学之外寻找原因。例如，有人从希腊城邦的社会政治发展中看到了辩证法的出现，以及作为结果的数学及其他研究的推理基础的必要条件；另外一种有点类似的看法是：演绎推理可能源自于这样的逻辑：为了让反对者相信某个结论，人们总是寻找得出这个结论所必需的条件。

几何代数

不管演绎法是在公元前6世纪还是在公元前4世纪进入了数学，也不管不可公度性是在公元前400年之前还是在这之后发现的，有一点是毋庸置疑的：到柏拉图时代，希腊数学经历了激烈的变革。数字与连续量值之间的二分法，需要研究毕达哥拉斯学派所继承的巴比伦代数的新方法。求一个给定其边长之和与积的矩形面积的老问题，必须使用不同于巴比伦人的数字代数的方法来处理。“几何代数”不得不取代更古老的“算术代数”，在这种新的代数中，不能把线段与面积相加，也不能把面积与体积相加。从今往后，等式中必须有各项的严格同质，美索不达米亚人的范式（xy＝A，x±y＝b）应该从几何上予以解释。显而易见的结果是（读者可以通过消去y得到），必须在一条给定的线段b上作一个矩形，其未知的宽x必须使矩形的面积刚好比给定面积A多出x2

，或者（在减号的情况下）比面积A少x2

（图5.8）。

图　5.8

就这样，希腊人通过他们所谓的“面积贴合”的过程，从而逐步得出二次方程的解，这个过程，是被欧几里得的《几何原本》所充分包含的几何代数的一部分。此外，不可公度量所带来的不安，导致了初等数学中尽可能地避免使用比例。比方说，线性方程ax＝bc，被看作是面积ax和面积bc相等，而不是比例——a∶b和c∶x这两个比相等。因此，在本例中，要做出第四比例项x，人们通常作矩形OCDB，使b＝OB，c＝OC（图5.9），然后，延长OC至A，使OA＝a。完成矩形OAEB，并画对角线OE，与CD相交于P。那么，现在很清楚，CP就是我们要求的线段x，因为矩形OARS在面积与矩形OCDB相等。直到《几何原本》的第五卷，欧几里得才着手解决比例的难题。

图　5.9

图　5.10

图　5.11

希腊的几何代数让现代读者觉得过分地矫揉造作，难以掌握；然而，对那些使用它、并对它的操作十分熟练的人来说，它看上去多半是一个便利的工具。分配律a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad，对于一个希腊学者来说，无疑比对今天一个刚学代数的新手要明显得多，因为前者可以轻而易举地把这个定理描述为矩形的面积，简单地说就是：以a和a、b、c的和为边长的矩形，其面积等于分别以a和b、c、d为边长的三个矩形面积的和（图5.10）。还有，恒等式（a＋b）² ＝a² ＋2ab＋b² 从一幅图来看就变得很明显了：三个正方形和两个相等的矩形（图5.11），两个正方形的差a² －b² ＝（a＋b）（a－b），可以用类似的方式来描述（图5.12）。线段的和、差、积、商，可以轻而易举地用直尺和圆规作出来。在几何代数中，平方根也没什么困难可言。如果你要求一条线段x，且x² ＝ab，你只要遵循今天的初等几何教科书中的步骤。在一条直线上画线段ABC，使AB＝a，BC＝b（图5.13）。以AC为直径画半圆（圆心为O），在B点作垂直线BP，它就是你要求的x。有趣的是，根据欧几里得给出的证明，这里多半遵循了更早的对比例的回避，利用面积，而不是利用比例。在上图中，

图　5.12

图　5.13

设PO＝AO＝CO＝r，BO＝s，欧几里得肯定会说：x² ＝r² －s² ＝（r－s）（r＋s）＝ab。

阿伯德拉的德谟克利特

数学中的英雄时代，产生了十几个伟大人物，他们当中，必须包括一个更多地被称作化学哲学家的人。在今天，阿伯德拉的德谟克利特（约公元前460～前370）是作为一个唯物主义原子论的倡导者而著称于世，但在他那个时代，他还赢得了作为一个几何学家的名声。据传说，他云游天下，到过的地方比他那个时代的任何人都要多——雅典、埃及和美索不达米亚，多半还有印度——能学的东西，他都学到了；但他在数学上的造诣极高，他曾自夸，即便是埃及的“拉绳者”，在他面前也要甘拜下风。他撰写了大量的数学著作，今天没有一部幸存下来，但我们还是知道几个标题：《论数字》（On Numbers），《论几何》（On Geometry），《论相切》（On Tangencies），《论绘图》（On Mappings），以及《论无理数》（On Irrationals）。他的名声太大，甚至以后几百年里，有很多化学和数学方面的论文都毫无根据地被归到他的名下。特别是，有一部假冒德谟克利特之名的早期炼金术著作，并不属于我们这位阿伯德拉人的大作；但另外一些的著作，《论毕达哥拉斯学派》（On the Pythagoreans）、《论世界秩序》（On the World Order）及《论道德》（On Ethics），则有可能真的。据说，他的科学材料是清楚的，但却披上了文学的外衣；西塞罗曾写到德谟克利特，说他有那种让他比诗人更诗化的韵律。然而，在大量被认为是德谟克利特的著作中，也没几个单词幸存下来。

德谟克利特的数学，其关键无疑可以在他的原子论物理学说中找到。他认为，所有现象，都可以根据无限小的、无限变化（在大小和形状上）的、坚硬得不能穿透的原子在空洞的空间里移动来解释。我们这个世界——还有其他无数多个世界——的创造，是原子排列或凝结成有着某些相似性的群组的结果。这不是什么新理论，因为更早的时候，留基伯就曾提出过这一理论；因此，德谟克利特的反对者们（这样的人有很多）指控他剽窃他人，包括阿那克萨哥拉和毕达哥拉斯。留基伯和德谟克利特的物理原子论，可能确实受到过毕达哥拉斯学派的几何原子论的启发；这一点并不奇怪，德谟克利特主要关心的数学问题是这样一些问题：它们需要某种无穷小的方法。例如，埃及人知道，金字塔的体积是底与高之积的三分之一，但这个事实的证明几乎肯定超出了他们的能力，因为它需要一种相当于微积分的观点。阿基米德后来写道，这个结果要归功于德谟克利特，但是，德谟克利特并没有严格证明它。这创造了一个难题，因为，如果说德谟克利特在这方面对埃及人的知识有什么补充的话，那应该是某种证明，尽管是不充分的证明。或许，德谟克利特向人们展示了：一个三角柱可以被分为三个高和底面积相等的三棱锥，然后，从假说“高与底面积相等的金字塔是相等的”，推导出人们所熟悉的埃及人的定理。

这个假说只能通过应用无穷小技术来证明。比方说，只要你把两个等底等高的三棱锥想象为由无限多个无穷薄的横截面相叠而成（一个通常被称作“卡瓦列里原理”的方法，卡瓦列里是17世纪一位几何学家），这个假说似乎就可以得到证明。这样一种模糊的几何原子论，可能就是基于德谟克利特的思想，尽管这一点并没有得到证实。无论如何，紧接着芝诺悖论和对不可公度量的认识之后，这样一些建立在无穷小的基础之上的论证是不可接受的。阿基米德因此能够理直气壮地认为，德谟克利特并没有给出严格的证明。关于定理“圆锥体的体积等于其外接圆柱体的体积的三分之一”（阿基米德也把它归到了德谟克利特的名下），同样的判断也是对的。德谟克利特多半把这个结果看作是三棱锥定理的必然推论，因为，圆锥体本质上是一个以有无穷多条边的正多边形为底的棱锥体。

德谟克利特的几何原子论马上面临了某些难题。例如，如果三棱锥（或圆锥体）是由无限多个无穷薄的、与底面平行的三角形（或圆）截面所组成的话，那么，考虑任何相邻的两个薄片就会带来一个悖论。如果相邻的截面面积相等，那么，所有截面都是相等的，这样一来，其整体就会是一个棱柱体（或圆柱体），而不是一个棱锥体（或圆锥体）。另一方面，如果相邻的截面不等，那么，其整体就会是一个阶梯棱锥体（或阶梯圆锥体），而不是一个表面光滑的图形出现在你的脑海里。这个难题，与不可公度性和运动悖论那里所遇到的困难并无不同。或许，德谟克利特在他的《论无理数》中分析了这里所遇到的困难，但我们没有办法知道，他的努力是朝着什么样的方向。他在下个世纪两个占支配地位的哲学学派（柏拉图学派和亚里士多德学派）当中极其不受欢迎，这一点，或许鼓励了人们对德谟克利特的观念的漠视。不过，英雄时代主要的数学遗产可以被概括在6个难题中：求与圆面积相等的正方形、倍立方、角的三等分、不可公度量之比、运动悖论、以及无穷小方法的正确性。在某种程度上，可以把这些问题跟本章所提到的人物结合起来（尽管不是排他性的结合）：希波克拉底、阿契塔、希庇亚斯、希帕索斯、芝诺和德谟克利特。其他时代也产生出了很多堪与这些人物比肩的天才，但是，多半再也没有哪个时代以这样不充分的方法资源，对如此多的基础数学难题，发起过如此大胆的进攻。正是由于这个原因，我们才把从阿那克萨哥拉到阿契塔的这段时期称为“英雄时代”。

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(1)参见伯约恩博为保利—维索瓦的《古典学专业百科全书》（RealEnzyklopadie der klassischen Altertumswissenschaft）撰写的词条“希波克拉底”，第八卷，第1796页。

(2)关于这一点，有一篇很精彩的记述，可以在K.弗里曼的《前苏格拉底时期的哲学家》（The PreSocratic Philosophers，1949）中找到，第381～391页。还可以参看保利—维索瓦的百科全书关于希庇亚斯的条目，同上引书，第八卷，第1707页。

(3)参见保罗·坦纳里：《希腊几何学》（Lagéométrie grecque，巴黎，1887），第217～261页。关于一个不同的观点，可参看范德瓦尔登的“芝诺与希腊数学的根本危机”，载《数学年刊》（Mathematische Annalen）第117卷（1940），第141～161页。

《数学史》第5章 英雄时代

《数学史》第5章　英雄时代