一尊神比另一尊神要远多少？
——摘自一份古老的巴比伦天文教科书
楔形文字记录
公元前的第四个千年，是人类文明发展史上一个不同寻常的时期。随着这一时期的开始，文字、轮子和金属得到了使用。正如第一王朝时期（它开始接近这个神奇千年的尾声）的埃及一样，美索不达米亚流域当时也有很高程度的文明。苏美尔人在那里建造了房屋和庙宇，装饰着精美的陶器和几何图案马赛克。强有力的统治者把地方诸侯联合起来，组成了一个庞大的帝国，完成了许多浩大的公共工程，诸如用来灌溉土地、控制水患的运河系统。《圣经》中关于诺亚时代洪水的记载，在关于苏美尔英雄乌他拿比士以及底格里斯河与幼发拉底河之间地区的河水泛滥的传说中，可以找到更早的对应物。在那一地区，这两条河的泛滥是无法预测的，不像尼罗河的洪水那样有规律。《圣经》告诉我们，亚伯拉罕来自苏美尔人的定居地吾珥城，幼发拉底河从这里流入波斯湾，因为在那个时期，这两条河在注入波斯湾之前尚没有像今天那样汇合到一起。早在亚伯拉罕时期之前，苏美尔人在公元前第四个千年就发展出了楔形文字图案，这或许是最早的书面交流形式，因为它多半要比埃及人的象形文字早，后者很可能是一种衍生物。文字和轮式交通工具，大致起源于同一时期，这是一个有趣的巧合，尽管它们之间毫无共同之处。
人们在提到美索不达米亚古代文明的时候，常常把它称为巴比伦文明，尽管这个名称并不完全正确。巴比伦城，最初并不是（后来一直也不是）两河文明的中心，但约定俗成的习惯，认可了人们非正式地使用“巴比伦”这个名字来代称约公元前2000年至公元前600年之间的这一地区。公元前538年的时候，巴比伦城落入波斯国王居鲁士之手，城市幸免涂炭，但巴比伦帝国却走到尽头。然而，在叙利亚的整个塞硫古王朝时期，“巴比伦”的数学还在继续发展，几乎延续到了基督教开始出现的时代。偶尔，两河之间的这一地区也被称为迦勒底，因为最初来自美索不达米亚南部的迦勒底人一度（主要是公元前7世纪晚期）曾在整个两河地区占支配地位。接下来，像今天一样，“两河之地”向来自四面八方的侵略敞开了大门，把这片“肥沃新月”变成了一个频繁变幻霸王旗的战场。意义最重大的一次侵略，是萨尔贡一世（约公元前2276—前2221年，或称萨尔贡大帝）统治下的闪米特族阿卡德人的入侵。萨尔贡一世建立了一个辽阔帝国，其范围从南边的波斯湾到北边的黑海，从东边的波斯草原到西边的地中海。在萨尔贡的统治下，入侵者们开始逐步吸收本土苏美尔文化，包括楔形文字。后来的入侵和叛乱，时不时地给这一流域的政治权力带来各种不同的种族血统——亚摩利人、喀西特人、埃兰人、赫梯人、亚述人、米底人、波斯人，等等，但这一地区依然保持着高度的文化统一，足以证明把这一文明简单地称为美索不达米亚文明是有道理的。特别是，楔形文字的使用形成了一个强有力的纽带。法律文书、税收账目、故事传说、学校课程、私人信件——这些以及别的一些纪录，都是用硬笔压刻在软泥板上，再把这些软泥板放在灼热的太阳底下晒干，或放在烤炉中烤干。幸运的是，这样的书面文献，远比埃及人的纸草书更能经受时间的摧残，因此，关于美索不达米亚的数学，今天可以用到的实物证据，远远多于尼罗河流域的证据。仅从一个地点（古尼普尔城的所在地），我们就得到了大约50000块这样的软泥板。不算别的地方，仅哥伦比亚、宾夕法尼亚和耶鲁这三所大学的图书馆，就有大量来自美索不达米亚的古代泥板收藏，其中有一些是数学方面的文献。然而，尽管有这些文献可资利用，但最早得到破译的，却是埃及人的象形文字，而不是巴比伦人的楔形文字。早在19世纪初期，格罗特芬德就在解读巴比伦文字上取得了一些进展，但直到20世纪过去了四分之一个世纪之后，关于美索不达米亚数学的重要记述才开始出现在古代史中。
文字很早就在美索不达米亚得到利用，这一点被在乌鲁克发现的数百块软泥板所证实，这些软泥板的年代在大约5000年前。这时，图画文字已经达到了用约定俗成的程式化形式表示许多事物的程度：代表水，
代表眼睛，这两个符号组合在一起表示流泪。数字符号变得越来越少，就这样，苏美尔人最初使用的大约2000个符号，到了阿卡德人征服时期仅保留了三分之一。原始图画让位于楔形图案的组合：水变成了
，而眼睛则成了
。最初，书吏按照纵列的形式从上到下、从右到左书写，后来，软泥板按逆时针方向旋转了90度，书吏则按照横排的形式从左到右、从上到下书写。从前一直是三棱柱形的硬笔，被直圆柱体——或者更确切地说，是两个半径相等的圆柱体——所取代。在苏美尔文明的更早时期，使用较小的硬笔，把硬笔顶端垂直压入软泥板代表10个单位，斜向压入软泥板代表1个单位；同样地，用更大的硬笔压出的一个斜向印记表示60个单位，一个垂直印记表示3 600个单位。这些印记的不同组合用来表示中间数字。
当阿卡德人采用苏美尔人的书写形式的时候，人们编纂了词典，使两种语言对应起来，而单词和数字的形式也变得更加固定了。数以千件出自汉摩拉比王朝时期（约公元前1800～前1600年）的软泥板，说明了当时的数字系统已经建立得非常完备。为古往今来大多数文明所共有的十进制，在美索不达米亚却被湮没在一种以60为基数的符号系统之下。关于这一变化背后的动机，人们有过连篇累牍的阐述；有人提出，天文学的因素对此可能发挥过作用；或者，六十进制是两种更早进位制的自然组合：一种是十进制，另一种是六进制。然而，似乎更有可能的是，六十进制是为了度量衡的缘故而被有意识地采用并使之合法化的，因为一个60个单位的量，可以轻而易举地细分为二分之一、三分之一、四分之一、六分之一、十分之一、十二分之一、十五分之一、二十分之一和三十分之一，这样就使得10经得住尽可能的细分。且不管其起源如何，六十进制记数法异乎寻常地地长寿，至今遗风犹存（这对进位制的统一来说实属不幸），残留在时间和角的度量单位中，尽管我们的社会形态是以十进制为基础的。
位置记数法
巴比伦楔形文字记数法在表示较小的整数时，走的是跟埃及象形文字相同的路数，用重复的符号表示最小整数和10的倍数。埃及建筑师可以把59写成（刻在石头上）：，而美索不达米亚的书吏，则以类似的方式在软泥板上用14个楔形标记来表示同样的数字——四个宽大的侧向楔子，各代表10个单位；9个垂直楔子，各代表1个单位，这些楔形标记并列成整齐的一组：
。然而，大于59的数字，埃及人和巴比伦人所采用的系统就明显不同了。或许正是因为美索不达米亚人的书写材料的坚固性，也可能是因为富有想象的洞察力的灵光一闪，让巴比伦人认识到：他们分别用来表示最小整数和10的倍数的那两个符号，足以表示任何整数而无需额外地重复，不管这个整数有多大。通过他们发明的位置记数法，使得做到这一点成为可能，记数法产生于大约4000年前，我们今天的数字形式之所以有效，也是由于遵循了同样的原则。换言之，古代巴比伦人认识到了：他们的符号，可以简单地通过依据它们的相对位置对之赋值从而使它们所表示的数字翻两倍、三倍、四倍或者任何倍数。楔形符号中表示59的那些楔子，被紧密地组合在一起，这样一来，几乎相当于构成了一个单个的符码。多组楔子之间的适当间隔，可以建立起一系列与基数升幂相对应的位置（从右向左）；然后，每组楔子根据其位置各有其“局部值”。我们的222，三次使用了同一个数码，但每次的意义各不相同：第一次表示两个个位数，第二次表示表示两个十位数，第三次表示两个百位数（亦即基数10的两次幂）。巴比伦人以完全类似的方式多次使用这样一个符号：
。当他们写下
的时候，清清楚楚地把它们分为三组，每组两个楔子，他们懂得，右边的一组表示两个个位数，接下来一组意味着基数（60）的两倍，左边的一组则表示基数平方的两倍。因此，这个数表示的是：2（60）² ＋2（60）＋2，或者，用我们的符号表示就是7322。
关于美索不达米亚的数学，有大量原始材料，但说来也怪，其中大多数都出自两个相距非常遥远的时期。有大量软泥板出自公元前第二个千年最初的几百年中（古巴比伦时期），还有许多软泥板则出自公元前第一个千年最后的几百年（塞琉古王朝时期）。巴比伦人对数学所做出的重要贡献，大多数可以在更早的时期找到，但有一个贡献，直到公元前300年才开始显现出来。起初，巴比伦人似乎并没有很清晰的方法来表示一个“空”位——也就是说，他们没有表示零的符号，不过他们有时候会在打算表示零的地方留出一段间隔。这意味着，他们用来表示722（原稿错为“122”——编者注）的和表示7202的符号组合看上去非常相像，因为既可能表示2（60）＋2，也可能表示2（60）² ＋2。在许多例子中，可以靠上下文来解决含义模糊的符号；但缺乏零符号（比如像让我们一眼就能把22和202区别开的那个0），想必一直是个相当大的麻烦。然而，到亚历山大大帝征服那个时期，巴比伦人发明了一个特殊的符号（由两个斜向放置的楔子组成），用来在数字缺失的地方充当占位符，从那时起，只要用到楔形文字，数字
（即2（60）² ＋0（60）＋2），就很容易与数字
（即2（60）＋2）区别开来。
巴比伦人的零符号，显然并没有终结所有的含混不清，因为这个符号似乎只是用来表示中间空位的。现存的软泥板中，尚未有零符号出现在末位上。这意味着，古代的巴比伦人从未实现一套完整的位置记数法。位置仅仅是相对的；因此，符号既可以表示2（60）＋2，也可以表示2（60）² ＋2（60）或者2（60）³＋2（60）2
或者任意一个其中两个连续位置上包含这两个数的其他不确定数字。
以六十为底的分数
如果美索不达米亚的数学像尼罗河流域的数学一样，也是基于整数和单分数的加法的话，那么，位置记数法的发明就不会是当时最重要的发明了。用象形文字符号记录98765这个数，并不比用楔形文字难很多，用后者记录这个数无疑比用圣体字更难。相比埃及数学，巴比伦数学拥有明显的优势，个中的奥秘，就潜藏在这样一个事实当中：那些生活在“两河之间”的人，在把位置法则扩展到既涵盖整数也涵盖分数这一点上，采取了最巧妙的步骤。换句话说，符号不仅用来表示2（60）＋2，同时也用来表示2＋2（60）^－1 ，或者2（60）^-1 ＋2（60）^-2 ，或者其他包含两个连续位置的分数形式。这意味着，巴比伦人已经掌握了现代分数表示法在今天为我们提供的那种计算能力。对巴比伦的学者而言，就像对现代的工程师一样，23.45和9.876的加法或乘法，本质上并不比整数2345和9876的加法或乘法更难；而且，巴比伦人很快就用上了这一重要发现。耶鲁大学收藏的一块古巴比伦软泥板（编号7289），包含了2的平方根的计算（精确到3个六十进制位），答案被写作
。用现代符号的话，这个数字可以写作1;24,51,10，式中，分号用来分开整数部分和小数部分，逗号被用来作为六十进制位的分隔号。在本章中，我们将一直使用这种形式来表示六十进制数。巴比伦人为
求出的值是1.414222，与正确的值相比，这个值的误差大约是0.000008。近似值的精确度，对于巴比伦人来说，可以比较容易地用分数符号来实现，这是文艺复兴之前所有文明中能够拿得出的最好的答案了。
基本运算
巴比伦人计算的有效性并不仅仅来自于他们的记数制。在开发算法步骤上，美索不达米亚的数学家们很有技巧，其中计算平方根的方法，常常被认为是后人的功劳。有时候，人们把它归到希腊学者阿契塔（公元前428～前365年）或者亚历山大城的海伦（约公元100年）的名下；你还会发现，偶尔也有人把它称作“牛顿算法”。巴比伦人的计算步骤，既简单又有效。设x=就是要求的平方根，以a¹ 作为它的第一个近似值；再根据b1
＝a／a² 求出b¹ ，作为它的第二个近似值。若a¹ 小于a，则b¹ 就大于a，反之亦然。因此，算术平均值是下一个应该更接近的近似值。如果a2始终大于a，那么下一个近似值b2＝a／a2就会小于a，这样，你可以求出算术平均值a3＝1/2（a2－b2）以获得更接近的结果；这个过程可以不断继续下去。耶鲁所藏第7289号软泥板上所求出的√2的值，就是a3的值（取a1＝1;30）。在巴比伦人求平方根的算法中，你可以发现一个迭代过程，这个过程可以让那个时代的数学家接触到无穷步骤，但那个时代的学者们却没有进一步追索这个问题所隐含的意义。
上述算法相当于二项式级数的二项近似值，这是一个巴比伦人很熟悉的例子。如果要求的值，取近似值a＝a，得出b＝（a² ＋b）／a和a^112＝（a＋b）／2＝a＋b（／2a），这个结果，与（a² ＋b）^½ 的展开式的前两项是 一致的，并提供了一个古巴比伦文献中所得出的近似值。尽管他们求平方根的法则很有效，但美索不达米亚的书吏们在借助无所不在的可用软泥板方面，似乎效法了现代的应用数学家们。事实上，在已经出土的楔形文字泥板中，有很大比例是“表格文字”，包括：乘法表，倒数表，平方与立方表，以及
平方根与立方根表，当然，都是以六十进制的楔形文字写成的。例如，其中一个表所包含的相当于下表所显示的条目：
3 20
4 15
5 12
6 10
8 7，30
9 6，40
10 6
12 5
同一行中两个数的乘积全都是60，这个表显然可以看作是一个倒数表。比如，第六行表示8的倒数是7／60＋30／（60）2。你会注意到，7和11的倒数在表中被遗漏了，因为这种“不规则”的数字，其倒数都是无法穷尽的六十进制数，就像我们十进制中3、6、7、9的倒数一样，当他们用十进制小数展开时也是无穷的。在这里，巴比伦人再一次面临了无穷的问题，但他们并没有系统地考虑这个问题。然而，从某一点上讲，一位美索不达米亚的书吏似乎给出了不规则数7的倒数的上下限，把它定在0;8,34,16,59与0;8,34,16, 18之间。由于他们对多位计算的偏爱，所以他们并不急着要在1/7的六十进制表示法中得出对简单三位循环的认识，而正是这个发现，激发了对无穷级数的思考。
有一点很清楚，基本的算术运算已经被巴比伦人所掌握，其方式与我们今天所使用的方式并无不同，而且同样熟练。除法并不是用埃及人那种笨拙的加倍方法来实现，而是通过拿被除数乘以除数的倒数（利用倒数表中的适当条目）来轻松完成的。正像今天34除5的商可以用34乘以2然后移动小数点而轻松得出一样，在古代，这个题目也是这样解决的，先求出34乘以12的积，然后移动六十进制位而得到结果648/60。倒数表通常只提供一些“规则”数的倒数——也就是那些可以写成2、3、5的倍数之积的数——尽管只有少数例外。有一份表包括了两个近似值：1＝；1，1，1和1＝；0，5961 59，0，59。这里，我们有了十进制表达式
六十进制表达式，这是两个其分母分别比基数小1或大1的单分数。但在这里，巴比伦人又一次没有注意（或者至少是没有重视）这一关系中的无限循环展开式。
在古巴比伦人的软泥板中，你可以找到一些给定数字的连续次幂表，相当于我们现代的对数表，或者更准确地说，是反对数表。已经发现的指数表（或对数表）中，列出了以9、16、1,40和3,45（全都是完全平方数）为底数的前10次幂的值。有一个题目问的是：要得出一个已知数，必须是某个数的多少次幂？这就相当于我们现代的问题：在一个以某个数为底数的系统中，这个已知数的对数是多少？除了语言和符号的问题之外，古代表与现代表之间的主要差别就在于：没有单个的数被系统地用在各种不同的关系中作为底数，并且，古代表中条目之间的缺口远远大于现代表。因此，他们的“对数表”并非用于普通的计算目的，而是用来解决某些非常特殊的问题。
尽管他们的指数表中缺漏很大，但巴比伦的数学家毫不犹豫地通过近似中间值的比例部分来求其插值。在古代的美索不达米亚，线性内插法似乎是一种很平常的方法，位置记数法很方便地帮了比例运算法的大忙。关于插值法在指数表中的实际用途，有一个清晰的实例可以在一个题目中看出：这个题目问的是：如果以每年20%的速度递增，需要多长时间才能使钱数翻倍，题目给出的答案是3;47,13,20。看来相当清楚了，那位书吏在（1；12）3和（1；12）4之间使用了线性内插法，依据的是复利公式a＝P（1＋r）n，这里r为20%，即12/60，以及从1；12的幂的指数表中读出的值。
代数问题
有一份巴比伦人为重要用途而创建的表，通常并没有收入到今天的手册中。这是一份由n＋n（其中n为整数）的值所组成的表格，一份在巴比伦的代数学中必不可少的表格；在美索不达米亚，这一学科达到了比埃及高得多的水平。出自古巴比伦时期的许多题目显示，完全二次三项方程式的解，没给巴比伦人带来太大的困难，因为灵活的代数运算已经得到了发展。他们可以在等号两边加上相同的值实现移项，可以在等号两边乘以相同的值实现去掉分数，或者消去因数。给（a－b）²加上4ab就可以得到（a＋b）² ，因为他们熟悉许多简单的因式分解形式。他们并不使用字母来代表未知数，因为那时候字母表尚未发明出来，但诸如“长”“宽”“面积”“体积”之类的单词有效地担当了这个角色。这些词可以很好地用在不同的抽象意义上，下面这个事实间接表明这一点：巴比伦人对于长度加面积或者面积加体积一点也不感到有什么疑虑。诸如此类的问题，如果要认真的话，在求积法上是不可能有实用基础的。
埃及人的代数，大量牵涉到线性方程，但巴比伦人显然认为，这些太无足轻重了，不值得给予太多关注。有一个题目是这样的：设一颗石头的重量是x，已知等于1个迈纳，求x的值；给出的答案是48;7,30斤，这里，1迈纳＝60斤。在一份古巴比伦文献中有另一个题目，从中我们可以发现有两个未知数的联立线性方程，分别被称作“第一银环”和“第二银环”。如果用我们的符号把这两个未知数称作x和y的话，这两个方程式就是：x／7＋y／11＝1和6x／7＝10y／11。答案简洁地用下面的法则表示：
在另一对方程中，部分解法被包含在文本中。在这个题目中，1/4宽＋长＝7手，长＋宽＝10手。解法是，先把每“手”替换为5“指”，然后注意到：20指宽和30指长能同时满足两个方程。用手表示所有尺寸，并设长、宽分别为x和y，这两个方程就成了：y＋4x＝28和x＋y＝10。用第一个方程减去第二个方程，得到的结果是：3x＝18；因此，x＝6手，即30指，而y＝20指。
二次方程
二次三项方程的解法，似乎远远超出了埃及人在代数方面的能力(1) ，但诺伊格鲍尔在1930年揭示出，巴比伦人在一份最古老的难题集中已经有效地处理过这样的方程。例如，有一道题是这样的：已知一个正方形的面积与边长的差是14,30，求这个正方形的边长。这个方程相当于x2
－x＝870，其解法是这样表示的：
取1的一半，结果是0;30，再拿0;30乘以0;30，得到0;15；把这个值加上14,30，得14,30;15。这个值就是29;30的平方。现在，用0; 30加上29;30，结果是30，即这个正方形的边长。
不用说，巴比伦人的这个解法，就相当于求二次方程x² －px＝q的根的公式：，这就是今天的初中生们很熟悉的二次公式。在另一道题中，方程式11x² ＋7x＝6;15被巴比伦人化为标准类型x² ＋px＝q的形式，他们首先把各项都乘以11，得到（11x）² ＋7（11x）＝1,8;45（译者注：原稿“11x² ”错为“1x² ”）。这是一个标准形式的二次方程，其中，未知数y＝11x，而y的值则可以根据他们熟悉的法则
，这就是今天的初中生们很熟悉的二次公式。在另一道题中，方程式11x2
＋7x＝6;15被巴比伦人化为标准类型x2
＋px＝q的形式，他们首先把各项都乘以11，得到（11x）2
＋7（11x）＝1,8;45（译者注：原稿“11x2
”错为“1x2
”）。这是一个标准形式的二次方程，其中，未知数y＝11x，而y的值则可以根据他们熟悉的法则出来，再从这个结果得出x的值。这种解法，作为代数变换的一个应用实例，的确非同寻常。
在现代之前，一直没有人想到怎么解x2
＋px＋q＝0（其中，p、q均为正数）这种形式的二次方程，因为这个方程没有正根。因此，古代和中世纪——甚至包括现代早期——的二次方程，可以归类为下面三种类型：
（1）x2
＋px＝q
（2）x2
＝px＋q
（3）x2
＋q＝px
这三种类型全都在大约4000年前的古巴比伦文献中找到了。前两种类型从上面给出的题目可以得到例证；第三种类型经常出现在各种难题集中，被当作联立方程x＋y＝p、xy＝q来处理。这样的题型为数众多，都是给出两个数的积与和（或差），求这两个数的值，对古人（无论是埃及人还是希腊人）来说，这些似乎是二次式化简的“标准形式”。然后，把联立方程xy＝a和x±y＝b转换为一对线性方程再通过加法和减法求出x和y的值。例如，耶鲁大学所藏的一块楔形文字板上的题目，就是要求解联立方程x＋y＝6;30和xy＝7;30，那位书吏的解法说明，实质上就相当于下面这几个步骤。首先得出
然后得出
则，
且
因此，
且
从最后两个方程显然可知x＝5和y＝11/2。因为x和y这两个未知数对称地进入了给定的条件等式，所以，可以把x、y这两个值解释为二次方程x2
＋7;30＝6;30x的两个根。另一份巴比伦文献中的题目是：已知一个数加上它的倒数等于2;0,0,33,20，求这个数的值。从这个题目可以得出第三类方程，在这里，我们又一次得到了两个解：1;0,45和0;59,15, 33,20。
三次方程
对于二次方程ax2＋bx＝c，巴比伦人通过代入y＝ax的方法，把它化简为标准形式y2＋by＝ac，这显示了美索不达米亚代数中的灵活性已经达到了非同寻常的程度。这种灵巧，结合计算中的位值观念，在很大程度上解释了巴比伦人在数学中的优势地位。在埃及人的文献中，没有解三次方程的记录，但在巴比伦的文献中，有许多这方面的实例。像x3＝0;7,30这样的纯三次方程，可以通过直接查立方表和立方根表来解，上面那个方程从表中读出的解是0;30。在表内利用线性插值法，可以得出表中未列出值的近似值。标准形式的混合三次方程x3＋x2＝a，类似地也可以通过查表来解，这份表列出的是组合n3＋n2的值（其中n为从1到30之间的整数）。在这些表的帮助下，他们可以轻而易举地读出方程的解，例如，方程x3＋x2＝4,12的解等于6。对于更一般的三次方程，比如144x3＋12x2＝21，巴比伦人用到了他们的代入法。等号两边同时乘以12，再代入y＝12x，这个方程就变成了y3＋y2＝4，12，由这个方程得出y等于6，因此，x刚好等于1/2（即0;30）。像ax3＋bx2＝c这种形式的三次方程式，通过将各项同时乘以a2／b3从而转化为巴比伦人的标准形式：（ax／b）3＋（ax／b）2＝ca2／b3，这是一个以ax／b为未知数的标准形式的三次方程式。从表中读出这个未知数的值，x的值也就得出了。巴比伦人是否能够把普通的四项三次方程ax3＋bx2＋cx＝d转化成标准形式呢，谁也不知道。对他们来说，要做到这一点似乎并不是完全不可能，这从下面的事实中可以看出：二次方程的解法足以把这个四项方程式表达为三项形式px3＋qx2＝r，而从这个方程，正如我们已经看到的，很容易得到标准形式。然而，眼下尚没有可资利用的证据能够表明，美索不达米亚人已经实现了对普通三次方程的这种化简。
在美索不达米亚，二次方程和三次方程的解法，是一个值得敬佩的非凡成就，这更多的是因为其所涉及的代数概念的成熟与灵活，而不是因为他们的技术水平多么高超。有了现代的符号系统，要看出（ax）³ ＋（ax）² ＝b在本质上与方程y³ ＋y² ＝b类型相同是一件很简单的事情，但在没有现代符号的情况下，能认识到这一点就是一个了不起的成就了，这对于数学的发展来说，甚至远比算术中的位置法则重要得多（这一法则也要归功于同一种文明）。巴比伦人的代数已达到了如此非凡的抽象水平，所以在他们看来，方程ax⁴ ＋bx2＝c和ax8＋bx4＝c充其量不过是改头换面的二次方程而已——换句话说，也就分别是以x² 和x⁴ 为未知数的二次方程式。
毕达哥拉斯三元数组
巴比伦人在代数学上的成就令人钦佩，但这项工作背后的动机却不容易理解。人们通常想当然地认为，前希腊时期的科学和数学，实质上全都是纯功利主义的；但是，究竟是何种实际生活情境导致他们要牵扯到一个数与其倒数之和或面积与长度之差这样的问题呢？如果实用性是动机的话，那么，那时候对直接性的狂热崇拜并不如现在强烈，因为，在巴比伦人的数学中，目的与实践之间的直接关系远不是那么明显。他们很可能容忍（即便不是鼓励）为数学而数学，对于这一点，哥伦比亚大学普林顿收藏中的一块软泥板（编号322）给出了一点暗示。经鉴定，这块软泥板出自古巴比伦时期（约公元前1900～前1600年），其中所包含的表格，很容易被误认为是一份生意账目。然而，分析表明，它在数字理论中有着深远的意义，而且，还或许跟某种原始三角学有关。普林顿收藏322号是一块大泥板的一部分，这一点可以从其左侧的断裂痕迹看出，残余部分包含了4列数字，排列成15行。右侧一列包含从1到15的个位数，其目的显然只不过是标识其余3列的顺序，整个表格排列如下：
图 3.1
普林顿收藏第322号。
这块软泥板保存得并不怎么完好，因此并非所有的数字都能读出来，不过，表格中清晰可辨的结构方式，使得我们可以从上下文推定那些因碎裂而遗失的条目。要想理解表格中的条目对于巴比伦人来说意味着什么，不妨仔细看看直角三角形ABC（图3.1）。如果把第二列和第三列（从左至右）的数字分别看成是直角三角形的a边和c边的话，那么第一列（最左边一列）中各项的数字就是c与b之比的平方了。因此，最左边一列就是sec² A的值，但千万不要以为巴比伦人熟悉我们的正切概念。无论是埃及人还是巴比伦人，都没有引入现代意义上的角的度量。不过，普林顿收藏中的322号板上，各行的数字并非像粗略看上去的那样是按照任意方式排列的。如果用分号代替第一列（左边）中的第一个逗号，那么很明显，这一列中的数字就有规则地从上到下递减。此外，这一列中第一个数字相当接近于sec² 45°，最后一个数字则约等于sec² 31°，中间的数字则近似于sec² A（A从45°到31°按度递减）的值。这种排列显然不完全是盲打误撞的结果。这种排列方式不仅经过认真仔细的思考，而且角的度数也是根据一定的规律得出的。那些构造这个表的人，显然是从两个规则的六十进制整数开始的，我们可以把这两个数称为p和q，然后用（p＞q）组成一个三元数组p² －q² 、2pq和p² ＋q² 。很容易看出来，这样得到的三个整数，可以组成毕达哥拉斯三元数组，在此三元数组中，最大数的平方是另外两个数的平方之和。因此，这三个数可以被用来作为直角三角形ABC的三条边，其中，a＝p² －q² ，b＝2pq，c＝p² ＋q² 。限定p的值小于60，并使q的值符合亦即符合a＜b的直角三角形，巴比伦人大概发现了：正好有38对可能的p和q的值满足这个条件，因此他们显然得到了38个相应的毕达哥拉斯三元数组。只有前面15个数组（按照比值（p² ＋q² ）／2pq递减排列）被包含在这块泥板的表格中，但有可能那位书吏本打算在这块板上继续完成这份表，不过也有可能他打算在此板的另一面完成这份表。也有人提出，普林顿所藏322号板的从左侧断掉那部分，包含了另外4列，其中列出了p、q、2pq以及我们所称为的tan² A的值。
普林顿收藏中的322号板可能给人这样的印象：它是数字理论中的一种练习；但也有可能，这方面的课题仅仅是为了辅助解决直角三角形各边上的正方形的面积的测量问题。巴比伦人不喜欢用不规则数字的倒数来计算，因为这些数字不能精确地表示为有限六十进制小数的形式。因此，他们感兴趣的是那些能够产生规则整数的p和q的值，他们可以把这些规则整数作为各种形状的直角三角形的边，从等腰直角三角形，一直到比值a／b很小的直角三角形。例如，第一行中的数字，可以从p＝12、q＝5（相应地，a＝119，b＝120，c＝169）得出。a和c的值正好就是这块软泥板上第一行第二、第三（从左至右）两个位置的值；比值c² ／b² ＝28561／14400就是出现在本行第一个位置上的1牷59牞0牞15(2) 。在另外14行中，可以发现同样的关系；巴比伦人的工作做得极为精确，第10行中的比值c²／b² 用来表示为8位六十进制小数，相当于我们的记数法中的14位十进制小数。
巴比伦人的数学与倒数表的关系非常密切，因此，当你发现普林顿322号板的条目全都涉及倒数关系时也就无足为怪了。若a＝1，那么1＝（c＋b）（c－b），所以c＋b和c－b为互倒数。如果你从c＋b＝n开始（n为任何规则的六十进制数），那么，c－b＝1／n；因此，a＝1且b＝1/2（n－1／n）、c＝1/2（n＋1／n）就是一个毕达哥拉斯小数三元数组，只要将三个数各自乘以2n，就可以很容易地转换为毕达哥拉斯整数三元数组。普林顿表中所有的三元数组，都很容易按照这种方法计算出来。
我们上面对巴比伦人的代数所做的介绍，是他们的工作的典型样本，但并不是详尽无遗的。在巴比伦人的软泥板中，还有很多其他东西，尽管没有普林顿322号板上的内容那么引人注目。例如，有一块软泥板上的内容是求几何级数的和：1＋2＋2² ＋…＋2^9
，而在另一块板上，我们发现了平方级数的和：1² ＋2² ＋3² ＋…＋10²
。你或许很想知道，巴比伦人是否知道求几何级数之和以及前n个完全平方之和的一般公式。他们完全有可能知道，有人推测，他们知道：前n个整数的完全立方之和等于前n个整数之和的平方。然而，我们必须记住：在给出的那些特例中，出自美索不达米亚的那些软泥板，就像埃及的纸草书一样，都没有表达为一般公式的形式。
多边形的面积
几年前，人们总是认为，巴比伦人在代数上比埃及人强，但他们对几何的贡献却不如后者大。这句话的前半句，清楚地被我们上面介绍的情况所证实；而对后半句的支持，人们的努力通常还只局限于圆面积或棱椎平截体体积的测量。在美索不达米亚流域，圆面积通常是通过取半径的平方的三倍来得出的，这在精确度上就比埃及人的计算方法低得多了。但话说回来，计算π的近似值的小数位数，对于衡量一种文明在几何学上所达到的高度来说，几乎算不上是一个恰当的标准；最近的一个发现，甚至有力地推翻了这个本就虚弱不堪的论点。1936年，在距离巴比伦200英里的苏萨城遗址，出土了一批数学方面的软泥板，其中就包括一些重要的几何成就。美索不达米亚人对列表的爱好真是名不虚传，苏萨出土的这批软泥板中，有一块就列出了几种正多边形（三边、四边、五边、六边、七边）边长的平方与面积之比。例如，其中给出的正五边形的面积与边长的平方之比的值是1;40，这个值对两个重要的几何图形来说都是正确的。对正六边形和正七边形，这个比值分别被表示为2;37,30和3;41。在同一块软泥板中，那位书吏给出了0;57,36作为正六边形的周长与其外接圆的圆周长之比；从这个数值，我们不难得出结论：那位巴比伦书吏采用了3;7,30（即31/8）作为π的近似值。这个值，跟埃及人采用的值比起来，至少不相上下。然而，我们是在一个比埃及人更为复杂的上下文中看到这一点的，因为苏萨城出土的这块软泥板是系统化比较几何图形的一个很好的例子。你几乎会忍不住要到这里面去发现几何学的真正起源，但重要的是要注意：巴比伦人更感兴趣的是他们用于求积法的数字近似值，而不是什么几何关系。对他们来说，几何并不是我们现代意义上的一门数学学科，而是某一类的应用代数或算术，在其中，数字附属于几何图形。
至于巴比伦人是否熟悉相似形的概念，人们观点不一，尽管这一点看上去可能性颇大。在美索不达米亚，就像在埃及一样，所有圆的相似性似乎被视为理所当然，楔形文字软泥板上的许多关于三角形测量的难题，似乎含有相似的概念。巴格达博物馆中的一块软泥板上有一个直角三角形ABC（图3.2），各边分别是a＝60、b＝45、c＝75，它被细分为4个更小的直角三角形ACD、CDE、DEF和EFB。题目中给出的这4个三角形的面积分别是8,6、5,11;2,24、3,19;3,56,9,36和5, 53;53,39,50,24。通过这些值，那位书吏计算出了AD的长度是27，看上去似乎是使用了一种“相似公式”，相当于我们的定理“相似形的面积比等于相似比的平方”。得出CD和BD的长度分别是36和48，通过对三角形BCD和DCE应用“相似公式”，可以得出CE的长度是21;36。软泥板上的文字在计算到DE的时候突然中断了。
图 3.2
作为应用数学的几何学
测量是美索不达米亚流域代数几何的主旋律，而埃及几何的主流则是：精确测量与近似测量之间的区分并不是很清楚。四边形的面积，是通过求两组对边的算术平均数之积而得出的，却毫不在乎在大多数情形下这仅仅是个很粗糙的近似值。此外，圆锥或棱锥截面体的体积，有时候是拿上底与下底的算术平均值乘以高而求出的；有时候则使用公式，比如上底和下底的面积分别为a² 和b²
的正方凌锥截面体的体积是：
然而，对于后者，巴比伦人使用了一种方法，相当于下面的公式：
这是一个正确的公式，可以简化为埃及人所熟悉的一个公式。
埃及人和巴比伦人的这些成就是否一直是他们独立发现的呢，我们不得而知，但不管怎样，无论是几何还是代数，后者的成就无疑比前者更为广泛。比方说，毕达哥拉斯定理就没有以任何形式出现在现存的埃及文献中，但即使是出自古巴比伦时期的软泥板，也显示了这一定理在美索不达米亚得到了广泛的使用。例如，耶鲁大学收藏的一份楔形文字材料，就包含了一份正方形及其对角线的图解，图中，沿着一条边写着数字30，沿着对角线写着两个数字：42;25,35和1;24,51,10。最后一个数字显然是对角线的长和边长之比，这个数字表达得十分精确，它与几乎是一致的，误差不超过百万分之一。这个结果的精确性，只有熟悉毕达哥拉斯定理才有可能实现。有时候，在不是很精确的计算中，巴比伦人用1;25作为这个比值的一个粗糙的近似值。然而，比精确度更重要的是它所隐含的这样一个结论：任何正方形的对角线的长度，都可以用边长乘以
得到。因此，巴比伦人对一些一般法则看来是有一定的认识，尽管事实上仅仅只是表现在特例中。
巴比伦人对毕达哥拉斯定理的认识，决不仅仅局限于等腰直角三角形。在一个古巴比伦难题中，靠墙竖立着一根长度为0;30的梯子或桁梁，题目问的是：如果其上端向下滑动的距离是0;30个单位，那么其底端从墙壁向外移动多少？通过使用毕达哥拉斯定理，正确地得出了结果。1500年之后，类似的问题（加上了一些新的花样），依然是在美索不达米亚流域被解决的。例如，塞硫古王朝时期的一块软泥板，提出了下面这个问题：靠墙竖立着一根芦苇，如果顶端向下滑动3个单位时底端移开9个单位，问这根芦苇有多长？给出的答案完全正确：15个单位。
古代楔形文字难题集提供了某一学科的大量练习，我们可能会把这一学科称为“几何学”，而巴比伦人则多半认为那是应用数学。有一个典型的遗产继承问题，就是要在六兄弟当中分配一块直角三角形的地产，给出的面积是11,22,30、一边的长是6,30，分割线必须与三角形的另一边平行并等距，要求出分配份额之间的差。另外一个问题给出了一个等腰梯形的下底与上底分别是50和40，一条边的长度为30，要求的是这个梯形的高和面积。
古代的巴比伦人还认识到了另外一些重要的几何关系。像埃及人一样，他们也知道等腰三角形的高平分它的底。因此，在一个已知半径的圆中，给出一段弦的长度，他们就能够求出边心距。与埃及人不同的是，他们还熟悉这样一个事实：一个半圆的内接角是直角，这个命题通常被称为“泰勒斯定理”，尽管泰勒斯是生活在巴比伦人开始使用这个定理1000多年之后的。要评估前希腊时期的数学对后来文明的影响并不容易，几何学中这个著名定理的张冠李戴，正是这一困难的表现。楔形文字软泥板的持久性，是来自其他文明的文献记录所不能望其项背的，因为纸草卷和羊皮纸并不是那么容易经受得住岁月的摧残。此外，直到基督纪元的前夕，楔形文字一直被用来记录文字资料，但是，它们曾经被邻近地区的文明（尤其是希腊文明）解读过么？早在基督纪元开始的6个世纪之前，数学发展的中心就从美索不达米亚流域转移到了希腊的世界，但是，对早期希腊数学的重现，因为下面这个事实而显得危机四伏：来自前希腊时期的数学文献实际上已经湮没无存。因此，重要的是：要牢记埃及数学和巴比伦数学的一般特性，这样才能够就前希腊时期的贡献与后来各民族的行动和态度之间，那些或许很明显的相似之处做出至少看似合理的推测。
美索不达米亚数学的不足
前希腊时期数学中的许多不足都相当明显。现存的纸草书和软泥板中仅仅只有特殊的例子和难题，而没有一般公式。你或许会心存疑问，这些早期文明是否真的就认识到了那些处于数学核心的统一法则呢？进一步的研究稍稍打消了这种疑虑，因为在那些楔形文字软泥板中有数以百计类似类型的难题，看来应该是一些练习，指望学生能够依照某些公认的方法和法则算出答案。尽管现存的文献中尚没有关于这些法则的陈述，但这并不必然意味着古代思想中就缺少对这些法则或原则的一般概括。如果基本上不存在法则，那些难题的相似性就很难解释。搜集数量如此庞大的类似难题，不可能是盲打误撞的结果。
或许，比起缺少对法则的明确陈述来，更为严重的是：在精确结果与近似结果之间缺少清晰的区分。那些实例表中对不规则六十进制数的遗漏，似乎暗示了对这种区分的某些认识，但无论是埃及人还是巴比伦人，每当应该精确地求出四边形（或圆）的面积，而他们仅仅只求出近似值的时候，似乎也没有产生过任何疑问。关于一个难题的可解或者不可解，似乎也不曾产生任何疑问，对证明性也未有过任何研究。“证明”这个词在不同的层面、不同的时代意味着各种不同的东西，因此，断言前希腊时期的人既缺乏证明的观念、也没有任何需要证明的感觉是很冒险的。有线索表明，这些人偶尔也知道，某些求面积与体积的方法，可以通过把它们化简为更简单的面积与体积问题而得到证明。此外，前希腊时期的书吏们还经常利用乘法来验证或“证明”他们所作的除法运算；偶尔，他们也通过一种检验答案正确性的代入法来验证他们的步骤。然而，没有来自前希腊时期的明确陈述显示需要证明的感觉，或者对逻辑法则问题的关注。缺乏这样的陈述，常常导致我们得出这样一个判断：前希腊文明没有真正的数学，尽管他们的技术水平明显很高。
批评家们也指出了埃及数学和巴比伦数学中抽象观念的缺失。正如我们已经看到的，那些文献中的语言似乎总是与具体的例子密切相关，不过这也可能是误解。在美索不达米亚人的难题集中，“长”和“宽”这些词，在很大程度上多半应该被解释为我们的x和y，因为这些楔形文字软泥板的作者们很可能已经从特例转向了一般抽象。否则的话，面积加以长度该如何解释呢？在埃及，表示量的单词，其用法也符合我们今天从中解读出的抽象解释。
对前希腊文明的评价，常常指向这样一个事实：并不存在一种清晰可辨的、具有统一特征的、类似于后来被打上“数学”这个标签的智力活动；但这里也很容易陷入过分的教条主义。有一点可能是真的，几何学尚未从空间经验（包括各种可以测量的事物）的粗糙模型中具体化出来；但是，在巴比伦人和埃及人对数字及其应用的关注中，我们不难看出某种非常接近于后来被称为代数的那种东西。
前希腊时期的文化，也被描述为彻头彻尾的功利主义，对于为数学而数学几乎没什么兴趣。这里所涉及的，也只是个判断问题，并没有什么无可辩驳的证据。当时，就像现在一样，绝大多数人的注意力都被直接的生存问题所占据。在古代的埃及和巴比伦，闲暇远比现在更为稀缺，但即使是面对这种不利条件，也依然存在一些带有消遣性数学标志的题目。如果一个题目要求的是猫的数量与谷子计量之和，或者是长度与面积之和，你恐怕不能不承认：这个捣蛋鬼要么是有点轻浮，要么对抽象观念有所体会。当然，前希腊时期的数学大多数是实用性的，但肯定并不全部都是。在延续了两千多年的计算实践中，古代书吏们的学校使用了大量的练习素材，多半，常常就像是轻松有趣的娱乐。
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(1)除了诺伊格鲍尔（1957）和范德瓦尔登（1963）的作品之外，还可以参看库尔特·沃格尔：《前希腊时期的数学》（Vorgriechische Mathematik）第一卷《巴比伦人的数学》（Die Mathematik der Babylonier，汉诺威，1959）。
(2)沃格尔在《前希腊时期的数学》中（第二卷，第37～41页）把这个数字以及这一栏中的其他数字解释为a2
／b² ，而不是c² ／b² ，也就是说，解释为tan² A，而不是sec² A。这两个函数之间的差始终是1，普林顿收藏322号左栏楔形符号大多已破损；但对这个边缘的细心检查似乎支持把这一栏解释为正割的平方，而不是正切的平方。
