塞索斯特里斯……在居民中对埃及的土地进行了分配。……如果河水冲走了一个人的份额中的任何部分……国王就会派人去调查，并通过测量确定准确的损失程度。……我想，正是由于这一实践，几何学才最早在埃及被人们所认识，再从那里传入了希腊。

——希罗多德

早期记录

习惯上，人们总是把人类的过去划分为年代和时期，特别是涉及到文化层次和特征。这样的划分是有益的，不过我们始终要记住：这些划分仅仅是为了我们的方便而凭空添加的一个框架而已，而且，它们所提出的时间分隔也并非无桥可渡的天堑。石器时代，是金属使用之前的一个漫长时期，它并不是突然走向终结的。事实上，代表这一时代终结的文明类型，在欧洲比在亚洲和非洲的某些地区要晚很多。以金属使用为特征的文明的兴起，最初是发生在诸如埃及、美索不达米亚、印度和中国等一些地方的江河流域。印度河与长江流域文明的编年记录，都很不可靠，但是，关于生活在尼罗河沿岸以及底格里斯河与幼发拉底河的“肥沃新月”地带的人民，却有相当可靠的资料可供利用。在公元前第4个千年结束之前，一种原始的书写形式在美索不达米亚与尼罗河流域开始使用。早期的象形文字记录，通过一个稳定的习俗化过程，发展成为一种简单符号的线性次序。在黏土充足的美索不达米亚，人们用硬笔把楔形标记压刻在软泥板上，这些软泥板放在炉窑里焙烤，或者在太阳下晒干。这种文字，因为其单个印痕的外形而称为“楔形文字”（来源于拉丁文单词cuneus：楔子）。楔形文字所传达的意义，由楔形印痕的图案或排列方式所决定。用楔形文字记录的文献，具有很高程度的耐久性，因此，有成千上万这样的软泥板从远古留存至今，其中的一些软泥板，可以追溯到大约4000年前。当然，其中只有很少一部分涉及到与数学有关的话题。此外，这些楔形文字泥板上的信息，也一直没人能够读出，因为这种书写符号没有被破译，直到大约100年前，事情才出现了转机。1870年代，当贝希斯敦石刻被发现的时候，对楔形文字的解读取得了重大进展，贝希斯敦石刻包含了对大流士战胜康比斯的三种文字报道，铭文是用波斯语、埃兰语和巴比伦语写成的。因此，波斯语的知识，为解读亚述语（一种与更古老的巴比伦语密切相关的语言）提供了一把钥匙。然而，即便是在这次重大发现之后，对包含数学内容的软泥板的破译和分析依然进展缓慢，直到20世纪过去了四分之一之后，人们对美索不达米亚人的数学文献的认识，才主要通过杜娄－当冉神父在法国以及奥托·诺伊格鲍尔在德国和美国的开拓性工作，而开始变得颇为可观了。

莫斯科纸草书的局部复制图（上图），显示了正方棱锥平截头体的体积问题，连同象形文字的翻译（下图）。

象形文字的符号

这一时期，埃及人的文字记录在一个方面要比巴比伦人的记录进展更大。三种文字的罗赛塔石碑，扮演着与贝希斯敦石刻类似的角色，它在1799年被拿破仑的远征军所发现。这块巨大的石碑，是在离亚历山大城不远的古代海港罗赛塔发现的，上面包含了一段用三种文字写成的信息：希腊文、俗文字和象形文字。法国人商博良和英国人托马斯·扬由于认识希腊文，在破译埃及象形文字（亦即“圣刻”）方面取得了迅速的进展。埃及的那些坟墓和纪念碑上的铭文，如今都能够读出来了，尽管这些仪式性的文献并不是关于数学观念的最好的材料来源。埃及象形文字的数字表示，轻而易举地被揭示出来了。其记数法（至少像金字塔一样古老，可以追溯到大约5000年前），正如我们可以预期的那样，是基于十进制的。通过使用一种简单的迭代法以及表示前6个10的整次幂的特殊符号，超过100万的数字被雕刻在石头、木块及其他材料上。垂直的一划表示一个最小的整数，一个倒置的小门或者踵骨被用来表示10一个有点类似于大写字母C的小鼓代表100，一朵荷花代表1 000，一根弯曲的手指代表10000，一条江鳕代表100000，一个跪着的小人（没准是“不死之神”吧）代表1000000。通过这些符号的重复，比如12345这个数字就是这个样子：更小的个位数字，有时候放在左边，有时候垂直地排列。这些符号本身，偶尔也反转过来，所以，那面小鼓的凸面既可以向左也可以向右。

埃及人的碑铭表明，他们很早就熟悉大数字。牛津的一家博物馆，有一根超过5000年的国王权杖，上面刻有120000名战俘和1422000头被俘山羊的记录(1) 。这些数字可能被夸大了，但从另外的考虑出发，有一点依然很清楚：埃及人在计算和测量上是相当精确的。金字塔就展示了他们在建筑和定位上有着相当高的精确度，以致围绕着这些金字塔，产生了很多荒诞不经的传说。比方说，有人提出，大金字塔（又称胡夫金字塔或基奥普斯金字塔）的周长与高度之比是故意设计为2π，但这明显与我们所知道的埃及人的几何学是矛盾的。尽管如此，金字塔及其内部通道的定向太精确，以致有人试图从北极星位置改变的比率来确定它们年龄。

埃及人很早就对天文学感兴趣，并观察到：尼罗河水每年的泛滥，就发生在天狼星在太阳前面的正东方升起之后不久。他们注意到，天狼星这样随太阳一起上升（洪水泛滥的先兆），每次相隔365天。据此，埃及人建立了一套很好的太阳历，由每年12个月、每月30天加上额外的5天节日组成。但这种历法年比实际的天文年要短四分之一天，因此，每隔四年，季节就要提前大约一天，直到经过大约1460年的周期之后，季节才再一次与历法合拍。通过罗马学者、《出生日》（De die natale，公元238年）一书的作者肯索里努斯，我们知道：公元139年历法是符合季节的，由此，通过向后推算可知：这个历法是在公元前4241年制定的，刚好比公元139年早3个周期。更精确的计算（基于每年并不完全等于3651/4天这个事实）把这个日期修改为公元前4228年；但另外一些学者觉得：倒推超过两个周期是没有根据的，因此提出这个起始时间应该在公元前2773年前后。

阿美斯纸草书

能够从墓碑和历法中推测出来的数学材料，其范围是有限的，如果我们只能依靠宗教仪式和天文学上的材料的话，埃及文献所提供的图景也极其粗略。数学远远不只是计算和测量，这两个方面通常以象形文字碑铭为特色。幸运的是，我们还有一些别的材料来源。有很多埃及纸草书，经过3500多年时间的摧残，竟莫名其妙地幸存了下来。其中数学性最广泛的是一个约1英尺高、18英尺长的纸草卷，如今保存在大英博物馆中（除了少量残片在布鲁克林博物馆之外）。那是由一位名叫亨利·莱因德的苏格兰文物收藏家在1858年前后从尼罗河畔的一个度假小城带到英国的；因此，它常常被称作“莱因德纸草书”，后来又被称作“阿美斯纸草书”，以纪念在公元前1650年前后亲手抄写这份文献的那位书吏。这位书吏告诉我们，这份材料的原件来自约公元前2000年至公元前1800年之间的“中央王国”，很可能，某些这方面的知识，是那位近乎传说中的建筑师和医师伊姆霍特普传给法老佐塞尔的，伊姆霍特普在大约5000年前监督建造了这位法老的金字塔。无论如何，埃及人的数学，在经过一个相当兴盛的开端之后，似乎停滞了大约2000年。

莱因德纸草书中的数字及其他材料，并不是用上面描述过的那种象形文字书写，而是以一种更适合使用笔墨在精制的纸草叶上书写的草书写成的，它称为hieratic（“圣体”，以区别于更晚的“俗体”）。记数法依然是十进制，但冗长繁复的象形文字记数法已经被引入记号或专用符号来表示个位数和10的多次幂所取代。例如，4通常不再使用4道垂直的笔画来表示，而是用一道水平的横杠表示；7也不再写成7道竖杠，而是写成一个类似镰刀的记号：在象形文字中，28这个数字看上去是这个样子：在象形文字中，28这个数字看上去是这个样子：注意：记号表示更小的个位数8（或者两个4），出现在左边而不是右边。记号化的法则，由埃及人在大约4000年前引入，并用在莱因德纸草书中，这是对记数法的一个重要贡献，也是使得我们今天使用的这一体系成为有效工具的重要因素之一。

单分数

石器时代的人用不着分数，但随着更高级的文明在青铜时代出现，对分数概念和分数符号的需要便已产生了。埃及人的象形文字碑铭中，就有表示单分数的特殊符号，所谓单分数，也就是以1作为分子的分数。任何整数的倒数，是通过下面的方法简单地表示：把一个拉长的椭圆形记号放置在表示整数的符号之上。因此，分数1/8看上去就是这个样子：而1/20则写作在那些纸草书里的圣体字符号中，拉长的椭圆形被一个小圆点所取代，这个小圆点放置在表示相应整数的记号之上。例如，在阿美斯纸草书中，分数1 8看上去就是这个样子：而1/20则写作在阿美斯时代，这样的单分数被运用得得心应手，但一般分数对埃及人来说似乎一直是个谜。他们对2/3感到轻松自在，对这个分数，他们用圣体字符号来表示；偶然，他们也用特殊的符号来表示n（／n＋1）这样形式的分数，它是单分数的补充。对于分数2/3，埃及人给它在算术过程中分派了一个特殊的角色，这样，要得到一个数字的三分之一，他们首先得到它的三分之二，然后再取其结果的一半！他们懂得并用上了下面这个事实：单分数1／p的三分之二，是两个单分数1／2p和1／6p之和；他们还知道：单分数1／2p的两倍，就是单分数1／p。然而，除了分数2/3之外，埃及人看来好像并不把m／n这样形式的一般有理真分数看作是一个基本“事物”，而是看作一个未完成过程的组成部分。今天我们认为3/5是一个既约分数，而埃及人则认为它是对三个单分数1/3、1/5和1/15之和的化简。为了使“混合”真分数约简为单分数之和变得更容易，莱因德纸草书以一张表开始，这张表把2／n（n为5到101之间的所有奇数值）表示为若干个单分数之和。2/3被表示为1/3和1/15；2/11写作1/6和1/66；2/15被表示为1/10和1/30。表中的最后一项，把2/101分解为1/101、1/202、1/303和1/606。为什么一种分解形式比另外的形式（可能有不确定的多个分解）更受青睐，这一点尚不清楚。曾经有人指出，2／n分解表中的某些项，可以通过下面的公式得到：

或者从下面的公式得到：

然而这两种方式都没法产生表中出现的2/15的组合。最近有人提出，在埃及人指定的大部分例子中，他们更喜欢选择那些从“自然”分数1/2、1/3和2/3通过连续等分而得出的分数。因此，如果一个人想把2/15表示成单分数之和的形式，他不妨从取1/15的一半开始，然后看是否可以给结果1/30加上一个单分数以构成2/15；或者，他也可以使用下面这个已知的关系式：

得出同样的结果：2/15＝1/10＋1/30。莱因德纸草书中特别提到的一个问题，就是得出三分之二个1/5的第二种方法，并断言，一个分数可以按同样的方式得出另外的分数。像这样一些段落表明：埃及人对于一般规则和方法（远不止手头这个特殊的例子）已经有了一些了解，这代表着数学发展的重要一步。对2/5的分解，等分的方法并不适用；但如果从1/5的三分之一开始，你就可以得出纸草书中所给出的分解：2/5＝1/3＋1/15。在2/7这个例子中，你可以对1/7使用两次等分的方法，从而得出结果：2/7＝1/4＋1/28；连续等分还可以得出阿美斯纸草书上的这样一个分解：2/13＝1/8＋1/52＋1/104。埃及人对等分与取三分之一的着迷，可以从2／n分解表的最后一项（n＝101）中看出，因为在我们看来，实在搞不懂为什么2／n＝1／n＋1／2n＋1／3n＋1／2·3·n这个分解就比1／n＋1／n更好。或许，分解2／n的目的之一，就是为了得到小于1／n的单分数吧。

算术运算

在阿美斯纸草书中，在2／n表之后，紧接是一个很短的n／10表（1≤n≤9）。分数再一次被表示为埃及人最喜爱的方式——单分数和分数2/3。例如，分数9/10被分解为1/30＋1/5＋2/3。阿美斯在他的著作中一开始就声称，它将提供一个“对一切事物…以及一切奥秘的知识的全面而彻底的研究。”因此，这份材料的主要部分（在2／n表和n／10表之后），包含了84个分类广泛的问题。其中前6个问题是要求在10个人当中分别分配1、2、6、7、8、9块面包，这位书吏用上了他刚给出的那个n／10表。在第一个问题中，阿美斯为了表明给每个人十分之一块面包是对的，从而陷入了相当大的麻烦。如果一个人得到了一块面包的1/10，两个人就会得到2/10或1/5块面包，4个人就会得到2/5或1/3＋1/15块面包。因此，8个人就会得到2/3＋2/15块或2/3＋1/15＋1/30块面包，而8个人加上两个人就会得到2/3＋1/5＋1/10＋1/30块或一整块面包。阿美斯似乎有一种跟我们的最小公倍数等价的东西，这使得他能够完成这种验证。在10个人分7块面包的问题中，这位书吏其实可以选择分给每个人1/2＋1/5块面包，然而，对2/3的偏爱导致他给每个人分了2/3＋1/30块面包。

在埃及，基本的算术运算是加法。我们的乘法和除法运算，在阿美斯时代是通过连续加倍（或者叫“双倍”）来执行的。我们的“乘法”这个单词（或者叫“多倍”），事实上暗示了埃及人的步骤。比方说，69乘以19的乘法运算可以这样来执行：69加上自己得138，再把这个数自加就得到276，再自加就得到552，再翻一倍就得到1104，当然，这个数是69的16倍。由于19＝16＋2＋1，因此69乘以19的结果就是1104＋138＋69，也就是1311。偶尔，也用到乘以10的乘法运算，因为这是十进制象形文字符号自然而然的伴随物。结合单分数的乘法运算，也是埃及数学的组成部分。例如，阿美斯纸草书中的第13题，就是求1/16＋1/112与1＋1/2＋1/4的乘积，正确的结果应该是1/8；除法则是把加倍的步骤反过来，除数（而不是被乘数）被连续加倍。埃及人在应用加倍过程和单分数概念上发展出了高超的技巧，这一点从阿美斯难题的计算中明显可以看出来。第70题是求100除以7＋1/2＋1/4＋1/8的商，结果12＋2/3＋1/42＋1/126是按照下面的方法得出的：连续加倍除数，首先得到15＋1/2＋1/4，然后得到31＋1/2，最后得到63，这是除数的8倍。此外，已知除数的三分之二是5＋1/4。因此，当除数乘以8＋4＋2/3时，得数应该是99 3/4，这个数比希望得到的乘积100要少1/4。于是，这里作出了一个很聪明的调整。由于除数的8倍是63，那么，当除数乘以2/63时就会得到1/4。从2／n表中可知：2/63等于1/42＋1/126，因此，要求的商就是12＋2/3＋1/42＋1/126。顺便提一句，这个过程用到了乘法中的交换法则，埃及人显然对此很熟悉。

阿美斯难题中，有许多题目显示了相当于“比例法”的比例运算知识。第72题是：已知100块面包等于10个单位的“力”，求45个单位的“力”等于多少块面包，给出的答案是100／10×45或450块面包。在那些面包和啤酒的题目中，“力”指的是谷物密度的倒数，是面包块数（或体积单位）除以谷物数量所得的商。面包和啤酒的问题在阿美斯纸草书中为数众多。例如，第63题就是要求在4个接受者中分配700块面包，条件是他们得到的面包数量要按照比例：2/3∶1/2∶1/3∶1/4。答案是通过得出700与比例关系中各分数之和的比值而得到的。在这个例子中，700除以13/4的商，是通过拿700乘以除数的倒数（这个数是1/2＋1/14）而得到的。结果是400；通过取这个数值的2/3、1/2、1/3、1/4，就得出了要求的面包份额。

代数题

到目前为止，我们所记述的埃及人的难题，绝大部分都应该归类为算术，但也有另外一些题目可以归为一类，对于这一类别，使用“代数”这个术语是恰当的。这些题目并不涉及特定的具体对象（诸如面包和啤酒之类），也不要求根据已知数字进行运算。它们所要求的，是x＋ax＝b或者x＋ax＋bx＝c这种形式的线性方程的解，这里，a、b和c都是已知的，而x则是未知的。这个未知数被称为aha（堆）。例如第24题，已知1堆加七分之一堆等于19，求堆的值。阿美斯纸草书中给出的解法，并不是现代教科书中的那种解法，而是一个典型的如今被称为“试位法”的过程。一个特殊值（很可能是个假值）被赋给了这个堆，等号左边的运算在这个假定值上执行，然后把运算结果与要求的结果进行比较，通过使用比例，就得出了正确答案。第24题中未知数的假定值被取为7，这样一来，x＋1/7x就等于8，而不是想要的结果19。由于8（2＋1/4＋1/8）＝19，你就必须拿7乘以2＋1/4＋1/8才能得到正确的堆值。阿美斯得出的答案是16＋1/2＋1/8。然后，阿美斯指出，如果你在16＋1/2＋1/8的基础上加上这个数的七分之一（这个值是2＋1/2＋1/8），果然可以得到19，他就这样“检验”了自己的结果。这里，我们看到了数学发展中重要的另一步，因为检验是证明的一个简单实例。尽管试位法在阿美斯那里得到了普遍的使用，但有一个难题（第30题），其中的x＋2/3x＋1/2x＋1/7x＝37，是通过对等号左边的式子做因式分解，然后用37除以1＋2/3＋1/2＋1/7，而得以解答的，其结果是：16＋1/56＋1/679＋1/776。阿美斯纸草书中的许多“aha”的计算，显然是供年轻学子们练习用的。尽管其中很大比例是实用性的题目，但在有些地方，这位书吏似乎也有一些纯粹的难题，或者说是数学上的智力消遣。第79题仅仅列举了“7幢房子，49只猫，343只耗子，2401颗谷穗，16807赫克特（古代容量单位）。”有人推测，这位书吏正在对付一个难题（或许相当著名）：题目中，每幢房子里有7只猫，每只猫吃掉7只耗子，每只耗子会吃掉7颗谷穗，每颗谷穗会产出7赫克特谷子。这个题目显然并非要求得出实际的答案（应该是求出节省了多少赫克特谷子），而应该是要求得出不切实际的房子、猫、耗子、谷穗以及谷子计量之和。阿美斯纸草书中的这点娱乐，似乎是我们熟悉的一首儿歌的先声：

在去圣伊夫斯的路上，

我遇到一个人带着七个妻子，

每个妻子带着七个麻布袋，

每个麻布袋里有七只猫，

每只猫带着七套用具，

用具、猫、麻布袋和妻子。

一共有多少去圣伊夫斯？

几何问题

希腊历史学家希罗多德告诉我们，边界线在尼罗河泛滥中的湮没，强化了对测量的需求。埃及那帮“拉绳子的人”，他们的高超技艺显然得到了德谟克利特的赞佩（他本人就是一位颇有造诣的数学家，也是原子理论的奠基人之一），而现在看来，他们的成就似乎被过高估计了，这部分程度上是由于金字塔建筑那令人赞叹的精确性。常有人说，古埃及人很熟悉毕达哥拉斯定理，但在流传下来的纸草书中，并没有这样的线索。尽管如此，阿美斯纸草书中也还是有一些几何题。阿美斯的第51题显示，等腰三角形的面积，可以通过下面的方法得到：取我们称之为“底”的那一边的一半，然后用这个得数乘以高。阿美斯这样证明了他这个求面积的方法是正确的：可以把等腰三角形看作是两个直角三角形，改变其中一个直角三角形的位置，这样就形成了一个矩形。等腰梯形在第52题中得到了类似的处理，在这道题中，一个梯形的下底是6，上底是4，两底之间的距离是20。取两底之和的一半，“这样就可以得到一个矩形”，阿美斯用这个结果乘以20，就得出了面积。在这样一些转换中（等腰三角形和等腰梯形被转换为矩形），我们看到了几何学中的全等理论和证明观念的肇始，但埃及人并没有把他们的工作带向更远。他们的几何学中有一个严重不足，这就是：在那些精确的关系和那些仅仅是近似值的关系之间缺乏清晰的区别。一张来自艾得夫的测量契约（鉴定年代比阿美斯纸草书大约要晚1500年），给出了三角形、梯形、矩形以及更普通的四边形的例子；求普通四边形面积的法则，就是取两组对边算术平均值的乘积。这个法则尽管不准确，但这份契约的作者却从中推导出了一个结论——三角形的面积等于两边之和的一半乘以第三边的一半。这是探索几何图形中的关系的一个惊人实例，也是把0的概念作为几何学中一个量值的替代物的早期应用。

埃及人求圆面积的法则，长期以来一直被视为那个时代最突出的成就之一。在第50题中，书吏阿美斯认为，以9个单位为直径的圆形区域的面积，与以8个单位为边长的正方形的面积是一样的。如果我们把这个假说与现代公式A＝πr2做个比较的话，埃及人的法则就相当于给π赋了一个大约为31/6的值，这是一个相当接近的近似值。但是，阿美斯是否知道他的圆面积和正方形面积并不完全相等呢？在这里我们再一次失去了任何线索。埃及人是如何得到他们求圆面积的方法呢？第48题很可能给出了一个线索：在这一题中，那位书吏把一个边长为9个单位的正方形的各边进行三等分，然后切掉四角的等腰三角形，从而得到了一个八边形，被切掉的每一个三角形，其面积均为41/2个单位。这个八边形的面积（这和那个正方形的内切圆的面积差别不是太大）是63个单位，这个结果，已经很接近边长为8的正方形的面积了。4（8／9）2 这个数字，的确扮演了一个与我们的常量π差堪比肩的角色，这一点，已被埃及人求圆周长的法则进一步证实。根据这个法则，圆的面积与周长之比，等同于其外切正方形的面积与周长之比。这个观察结论，描述了一种几何关系，它远比相对准确的π的近似值更为精确、更有数学意义。毕竟，无论是对于数学成就，还是建筑学成就，精确度都不是一个好的衡量标准，我们不应该过分强调埃及人工作的这一方面。另一方面，埃及人对几何图形内部关系的认识，又常常被我们忽视，然而，正是在这方面，他们的看法与他们的继承者希腊人最为接近。埃及人的数学，对定理和形式证明一无所知，但在尼罗河流域所作的一些几何比较，诸如对圆和正方形的周长和面积的比较，却是历史上关于曲线图形最早的准确阐述之一。

三角比

阿美斯纸草书中的第56题有着特殊的重要性，其中包含了三角学和相似三角形理论的基本原理。在金字塔的结构中，为其外表保持一个统一的斜面是必不可少的，可能正是因为这层关系，导致埃及人引入了一种类似于角的余切的概念。在现代技术中，习惯上通过垂直投影与水平投影的长度之比来测量一条直线的陡度。在埃及，则习惯使用这个比例的倒数。Seqt（陡度）这个词的意思是：一条斜线沿纵轴方向在高度上每改变一个单位其水平偏差的值。因此，seqt就相当于今天的建筑师们用来描述石墙或桥墩的内斜面的batter（向后倾斜）。垂直长度单位是“肘”，但在度量水平距离的时候，所使用的单位却是“手”，1肘等于7手。因此，金字塔表面的陡度就是水平投影与垂直投影的长度之比。在第56题中，已知一个金字塔的垂直高度是250肘，塔的底部是一个边长为360肘的正方形，求这个金字塔的陡度。那位书吏先是用360除以2，然后再用所得的商除以250，得到的结果是：1/2＋1/5＋1/50肘。再拿这个结果乘以7，这样就得出了金字塔的陡度是每肘51/25手。在阿美斯纸草书中的另外一些金字塔问题中，陡度的结果是51/4，这个结果更接近于基奥普斯金字塔的陡度：宽440肘，高280肘，陡度为每肘51/2手。

关于大金字塔（胡夫金字塔）的尺寸中的几何关系，流传着许许多多故事，其中有一些显然是假的。比如，据说塔的底部周长设计为正好等于以塔高为半径的圆的周长，但这个故事并不符合阿美斯的著作。它周长与高的比，的确非常接近于44/7，这个值也正好是我们今天常常用来表示π的22/7的两倍；但我们应该还记得，阿美斯给π定的值约为31/6，而不是31/7。阿美斯的这个值也为其他的埃及人所用，这一点，为第十二王朝的一份纸草卷（卡洪纸草书，现藏伦敦）所证实，在这份纸草卷中，圆柱的体积是通过底面积乘高得到的，而这个底面积，就是根据阿美斯的法则测定的。

莫斯科纸草书

图2.1

我们关于埃及数学的很多信息，都是从莱因德纸草书（或称阿美斯纸草书）中得来的，这是一份来自古埃及的内容最广泛的数学文献；但也还有其他的材料来源。除了上面提到的卡洪纸草书之外，还有一卷出自同一时期的柏林纸草书，两块大约公元前2000年出自艾赫米姆（开罗）的木质牌匾，一份包含单分数表、出自更晚的希克索斯时期的羊皮卷，以及一份重要的纸草书，即称为戈兰尼采夫纸草书或莫斯科纸草书，是1893年在埃及买到的。莫斯科纸草书的长度，与阿美斯纸草书大致相当——约18英尺，但在宽度上只有后者的四分之一，约3英寸。这份纸草书是第十二王朝（约公元前1890年）的一位不知名的书吏写成的，写得没有阿美斯纸草书那么细致。它的内容包含35个例子，大多数来自于实际生活，除了两个特别重要的例子之外，与阿美斯的那些题目并无大的不同。莫斯科纸草书中的第14题涉及的是一个看上去像等腰梯形的图形（图2.1），但与之相关的计算却表明：这应该是一个正方形金字塔的平截体。图形的上方和下方分别是表示2和4的符号，图形内部是两个代表6和56的圣体字符号。旁边的说明很清楚地要求一个高为6个单位、上底和下底分别为2和4的正方形金字塔的平截体的体积。这位书吏指示我们，先分别求出2和4的平方，然后求出这两个平方与2和4的乘积之和，结果是28。然后，再把这个结果乘以6的三分之一；这位书吏最后以这句话作结：“瞧，它就是56，你正确地求出了这个值。”换句话说，这个平截体的体积是按照现代公式V＝h（a2 ＋ab＋b2）／3计算出来的，式中，h是高，a和b是两个正方形底的边长。尽管埃及人并没有写出这个公式，但大体上，他们显然是知道的。如果取b＝0（正像艾赫米姆契约中所做的那样），这个公式就可以简化成我们熟悉的公式：底乘高的三分之一，这正是求金字塔体积的公式。埃及人是如何得出这些结果的呢，这一点谁也不知道。埃及人求金字塔体积的法则来源于实际经验是有可能的，但求平截体体积的法则恐怕不是这样。因为后者似乎更有可能是一种理论基础，有人指出，埃及人在这里可能继续像他们在等腰三角形和等腰梯形中所做的那样——他们可能在思想中把这个平截体分割成了平行六面体、棱柱体和棱椎体。在用相等的矩形块取代棱椎体和棱柱体的基础上，一个似乎合理的块组合导致了埃及人的公式。比如，你可以从一个这样的棱椎体开始：它以正方形为底，并且顶点位于此正方形的一个顶点的正上方。平截体的一个显而易见的分解就是把它分解成图2.2中的那四个部分：一个体积为b2 h的长方体、两个体积均为b（a－b）h／2的三棱柱，和一个体积为（a－b）2 h／3的棱椎体。那两个三棱柱可以组合为一个长、宽、高分别为b、a－b和h的长方体，那个棱椎体可以被看作是一个长、宽、高分别为a－b、a－b和h／3的长方体，在切分最高的两个长方体以便使得所有长方体的高都等于h／3之后，你就可以很容易把这些长方块排列成三层，每一层的高都等于h／3，横截面的面积分别是a2、ab和b2。

图　2.2

莫斯科纸草书中的第10题，提出了一个比14题更难的解释问题。在这道题中，那位书吏要我们求的，是一个直径为41/2的看上去像篮筐似的东西的表面积。他继续就像使用公式

得出的答案是32个单位。由于

是埃及人表示π／4的近似值，所以32这个答案与直径为41/2的半球体的表面积是一致的；而这是一个1930年给出的解释(2) 。这个结果，比人们最早知道半球体表面积的计算方法要早大约1500年，这实在令人惊讶，简直难以置信。后来的分析(3) 表明，这个“篮筐”可能是一个屋顶——有点像一个直径为41/2、长度为41/2半球形活动房屋的屋顶。这个例子中的计算，并不需要任何超出半圆形弧长的知识；原文的含混不清，使得它可以允许人们提出更原始的解释，包括谷仓圆屋顶这样的解释。但不管怎样，我们还是从这个例子中得到了一个关于曲面表面积的早期看法。

埃及数学的不足

许多年来，一直有人认为，希腊人从埃及人那里学到了几何学的基本原理，而且，亚里士多德坚持认为，几何学产生于尼罗河谷，是因为那里的僧侣有闲暇发展理论知识。希腊人从埃及人那里借用了一些基础数学，这是可能的，因为单分数的使用在希腊和罗马一直持续到了中世纪，但很显然，他们夸大了他们受惠的程度。现存的埃及纸草书中所显示出的知识，大多数是实用性的，而且，计算是这些问题中的主要元素，在看上去似乎有些理论因素的地方，其目的也多半是为了技术上的便利，而不是为了方便理解。即便是曾经被吹嘘得天花乱坠的埃及几何学，其所产生的也主要是应用算术的一个分支。涉及到最基本的全等关系的地方，其动机似乎也是为了提供测量的技术方法，而不是为了获得洞察力。计算的法则很少得到推动，他们只关心具体的特例。阿美斯纸草书和莫斯科纸草书（这是我们两份主要的材料来源），多半只是为学生们编写的手册，但它们仍然显示了埃及数学教育的方向和趋势；纪念碑上的铭文，其他一些数学纸草书的碎片，以及涉及科学领域的文献，提供了更多的证据，可以进一步证实这个普遍印象。诚然，我们这两份主要的数学纸草书，都是来自一个相对较早的时期（比希腊数学的产生要早1000年），但埃及数学在其漫长的历史中似乎不同寻常地保持着一成不变。在所有阶段它都是围绕着加法运算来发展的，这是一个劣势，它赋予了埃及人的计算以一种罕见的原始性，这种原始性有时候结合着令人惊讶的复杂性。肥沃富饶的尼罗河谷，一直被描述为世界最大沙漠中的最大绿洲。被一条最绅士派头的河流所灌溉，地理上的天然屏障保护着一片辽阔区域免遭外人入侵，对于那些在很大程度上追求平静安宁、与世无争的生活方式的爱好和平的人民来说，这里就是天堂。对仁慈神祗的爱，对传统的尊重，以及对死亡的专注和死者的需要，这一切，助长了一种高度的停滞。几何学或许的确是尼罗河的恩赐，正像希罗多德所相信的那样，但埃及人用这样的天赋所做的事情却很少。阿美斯的数学，既是他祖先的数学，也是他后代的数学。要想看到更进步的数学成就，你必须把目光转向那片更加动荡不宁的江河流域，人们把这里称作美索不达米亚。

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(1)J.E.奎贝尔：《希拉康波利斯》（Hierakonpolis，伦敦，1900）。尤其参见图版26B。

(2)参见W.W.斯特鲁维：莫斯科国家美术博物馆的数学纸草书，载《数学史的材料与研究》（Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik）第一卷（1930）第A部分。

(3)关于反对的观点，参见范德瓦尔登，1963，第34页，以及吉林斯，1972。

《数学史》第2章 埃及

《数学史》第2章　埃及