一个更强有力的形式系统

如果有一个善于思考的人来批评哥德尔的证明，那末他可能采取的一项行动就是检查该证明的一般性。比方说，这样的一位批评者有可能怀疑哥德尔只是机智地抓住了一个有利条件：在TNT这个具体的形式系统中隐藏有某种缺陷。如果真是这样，那或许就能搞出一个比TNT高明的形式系统，其中不再会有什么东西落入哥德尔的圈套，从而就能使哥德尔定理大减其色。在这一章里，我们就要仔细审查TNT的一些性质，它们使TNT在上一章的那些讨论面前显得是个极其脆弱的系统。

一个很自然的想法是：如果TNT的根本麻烦在于它有一个“漏洞”——换句话说，是有一个不可判定的句子，也就是G——那何不直接把这个漏洞补上呢？何不将G添加到TNT中作为第六条公理呢？当然，与其它公理相比，G是个庞然大物，于是所得到的系统——TNT＋G——也就因其各公理之间的不协调而显得颇为滑稽。但不管怎么说，添加G仍不失为一条合理的建议。我们就这样做做看，希望新的系统真是个高明的系统——它不但没有超自然的东西，而且还是完全的。自然，至少在这样一个方面TNT+G要比TNT强：符号串G在新系统内不再是不可判定的了，因为它是定理。

TNT的弱点何在？本质上就在于它能表示自指陈述——具体说，就是陈述

“我在形式系统TNT中不可证”。

或者，说详细一点：

“没有一个自然数与本符号串的哥德尔数形成TNT征明对。”

有没有什么理由可以期待TNT+G不再会受到哥德尔证明的打击呢？实在没有。我们的新系统和TNT具有同样的表示能力。而由于哥德尔的证明主要是依赖于形式系统的表示能力，所以要是看到新系统也俯首就范，那也不值得大惊小怪。技巧在于找一个表示下面这个陈述的符号串：

“我在形式系统TNT+G中不可证”

其实，这里没有多少技巧，只要你已弄清对TNT是怎么做的就行了。所用的都是同样的原理，只是上下文稍有改变而已（打个比方来说，就像我们把一支熟悉的曲子重唱一遍，但音调高了八度）。和前面一样，我们要找的符号串——就称之为“G'”吧——是由一个“服”号串做中介而构造出来的。不过不再是以表示TNT证明对的那个公式为基础，而是建立在与之类似但稍微复杂的TNT+G证明对概念之上。TNT+G证明对概念只是先前的TNT证明对概念的一个轻微的扩充。

可以想象，WJU系统也能做类似的扩充。我们已经知道WJU证明对的纯朴形式。现在，如果把WU加进去作第二条公理，我们就要讨论一个新系统——WJU+WU系统。扩充后的系统的一个推导是：

WU　公理

WUU　规则2

存在一个与之对应的WJU+WU证明对——即m=30300，n=300。当然，这个数对并不形成WJU证明对——它是WJU+WU证明对。加入额外的公理并没有从本质上使证明对的算术性质变复杂。有关证明对的那个意义深远的事实——“是证明对”是原始递归的——依然保持不变。

再用哥德尔方法

现在回过头来看TNT+G，我们会发现类似的情形。TNT＋G证明对与其前身一样，是原始递归的，从而可以在TNT+G内用一个公式来体现，我们用一种显而易见的方式把它缩写成

(TNT+G)-PROOF-PAIR{a,a'}

此后，只需把每件事都重做一遍。我们制造新版的G时仍从一个“服”号串出发，同过去一样：

~∃a:a'＜(TNT+G)-PROOF-PAIR{a,a'}∧ARITHMOQUINE{a",a'}＞

称它的哥德尔数为u'。于是我们就来㧟摁这个“服”号串，得到G'：

其解释为

“不存在一个数a能与u，的算术㧟摁化形成（TNT+G）证明对”。

说简洁一点，就是

“我在形式系统TNT+G中不可证”。

多重分叉现象

哎（打哈欠），这以后的细节就是很乏味的了。G'对于TNT＋G就像G对原来的TNT一样。可以看出，无论是G'还是~G'，都可以加进TNT+G，从而导致数论的进一步分裂。而且，你别以为这种事只会对“好伙伴”发生，这种偷偷摸摸的手段也能用于TNT＋~G——即添加~G而得到的TNT的非标准扩充。于是我们看到（图75）数论中有着多层次的分叉现象：

图75．TNT的“多重分叉现象”

TNT的每个扩充都有它自己的哥德尔句子，可以把这个句子或其否定添加进去，使得从TNT的每个扩充都生出一对进一步的扩充。这是一个直到无穷的过程。

当然，这个图还只是开始部分。我们来设想，沿着这棵倒长的树的最左边的枝走下去，每次都是把相应的哥德尔句子（而不是其否定）塞进去。这是摆脱超自然数的最好办法。加进G之后再加G'，然后加G"，然后G"'，等等，每做一次，我们就得到TNT的一个新的扩充。由于它会遭到乌龟方法——哦，请原谅，我指的是哥德尔方法——的打击，于是就会产生出一个新的符号串，其解释为

“我在形式系统X中不可证”。

自然，过上一会，这整个的过程就变成按步就班的例行公事了。真是，所有的“漏洞”都是用同一种技巧造出来的！这意味着，把它们视为印符对象时，它们全都是从一个模子铸出来的，而这又意味着用一条公理模式就足以把它们全体现出来！如果真是这样，何不一下子把全部的漏洞都堵死呢？何不一劳永逸地解除这种不完全性的麻烦呢？在TNT中添加一条模式，而不是每次加一条公理，就能完成这个任务。具体说，这个公理模式就是铸出G、G'、G"、G"'、……的模子。加上这个公理模式（称为Gω，我们就能击破“哥德尔化”方法。确实，看起来似乎是很清楚的，把Gω加进TNT应是把所有的数论真理壳全公理化时所需步骤中的最后一步。

在《对位藏头诗》中就已经接近这一点：乌龟说螃蟹发明了“唱机欧米伽”。然而，这种装置的命运如何，读者仍会挂念。因为还没等把话讲完，精疲力竭的乌龟就决定还是回家睡觉为好（但他却是在抛出有关哥德尔定理的一个闪烁其词的介绍之后才去睡觉的）。现在，我们终于能有空搞清这些悬而未决的细节了……读了《生日大合唱哇哇哇乌阿乌阿乌阿……》，读者也许已经受到了一点启发。

本质不完全性

你可能已经猜到了，即使是这么个有关TNT的异乎寻常的进展，也要遭到同样的厄运。

而且，它之所以在劫难逃，从本质上讲，仍是由于同一原因。这个公理模式并不足够强，因而仍能实施哥德尔的构造过程。我们来详细说说（事实上应比我在这里说的严格得多）。如果有一种方法能从一个印符模子铸出各符号串G、G'、G"、G"'……那也就会有一种方法能从一个算术模子描述其相应的哥德尔数。而且，对一个无穷数类的这种算术刻划可以在TNT+Gω内用一个公式“OMEGA-AXIOM{a}”来体现，该公式的解释是“a是出自Gω的一条公理的哥德尔数”。当把a换成一个具体数字时，所得到的公式是TNT+Gω的定理，当且仅当此数字表示了出自该模式的一条公理的哥德尔数。

借助这个新公式，就可以在TNT+Gω内部体现诸如“TNT+Gω证明对”这类更为复杂的概念：

(TNT＋Gω)-PROOF-PAIR{a,a'}

有了这个公式，我们就可以构造一个新的“服”号串并用现在已彻底搞熟的方法来算术㧟摁它，从而再得到一个不可判定的符号串，称之为“TNT＋Gω＋1”。此刻你可能会奇怪：“Gω＋1为什么不会是公理模式Gω＋1生成的一条公理呢？”答案是：Gω还没聪明到能预见它自己可以嵌入到数论内部去。

在《对位藏头诗》中，乌龟制造“不能播放的唱片”时所采取的一个关键步骤，是搞到他预谋破坏的那台唱机的一份设计图。这是为了搞清哪种震颤能击中它的弱点，然后再把这种震颤录进他的唱片，使音槽记有能导致这种震颤的声音。这与哥德尔的手段极为相似。按照哥德尔的手段，一个系统本身的一些性质在证明对概念之内得到了反映，然后再针对它来使用这些性质。任何一个系统，不管多复杂，多不好把握，都能进行哥德尔配数，因而就能定义证明对的概念——以子之矛，攻子之盾。只要一个系统是良定义的，即“理顺了”，它就变得脆弱了。

对于0，1之间的每个良定义的实数列，都能利用康托尔对角线手段找到一个遗漏的实数，这种对角线手段可以贴切地说明上面的原则。正是“明晰地排列”这一举动——实数们“梳理详毕”——导致了垮台。我们来看看康托尔对角线手段怎么就能一遍又一遍地反复使用。从某个数列L出发，做下面的事情，看看会怎么样：

（1a）对数列L，构造出它的对角线数d。

（1b）找个位置把d插进数列L，得到新的数列L＋d。

（2a）对数列L＋d，构造它的对角线数d'。

（2b）找个位置把d'插进数列L＋d，得到新的数列L＋d＋d'

看来，这种逐步的过程是弥补L的笨办法，因为在当初给定L之后，我们可以一下子作出全部的d、d'、d"、d'"……可是，你要是以为作出这个数列就能补全你的实数列，那就错了。当你问：“把这个对角线数列并到L内的什么地方？”这时候麻烦就出来了。无论你设计出何等聪明的方案在L内安放这些对角线数，一旦你做好了，得到的新数列就仍有弱点。如上所说，正是“明晰地排列”这一举动——实数们“梳理完毕”——导致了垮台。

对形式系统的来说，正是给出一个明确的处方这一举动——原以为它刻划了数论真理——导致了不完全性。这就是TNT+Gω的症结所在。一旦你把全部的G都以一种界说良好的方法加入TNT，那就会看到还有其它的G——某个没预见到的G——是你的公理模式捕捉不到的。而在《对位藏头诗》中的龟蟹之战里，一旦确定了唱机的“体系结构”，这台唱机可能就没指望了。

怎么办呢？这是看不到尽头的。即便是扩充无穷多次，TNT也不能完全。所以说，TNT患的是本质不完全症，因为不完全性是TNT的基本组成部分，是TNT本性的一个基本成分，不管你使用笨拙的方法还是灵巧的方法，都无法根除。而且，这个问题会纠缠住数论的任何一种形式化版本，无论是TNT的扩充，还是TNT的修正，抑或能代替TNT的其它什么系统，都是一样。事实情况是：在一个给定的系统中，是否可能利用哥德尔的自指方法构造一个不可判定的符号串，依赖于三个基本条件：

⑴．该系统要足够丰富，以便全部所需要的有关数的陈述，无论真假，都能在其中表示。（做不到这一点，就意味着形式系统从一开始就弱得不能与TNT匹配，因为它连TNT能表示的那些数论概念都表示不了。借用《对位藏头诗》来比喻，就好像我们根本没有唱机，倒有个冰箱或其他种类的什么东西。）

⑵．所有的一般递归关系都能用该系统中的公式体现。（做不到这一点，就意味着该系统不能用定理来把握一般递归的真理。这种系统要试图去产生数论的全部真理，那只能看作是肚皮挨拍的跳水——倒是挺感人。用《对位藏头诗》来比喻，就好像虽然有一台唱机，但其保真度很低。）

⑶．公理以及根据该系统的规则所确定的印符模式，都能通过某个有终止的过程来辨认。（做不到这一点，就意味着无法区分该系统中的有效推导和无效推导——因而该“形式系统”根本就不是形式化的，更谈不上良定义的了。用《对位藏头诗》来比喻，这只不过是一台仍在制图板上，只设计了一部分的唱机。）

满足了这三个条件，就保证每个一致的系统都不完全，因为哥德尔的构造能得以实施。

引人入胜的事情是，任何这样的系统都在自身挖了洞：系统本身的丰富性使它自己垮了台。由于该系统强得能有自指句子，这种垮台现象就不可避免。在物理学中，像铀这类的裂变物质有“临界质量”这样的概念。一块固态物质，如果其质量小于临界质量，它就呆在那里平安无事，可一旦超过临界质量，这块东西就会经历链式反应，发生爆炸。我们的形式系统好像也有一个类似的临界点。在临界点之下，系统“无害”，但距形式地定义算术真理却相去甚远；一旦超过临界点，它就立即获得自指能力，从而也就注定它自己不完全。那么，什么时候一个系统会具有上面三个性质？界限是模糊的。只要获得了这种自指能力，该系统就有了一个为其自身所特制的漏洞。这个漏洞注意到该系统的特征，并针对该系统来利用这些特征。

卢卡斯式的非难

哥德尔的论证的这种扰乱神智的可重复性，已经成为很多人——尤其是卢卡斯——的作战武器，想以此来说明人类智能具有某种难以捉摸、不可言状的特点。因此“机械自动机”——也就是计算机——无法达到人类智能。卢卡斯的文章《心智、机器与哥德尔》是这样开头的：

“依我看，哥德尔定理证明了机械论是错的，也就是说，心智不能解释为机器。”

接下来，他作了一番论证，意思是说，要认为一台计算机具有和人一样的智能，它就得能够完成人所能做的每一项智能工作。现在卢卡斯宣称没有一部计算机能做人所能做的那种“哥德尔化过程”（这是他开玩笑用的一个不正规的术语）。为什么呢？好，随便考察一个具体的形式化系统，比方说TNT或者TNT+G，甚至也可以是TNT+Gω。我们可以轻松地写出有条理地生成该系统定理的计算机程序，而且，按这种方式最终能把事先选定的任何一条定理都打印出来。也就是说，这个生成定理的程序不会跳过定理“空间”的任何一块地盘。这样的程序由两个主要部分组成：（1）给定某些公理模式的“模子”（如果有这种东西的话）的情况下，可以公理标出来的一个子程序；（2）利用已知的定理（当然包括公理在内）和推理规则生成新定理的子程序。主程序就是让两个子程序交替运行。

我们可以用拟人化的语言，说该程序“知道”某些数论事实——也就是说，它知道它打印出来的那些事实。如果有一个真的数论事实打印不出来，那它自然就不“知道”这一事实。因此，要是能说明人确实知道程序不能知道的某些事情，那计算机程序与人相比就等而次之了。这就是卢卡斯的出发点。他说，对任何一个强如TNT的系统——因而究竟是哪个系统是不重要的——我们人类总能实施哥德尔手段，所以我们总比它知道得多。这样听起来好像只是一场有关形式系统的争辩，不过稍加修改之后，似乎就变成反驳人工智能终会重现人类水平的智能的一个战无不胜的论证了。其要点是：

刻板的内部编码完全控制了计算机和机器人，于是……

计算机同构于形式系统，那么……任何一台想要和我们一样聪明的计算机就必须能对数论做我们能做的事，所以……

除其它事情之外，它必须能完成原始递归算术，而正因为如此……

它就很容易上哥德尔的“钓钩”，这就意味着……

由于我们的人类智能，我们能编造出一个数论语句，它是真的，但计算机对该语句的真实性却视而不见（也就是说，永远打印不出来），其原因恰恰在于哥德尔那种“自食恶果”的论证。

这意味着有那么一件事是必定不能给计算机编上程序来做的，而我们却能做。所以我们要更聪明一些。

让我们和卢卡斯一道来享受一会人类至上论的荣耀吧：

无论我们构造出多么复杂的机器，只要它是机器，就都对应于一个形式系统。接着就能找到一个在该系统内不可证的公式而使之受到哥德尔过程的打击。机器不能保持着真理性地把这个公式产生出来，尽管人类心智会看出它是真的。因而这部机器仍然不是心智的一个够格的模型。我们总是力图制造心智的一种模型，它是机械的——从本质上讲是“死”的——而心智事实上是“活”的，它总能比任何形式的、僵死的系统干得好些。幸亏哥德尔定理，永远是心智说最后一句话。

乍一看——而且就是仔细分析一遍大概也一样——卢卡斯论证似乎无可辩驳。这引起了某种两极分化的反应。某些人就把它当成灵魂存在性的一个近乎宗教式的证明，而另一些人则嘲笑说它不值一评。我认为它不对，但却又十分迷人，所以——而且十分——值得花点时间去驳斥它。事实上，它也是推动我思考本书内容的早期动力之一。我打算在本章中用一种方法反驳它，而在第十七章中再用另一种方法来反驳。

我们必须设法更深刻地理解卢卡斯为什么会说不可能编出程序来使计算机“知道”得和我们一样多。从根本上讲，其思想就在于我们总是处于系统之外，从外面我们总能实施“哥德尔化”运算，以得到程序无法从内部看到的某种真的东西。可是，为什么不能把“哥德尔化算子”（按卢卡斯的叫法）作为第三个主要成分编到程序中去呢？卢卡斯解释说：

用以构造哥德尔公式的那个过程是个标准过程——因而就能确保对每个形式系统都能构造出一个哥德尔公式。可既然它是个标准过程，那也就能编出程序使一台机器能实施之……而这又对应着存在一个具有一条附加推理规则的系统，使我们能把原系统的哥德尔公式作为一条定理加进去，然后又把这个新的、强化了的形式系统的哥德尔公式加进去，如此下去。这相当于在原先的形式系统中加进一个无穷的公理序列，即加进逐次得到的每个系统的哥德尔公式……我们或许会期望，有一个心智在面对着这台拥有哥德尔化算子的机器时，把这一点也考虑到了，然后对新的机器、哥德尔化算子、以及一切的一切再来个哥德尔化。事实上，已经证明的确如此。即使我们把由各个哥德尔公式所组成的那个无穷公理集加进该系统，所得到的系统仍是不完全的，仍会含有一个在该系统内不可证的公式，而一个有理性的人站在该系统之外时却能看出它是真的。我们已经料到这一点，因为即使加进一个无穷的公理集，它们也得靠某种有穷的规则或规格来指明，而这种进一步的规则或规格也会被心智在考察扩大了的形式系统时考虑进去。在某种意义上，恰是由于心智说最后一句话，所以它总能从任何一个被当作它自己工作的模型的形式系统中挖出一个洞。从某种角度看，机械模型必定是有穷的、确定的，所以人的心智总能做得更好。

跳高一维

图76．龙

艾舍尔作（木刻，1952）

艾舍尔提供的一个形象画面对于支持这里的直观极有用处：那就是他的作品《龙》（图76）。这幅画最突出的特点——自然也是它的主题——是一条咬着自己尾巴的龙。这里具有全部的哥德尔内涵。不过，这幅画还有更深一层的主题，艾舍尔本人曾写了下述很有意思的注释。第一条注释说的是他的一组素描，它们全与“平面和空间的冲突”有关，第二条注释是专门讲龙的。

Ⅰ．我们所在的三维空间是我们所知道的唯一的现实世界，二维空间就像四维空间一样完全是虚构的，因为没有什么东西是平的，哪怕是磨得最光的镜子。不过，我们仍然认为一堵墙或一张纸是平面，而且——说起来也怪——就像人们自古以来所做的那样，我们仍将继续由于这种像墙和纸那样的平的表面而对空间产生错觉。画上几条线，然后宣布：“这是房子。”这的确有点荒谬。这种奇特的情形就是下面五幅画（包括《龙》在内）的主题。

Ⅱ．不管这条龙多么想变成空间的形象，它仍然是呆在平面上。印着龙的这张纸上有两处切口，它们折起来露出了两个方孔。可这条龙是个顽强的家伙，它不顾自己的二维性，坚持认为它具有三维性，于是把头伸出其中一个孔，把尾巴伸出另外一个孔。

这第二条注释很能说明问题。其要点是，不管你多么聪明地想在二维中模拟三维，总要遗漏某些“三维的本质”。这条龙极力想挣脱他的二维性，无视自己画在其上的那张纸是二维的，把头伸了出来。然而自始至终，我们站在画外却可以看到这完全是可悲而徒劳的。因为，龙也好，孔也好，折起来也好，统统不过是这些概念在二维空间中的模拟，没有一个是真的。然而龙却走不出它的二维空间，因而不能像我们一样知道这一点。事实上，我们还可以把艾舍尔的画里所表述的想法无限地做下去。例如，我们可以把它从书上撕下，叠起来，在上面剪个洞，再从洞里把它掏过来，为把这团东西变成二维的，我们再给它照相。对照片，我们还可以施用同样的手法。每一次，只要是最后又变到二维的——不论我们以为已经多么巧妙地在二维空间中模拟了三维空间——它就又得遭到切开，再叠起的厄运。

现在，借用艾舍尔的这个极好的隐喻，我们回过头来看看程序与人的对垒。我们谈过打算把“哥德尔算子”装进程序自身的事情。那好，即使我们已经写出了一个执行这一运算的程序，这个程序仍然抓不住哥德尔方法的实质。因为再一次地，我们在系统外面还能用它自己做不到的办法来“将死”它。可是，这样一来，我们还是在与卢卡斯辩论吗？还是在反对他吗？

智能系统的限度

是在反对。正是由于我们无法写出执行“哥德尔化”的程序这样一个事实，才使我们多少有点怀疑我们自己是不是真能在一切情形下都能运用哥德尔手法。抽象地论证“能做”哥德尔化是一回事，具体搞清在每种情形下究竟该如何做又是一回事。事实上，随着形式系统（或程序）的复杂性逐步升级，我们自己做哥德尔化的能力最终也会开始动摇。因为，如我们前面说过的，毕竟没有任何算法手段能描述如何去施行它。如果我们没有办法明确地说出在所有的情形下使用哥德尔方法会遇到些什么，那末对我们每个人来讲，最后都会碰到复杂得简直无法搞清该如何下手的情形。

自然，人的能力的这种分界线总有些说不清楚，就像一个人到底能从地上提起多重的东西这个界限一样。某一天你可能提不起250斤的东西，可另一天可能又提得起。不过不管怎么说，总不会有一天你能提起250吨重的东西。按照这样一种意义，尽管每个人哥德尔化的界限是模糊的，但对任何一个人，都存在一个系统是大大超出他的哥德尔化能力的。

在《生日大合唱哇乌阿乌阿……》中直观地说明过这种想法。一开始，看上去很明显，乌龟想要纠缠阿基里斯多久就能纠缠多久。而后来阿基里斯则试图一举概括全部答案。这是和前面做出的任何反应都截然不同的一招，从而得到一个新名字“ω”。这个名字的新颖性十分重要。它是不得不超出老的命名方案——那只包括了全体自然数的名字——的第一个例子。此后就得到某些进一步的扩充，其中一些扩充的名字颇为淸楚，而另一些则相当玄妙。不过，我们最终再一次用光了名字，这时我们把这些答案模式

ω、ωω、ꪣ

全部集结为一个复杂得难以想象的答案模式。给它起个全新的名字，叫“ε0”。之所以需要一个新名字，是因为采取了一类全新的步骤——遇到了某种不规则性。所以必须要提出一个特定的新名字。

不存在给序数命名的递归规则

现在，你可能会冒出一个想法：在从序数到序数（我们用“序数”指称那些无穷量的名字）这一进程中，那些不规则性可以由一个计算机程序来处理。也就是说，可以有一个程序按某种规则的方法来产生新的名字，而在它力不从心的时候，则乞灵于能提供新名字的“非规则性处理器”，然后再回到那个简单程序上。但这样还是不行。结果会是：这些不规则性本身也是按一种不规则的方式发生的。所以我们还得有一个二阶程序——也就是说，要有一个生产那些制造新名字的程序的程序。即使如此，也仍然不够，最终还得要一个三阶程序。如此下去，再如此下去。

这种也许看上去颇为荒唐的复杂性，完全出自阿朗佐·丘奇和斯蒂芬·克利尼关于这些“无穷序数”的结构的一条深刻的定理：

不存在能给每个构造性序数命名的递归相关的标号系统。

什么是“递归相关的标号系统”，什么是“构造性序数”，我们只得留待技术性更强的资料——如哈特利·罗杰斯的著作——去解释。不过，直观的想法已经给出了。随着序数越来越大，就有不规则性和不规则性中的不规则性，以及不规则性中的不规则性中的不规则性，等等。任何一个方案，无论它多复杂，都不能给所有的这种序数命名。由此可知，没有一个算法型的方法能说清如何对所有种类的形式系统使用哥德尔方法。除非我们固执得不可理喻，我们只能承认任何一个人都必将在某一点上达到他自己作哥德尔化能力的极限。超过这一点之后，具有这种复杂性的形式系统尽管由于哥德尔的理由是不完全的，但却会和人一样强有力。

对卢卡斯的其它反驳

这不过是反驳卢卡斯立场的一种方法。还有一些方法可能更为有力，我们后面将会谈到。不过，这里的这个驳论特别会使人感兴趣，因为它提出了试图创造一个能够走出自身、完全从外部观察自己、并对自己使用哥德尔手段的计算机程序的想法。当然，这就像一台唱机能播放会导致自己崩溃的唱片一样，是不可能的。

不过，不应该因为这个理由而认为TNT有缺陷。如果什么地方出了毛病，也一定不是在TNT内，而是由于我们对它所能做的事情期望过高。此外，认清下面这一点是有好处的：我们同样很容易受到被哥德尔移植到数学形式主义中的文字圈套的打击：那就是说谎者悖论。这一点由怀特利巧妙地指了出来。他提出了一个句子：“卢卡斯不能前后一致地断定本句子。”如果你想一下这句话，那就会看出：（1）它是真的，以及（2）卢卡斯不能前后一致地断定它。所以，对于世界上的真理而言，卢卡斯也是不完全的。他大脑组织中反映世界的方法使他不能既是前后一致的，同时又能断定那个真句子。不过卢卡斯也并不比我们中的任何一个人更脆弱。他和一个老练的形式系统是一个数量级的。

搞清卢卡斯论证中的错误的一个有趣方法，是把它翻译成男人和女人之间的一场较量……从前有那么一天，思想家卢克思在游历的途中，碰见了一个不认识的东西——一个女人。这样的东西他以前从未见过。由于她与自己很相似，他感到非常激动，而此时这种相似性也使她有点恐慌。他冲着周围的男人们喊道：“瞧！我能看见她的脸，而这是她做不到的事——所以女人决不会和我一样！”这样，他就证明了男人比女人优越，变得轻松多了（而他的男同胞也都放下心来）。顺便插一句，同样的论述也能证明卢克思比其他所有的男人也都优越——可他并没有对他们指明这一点。那个女人转过身来争辩说：“对，你能看见我的脸，这我做不到——但我能看见你的脸，这件事你也做不到！我们打平手。”然而，卢克思却提出一个出人意料的反驳：“很遗憾，如果你以为你能‘看见’我的脸，那就错了。你们女人所做的事情与我们男人并不一样。正如我已经指出的，你们是低能的，因而不配用同一个名称。你可以称之为‘妇见’。你能‘妇见’我的脸，这并不说明问题，因为情况并不对称。懂了吗？”“我妇懂了”，那个女人“妇答”道，然后就“妇走”了……

是的，这是一种鸵鸟式的论点。可你要是也确信在这场智力竞赛中男人们和女人们永远跑在计算机前面，那你就不得不这样看问题。

超越自我——一个现代的神话

仔细想一想我们人类是否能跳出自身——或者是，计算机程序是否能跳出自身——仍是极为引人入胜的。当然，程序有可能自己修改自己——不过这种可修改性必须首先是该程序中固有的部分，所以不能算做“跳出系统”的例子。不论一个程序怎样迂回曲折地来到自己外面，它仍然遵循自身的固有规则。对程序来说，逃脱的可能性并不比一个活人决计不服从物理定律的可能性更大。物理定律是个强制系统，什么也逃不掉。然而一个不那么宏大的抱负是可能实现的，那就是：一个人当然可以从他的大脑的一个子系统跳到一个更宽广的子系统中去。我们偶而也能打破常规。不过这仍然属于人的大脑中各个子系统之间的相互作用，只不过会觉得它很像是完全走出了自身。与此类似，完全可以想象把部分“走出自身”的能力嵌入一个计算机程序。

无论如何，弄清楚“感知自身”和“超越自身”之间的区别是很重要的。你可以用各种各样的方法来看到自己——用镜子、用照片或电影、用录像带、靠别人的描绘、采用精神分析法等等，但你决不可能冲破皮肤站到自己外面来（这里不谈那些现代神秘运动和流行的“超心理学”流派）。TNT能够谈论自身，但不能跳出自身。一个计算机程序可以修改自己，但不能违背自身的指令——充其量也只能通过服从自身的指令来改变自己的某些部分。这倒使人想起一个幽默的悖论问题：“上帝能不能造出一块他自己举不动的石头？”

广告和框架手法

这种跳出系统的愿望到处可见。在艺术、音乐及人类其它事业的发展过程中，都有它的踪迹。就连制作广播电视广告这类不足称道的行业里，也有它的存在。欧文·高夫曼在他的著作《框架分析》中出色地领悟和描绘了这种潜在的趋向：

例如，一位著名的专业演员做完了一个广告，摄影机还在对着他，他就明显地做出解除了任务的样子，沉浸于享用他刚刚宣传的那种产品的实际快乐之中。

当然，这只是在制作电视和广播广告时利用框架手法的一个例子。这种表面上的自然而然能克服（他们这么希望）观众中蔓延着的冷漠性。于是就常常会有儿童的声音，以期造成一种似乎是未经训练印象；利用街上的噪音和其他一些效果，以期造成被访问者并不领取酬金的印象；错了的开始、不时停顿、插科打浑、以及重叠的话语，给人造成现场谈话的假象；另外，按维勒斯的方法：打断一个企业单调重复的广告而报告该企业推出新产品的消息，偶尔也插入公众所感兴趣的简短通讯。这种作法似乎可以保持现代观众的信任。

观众越是退而把一些次要的细节当作检验标准，广告商就追得越紧。结果就是一种相互污染，一种杂乱无章。这种现象同时也在被政治家的公共关系顾问以及微观社会学传播着（后者稍好一些）。

这样，我们又有了另一个逐步升级的“龟蟹之战”的例子——这次是事实和广告对垒。

辛普利奇奥、萨尔维亚蒂、萨哲杜：为什么要三个？

跳出系统的问题与追求完全的客观性之间，有一个引人入胜的联系。我在读尧奇的《量子是实在的吗？》中的四段对话（基于伽利略的四段《关于两种新科学的对话》）的时候，发现自己搞不清为什么要有三个角色出场：辛普利奇奥、萨尔维亚蒂和萨哲杜。只有辛普利奇奥这位受过教育的傻瓜和萨尔维亚蒂这位学识渊博的思想家两个人为什么就不行呢？萨哲杜有什么用处？是的，他被当作中立的第三派，不偏不倚地掂量两边的份量，作出“公平的”、“无偏见的”裁决。看起来很公正，可还有一个问题：萨哲杜总是赞成萨尔维亚蒂而从不赞成辛普利奇奥。人格化的客观性怎么变成了人的好恶了呢？当然，一种答案就是：萨尔维亚蒂在阐述正确观点，所以萨哲杜没有选择的余地。可是，公平性和“机会均等”又在哪儿呢？

由于增加了萨哲杜，伽利略（以及尧奇）就把牌洗得对辛普利奇奥多一些不利，而不是少一些。也许需要增加一个更高层次的萨哲杜——他对这整个环境都是客观的……你可以看到这会导致什么。我们将得到一个“客观性逐步升级”的无终点序列，它有着“决不会比第一层更客观”这样一个吸引人的性质：在第一层上，萨尔维亚蒂就是对的，而辛普利奇奥是错的。所以，疑难点仍在于：为什么增加萨哲杜？答案是：就某种直观感染力而言，这种做法造成了走出该系统的错觉。

禅宗和“走出”

在禅宗里，我们也能看到这种对超出系统的概念的神往。例如那个洞山告诉弟子们“佛性上人是非佛”的公案。也许，超越自我乃是禅宗的中心主题。禅宗门人总是企图更深刻地了解他自己是怎么回事，靠的就是逐步走出他所看到的自己，并打破那些他领悟到是在束缚自己的清规戒律——当然，也包括禅宗本身的那些清规戒律。沿着这条难以捉摸的路线下去，也许到某一处就顿悟了。在任何情形（如我见到的那样），希望都在于：通过逐步加深一个人的自我意识，逐渐扩展“该系统”的范围，他最终将会感到与整个宇宙相一致。

安德森编的卢卡斯文，第43页。

安德森编的卢卡斯文，第48页。

安德森编的卢卡斯文，第48-49页。

艾舍尔，《艾舍尔版画集》[The Graphic Work of M. C. Escher]，纽约；Meridian Press, 1967年版，第21页。

艾舍尔，《艾舍尔版画集》[The Graphic Work of M. C. Escher]，纽约；Meridian Press, 1967年版，第22页。

高夫曼，《框架分析》，第475页。

一位烟民富于启发性的思想

阿基里斯应邀来到螃蟹的家里。

阿基里斯：我发现比我上次来这儿时你又添了些新东西，老蟹。你那幅新弄到的画尤其引人注目。

螃蟹：谢谢。有些画家我很喜欢——特别是雷内·马格里特。我所拥有的画中大部分都是他作的。他是最对我口味的艺术家。

阿基里斯：我得说它们的造形都挺有趣。马格里特的这些画中有许多地方都使我想起最对我口味的画家艾舍尔的作品。

螃蟹：这一点我也能看得出来。马格里特和艾舍尔在表现悖理的和虚幻的世界时，都运用十分写实的手法，两个人在运用视觉形象以唤起观众的情感方面都具有很准确的感觉能力，而且——他们作品的爱好者们常常忽视这一点，就是他们都具有对优美线条的感受力。

阿基里斯：不过，他们彼此之间还是有很大不同的。我不知道怎么描述这种区别。

螃蟹：细致入微地比较这两个人一定非常引人入胜。

阿基里斯：我认为，马格里特对现实的把握是惊人的。比如那儿挂着的那幅画吧，画面上有一棵树，树后面还有一支巨大的烟斗，画得太迷人了。

图77．影子

马格里特作（1966）

螃蟹：你是想说一只大小正常的烟斗和它前面的一棵微型树吗？

阿基里斯：哦，是这样，我看错了？嗯，不管怎么说，我第一眼看见它时，就觉得闻到了烟斗发出的烟味儿！你想象得出我有多荒唐吗？

螃蟹：我能理解。我的客人们经常被它骗住了。

（他一边说着，一边过去伸手把画中的烟斗从树后拿出，然后翻过来，在桌上磕了磕，房间里马上充满了烟味儿。他开始往里面装新的烟丝。）

这是只很不错的旧烟斗，阿基。信不信由你，我总爱往烟丝里掺点稻草，这样抽起来味道更好。

阿基里斯：掺稻草！真的吗！

螃蟹：（拿出一盒火柴，点上烟斗）你想尝尝吗，阿基？

阿基里斯：不，谢谢。我只是偶尔吸吸雪茄。

螃蟹：没问题！雪茄我这儿也有！（把手伸向马格里特的另一幅画，画面上一辆自行车放在一支点燃的雪茄上。）

图78．优雅状态

马格里特作（1959）

阿基里斯：噢——不，谢谢，现在还不想抽。

螃蟹：你随便。我这人可是个不可救药的烟鬼。这倒叫我想起来——你无疑知道老巴赫有用烟斗吸烟的嗜好？

阿基里斯：我想不大起来了。

螃蟹：老巴赫喜欢作诗、玄想、吸烟，还喜欢作曲演奏（当然喜好程度不一定是这么个顺序）。他把这四者弄进一首不太高明的诗里，然后还为它谱了曲。这写在他为妻子安娜·马达莱娜所保存的那本著名的音乐笔记本里，它的题目是

一位烟民富于启发性的思想

我拿起烟斗装满叶烟，

吞云吐雾以消磨时间，

人在那儿坐着，却溜走了思想——

它飘向一幅图画，晦黯而忧伤：

那画告诉我这是多么相像：

我和这烟斗简直就是一样。

这喷香溢郁的烟斗同我相仿，

都不过是尘芥不过是土壤；

我最终也要归为尘灰。

烟斗落地，没等听到声响，

就已经拦腰摔断，不幸遭殃；

相同的命运我也将承当。

洁白的烟斗没有污斑，

从未玷染，从未弄脏。

可总有一天会命归无常，

在草地下掩埋这副皮囊；

我的肉体将变黑，一副腌ꪡ相，

就像这烟斗，若是它使用得经常。

当烟斗被点燃，闪耀着火光，

瞧，它们立刻就冒出青烟袅袅飘荡；

轻烟散进空气，无处寻访，

烟斗里便只剩有灰烬留藏。

虚名也将消泯，正同那青烟一样，

而躯体最终只不过化作土壤。

吸烟时这种事也发生得经常：

架上的塞烟器不翼而飞，给你添忙，

这下你只好上手，虽然不很便当，

可手指伸进烟锅，难免要被烫伤。

既然烟斗里都有痛苦伏藏，

地狱里的痛苦将会何其难当！

由对烟斗的沉思，导向了别的玄想，

沉溺在格致冥思中，

也有益于身心的健康；

这样吞云吐雾，心中着实舒畅，

因此无论在国内、国外、在陆地或海洋，

我都要一边抽我的烟斗，一边坚定对上帝的信仰。

这种哲学倒是满有意思的，不是吗？

阿基里斯：的确是。老巴赫是舞文弄墨的一把好手。

螃蟹：你正好说出了我要说的话。其实我这辈子也曾写过一些打油诗，可我担心我的诗鄙陋不中雅听。我没有这种遣词炼句的本领。

阿基里斯：哦，哪里，老蟹。你——我怎么说呢——论俏皮、戏谑样样都有。要是你能给我唱一支你的歌，老蟹，我将感到不胜荣幸。

螃蟹：太抬举我了。我给你放一张我的唱片怎么样？我记不得它是什么时候灌制的了。歌的名字是“云俦梅友”。

阿基里斯：太有诗味了！是首山水诗吧？

（螃蟹从他的架子上拿下一张唱片，走到一架庞大而复杂的机器面前，把它打开之后，将唱片放入一个看上去怪吓人的机械嘴里。突然，一道绿色的亮光扫过唱片的表面，过了一会儿，那唱片就悄没声地闪进那架古怪机器的肚子里的什么地方去了。又过了一会，才传出了螃蟹的歌声。）

舞文弄墨的一把好手，

论俏皮、戏谑样样都有。

诗到最后他有点疏漏，

似乎留有一点缺口，

我的意思是不知所云。

阿基里斯：好极啦！不过，有一处我不太满意。在我看来，诗到最后你有点疏漏——

螃蟹：似乎留有一点缺口？

阿基里斯：不——我的意思是韵脚没有。

螃蟹：也许你对。

阿基里斯：除了这一点之外，这是首很好的诗。可我得说更叫我着迷的是这台异常复杂的怪家伙。这是台超大型号的唱机吗？

螃蟹：哦，不是，远不止这么简单。这是我那架吞龟唱机。

阿基里斯：天呐！

螃蟹：嗯，我不是说它能吞吃乌龟，但是它能嚼啐龟兄制造的唱片。

阿基里斯：哦，这还不那么吓人。这就是不久前你跟龟兄那场奇特的音乐战的一部分吗？

螃蟹：也可以这么说。让我给你详细讲讲吧。龟兄鬼极了，他几乎可以摧毁我能弄到的任何一架唱机。

阿基里斯：不过我最后一次听到你们俩的较量时，我记得你好像最后弄到一种打不败的唱机——一种带有内隐电视摄像机和微484型计算机这一类东西的机器，它可以自行拆卸，然后重新组装成不能被摧毁的结构。

螃蟹：呜乎哀哉！我的设计失败了。龟兄利用了被我忽略的一个细节：那个控制着拆卸和组装的机构在整个过程中是要保持不变的。这就是说，很显然，它没法儿把它自己拆开或组装，所以它始终原样不动。

阿基里斯：对，可这会怎么样呢？

螃蟹：哦，这样一来就完蛋了！龟兄就完全把攻击点对准了那个机构。

阿基里斯：怎么？

螃蟹：就是说他只要制造这样一张唱片就行了：这张唱片能引起那个始终保持不动的结构——拆卸-组装机构——产生致命的颤动，这样一来……

阿基里斯：噢，我明白了——够狡猾的。

螃蟹：没错儿，我也这么想。他的方法还真奏效了。可是，你知道，这回他不是一次成功的。这台唱机在遭受了他第一次进攻之后，并没有被损坏。当时我以为在这场斗智中我终于嬴了。我那时真有点乐不可支。可当他又一次带着一副冷峻的表情到我这里来的时候，我意识到这回是来者不善。我把他的新唱片放到我那架唱机转盘上。我们俩都急切地瞧着电脑控制的机构仔细检查着唱片上的纹线，然后拿下唱片，拆散唱机，又用一种完全不同的方式重新把它组装好，再次放上唱片——再缓缓地把唱针放到最靠外的纹线上。

阿基里斯：乖乖！

螃蟹：唱机刚一出声，就听轰隆一声，响彻全屋！整个机器都震散架啦，那个组装-拆卸器损坏得尤其厉害。这时我终于痛苦地意识到乌龟总是能把攻击目标对准系统的那个阿基里斯脚跟——噢，我是说它的致命弱点。

阿基里斯：真要我的命！你一定非常沮丧吧。

螃蟹：是啊，我一时绝望极了。不过，幸运的是这个故事到这里并没有结束。这件事的一个结果是我从中得出了很有益的教训，让我来说给你听。在乌龟的建议下，我浏览了一本稀奇古怪的书，里面穿插有好多奇特的对话，那些对话涉及了许多学科，有分子生物学、赋格曲、禅宗等等五花八门的玩艺儿。

阿基里斯：说不定是个疯子写的呢。书名是什么？

螃蟹：要是我记得不错，书名是《金、银、铜——聚宝藏之精华》。

阿基里斯：哦，龟兄跟我说起过。是他的一个朋友写的，听说那人对各种材料制成的怪圈很着迷。

螃蟹：我想知道这是他的哪位朋友——不管怎么说。在其中的一篇对话里，我还看到一些富于启发性的思想，涉及烟草花叶病毒、核糖体，以及其它一些我闻所未闻的东西。

阿基里斯：烟草花叶病毒是什么玩艺儿？核糖体呢？

螃蟹：我说不清楚，因为一讲到生物学，我就全傻了。我所知道的只是对话里讲到的那一点儿，那篇对话里说烟草花叶病毒是一种卷烟形状的、能使烟草生病的小东西。

图79．烟草花叶病毒

选自莱宁格[A, Leninger]，《生物化学》[Biochemistry]，纽约：Worth Publishers，1976年版

阿基里斯：生癌吗？

螃蟹：不，不完全一样，而是——

阿基里斯：难道烟草自己吸烟，得了癌症？正好！

螃蟹：我看你太着急下结论了。阿基。烟草不吸这些“卷烟”。是那些脏乎乎的小“卷烟”来进攻它们，不请自来。

阿基里斯：我明白了。嗯，我现在知道烟草花叶病毒是怎么回事了。那么核糖体呢？

螃蟹：核糖体显然是一种细胞里的东西，可以把某一形式的信息转换成另一种形式的信息。

阿基里斯：有点像微型录音机或唱机什么的，是吗？

螃蟹：作为比喻来说是像。让我感兴趣的是有个活宝在一句话里提到了这样一个事实：同烟草花叶病毒和其它一些稀奇古怪的生物结构一样，核糖体也具有“自发地自组装”这种不可思议的能力。这就是那家伙的原话。

阿基里斯：这是他那些鬼话里一句，是吧。

螃蟹：这也正是那篇对话里另一个角色的看法。不过这是对那句话的蠢解释。

（螃蟹又往烟斗里添了一点稻草末，然后深吸了儿口烟斗，一口口地把烟喷到空气中。）

阿基里斯：嗯，“自发地自组装”是什么意思？

螃蟹：意思是当某个位于细胞内的生物单位分解时，它们可以自发地把它们自己再组装起来——用不着被别的单位来控制。那些部分只要凑在一起——疾！——就粘在一块儿了。

阿基里斯：像魔术似的。要是普通型号的唱机也有这种本事该多好！我是说，既然一部像核糖体这样的微型“唱机”能有这种功能，为什么大一点儿的就不行呢？这样你就能制造出一架不能被摧毁的唱机了，对吗？无论什么时候它被拆散，都能再自行组合起来。

螃蟹：我正是这么想的。我急不可耐地给我的制造商写了一封信，向他解释了自组装的设想，问他能不能给我制造一架可以自行拆散，并能够自发地组装成另一种形式的唱机。

阿基里斯：造这么一个玩艺可太劳神了！

螃蟹：的确，主要是太劳财神了，因为几个月以后，他写信时不仅告诉我他终于成功了，还送来了一张金额巨大的帐单。在这样一个好天里，嘿！我那了不起的自组装唱机终于寄来啦，我信心十足地给龟兄打电话，邀他过来检验检验我这完备的唱机。

阿基里斯：我们眼前这台大家伙一定就是你说的那台吧。

螃蟹：恐怕不是，阿基。

阿基里斯：是不是它又给——

螃蟹：我的老朋友，你所担心的正是事实。我不想自命我明白事情的原因。描述当时的情景真太叫人伤心了。眼巴巴地瞧着电线啦、碎片啦乱七八糟地摊了一地，还这儿一股那儿一股地冒着烟——啊，我——

阿基里斯：啊，啊，老蟹，别太想不开。

螃蟹：我倒没什么，只是这一次次的太快了。哼，龟兄开始还幸灾乐祸，最后他看我是真伤心了，于是就同情起我来了。他为了安慰我，就解释说这是理应如此的事，谁也没办法——说这跟什么人的什么“定理”有关，不过那定理我一个字也记不得了，只记得好像叫什么“疙瘩定理”。

阿基里斯：我怀疑这就是他以前跟我说起过的“哥德尔定理”……是有那么点不祥的色彩。

螃蟹：也许吧，我记不起了。

阿基里斯：我向你保证，老蟹，我听你这个故事时是非常同情你的处境的。真太叫人伤心了。不过，你提到过什么稻草的事，请跟我说说，是怎么回事？

螃蟹：噢，对——是有根救命稻草。嗯，我最后终于放弃了寻求“完备的”唱机的念头，而是决定进一步完善对乌龟的唱片的抵制。我抛开了那种能播放一切唱片的唱机的奢望，而是想要一种能避免破坏、能够保存下来的唱机：一种能避免被摧毁的唱机——即使这意味着它只能播放少数一些特殊的唱片。

阿基里斯：于是你就决定以牺牲掉能重现所有可能的声响这一功能为代价，制造一种复杂的反乌龟的机器，对吗？

螃蟹：嗯……说不上我“决定”。更严格地说，是我被迫如此。

阿基里斯：对，我明白你的意思。

螃蟹：我的新设想是不让任何“异己的”唱片在我的唱机上播放。我知道我自己的唱片是不会对我的机器有损害的，所以如果我不让别的唱片混进来，我就能保住我的唱机，用它来欣赏我灌制的唱片。

阿基里斯：这一策略对你的目标很合适。我们眼前这个庞然大物就是你刚才说的那种想法的产物吧？

螃蟹：是的。龟兄自然也认识到他也必须改变策略。他现在的主要目的就是要搞出一种能混过我的检查的唱片来——这是种新挑战啊！

阿基里斯：作为你，你打算怎么排除他或别人的“异己的”唱片呢？

螃蟹：你保证不把我的计划透露给龟兄吗？

阿基里斯：以龟格担保。

螃蟹：什么？

阿基里斯：哦——别担心，这是我从龟兄那儿学来的话——我发誓坚守秘密。

螃蟹：那好吧。我的基本方案是使用标识技术。我的每一张唱片上都有一个秘密标记。现在你面前的这台唱机跟以前那几台一样，都装有一部检验唱片的电视摄像机，这种检验器上配有一台计算机，负责处理那些由检验得到的数据，并控制相应的操作。我打算嚼碎所有那些设有正确标记的唱片。

阿基里斯：哈，报复他一下！不过我觉得你的方案很容易被挫败。龟兄只要搞到一张你的唱片，复制下那标记，你就没咒念了。

螃蟹：没那么简单，阿基。谁告诉你他能从唱片的非播放状态中知道那个标记的？事情比你想的要复杂哩。

阿基里斯：你是不是说标记跟播放出的音乐是掺在一起的？

螃蟹：正是。但是有办法把它们分解开。这需要从视觉上将那种数据从唱片中抽取出来，然后——

阿基里斯：那种明亮的绿光就是干这个用的，是吗？

螃蟹：对。那是电视摄像机在检查音纹。音纹格式被送到微型电脑里，由它来分析我放进去的唱片的音乐风格——这一切都是无声地进行的。这时不播放唱片。

阿基里斯：是不是有一个甄别过程，将风格不合适的唱片排除掉？

螃蟹：你说对了，阿基。能通过这第二道检查的唱片就只有同我那些唱片风格一样的唱片了——龟兄要摹仿这些简直就是不可能的。所以我坚信我一定能打赢这场新的音乐战。不过，我得说龟兄也同样相信他会混过我的检查。

阿基里斯：最后把这巨大的机器震成碎片？

螃蟹：哦——不，这种结局他已经用事实验证过了。他现在只是想证明不管我采取什么措施，他都能——用一张对我的唱机无害的唱片——溜过我的检查。我听他嘴里不停地嘀嘀咕咕，总是提到一首歌曲，那歌曲的名字挺古怪，叫什么“我可以在唱机X上被播放”。可他吓唬不了我！唯一叫我有些担心的是他似乎同以前一样，又有些什么晦涩的观点，那些观点……（他陷入沉默中，随后，吸了几口烟斗，一脸深思熟虑的样子。）

阿基里斯：哼……我看龟兄那方面有无法克服的困难。他终于碰到对手了！

螃蟹：原来你也这么想……我想你不知道汉肯定理的来龙去脉吧！

阿基里斯：知道谁的定理的来龙去脉？我从没听到过这类事。我相信那一定很吸引人，可我更想多听一些有关“唱片设法混入唱机”的事。这小故事引人入胜呐。其实我都可以说出结局了。显然，龟兄没有找出混进去的突破口，于是只好乖乖认输，就这么回事，不是吗？

螃蟹：至少我是希望这样。你想看看我这台防御式唱机的内部情况吗？

阿基里斯：当然想。我一直想瞧瞧那架电视摄像机。

螃蟹：说干就干，老朋友。（把手伸进那台巨大的唱机张着的“大嘴”里，揿下两个按钮，拿出一台包装整齐的仪器。）瞧，整个仪器是由一个个独立的模块组成的，可以分别卸下来独立使用。比如这部电视摄像机就能良好地独立工作。看着那边的屏幕，画有燃烧的大号那幅画的下面的那个屏幕。（他将摄像机对着阿基里斯，阿基里斯的脸立刻出现在大屏幕上。）

阿基里斯：天哪！我可以试试吗？

螃蟹：当然可以。

阿基里斯：（将摄像机对着螃蟹）你上屏幕了，老蟹。

螃蟹：是啊。

阿基里斯：我要把摄像机对着画有燃烧的大号的那幅画。它现在也在屏幕上啦！

图80．漂亮的俘虏

马格里特作（1947）

螃蟹：摄像机可以移近移远，阿基。你试试。

阿基里斯：太妙了！让我先对准那些紧挨着画框的火焰……真是不可思议，它能在屏幕上瞬间“复制”出屋里的任何东西——任何我想摄进的东西。我只须把摄像机对准它，像变魔术一样，它立刻就会跳上屏幕。

螃蟹：屋里的任何东西吗，阿基？

阿基里斯：只要是看得见的任何东西，很显然。

螃蟹：要是你把摄像机对准电视屏幕上的火焰，那会怎么样？

（阿基里斯调转摄像机，用它对准正播放有火焰的电视屏幕。）

阿基里斯：太有趣了！这样一来火焰就从屏幕上消失了！它们哪儿去了？

螃蟹：你无法在移动了摄像机时还让屏幕上保持原来的形象。

阿基里斯：我明白了……可我一点也看不懂现在屏幕上是什么！它看上去像一条长长的奇怪的走廊。可我没有把摄像机对着什么走廊啊？我只是把它对着一个普通的电视屏幕。

螃蟹：看仔细些，阿基。你真的看到一条走廊吗？

阿基里斯：啊哈，我现在明白了。那是一组叠套在一起的电视屏幕，一个比一个小……没错儿！火焰的形象早没了，因为我的摄像机不再指向那幅画了。当我把摄像机对着屏幕时，屏幕上就出现了屏幕，包含着屏幕的屏幕上有什么，被包含的屏幕上也就有什么——而被包含的屏幕上只有屏幕，因此被包含的屏幕上有什么，被被包含的屏幕所包含的屏幕上也就有什么——而被被包含的屏幕所包含的屏幕上只有屏幕，因此——

图81．十二个自噬的电视屏幕

如果13不是个素数的话，我会再加上一个的。

螃蟹：我想我也能顺着说下去了，阿基。你干嘛不试试旋转旋转摄像机？

阿基里斯：哦！我得到了一根螺旋的走廊！每个屏幕都与它的外框屏幕拧成一定角度，屏幕越小，与最外面的屏幕拧的角度就越大。这种让电视屏幕“自噬”的想法太奇特了。

螃蟹：你说的“自噬”一词是什么意思，阿基？

阿基里斯：我用“自噬”一词是指我把摄像机对准屏幕——或对准屏幕的一部分这一操作，这就是“自噬”，也就是自己吞掉自己。

螃蟹：要是我要求你再说得详细点，你不会不同意吧。我有点叫这个概念给迷住了。

阿基里斯：我也一样。

螃蟹：那好吧。要是你把摄像机对准屏幕的一角，那还算是你说的“自噬”吗？

阿基里斯：让我试试看。哎——屏幕的走廊好像跑到外边去了。这下就没有无穷的叠套了。它挺好看的，可我觉得它不具备“自噬”的因素。它是一种“不成功的自噬”。

螃蟹：要是你把电视摄像机转回屏幕的中心部位，也许你又能把它定住了……

阿基里斯（小心而缓慢地转动摄像机）：对！走廊变得越来越长啦……瞧啊，完全变回来啦。顺着它一直看下去，能看到它在远处消失了。当摄像机整个儿摄进屏幕时，走廊就又变成无限的了。嗯——这叫我想起不久前龟兄对我说，一个句子要是谈论整个自己，就会出现自指……

螃蟹：什么？请再说一遍。

阿基里斯：没什么——我是在自言自语。

（当阿基里斯摆弄起摄像机的镜头和其它控制装置时，屏幕上就出现了前所未有的，花样繁多的“自噬”图像：形似星系的旋转螺线，变化万端的花状图形和其它一些各式各样的图形……）

螃蟹：你好像玩得挺起劲儿。

阿基里斯（从摄像机那儿转回身来）：是的！这么一个简单的办法能弄出多少图像啊！（他又转回头盯着屏幕，脸上掠过一丝惊诧的神情。）哎呀，老蟹！屏幕上出现了一种跳动的花瓣状图形！这种跳动是怎么产生的？电视机是静止的，摄像机也没动呀。螃蟹：偶而你也可以弄出些在时间中有变化的图形。这是由于在摄像机“看到”什么东西和把它显示在屏幕上这两者之间时间上稍有先后之差，这是由线路造成的，这个时间差大约是百分之一秒。所以要是你弄出一个由五十个环像组成的套叠，其时间差大约就要有半秒。要是把某种活动的东西弄进屏幕——比方说，把你的手指放到摄像机前，那么，就得过一会儿才能在套得更深一些的屏幕上“把它找出来”。这种时间延宕反映到整个系统，就形成了某种视觉“回声”。如果创造出一种条件，使得这种回声不消逝，就会形成跳动的图形。

阿基里斯：太了不起啦！你说，要是我们试试弄出一个全自噬会怎么样？

螃蟹：你是什么意思？说得明白些。

阿基里斯：嗯，我是觉得这种屏幕里面有屏幕的东西非常有趣，可我更想得到一幅里面有这部电视摄像机以及这个屏幕的图像，让它显现到这个屏幕上。那样我才能真正使一个系统自噬其自身。因为这个屏幕仅仅是这整个系统的一部分。

螃蟹：我明白你的意思了。也许你能利用镜子获得你所要的效果。

（螃蟹递给他一面镜子，阿基里斯操纵镜子和摄像机，使得摄像机和屏幕都显现在屏幕上。）

阿基里斯：瞧！我创造出了完全的自噬！

螃蟹：我觉得只有镜子的前面还不够，加上它的背面怎么样？要是没镜子背面，那它就不能反射——你就没法儿使图像里也有摄像机了。

阿基里斯：你说的对。不过，要既显出镜子的正面，也显出背面，我就不得不再需要一面镜子。

螃蟹：可你还得显出第二面镜子的背面。除了显示摄像机的前面以外，把它的背面也弄进去怎么样？还有电源线，还有电视内部，还有——

阿基里斯：哎哟哟！我的脑袋都晕了！看来我这个“全自噬计划”要出麻烦了。我现在觉得昏昏然的。

螃蟹：我能体会到你这时的感觉，你干嘛不坐下来，抛开这些什么鬼自噬？放松放松！看看我的画你就会平静下来的。

（阿基里斯唉声叹气地躺下了。）

哦——也许我的烟味叫你不舒服？得，我拿开它。（把烟斗从嘴上拿掉，小心地放在马格里特的另一幅画里面的一句话的上方。）喏，好些了吧？

阿基里斯：还是恶心。（指着马格里特的画。）这幅画挺有意思，我喜欢它的外框，很有质感。

图82．咏叹调和歌曲

马格里特作（1964）

螃蟹：谢谢。那是我特地请人做的——用烟叶和稻草。

阿基里斯：用烟叶和稻草？乖乖，真叫人难以相信！烟斗下面写的是什么字？不像英文，是吧？

螃蟹：是法文。写的是“Ceci n'est pas une pipe.”，意思是“这不是一只烟斗”。千真万确。

阿基里斯：可它是一只烟斗啊！你刚才还吸来着！

螃蟹：哦，我想你误解了这句话的意思。“ceci”这个词指那幅画，而不是指烟斗。烟斗当然是烟斗，可一幅画却不是一只烟斗。

阿基里斯：我不知道画中的“ceci”一词是指整幅画，还是指画中的烟斗。哦，我的天！这又是一个自噬！我可真不行了，老蟹，我想我快要病了……

巴赫此诗的英译引自大卫和曼德尔的《巴赫读本》，第97-98页。

《GEB》（15）跳出系统