抽象方法

几年前，《泰晤士报文学增刊》的一篇评论在开篇写到：

已知0×0=0以及1×1=1，就可以得到：平方等于自身的数是存在的。但是再进一步，我们就可以得到：数是存在的。经过这简简单单朴实无华的一步，我们似乎就从一个基本的算术式得到了一个令人吃惊的、极具争议的哲学结论：数是存在的。你可能还以为这有多么困难呢。

A.W.莫尔评论杰罗尔德·J.卡茨《现实理性主义》，

《泰晤士报文学增刊》，1998年9月11日

对于这个论证，我们可以从许多角度来批评，而且基本上不可能有人把它当真，包括评论人自己。然而，确实有哲学家在严肃地思考数是否存在这样的问题，而且正是这种思考使得他们不同于数学家——数学家理所当然地认为数就是存在的，不理解它何以能够成为一个问题。本章的主要目的就是要解释，为什么数学家能够愉快地忽视这样一个看似非常基本的问题，甚至理应忽视它。

如果我们把同样的论证方法搬到国际象棋上来，这个“简简单单朴实无华”的关于数的存在的论证就明显荒谬了。已知象棋中的黑色国王有时可以斜向移动一格，由此得出，存在着可以斜向移动一格的棋子。但接下来将进而得出：国际象棋的棋子是存在的。当然了，我想说的并不是那句平平常常的断言：人们有时候会制造国际象棋的棋具。毕竟，没有棋具同样也能下棋。我所指的是一个更加“惊人”的哲学结论：象棋棋子的存在独立于它们的物理形态。

在象棋中，黑色国王是什么呢？这是个奇怪的问题。最令人满意的处理方式似乎是，回避这个问题。除了指着棋盘，说明游戏的规则，我们还能做些什么呢？也许在这么做的同时会对黑色国王给予特别的关注？真正重要的问题并不是黑色国王的存在性或者它的本质属性，而是它在游戏中所发挥的作用。

人们所谓的数学中的抽象方法，正是我们采取类似态度来对待数学对象的结果。这种态度能够用这样一句话涵盖：数学对象是其所做。在语言哲学中，我们能发现类似的话经常出现，而且可能饱受争议。我们可以举出两个例子，比如索绪尔所说的“语言中只有差异”，还有维特根斯坦所说的“语词的意义是它在语言中的用法”（参见书末“延伸阅读”）。另外，我们还可以加上逻辑实证主义者的宣言：“陈述的意义就是其证实的方法。”如果你出于哲学方面的考虑，认为我的观点令人生厌，那你不妨不要将它看作一个教条式的断言，而是视为一种可供采纳的态度。实际上，我希望表明的是，要想正确地理解更高等的数学，采纳这种态度是至关重要的。

没有棋子的象棋

看出这一点很有意思——尽管我的论述并不直接依赖于它：象棋，或者任何类似的游戏，都可以以图为模型。（图已经在前一章末定义过了。）图的顶点代表游戏的某种可能的局面。如果两个顶点P和Q有边相连，那就意味着可以从局面P出发，经过合乎规则的一步之后达到局面Q。因为有可能无法从Q返回到P，所以这样的边需要用箭头来指示方向。某些顶点可以看作白棋获胜，还有某些顶点可以看作黑棋获胜。游戏从一个特定顶点，即游戏的开始局面出发。两位棋手相继沿着边移动。第一位棋手努力要走到白棋获胜的某个顶点，第二位棋手则要走到黑棋获胜的顶点。图6显示了某种大大简化的类似游戏。（图中不难看到，对于这个游戏来说白棋有必胜策略。）

尽管象棋的这种图论模型很难有应用上的意义，因为现实中可能的局面数量实在太庞大了，但是就其所表示的游戏和象棋完全等价来说，它仍然是一种完美的模型。不过在定义它的时候，我完全没有提及关于棋子的任何事情。从这个角度来看，黑色国王是否存在的问题就是个离奇的问题了：棋盘和棋子只不过是方便我们将这么大的图中一团乱麻似的顶点和边组织起来的一种原则而已。如果我们说出“黑色国王被将军了”这样的句子，那么这只是一种简化的说法，它所指的无非是两位棋手到达了极多的顶点中的某一个。

图6 白先，白方有必胜策略

自然数

“自然”是数学家对我们所熟悉的1，2，3，4这样的数字所赋予的称呼。自然数是最基本的数学对象，但它们似乎并没有引导我们去抽象地思考。毕竟，单单一个数字5能做些什么呢？它不可能像个棋子一样走来走去。它所具有的似乎是一种内在的属性——某种纯粹的“五性”，当我们观察图7这样的图片时就能立即从中提炼出这样的性质。

然而，当我们考虑更大的数时，其中的纯粹性就变少了。图8向我们表示了7，12和47这几个数。可能有部分人能够立刻把握第一张图中的“七性”，但大多数人可能会在一瞬间有这样的思考：“外围的点形成了一个六边形，再加上中心的一个得到6+1=7。”类似地，12可能会被考虑为3×4或2×6。至于47，和别的数字比起来，比方和46相比，一组这个数量的物体就缺乏特别之处。如果这组物体以某种模式排列起来，例如排成少两个点的7×7的阵列，那么我们的知识就可以通过7×7-2=49-2=47迅速地得出总数一共有多少。如若不然，我们就只能去一个个地数，这时我们则是将47视为46之后的那个数，而46又是45之后的那个数，依此类推。

图7 “五性”的概念

也就是说，当数字变得还不算太大时，我们就已经不再将其视作一些独立的客体了，而开始通过它们的内在属性，它们与其他数字的关联，以及它们在数系中的作用来理解。这也就是我之前说数能“做”什么所要表达的意思。

图8 表示7，12和47（两种）的方式

如我们已经清楚地看到的，数的概念与加法、乘法这样的算术运算紧密相连。比方说，如果没有算术的概念，对1000000017这样的数的意义就只能有很模糊的把握。一个数系并不仅仅是一堆数字，而是由数字及算术规则共同构成的。我们还可以这样来总结这种抽象方法：考虑规则，而不是考虑数字本身。按这种观点，数字就可以被当作某种游戏中的记号（或许应该被称为计数子）。

为了对其中的规则有一些了解，让我们来考察一个简单的算术问题：如果我们要确证38×263=9994，应当做什么？多数人可能会用计算器来检查，但要是因故无法这样检查呢？他们可能会作如下的推理。

38×263=30×263+8×263

=30×200+30×60+30×3+8×200+8×60+8×3

=6000+1800+90+1600+480+24

=9400+570+24=9994

为什么上述几步看起来是如此地天经地义呢？比方说，为什么我们会不假思索地相信30×200=6000？30的定义是3×10，200的定义是2×（10×10），所以我们可以充分相信30×200=（3×10）×（2×（10×10））。但为什么是6000呢？

一般没人会去问这种问题，不过既然有人问了，我们可能会说：

（3×10）×（2×（10×10））=（3×2）×（10×10×10）= 6×1000=6000

我们并没有经过仔细考虑就利用了关于乘法的两个熟知事实：其一，两数相乘时谁先谁后并没有关系；其二，多个数相乘时无论怎样加括号都没有区别。例如，7×8=8×7以及（31×34）×35=31×（34×35）。第二个例子中，中间结果肯定会受到括号位置的影响，但我们知道最终结果是相同的。

这两条规则被称为乘法的交换律和结合律。下面我将列出若干条加法和乘法中常用的规则，也包括上述两条。

A1 加法交换律：对任意两个数a和b，有a+b=b+a。A2 加法结合律：对任意三个数a、b和c，有a+（b+c）=（a+b）+c。M1 乘法交换律：对任意两个数a和b，有ab=ba。M2 乘法结合律：对任意三个数a、b和c，有a（bc）=（ab）c。M31是乘法单位元：对任意数a，有1a=a。D 分配律：对任意三个数a、b和c，有（a+b）c=ac+bc。

我列出这些规则并非试图告诉你这些规则本身多么有意思，而是想请你关注它们在我们的思考中所扮演的角色——即便是在相当简单的数学陈述中。我们对3×2=6的信心大概是基于这样的一种图像：

这样一来，要直接论证38×263=9994就是不可能的了，于是我们要以完全不同的方式来思考这一稍显复杂的事实，其中就要利用到交换律、结合律和分配律。如果的确遵守了这些规则，我们就会相信最后的结果。而且，虽然绝不可能对9994个物体有视觉上的感知，我们也相信结果是正确的。

零

在历史上，数字0的思想的诞生晚于正整数。这在很多人看来是个神秘而且矛盾的概念，它引发了类似这样的问题：“某种事物既然没有，怎么可能存在呢？”但从抽象的观点来看，0其实很明确：它只不过是引入到我们数系中的一个新记号而已，并且满足下面这条特殊的性质。

A30是加法单位元：对任意数a，有0+a=a。

这就是关于0你所需要知道的一切了。无关它意味着什么，只是一条小规则告诉你它做什么。

那关于数字0的其他性质呢，比方说0乘以任何数都等于0的性质？我并没有列出这条规则，因为我们可以从性质A3及之前的其他规则把它推导出来。例如，我们已经将2定义为1+1，那要怎样来表明0×2=0呢？首先，根据规则M1有0×2=2×0。然后，由规则D得到（1+1）×0=1×0+1×0。但根据规则M3，1×0=0，所以该式等于0+0。规则A3意味着0+0=0，于是我们的论证就完成了。

从非抽象的角度出发，可能会这样去论证：0×2的意思是指，总共0个2相加，没有2，就是0。但用这种思考方式，我们将不太容易回答诸如我儿子约翰问我的这个问题（在他六岁时）：既然无和无相乘的意思是没有无，那为什么结果又会是无呢？尽管当时可能不太适合，但一个好的回答终归是，它能够如下所述从基本规则中推导出来。（每一步之后我都列出了所用到的规则。）

为什么我要对非常基本的事实给出如此冗长的证明呢？和上面一样，原因并不是我觉得这些证明多么有数学趣味，而是想表明，抽象地（利用几条简单规则，忽略数字的具体意义）而非具体地（考察数学陈述的实际意义）证明算术陈述是怎么一回事。将实际意义及思维图像与数学对象结合起来固然非常有用，但是，正如我们将多次在本书中看到的，这样的结合常常并不足以告诉我们在新的不熟悉的场合下应当怎样去处理。因而，抽象的方法是不可或缺的。

负数和分数

谁如果曾经给小孩子教过数学，那一定会知道，减法和除法并不像加法和乘法那样直接，他们学习起来更困难一些。为了解释减法，我们当然可以利用“拿走”的概念，提这一类的问题：“一开始有5个橘子，吃掉2个，还剩下几个？”然而这并不总是思考减法的最佳方式。例如，当我们用100减98时，更好的想法不是从100中取走98，而是考虑什么数加上98能够得到100。也就是说，更有效的做法是求解方程98+x=100，尽管计算时字母x并不常出现在我们的脑子里。类似地，考虑除法也有两种方式。为了解释50除以10的意义，我们既可以问“50个东西分成相等的10组，每组几个”，也可以问“10个东西分一组，50个东西能分几组”。第二种办法等于在问“10和几相乘能够得到50”，也就等于解方程10x=50。

向小孩解释减法和除法还有着更进一步的困难，那就是这两种计算并非总能够进行。例如，不可能从装有7只橘子的碗中拿走10只，11颗弹珠不可能平均分给3个小孩。但成人却能够计算7减去10和11除以3，分别得到-3和11/3。问题随之而来：-3和11/3这样的数实际上存在吗？如果存在它们又是什么呢？

从抽象的角度看，处理这个问题的方式类似于之前对于零的处理方式：全都抛至脑后。关于-3，我们只需要知道它和3相加等于0即可；关于11/3，只需知道它乘以3等于11即可。这就是它们的运算规则。再与之前的规则相结合，我们就可以在更大的数系中进行算术运算。为什么我们希望照这样扩充数系呢？原因就是，这样得到的模型允许我们在其中求解x+a=b和ax=b这样的方程，无论a和b取何值——只要a在第二个方程中不为0。换句话说，这样得到的模型中，减法和除法总是能够进行的，只要除数不为0。（除数为0的问题我们会在本章稍后谈到。）

按照这样的路数，我们只需再增加两条规则来扩充我们的数系：一条给我们带来负数，另一条给我们带来分数，即我们所熟知的有理数。

A4加法逆元：对任意数a，总存在一个数b使得a+b=0。M4乘法逆元：对任意不为0的数a，总存在一个数c使得 ac=1。

确定了这些规则后，我们就可以将-a和1/a分别看作A4中的b、M4中的c的代号。至于更一般的表达式p q，它表示p乘以1q。

规则A4和M4还蕴含了另外两条规则，即消去法则。

A5 加法消去律：对任意三个数a、b和c，若a+b=a+c，则b=c。

M5 乘法消去律：对任意三个数a、b和c，若ab=ac且a不为0，则b=c。

第一条可以通过在等式两端加上-a得到证明，第二条可以通过在等式两端乘以1/a得到证明。应当注意A5和M5的地位与之前的那些规则是不同的——这两条是之前规则的推论，而不是我们向游戏中引入的新规则。

如果有人要加两个分数，如2/5加3/7，那么常用的方法是找出它们的公分母：

这种方法及类似方法的合理性可以用我们的新规则来证明。例如：

又有

于是，由规则M5得到2/5和14/35是相等的，正如我们在计算中所假设的那样。

类似地，我们还可以论证关于负数的一些熟悉的事实。请读者自己练习从上述规则中推出（-1）×（-1）=1，它的推导和对0×0=0的证明相当类似。

为什么在很多人看来，负数的实在性要低于正数呢？大概因为对数量不多的物体的计数是人类的基本活动，在这其中并不会用到负数。但这只不过意味着，作为模型的自然数系在某种特定场合下比较有用，而扩充数系则不太用得上。但如果我们考虑温度、日期或者银行账户，那负数就的确能够发挥作用了。只要扩充数系是逻辑自洽的——实际上也正是如此，用它作为模型就没有任何害处。

把自然数系称作一种模型似乎有点奇怪。难道我们不是在切实地数数，未涉及任何特定的理想化描述吗？我们的确是那样数数的，但数数的过程并非总是恰当的，甚至会根本不可能。从数学的观点来看，1 394 840 275 936 498 649 234 987这个数没有任何问题，但如果我们连佛罗里达州的选票都数不过来，就无法想象能确信自己拥有由1 394 840 275 936 498 649 234 987个东西组成的一堆。如果你将两堆落叶加到第三堆上，得到的结果并不是三堆树叶，而是一大堆树叶。倘若你刚观察过一场暴雨，那正如维特根斯坦所说，“‘你看到了多少水滴’这个问题的恰当答案是，很多。并不是因为没有那么一个数字，而是因为你根本不知道有多少”。

实数和复数

实数系包含了所有能够用十进制无穷小数表示的数字。这个概念看似简单，实则不易，其中的缘由我们会在第四章加以解释。而现在，让我们来讨论一下将有理数系扩充到实数系的原因。我要讲的是，这原因正与引入负数和分数的理由类似：它们使我们能够求解某些方程，缺少它们我们则无法求解。

这些方程中最著名的一个莫过于x2=2。在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派发现是无理数，即它不能表示为一个分数。（我们将在下一章中给出证明。）当时这项发现激起了一片错愕，但时至今日我们已经能够欣然接受：要想将正方形对角线的长度之类的事物模型化，就必须扩充我们的数系。抽象方法再一次使我们的任务变得轻易。我们引入一种新的符号——，并引入一条说明它能够做什么的新规则：它的平方等于2。

如果你对此颇有研究，你可能会反对我刚才说的，理由是，这样的规则并不能区分和。处理这个问题的办法之一就是向我们的数系中引入一个新的概念——序。比较数和数之间的大小总是有用处的，而且这还能使我们通过的额外的性质——大于0——来识别它。不过即便没有这种性质，我们也已经能够做一些运算，例如：

而且，不区分和其实是有一点好处的——上面的计算对这两个数都是成立的。

从用来描述数系每次扩充所得到的新数的名字，我们能够发现在历史上对抽象方法质疑的一些痕迹，比如“负的”和“无理的”。但更让人难以下咽的还在后面，这就是“虚幻的”，或者“复杂的”数，即形如a+bi的数，其中a和b均为实数，i是-1的平方根。

从具象的观点来看，我们会很快就摈弃-1的平方根：因为任何数的平方都是正的，-1根本就没有平方根，故事到此为止。然而，若采纳了抽象的观点，这种反对意见就显得软弱无力了。只要引入方程x2=-1的解并把它称作i就好了，为什么不继续单纯地把数系扩充下去呢？为什么偏偏它的引入就应该比之前的更值得反对呢？

一种回答大概是，能够按十进制小数展开，（原则上）能够计算到任意精度，而i就与此不同了。但这说的只不过是我们已经知道的事情，即i不是实数——正如不是有理数一样。这并不能阻挡我们扩充数系，在其中进行如下的运算：

i和之间最主要的区别就是我们被迫抽象地去思考i，而对于我们则还有备选方案，可以将它具体地表示为1.4142…，或者看作单位正方形的对角线长度。要看出为什么i没有这样的表示方法，不妨问问自己这个问题：-1的两个平方根中，哪个是i哪个是-i呢？这个问题是没有意义的，因为我们对i所定义的唯一的性质就是平方等于-1。既然-i也有同样的性质，那么关于i成立的那些命题，如替换为关于-i的相应命题，必定依然成立。一旦领会了这一点，就很难再赞同i指示一个独立存在的实在的客体。

这和一个著名的哲学难题有相似之处。你对红色所产生的感受与我对绿色产生的感受（交换亦可）有没有可能是相同的呢？一些哲学家很严肃地思考这个问题，并定义“感受性”一词

来表示我们所拥有的绝对的内在体验，比如我们对色彩的体验。而另一些人并不相信感受性。在他们看来，“绿色”这样的词有更抽象的定义，那就是根据它在语言系统中所发挥的作用，也就是说，根据它与“草地”、“红色”等概念之间的关系。因此，就这个论题，要想从人们谈论色彩的方式来推断出他们的态度是不可能的，除非在哲学争论当中。类似地，在实践中，关于数和其他数学对象，重要的只是它们所遵循的规则。

如果说为了使方程x2=-1有解我们引入i，那么其他类似的方程呢？比如x4=-3或者2x6+3x+17=0呢？值得注意的是，人们发现，所有这样的方程都可以在复数系中求解。也就是说，我们通过接受i作出小小的投资，结果得到了许多倍的回报。发现这个事实的历史过程有点复杂，但人们通常将它归功于高斯。这个事实被人们称为代数基本定理，它给我们提供了令人折服的证据，使我们相信i的确有合情合理、自然而然的地方。我们的确无法想象一个篮子里有i只苹果，车行途中经过了i个小时，银行账户透支了i英镑。但对数学家来说，复数系已经必不可少。对科学家和工程师同样也是。比如，量子力学的理论就高度依赖于复数。复数作为最佳的例证之一，向我们表明了一条概括性原则：一种抽象的数学构造若是充分自然的，则基本上必能作为模型找到它的用途。

初探无穷大

一旦我们学会抽象地思考，事情就会立刻变得令人愉悦，这个境况有点像突然能够骑自行车而不必去担心保持平衡。然而，我也并不希望使读者觉得抽象方法就好像是印钞许可证。我们可以来作一个有趣的对比，比较一下向数系中引入i与引入数字无穷大之间的区别。乍看起来，似乎没什么可以阻止我们的：无穷大应当用来表示1除以0之类的，所以，为什么不使∞成为一个抽象符号，用它来表示方程0x=1的解呢？

但当我们想做算术时，这个想法的问题立刻就来了。我们在这里举个例子，利用乘法结合律M2和0×2=0的事实，就可以得到简单推论：

1=∞×0=∞×（0×2）=（∞×0）×2=1×2=2

这个式子表明，方程0x=1的解若存在将会导致不相容性。这是否意味着无穷大不存在呢？并不是。这只说明，无穷大的自然概念与算术定律是不相容的。扩充数系以将符号∞包含进来，并且接受在新的系统下这些算术定律并非总是成立，这样做有时是有用处的。但是通常，人们还是希望保持算术定律，不考虑无穷大。

把负数和分数放到指数上

抽象方法还有一点极大的优越性：它使我们能够将熟悉的概念扩展到不熟悉的情况下，赋予其新的意义。我所说的“赋予意义”的确是恰当的，因为我们所做的正是去赋予意义，而不是去发现某种早就存在的意义。这当中有一个简单的例子，那就是我们如何扩展指数的概念。

如果n是个正整数，那么an即表示n个a相乘的结果。如53=5×5×5=125以及25=2×2×2×2×2=32。但若以此作为定义，我们就不容易去解释23/2这样的表达式，因为你不可能拿出一个半的2，把它们乘在一起。那处理这种问题的抽象方法是什么呢？我们又一次地需要抛开寻找内在意义的意识。在本例中即需要忽视an的内在意义，转而考虑关于它的规则。

关于指数运算的两条基本规则是：

E1 对任意实数a，a1=a。

E2 对任意实数a和任意一对自然数m、n，有am+n=am×an。

例如，25=23×22，因为25表示2×2×2×2×2，而23×22表示（2×2×2）×（2×2），由乘法结合律可知两数相同。

从上述两条规则出发，我们可以迅速重新得到已经知道的一些事实。比如，根据E2即知a2=a1+1等于a1×a1；再根据E1，此即为a×a，正如我们所了解的。除此以外，我们现在还能够做更多的事情。让我们用x来表示23/2。那么x×x=23/2×23/2，由E2得知它就是23/2+3/2=23=8。也就是说x2=8。这并没有完全确定下x，因为8有两个平方根。所以我们通常会采取如下的准则。

E3 如果a＞0且b是实数，那么ab为正数。

再应用上E3，我们就发现23/2是8的正平方根。

这并不是对23/2的“真正值”的发现。但这也不是我们对表达式23/2的随意解读——如果我们希望保持规则E1、E2和E3，这就是唯一的可能性。

用类似的办法，我们可以对a0给出解释——至少当a不为0时。由E1和E2，我们知道a=a1=a1+0=a1×a0=a×a0。消去律M5指出，无论a取何值，都有a0=1。对于负指数，如果我们已经知道了ab的值，那么1=a0=ab+（-b）=ab×a-b，由此推出a-b=1/ab。例如，2-3/2就等于。

对数是另一个抽象地来看会变得更加容易的概念。关于对数，我在本书中要说的不多。但如果它确实困扰你，那么你可以消除顾虑，只要了解它们遵循如下三条规则就足以使你去应用对数了。（如果你希望对数是以e为底而不是以10为底的，只需要在L1中把10替换为e即可。）

L1log（10）=1。

L2log（xy）=log（x）+log（y）。

L3若x＜y，则log（x）＜log（y）。

例如，要得到log（30）小于，可以应用L1和L2得出log（1000）=log（10）+log（100）=log（10）+log（10）+log（10）=3。而由L2得出2log（30）=log（30）+log（30）=log（900），又由L3得到log（900）＜log（1000）。因此2log（30）＜3，即得log（30）＜32。

在这本书的后面，我还将讨论许多类似性质的概念。试图具体地理解它们会让你感到困惑，但当你放轻松些，不再担心它们是什么并且应用抽象的方法，那这些概念的神秘性就消失了。

《数学》第二章 数与抽象

《数学》第二章数与抽象