三部创意曲

图10．莫比乌斯带I

艾舍尔作（四版套印木刻，1961）

阿基里斯（希腊的一位勇士，长着一双飞毛腿，是跑得最快的人）和一只乌龟这时一同站在骄阳下满是尘土的跑道上。跑道的另一头有一根高高的旗杆，上面挂着一面长方形的大旗，整个旗子都是红色的，只是上面开有一个环状的狭缝，透过它可以看见天空。

阿基里斯：跑道那头儿是面什么旗子啊？这叫我想起我最喜欢的艺术家艾舍尔画的一幅版画。

乌龟：那是芝诺的旗子。

阿基里斯：这面旗子上的那个孔和艾舍尔画的莫比乌斯带上的孔差不多吧？我看得出，那旗子有点毛病。

乌龟：从旗子上切下的环呈阿拉伯数字“零”的形状，芝诺最喜欢这个数字。

阿基里斯：可是“零”现在还没发明出来呢！这得在大约一千年以后，由印度的一位数学家把它发明出来。因此，龟兄，我的论据证明这面旗子是不可能的。

乌龟：你这论据很有说服力，阿基，我不得不同意，这样的旗子确实是不可能的。可是不管怎么说，它很漂亮，不是吗？

阿基里斯：哦，是啊，它很美，这是毫无疑问的。

乌龟：我疑心它的美是否跟它的不可能性有关，这问题我说不好。我从来没有分析过美。什么是美是个很重大的问题，而我似乎从来没有考虑过这种重大的问题。

阿基里斯：说到重大的问题，龟兄，你思考过生活的目的没有？

乌龟：噢，天哪，没有。

阿基里斯：你是否想过我们为什么在此存在，或者说，是谁创造了我们？

乌龟：哦，这完全是另一回事。我们俩都是芝诺创造的（这一点不久你就会明白）；我们俩之所以呆在这儿是因为要进行一次赛跑。

阿基里斯：赛跑？多荒唐啊！我这个长着一双飞毛腿的世界上跑得最快的人和你这个爬得不能再慢的家伙赛跑？这种比赛毫无意义！

乌龟：你可以让我先跑一段嘛。

阿基里斯：那得是很长的一段。

乌龟：我不反对。

阿基里斯：不过迟早我会追上你的。很可能不会太迟。

乌龟：要是事情按芝诺的悖论发展，你就追不上。你知道，芝诺想用你我的赛跑来表明运动是不可能的。照芝诺的说法，只是在人们的头脑中，运动才显得可能，而实际上，运动从本质上说是不可能的。他的证明很漂亮。

阿基里斯：哦，对了，现在我想起来了：那个著名的关于禅师芝诺的禅宗公案，正像你所说的，确实很简单。

乌龟：禅宗公案？禅师？你想说什么？

阿基里斯：是这样：两个和尚围绕着一面旗幡的问题争论起来，一个说“幡动”，另一个说“风动”。六祖芝诺正巧从这里走过，告诉他们：“风幡非动，心自动耳。”

乌龟：恐怕你弄错了，阿基。芝诺不是什么禅师，根本不是，他其实是个来自爱利亚城（位于A点与B点中间的地方）的希腊哲学家。几个世纪之后，他将以他的运动悖论闻名于世，你我进行的这场赛跑将在他的一个悖论里扮演重要角色。

阿基里斯：哦，是我弄混了？让我想想那到底是谁的运动悖论：芝诺的？智能的？慧能的？嗨，我脑子里悖论太多，搞不清谁对谁了。（忽然刮过一阵微风。）——噢，瞧啊，龟兄，那旗子动了！我真喜欢看那柔软的布料上闪烁的波纹！上面挖去的那个环形也在动呢！

乌龟：别犯傻了。旗子本身就是不可能的，更别说它在飘动了，是风在动。

（这时正巧芝诺从一旁走过。）

芝诺：好啊，好啊！怎么回事？怎么啦？

阿基里斯：幡在动。

乌龟：风在动。

芝诺：哦，朋友们！停止你们的争论，抛却你们的讥讽，放弃你们的不和吧！我将帮你们解决这个问题。嘿！在这样一个好天里！

阿基里斯：这家伙一定是蠢货。

乌龟：不，阿基，等等，咱们先听听他想说什么。喂，不知名的先生，恳请您就此发表意见。

芝诺：愿意效劳。既非风动亦非幡动——谁都没动，根本没有什么东西在动。这是因为我发现了一个伟大的定理，这个定理说：“运动从本质上说是不可能的”。从这个定理可以推导出一个更伟大的定理——芝诺定理：“运动无有”。

阿基里斯：“芝诺定理”？先生，您难道就是爰利亚的哲学家芝诺？

芝诺：正是敝人，阿基里斯。

阿基里斯（疑惑地搔着头）：他怎么知道我的名字？

芝诺：我是否可以请二位听我讲讲事情的经过？我今天下午之所以从A点到爱利亚，就是为了找个人，这个人要对我这个经过周密推敲的论证感兴趣。但是人们全都忙忙碌碌的，谁也没有时间。你们不知道一再被人拒绝是件多么令人沮丧的事。哦，很抱歉用这些烦事来打扰你们。我现在只想麻烦二位一件事：二位能让我这个又老又迂的哲学家满足一会儿——只用一小会儿，我担保——让我讲讲我那奇怪的理论？

阿基里斯：哦，完全可以！请给我们讲讲吧！我想我说出了我们俩人的共同愿望，因为我的伙伴乌龟先生刚刚还以非常尊敬的口吻说到您，他特别提到了您的悖论。

芝诺：谢谢。你们知道，我的师傅五祖诲谕我说，真如即一，具有不变异性，森罗万象及动迁变化皆是感官的幻觉。一些人嘲笑他的观点，可我要证明他们的嘲笑是荒唐的。我的论证很简单。我想利用我创造的两个形象来解释它的意义：这就是阿基里斯和一只乌龟。在我的故事里，他们被一个过路人说服去进行一场赛跑，比赛的终点是跑道那头儿的一面在微风中飘动的旗子。因为乌龟跑起来极慢，所以我们假定让它先跑出一段距离，比如说，十丈吧。现在比赛开始了。仅仅几步，阿基里斯就跑到了乌龟出发的地点。

阿基里斯：哈！

芝诺：现在乌龟只在阿基里斯前面两尺的地方。不一会儿，阿基里也到达了这一点。

阿基里斯：嚯！嚯！

芝诺：可是就在那一会儿的功夫里，乌龟又往前跑了一点点。阿基里斯很快也追到了那一点。

阿基里斯：嘿！嘿！嘿！

芝诺：然而就在那一瞬间，乌龟又往前蹭出了一点儿，阿基里斯这时还是在它后面。现在你们看，阿基里斯要想追上乌龟，这种“试试追上我”的游戏就得做无穷次，因此，阿基里斯永远追不上乌龟！

乌龟：嗨！嗨！嗨！嗨！

阿基里斯：嗬……嗬……嗬……嗬……嗬……这个论证我听着像是错了，可又说不出究竟错在哪儿。

芝诺：是个难题吧？这就是我最喜欢的那个悖论。

乌龟：芝诺，请原谅，我认为您这个故事解释的不是这个原理，对吗？您刚刚告诉我们将以（嘿嘿）阿基里斯永远追不上乌龟这个芝诺的“阿基里斯悖论”闻名于几个世纪以后的是什么，但是“运动从本质上讲是不可能的”（以及进而得到的“运动无有”）这一命题是由您的那个“二分悖论”证明的，是吗？

芝诺：噢，惭愧。当然，你是对的。那个悖论讲如果想从A点到B点，须得先走完A到B的一半，要走完这一半，又得先走完这一半的一半，以此类推。但是你们看，这两个悖论其实有着共同的味道，坦率地说，我只有这么一个了不起的思想，只是用了不同的表达方法。

阿基里斯：我敢发誓，这些论证有错误，我看不大出错在哪儿，但是它们不可能是正确的。

芝诺：你怀疑我的悖论的正确性？为什么不真的试试？你看见跑道那头儿那面红色的旗子了吗？

阿基里斯：是仿照艾舍尔作品的那面不可能的旗子吗？

芝诺：正是。您和乌龟先生现在就来赛一赛，跑到那儿，怎么样？让乌龟先生先跑……嗯，我不知道——

乌龟：让我十丈怎么样？

芝诺：好，就十丈。

阿基里斯：我无所谓。

芝诺：太好了！太令人兴奋了！这是一次好机会，可以检验检验我那经过严格证明的定理。乌龟先生，请您先到十丈前您的位置上，好吗？

（乌龟朝着旗子的方向爬了十丈。）

都准备好了吗？

乌龟和阿基里斯：准备好了！

芝诺：各就各位！预备！跑！

第一章

WU谜题

形式系统

本书中心的概念之一是形式系统。我用的这种形式系统是美国逻辑学家艾米尔·波斯特在二十世纪二十年代发明的，通常被称为“波斯特产生式系统”。本章将向读者介绍一个形式系统，并且我希望读者愿意——至少是有一点点愿意——去探索这个形式系统。为唤起读者的好奇心，我设计了一个小小的谜题。

这个谜题就是“你能产生WU吗？”。一开始的时候，我提供给你一个符号串（即一串字母）。为了解除你的悬念，可以告诉你那个符号串就是WJ。然后，你会得知一些规则，运用这些规则你可以将一个符号串变成另一个。如果某条规则在某处是适用的，并且你也愿意用它，你就可以用。但是，如果同时有几条可以适用的规则，又没有什么指导来说明你该用哪一条，这将留给你去选择。正是这一点使得做形式系统游戏成为一种技巧。重要的、几乎用不着说明的一点是，你决不能做任何背离规则的事情。我们也许可以把这个限制称做“形式化要求”。在本章中，这一点也许根本无需强调。但是我预言——这说起来挺怪的——当你在下面的章节中与形式系统周旋时，你会发现，你将一次又一次地违反形式化要求，除非你以前用过形式系统。

关于我们的形式系统——WJU系统——要说的第一件事是它只用了三个字母：W、J、U。就是说WJU系统的所有符号串都是由这三个字母组成的。以下是WJU系统的一些符号串。

WU

UJW

WUUWUU

UJJUWJUUJWUJJUWJUUJWUJJU

虽然所有这些符号串都是合法的，但它们还不算“归你所有”。事实上，到现在为止归你所有的符号串只有WJ。要增加你自己的储备，只能靠使用规则，我们现在就介绍这些规则。下面是第一条规则：

规则Ⅰ：如果一个归你所有的符号串结尾是J，则可以在其后面再加上一个U。

这里顺便指出一个事实（假如你到目前还未猜出“符号串”的意思）：符号串中的字母是有固定顺序的。比如WJ和JW是两个不同的符号串。一个符号串不是其字母的顺序无关紧要的“一堆符号”。

以下是第二条规则：

规则Ⅱ：如果你有Wx，那么Wxx也归你所有。

我的意思可在下面几个例子里表示出来：

从WJU，可以得出WJUJU

从WUW，可以得出WUWUW

从WU，可以得出WUU

就是说，在这条规则中字母“x”可以代表任意的符号串。但是，一旦决定了它代表哪一个符号串，就得遵循这个选择（直到你再一次使用这条规则，才可以做一个新的选择）。请注意上面第三个例子。它表明如何在有了WU之后，为你的储备增加另一个符号串。但是得先有WU！关于字母“x”，我想再加上最后一条说明：它不像“W”、“J”和“U”这三个字母一样，是形式系统的一部分。无论如何，如果我们能有某种符号的方式一般性地谈论系统中的符号串，那将是很有用的——而“x”正是起了这个作用：代表任意一个符号串。假如在你的符号串“储备”中加入一个含有“x”的符号串，那就错了，因为WJU系统中的符号串决不会带有“x”！

以下是第三条规则：

规则Ⅲ：如果JJJ出现在你的储备中的一个符号串里，那么你可以用U代替这个JJJ而得到一个新的符号串。

例子：

从UWJJJWU，可以得到UWUWU

从WJJJJ，可以得到WJU（同样可以得到WUJ）

从JJWJJ，用这条规则什么也得不到（三个J必须是连续的）

从WJJJ，可以得到WU

在任何情况下，这条规则都不能倒过来使用，像下面的例子里这样：

从WU，得到WJJJ。　⇐这是错误的。

规则是单向的。

下面是最后一条规则：

规则Ⅳ：如果UU出现在你的一个符号串中，你可以去掉它。

从UUU，可以得U

从WUUUJJJ，可以得到WUJJJ

规则就是这些。现在可以试试找出WU了。假如得不出来不要担心。只是试一下——主要是体会一下WU谜题的味道。愿读者从中获得享受。

定理、公理、规则

WU谜题的答案后面会给出来。至于现在，重要的不是找出答案，而是寻找它。读者也许已经做了一些产生WU的尝试。在做这些尝试的过程中，读者建立了自己的符号串储备。我们把这种可以从规则中产生的符号串叫做定理。当然，“定理”这个词在数学中也使用，但与这里的意思很不一样。那里的意思是普通语言中的某个陈述，已通过严格的论证被证明是真的（这时我们称之为“真理”），例如，关于“运动无有”的芝诺定理，或者关于素数有无穷多个的欧几里德定理。但是，在形式系统中，不必把定理看做是陈述——它们仅仅是一些由符号组成的串。它们也不是证明出来的，而是产生出来的，就像是按照一定的印刷规则通过机器产生出来的一样。为了强调“定理”这个词在意义上的重要区别，在本书中我将采用以下约定：当“定理”这个词用黑体字写出来时，它的意思是我们通常所说的意思——一个定理是日常语言中的一个陈述，这个陈述已被某人用某种逻辑的论证证明是真理。如果不用黑体则“定理”这个词有它的技术上的意义：可以在某个形式系统中产生出来的符号串。在这样的情况下，WU谜题是问WU是不是WJU系统中的一个定理。

开始的时候我无偿地提供了一个定理，即WJ。这个“无偿提供的”定理叫做“公理”——同样的，这是技术上的意义，它与通常的意义很不一样。一个形式系统中可以有零个、一个、几个、甚至无穷多个公理。本书中将会出现所有这些不同类型的形式系统。

每一个形式系统中都有符号变换规则，如WJU系统中的四条规则。这些规则既可以叫做生成规则，也可以叫做推理规则。这两种叫法我都用。

我在这里要介绍的最后一个术语是推导。以下是一个定理WUJJU的推导：

⑴WJ公理⑵WJJ使用规则Ⅱ，从⑴中得出⑶WJJJJ使用规则Ⅱ，从⑵中得出⑷WJJJJU使用规则Ⅰ，从⑶中得出⑸WUJU使用规则Ⅲ，从⑷中得出⑹WUJUUJU使用规则Ⅱ，从⑸中得出⑺WUJJU使用规则Ⅳ，从⑹中得出

一个定理的推导说明如何按照这个形式系统中的规则逐行生成该定理的一个明显的论证。“推导”这一概念是向“证明”概念看齐的，但比后者要朴素一些。如果说证明出了WUJJU，听起来就很奇怪，但是如果说推导出了WUJJU，就不那么奇怪了。

系统内外

多数人解WU谜题的办法是：先相当盲目地推出一些定理，看一看得到的会是什么。很快地，他们就开始注意到他们产生出的定理的一些性质，人的智能就在此处起作用了。例如，也许你在试开头的几次时，并不清楚所有的定理都是以W开头的。推了一阵以后，这个模式浮现在你脑海中。你不仅可以看出这个模式，而且通过检查那些规则，还可以理解这个模式。那些规则有一个性质，即：新产生的定理都继承了原先的那条定理的第一个字母。归根到底，所有的定理的第一个字母都可以追溯到唯一的公理WJ的第一个字母——这是一个证明，指出WJU系统中所有的定理都必须以W开头。

这里发生的情况是有着重要意义的。它展示了人与机器之间的一种区别。非常可能——事实上很容易——给一部计算机编一个程序，使它可以生成WJU系统的一条又一条定理，并且我们可以在这个程序中加进一条命令，使之在生成U之后才停止。现在你知道了：运行这个程序的计算机会永不停止，而这并不使你感到惊异。但是，假如你要让你的一位朋友试图生成U，将会怎么样呢？要是他做了一会儿就罢手不干了，跑来向你抱怨他无法摆脱第一个字母W，而想生成U完全是徒劳的，你同样不会吃惊。即使是一个不很聪明的人，也会禁不住地观察他自己在做什么，这些观察给予他关于所做的这项工作的洞察力。而计算机程序——正如我们所描述过的——则缺乏这种洞察力。

现在让我更清楚地谈谈我说“这展示出了人与机器之间的区别”是什么意思。我的意思是：有可能给机器编一个以上述方式来做机械工作的程序，机器永远不会发现（即便这是非常明显的）它自己在做什么。但是人的意识有一个固有的特点，他总是能看出关于他正在做的事情的某些事实。关于这一点，你是早已知道的。假如你在加法机上按一下“1”，然后再加1，再加1，再加1，再加1……如此一直加上几个小时又几个小时，虽然任何人都会很快地懂得自己在重复一个动作，而那台机器却永远不懂得在你按1之前，自己去加。或者，另举一个愚蠢点儿的例子：无论用了多久，无论多好的一部汽车，也永远不会有躲避道路上的其它汽车或障碍物的能力，永远不会知道它的主人常走的路线。

因此，区别在于：机器有可能在做某件事情时不去观察，而人不可能不去观察。请注意，我不是说所有的机器都不具有复杂的观察能力，只是有些机器不具有。我也不是说所有的人都总是进行复杂的观察，事实上，人常常是不注意观察的。但是机器可以被制造成是完全不去观察的，而人则不能。并且事实上，到目前为止，多数机器是非常接近于不去观察的。也许因为这个原因，对于大多数人来说，具有“不去观察”这一特点，似乎是机器的特征。例如，如果有人说某项工作是“机械的”，这指的不是人没有做这项工作的能力，而是隐含着这样的意思：只有机器可以永不抱怨或者不知疲倦地反复做这项工作。

跳出系统

能够跳出正在进行的工作并且看一下已经做了些什么，这是智能固有的特点。它总是寻找并且常常能找到模式。我说的是智能可以跳出它所做的工作，这不意味着它总是这样做。然而，常常是略微推动它一下就足够了。就好比一个正在读书而感觉困倦的人，他不是连续地把这本书看完，而可能把书搁在一边儿，把灯关掉。他“出了系统”，而这对我们来说似乎是再自然不过的了。或者，假设一个人，A，正在看电视，B进了屋子，并且明显地表示出对于当时的状况不喜欢。A可能认为他理解了问题的所在，并且试图通过从当前系统（那时的电视节目）退出来改变一下现状，于是他轻轻按了一下频道钮，找一个好一点儿的节目。不过B可能对于什么是“退出系统”有更极端的概念——也就是，把电视机关掉！当然也有这种情况：只有极少数的人有那种眼光，看出一个支配着许多人生活的系统，而以前却从没人认为这是一个系统。然后这些人常常就投入毕生的精力去使其他人相信那个系统确实存在，而且应该从中退出！

若想教给计算机跳出系统这件事，能教会它到什么程度呢？我举一个使一些人吃惊的实例：不久以前，在加拿大举行的一次计算机国际象棋邀请赛上，一个程序——所有竞争者中最弱的一个——有一个非同一般的特性：它可以远在棋下完之前早早退出。它的棋下得不太好，但它至少有预先估计到没有希望的棋局的能力，然后就此停下，而不是等着另一个程序走完将死它的乏味的过程。虽然每次下棋它都输，但是它做得很有风度。它给很多当地的下棋能手留下了深刻的印象。假如把“系统”定义成“在下棋的游戏中走棋的系统”，那么，很清楚，这个程序有一个很复杂的事先编好的有能力从系统中退出的程序。另一方面，如果把“系统”定义成“这部计算机按照程序所做的一切”，那么无疑地，这部计算机没有什么从那个系统中退出的能力。

在研究形式系统时，很重要的一点是要区分在系统之内的工作，和做出关于系统的判断或说明。我假定读者像大多数人一样，开始时，想通过在系统内部工作解决WU谜题；逐渐地，你开始着急了，这种焦急心情增长到一定程度时就不再作任何考虑地退出了这个系统，然后盘算一下产生了一些什么，想想为什么没有取得成功——即产生出WU。也许你发现了没能产生出WU的原因所在，这是对于系统进行思索。也许你在中途什么时候产生了WJU，这是在系统之内进行工作。我不想把事情弄得好像两种方式完全不相容，我敢肯定任何一个人都有某种程度的在系统之内进行工作，同时思考他正在做什么的能力。实际上，在人类事务中，通常是几乎不可能将“在系统之内”和“在系统之外”清楚地区别开的，生活是由许多连结并交织又常常是不协调的“系统”组成的，用“系统内”、“系统外”这类词汇来思考似乎是过于简单化了。但是，非常清楚地形成一些简单的概念，以便人们可以在思考更复杂的概念时把它们作为模型，这常常是重要的。这便是我为什么要向读者展示形式系统的原因。现在是回头讨论WJU系统的时候了。

W方式、J方式、U方式

WU谜题的陈述方式鼓励人们在WJU系统内部进行探索——做一些定理推导。但这个问题的陈述方式并不暗示在系统之内必然会产生结果。因此它使得人们往返于两种方式之间。一个把两种方式区分开的方法可以是：准备两张纸，在一张纸上，你“像机器那样”地工作，这样在纸上写满了的都是W、J、U这三个字母。在另一张纸上，你“像有思维能力的人那样”地工作，你可以做你的智能要你做的任何事情——可以使用汉语、记下要点、进行逆推、使用缩写（比如使用字母“X”）、把几个步骤缩成一步、把规则加以修改看看可以得出什么东西，以及做你所能想象到的任何其它事情。要注意3和2这两个数起着很重要的作用，因为，三个J是可以扔掉的，两个U也可以去掉。另外根据规则Ⅱ，可以把长度延长一倍（除了那个W）。所以第二张纸上也可以有一些计算。我们会时常重新提到处理形式系统的这两种方式，我们分别称之为机方式（J方式）和惟方式（W方式）。为了完满，使WJU系统的每一个字母都与一种方式相关联，我再提出最后一种方式——无方式（U方式），它是禅宗的处世态度。关于这点在后面几章中会更多地讲到。

判定过程

对于这个谜题的观察表明，它涉及到两种具有不同趋向的规则——加长的规则和缩短的规则。其中两条规则（规则Ⅰ和Ⅱ）允许你加长符号串（当然只能是非常刻板地按预先规定的方式来加长），另外两条规则允许多少缩短一点符号串（同样是以非常刻板的方式）。看起来应该是有无限多种不同的顺序来应用这些不同种类的规则，这就使得用这种或那种方式来产生WU有了希望。可能是使符号串加长成一个庞然大物，然后再一段一段地抽掉，直到只剩下两个符号为止；或者更糟糕，使符号串连续地加长、缩短、再加长、再缩短，如此下去，而结果如何却没有保证。事实上，我们已经看出U是不可能产生的，即使是加长或缩短到世界末日也无济于事。

然而，U和WU似乎很不相同。通过U的非常表面的特征，我们可以辨别出不可能产生它：它不是以W开头的（而所有的定理都必须是）。用这样一个简单的方法去发现非定理是很方便的。然而，能说这个测试可以发现出所有的非定理吗？可能会有许多以W开头但无法产生的符号串。也许WU就是其中之一。这也就是说“字头测试”的用途是有限的，它只能发现一部分非定理，而漏掉其它的。但是仍然有可能有一些更精细的测试，这些测试完全能区分哪些符号串通过规则可以产生，哪些不能产生。这里我们得面对一个问题：“我们的测试是什么意思？”目前这个问题的意义或者重要性也许不明显。下面我举一个关于“测试”的例子，某种意义上似乎有点违反这个词的精神：

设想在这个世界上有一个怪物，它有足够的时间，并且喜欢把时间用来以有秩序的方法去产生WJU系统的定理。例如，下面就是这个怪物可能采取的一种方式：

步骤1：对于公理WJ应用每一条可以应用的规则。这产生出两个新的定理：WJU、WJJ。

步骤2：对于从步骤1中产生的定理应用所有可以应用的规则。这产生出三个新的定理：WJJU、WJUJU和WJJJJ。

步骤3：对于步骤2中产生的定理应用所有可以应用的规则。这产生出五个新的定理：WJJJJU、WJJUJJU、WJUJUJUJU、WJJJJJJJJ和WUJ。

︙

这种方法早晚会产生出所有的定理，因为每条规则都在任意能设想出的次序下应用过。（参看图11）我们以上提到的所有那些加长——缩短的交替用法最终都用上了。然而对于一个给定的符号串，就不知道要经过多少步它才能出现在这张表里，因为定理是按照它们的推导长度来列出的。这不是一个很有用的次序，假如你对一个特殊的符号串（像WU）感兴趣的话，你甚至不知道是否有个推导能得出它，更不知道那个推导会有多长了。

图11．WJU系统中所有定理的“树”

在这个系统中向下到第N步，它包含了恰恰需要N个步骤推导的那些定理。圆圈中的数字表示使用了哪条规则。WU是不是在这棵树上的什么地方？

现在我们给出这个所谓的“定理性测试”：

等待产生出所要求的符号串，当它出现了的时候，你知道它是一个定理——假如它永远不出现，它就不是一个定理。

这看起来是荒唐的，因为它预先假设了我们为了得到一个答案，并不在乎等待哪怕是无限长的时间。这就是该把什么算作“测试”这个问题的关键。最首要的问题是保证我们将在一个有限长的时间内得到答案。如果有一个检验定理的测试，一个总是在有限长的时间内终结的测试，那么，这个测试就叫做给定形式系统的判定过程。

当你有了一个判定过程，那么你就有了对系统中所有定理的性质的非常具体的刻划。从表面上看，似乎形式系统中的规则与公理同判定过程一样完全地刻划了这个系统中的定理。问题在于“刻划”这个词。当然那些推理规则与WJU系统中的公理是隐含地刻划了那些是定理的符号串。不仅如此，它们还以更隐蔽的方式刻划了那些非定理的符号串。但是，在许多情况下，隐含地刻划还不够。如果有人声称有了一个对所有定理的刻划，但是若要推断某一个特别的符号串不是一个定理则需要无限长的时间，你大概会倾向于说，这个刻划中缺少点什么——它不够具体。这就是为什么发现判定过程的存在是非常重要的一步。所谓发现，从效果上看就是：你可以为检验一个符号串是不是一个定理进行一种测试，即便这个测试很复杂，它也是保证有结果的。原则上，这个测试与检查符号串的第一个字母是不是W同样地容易，同样地机械，同样地有限，同样是十分确定的。一个判定过程是测试一个符号串是否是定理的“试纸”。

顺便说一下，对形式系统的一个要求是，其中的公理必须具有判定过程——必须存在有关于一个符号串是不是一条公理的试纸。这就保证了至少在一开始进行的时候没有问题。这就是一组公理与一组定理之间的区别：前者总是有一个判定过程的，后者则可以没有。

我敢保证你会同意，当你第一次看见WJU系统时，你必须得面对这个问题。单独一个公理是已知的，推理规则是简单的，因此定理被隐含地刻划了——然而它仍然不很清楚，你不知道这个刻划的结果是什么。尤其是，WU究竟是不是一个定理，这一点仍然不清楚。

图12．空中城堡

艾舍尔作（木刻，1928）

二部创意曲

或，

乌龟说给阿基里斯的话

刘易斯·卡罗尔作①

阿基里斯追上乌龟之后，舒舒服服地坐在了龟背上。

“这么说，你已经到达我们这场赛跑的终点了，是吗？”乌龟说。“虽然比赛的路程是由无数段路程组成的，你还是跑到啦？我记得有个自作聪明的人证明过这是不可能做到的。”

“这是可以做到的，”阿基里斯说。“这已经做到了！马到成功。你瞧，那些路程在不断缩短，因此——”

“可要是它们一直在不断增长呢？”乌龟打断他的话说。“那会怎么样？”

“那样一来我现在就不会在这儿了，”阿基里斯老老实实地说。“而你到这时应该已经绕地球好几圈了！”

“你对我真是过奖了——哦，我是说你真是过重了，”乌龟说。“因为你的确太沉了！哎，你想听听有关另一场比赛的事吗？在这场比赛里大多数人都以为他们在两三步之内就能达到终点，实际上这场比赛也是由无数段路程组成的，其中每一段都比它前面那段要长些。”

“太想知道了！”那位希腊勇士一边说，一边从他的头盔里（那时几乎没有哪个希腊勇士身上有口袋）拿出一个硕大的笔记本和一支铅笔。“开始吧！请慢点说！速记现在还没发明出来呢！”“那个漂亮的欧几里德第一命题！”完全沉浸进去的乌龟喃喃地说。“你钦佩欧几里德吗？”

“钦佩得五体投地！至少，对于一部未来几个世纪之后才将问世的著作来说，我钦佩它的程度是无与伦比的了！”

“那好，让我们先来看看第一命题的论证中一个小小的片断——仅仅两步——以及由此得出的结论。请把它们记在你的本上。为了谈到它们时方便起见，我们将它们称作A、B、Z：——

（A）同等于一物的彼此亦相等。

（B）这个三角形的两条边同等于一物。

（Z）这个三角形的两条边彼此相等。

我想欧几里德的读者们会认为Z是A和B的合乎逻辑的推论，所以任何人只要认为A和B为真，则必定认为Z也真，不是吗？”

“毫无疑问！连上初中的毛孩子——等到两千多年以后发明出初中来——也会对此表示同意的。”

“如果有某个读者不认为A和B为真，我想他也还会认为这一推论是有效的，对吗？”

“这种读者肯定有。他会说，‘我同意下述假言命题是真的：如果A和B为真，则Z必为真。但是我不接受A和B是真的。’这种读者应该明智点儿，放弃欧几里德，改踢足球去。”

“还可能有读者会说‘我同意A和B为真，但不接受那个假言命题’，这也有可能吧？”

“当然有这种可能。他最好也去踢足球。”

“迄今为止，”乌龟继续说，“这两种读者都没有接受Z为真的逻辑必然性，对吗？”

“没错，”阿基里斯赞同地说。

“嗯，那么，我想让你把我当作是那第二种读者，用逻辑来迫使我接受Z为真。”

“一只会踢足球的乌龟会是——”阿基里斯有点吞吞吐吐。

“——当然是挺反常的，”乌龟急忙抢过话头。“你先别往旁边岔。咱们先谈Z，后谈球！”

“我得迫使你接受Z，是吗？”阿基里斯若有所思地说。“你现在的观点是只接受A和B，而不接受假言——”

“把它称作C吧，”乌龟说。

“——而不接受

（C）如果A和B为真，Z必为真。”

“这就是我目前的观点，”乌龟说。

“那么我得说服你必须要接受C。”

“只要你一把它记在你的本子上，我马上就接受它。”乌龟说，“你在上面还记了些什么？”

“只是一些摘要，”阿基里斯一边说，一边紧张地翻着那个笔记本：“是些摘要——是关于使我出了名的那些场战斗的！”

“我看到有好多空白页！”乌龟叫道，这一发现使他很高兴。“它们都会用得上的！”（阿基里斯颤了一下。）“现在，我说你写：——

（A）同等于一物的彼此亦相等。

（B）这个三角形的两条边同等于一物。

（C）如果A和B为真，则Z必为真。

（Z）这个三角形的两条边彼此相等。”

“你应该把最后这个命题Z改称为D，”阿基里斯说。“它紧承着上面那三个命题而来。如果你接受A、B、C，你就必须接受Z。”

“为什么我必须接受？”

“因为它是前三个的合乎逻辑的推论。如果A、B、C为真，则Z必为真。我看这是无可争辩的吧？”

“如果A、B、C为真，则Z必为真，”乌龟若有所思地重复着。“这又是一个假言判断，对不对？如果我不觉得这一假言判断是真的，那么我可以接受A、B、C，而仍然不接受Z，对吗？”

“你可以，”这位正直的英雄承认道。“可头脑这么迟钝的人也太罕见了。不过，这事儿还是可能的。所以我必须再使你接受一个假言判断。”

“好极了，我很愿意接受，只要你把它写下来。我们可把它称作

（D）如果A和B和C为真，则Z必为真。

你把它记到你的本上了吗？”

“已经记上了！”阿基里斯快活地宣布，同时把铅笔插进笔帽里。“我们终于达到了这场思想竞赛的终点！你现在接受了A、B、C、D，你当然要接受Z。”

“是吗？”乌龟装傻充楞地说。“让我们搞搞清楚。我接受了A、B、C、D，请设想一下，我依然拒绝接受Z，那会怎么样？”

“那样逻辑就会掐着你的脖子，迫使你接受！”阿基里斯得意洋洋地回答道。“逻辑会告诉你，‘这事你作不了主。你既然已经接受了A、B、C、D，你就必须接受Z！’因此你别无选择，明白了吗？”

“这美妙的逻辑提供给我们的一切，都值得记下来，”乌龟说。“请把它记在你的本上吧。我们将把它称作

（E）如果A、B、C、D为真，则Z必为真。

在我接受它之前，我当然不一定要接受Z。因此它是很必要的一步，你明白吗？”

“我明白，”阿基里斯说。他的声音里带着点悲哀。

到这里，叙述者由于家里有急事，不得不离开这可爱的一对儿了。直到几个月以后，他才又路过这个地方。这时阿基里斯还坐在耐心的乌龟的背壳上，往他那几乎写满了的本子上写个不停。乌龟这时说：“你把刚才那步记下了吗？我要是没数错，已经有一千零一步了。将来还会有亿万步呢。算是帮我个忙，你不会介意考虑考虑我们两人的这篇对话究竟给了十九世纪的逻辑学家多少教益吧——你不会介意利用一下我表兄假海龟到那时将会发明出来的那个双关语，把你的名字改成‘悟诡’吧？”

“随你便，”这位精疲力竭的勇士把脸埋在双手里回答说，他的声音因绝望而变得很空洞。“只要你愿意利用假海龟从未发明过的双关语，把你的名字改成‘厌极易死’！”

刘易斯·卡罗尔，“乌龟说给阿基里斯的话”，《心智》[Mind]，新号第2期（1895年），第278-280页。

《GEB》（1）WU谜题