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我们在初中就学习过勾股定理。勾和股是指直角三角形的两个直角边，而这个直角三角形的斜边叫做弦。如图(01)。

图(01)

我们学过的那个定理之所以叫勾股定理，是因为《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“……故折矩，勾广三，股修四，径隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。

根据该典故称勾股定理，或者称为商高定理。

商高其实只说了一个特殊的直角三角形，其三边长度分别为3、4、5。这个特殊的三边长为3、4、5的直角三角形各边长度之间有如图(02)所示的关系。

图(02)

《周髀算经》只给出了边长为3、4、5的一个整数解，《周髀算经》中提到的其它直角三角形边长都是3、4、5的整数倍。

大约公元前六世纪，古希腊南部出现了一个“毕达哥拉斯学派”，这个学派当然是以毕达哥拉斯为首。毕达哥拉斯证明了“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和”，后人称为“毕达哥拉斯定理”。

图(03)

毕达哥拉斯定理用代数方法来表示，就是图(03)。其中a、b、c是直角三角形的三条边长，可以是任意正实数。所以，“勾三股四弦五”只是毕达哥拉斯定理的一个正整数解，而且是一个非常特殊的解。

《周髀算经》成书于公元前一世纪，而毕达哥拉斯生活于公元前六世纪，比《周髀算经》早多了。

两个正整数平方的和等于第三个正整数的平方，满足这个条件的一组正整数，就叫做勾股数。

任何一组勾股数，乘以一个整数，仍然是一组勾股数。例如3、4、5乘以2得6、8、10，这也是一组勾股数。其实，这只是把原来的直角三角形边长扩大到2倍而已，新的三角形和原三角形是相似的。所以通常我们只考虑勾、股、弦三个整数互质(也叫做互素，即三个整数的公约数只有1)。

如果限制互质的勾、股、弦都在100以内，那么互质的勾、股、弦按照勾的大小排列如下图所列：

图(04)

从十九世纪初开始，西方考古学家在幼发拉底河与底格里斯河之间的两河流域陆续发现了数量相当大的泥板，泥板上有一些形状复杂的符号，如图(04)。考古学家认为这些符号是文字。因为这些符号是在泥板还未烘干或者晒干时用芦苇或者小木棒印在泥板上的，所以这些符号都是一端较大一端尖削的楔形，这些符号被称为楔形文字。

图(05)

现在已经发现了大约50万块泥板，更重要的是：如今，这些楔形文字在考古学家的努力下，已经完全破解。泥板上的文字内容包罗万象，有法律条文，有物品买卖的纪录……甚至有大约400块泥板完全是关于数学的内容。

美国考古学家埃德加·班克斯于20世纪初在伊拉克南部发现了一块泥板，现收藏于美国哥伦比亚大学普林顿博物馆，编号为322。这块泥板经专家确定，成形于大约公元前18世纪，迄今已经有将近四千年历史。

在这块泥板上发现了4列15行数字，翻译成现代数字后，排列如图(06)。

很长时间里面，考古学家不知道这些数字是什么意思。大约70年之后，澳大利亚新南威尔士大学的数学家才弄清楚这块泥板上的数字是什么意思。

图(06)

第一列是顺序号，第二列和第三列是勾和股，第四列是弦。每一行第二列那个数的平方加上第三列那个数的平方，恰是第四列数的平方。也就是说，这块泥板上列出了15组勾股数。各位若是有兴趣，不妨拿出电子计算器来，逐一验证一下。

这块泥板上最大的一组勾股数是12709、13500，这确实是可以令人惊异的。原来在大约四千年前，古巴比伦人就知道了这么大的勾股数！

这块泥板上的数字，看上去忽大忽小，没有什么规律。第一行是119、120，第二行是3367、3456，第三行是4601、4800，好像是按照弦增加的顺序排列。可是，在最大的第四行之后却是65、72，是这15组中弦最小的一组。

经数学家考察，这15组数是按照第三列与第四列数之比递减排列的。第三列数和第四列数之比实际上是直角三角形锐角的正切值。所以也可以说15组数是按照正切值递减排列的。在将近四千年前，古巴比伦人就对直角三角形有这样的认识，同样是让今天的我们感到惊异的。

勾股数(注意我们只考虑整数)有很多我们意想不到的性质。

相对来说，比较简单的一个性质是：勾和股中至少有一个是偶数，也就是说，图(03)中a和b必有一个是偶数，也就是说，a和b不可能都是奇数。这个性质往往称为“偶勾股”。

这个性质容易证明，通常是使用反证法。

假定该命题“勾和股中至少有一个是偶数”不正确，即假设a和b都是奇数。

我们知道，奇数的平方必定是个奇数，偶数的平方必定是个偶数。勾股a和b都是奇数，那么图(03)左边是两个奇数相加，必定是个偶数。也就是说，图(03)右边是偶数。于是c是偶数。

既然c是偶数，我们可以假定c＝2r，如图(07)。

图(07)

2r自乘，图(03)右边成为如图(08)所示。这个数，必定可以被4整除。

图(08)

既然a和b都是奇数，不妨把a和b写成图(09)和图(10)的形式，其中p和q都是整数。

图(09)

图(10)

代入图(03)左边，展开，提取公因数，左边成为图(11)。

图(11)

这个数，不能被4整除：被4除总是余2。

显然，如果a和b都是奇数，那么图(03)右边可以被4整除但左边不能被4整除，这个结果是矛盾的。所以我们当初的假设“a和b都是奇数”不正确。勾和股中至少有一个是偶数。命题得证。

勾股数还有一些有趣的性质：

勾和股中必有一个是3的倍数。

勾和股中必有一个是4的倍数。

勾、股、弦中，必有一个是5的倍数。

用图(04)和图(06)所列出的勾股数来验证上面三条性质很容易。至于证明，仍然是使用反证法。有兴趣的，不妨试试看。

这是一道脑筋题——勾、股、弦，偶勾股