前言：在大家的共同支持下，我的公众号关注人数成功突破800大关，在这里非常感谢各位的鼎力相助，准备关注人数到1000搞个活动，感谢屏幕前的你们，今早上我还不知道唐山地震了，看到新华社推送的新闻才知道地震了，也有小伙伴问我情况怎么样，哈哈哈，我没感觉到震感，有人感觉到了，总之一切安好啦，感激各位的担心。

正文：

1.假分式如何解?

在上篇文章中，我提到了一个名词叫做假分式，回顾一下，也就是分子最高次幂要比分母的最高次幂要高，对于本题而言就是最高次幂，前些日子就有小伙伴问我，从第一步到第二步是咋来的啊？我也很郁闷我也不知道怎么解，不过我记得我之前买过一本书叫做《普林斯顿微积分读本》，里面有详细的解题步骤，后来我就按照书上给的步骤成功化简了

如下图，当时我给她写的就这样

为了方便观看和理解，我打出了电子版，如下图，我手写的过程里最后一项符号错了

遇到假分式，用除法大括号化简

商是第一项，而除数与余数之比是第二项，两项之和即原式化简之后的

你会发现第二项还是假分式，我们的目标是化简成真分式，于是用+N-N技巧提取公因式

与分母进行化简，以此类推，化简成真分式为止，化简之后的结果，前三项积分很简单

第四项就需要用凑微分，x+C(常数)的导数与x的导数相同，所以d后面可以直接写成x+3

令u=x+3,du=dx,不定积分1/u du，套用公式即可lnu+C，最后把每一项的结果整合起来即原式的答案，下面还有同类型的题目，不要灰心

2.什么情况下用凑微分？

对于本题而言，你会发现分母的导数等于分子

(x²)'=2x,(3x)'=3,(10)'=0

所以可以把分子移动到d后面，相当于对分子求不定积分

x²+3x+C，此时我们可以令C=-10，常数C可以等于任意值

令u=x²+3x+10,不定积分1/u du，套用公式即可lnu+C

换一种说法就是分子与分母的最高次幂1导数相差一次，就要考虑能不能用凑微分法

另外就是复合函数里，最里面的复合部分，如果是Cx，分子前面乘以1/C，多出来的C移动到分母后面积分即可进行化简

3.分子分母差一次的来啦

你会发现上面图片的那个过程，分母用到了完全平方公式

那为什么不能因式分解呢？你可以求求▲=b²-4ac，是小于0的，所以根本无解

见到分母最高次幂为二次，我们得想到用因式分解and完全平方公式

有没有其他的解法呢？其实第二种方法后半部分跟第一种方法有点不一样，只不过第一种先处理的分母，而第二种先处理的分子而已

4. 1/ab?

本题目用到了拆项公式1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，我在此所列的只是个例子，并不适用于这个题目，如果从第一步到第二步如果看不懂，我再写的详细一点

遇到分母为两项之积就要拆成两项，记得平衡系数保证等号两边相等，第一项直接套公式即可，第二项凑微分即可解决，至于为什么得数第一项加了绝对值，而第二项没有加绝对值，因为x²+1在实数范围内恒≥0，所以不需要加绝对值

5.分母为三次方？

分母是三次方，这时就应该用立方和公式

a^3+b^3=(a+b) (a^2-ab+b^2)

然后再利用拆项公式拆成两项，第一项直接套用公式，第二项怎么解，看我下面详细步骤

分子与分母的最高次项差一次，这时就要考虑凑微分啊

这样第二项中第一项可以解决了，那么第二项呢？还记得我上面那个题怎么解的嘛？用什么方法啊，对了，完全平方公式，那我继续写的详细一点

这个过程一定得好好看啊，我中午足足想了20分钟，中间饶了很多弯，也想当然造成了很多失误，这个过程应该网上没有，且行且珍惜啊

然后套公式最后整理+C即可

6.分母某一项整体二次方该怎么处理?

在这里简单说一下遇到这种情况怎么处理

它有如下的规则：

（1）如果有线性式（x+a），那么这个分布有如下的形式：

（2）如果有线性式的平方（x+a）²，那么这个分布有如下形式：

（3）如果有二次多项式（x²+ax+b），那么这个分布有如下形式：

（4）如果有线性式的三平方（x+a）³，那么这个分布有如下形式：

（5）如果有线性式的四平方（x+a）⁴，那么这个分布有如下形式：

所以分母中那个二次项要写成两项，总共三项，然后利用拆项公式拆开

7.三项一次方连乘，还是拆

具体的拆项如下图，但是如果看答案逆着想比较好想

正着推反而不好推，不知道有没有简单的方法，如果有联系我哈

8.假分式，跟题目一解法一样

第一步到第二步如果不会的话，可以联系我哈我给你手写过程呀

别的项直接套公式即可

9.分母表面两项，实则三项

为什么说分母是三项呢？你会看到分母右侧那一项可以提出一个公因子x,此时的分母就变成了第二行的那个样子，然后再拆项

10.四次方差公式

看见分母是四次方差公式，立刻拆开化简，公式化简

a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2)=(a-b)*(a^3+a^2*b+a*b^2+b^3)

然后平衡系数拆开，利用lna/b=lna-lnb进行化简

具体的拆项步骤如下

11.分母两项相乘，拆开

对于此题目而言，看见分母有相乘，先拆开，第一部分凑微分，第二部分你会发现如果凑微分，会差一个常数，+N-N技巧，第二部分就会被拆成两项，第二部分前半项凑微分，后半部分还是老套路，▲=b²-4ac，是小于0的，凑完全平方公式，然后分母常数项使它变成1即可

12.分子分母都是二次项，分子完全平方公式展开

第一项可以直接看出来分子与分母相消

就能凑成1/1+x²不定积分，第二项可以直接凑微分即可

对文章有什么疑问或错误，欢迎与我一起讨论

如果觉得文章还不错，点个打赏分享再走吧

笔耕不辍，有你支持

【惊了！我竟然在A站学】不定积分进阶篇