前言：专接本的时候，教材上就有夹逼定理，虽是大纲内的内容，貌似做过的题里，没有考过夹逼定理，于是也就没工夫管它了，到后来听张宇老师的课的时候才渐渐走进这个大门，纵观百度上以及其他资料，大多都是长篇文字大段定义，没有想要的干货（考试题型），所以借此站在张宇老师的肩上，跟大家分享分享我对夹逼定理的理解。

正文：

夹逼定理是由数学家拉格朗日于1835年提出的，英文原名Squeeze Theorem。也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、挟挤定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一

定义：F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A,limF(x)＝limG(x)＝A

则若有函数f(x)在Xo的某领域内恒有F(x)≤f(x)≤G(x) ，则当X趋近Xo有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)，进而有 A≤limf(x)≤A，f(Xo)＝A 。

看到这段定义，我都觉得这教材是人编的吗？百度上大多都是这段话的近似版，一点都不平易近人。不妨举个例子，一种是无限个项求极限，一种是有限个求极限，先说第一种。

1.第一个栗子是这样的，一堆沙砾数量近似无穷的沙堆，每个沙砾的重量大多不相同，你知道最小的沙砾和最大的沙砾的重量，不能一个一个分别称沙砾，求这堆沙堆总重量？

其实这是个稍微抽象的问题，慢慢想不要慌，下面我说说我的理解

无数个最小沙砾的总重量≤无数个沙砾总重量≤无数个最大沙砾的总重量

对吧，每个沙砾的重量相较于总重量是显得那么微乎其微，但是这个沙堆总重量肯定在这个范围内，也就是众人皆小，合力先行，通过已知求未知，这就是夹逼定理的思想。

接下来说比较专业的说法

例题1

2.第二种栗子如下，一个蚂蚁，和你，和一头鲸鱼，这三样总重量为多少？

有了上面的经验，相信就很容易想出来了，但和上面的不一样

一头鲸鱼重量≤三样总重量≤三头鲸鱼的重量

肯定有人会问，为什么不是≤三只蚂蚁的重量，三只蚂蚁重还是一头鲸鱼重，不用我说你们知道了吧，退一步讲，这三样的总重量肯定比一头鲸鱼的重量大，所以不是，换句话说，并非微小，老大说了算。

接下来说比较专业的说法

例题2

图像如下

其结果最后是个分段函数

类型1.与n次幂有关

例1：

看到了n次幂了吗，只不过那是1/n次幂

这个就属于有限项，每个人并非微小，那就老大说了算

在这里有个小公式

然后两边求极限，左边等于c，右边也等于c，所以中间等于c

例2：

遇到有限项，有限区间相加的时候，一定要注意分段函数

与其说x的n次方和x的2n次方，还不如说t与t的平方（可以设t=x的n次方）

由图像可知，在0到+∞区间内，y=x与y=x²的交点是（0，0）（1，1）

在（0，1）区间内，y=x在y=x²上方，也就是值偏大

在（1，+∞）区间内，y=x在y=x²下方，也就是值偏小

所以也就是为什么要用分段函数，因为在不同区间内，每项值大小关系不一样

类型2.n项和求极限

例3：

这个题值得注意的是，分子相同的情况下，分母大的反而小，分母小的反而大

别左右写反就行，要不然会被扣步骤分的

例4：

这个题跟例三的题目好像啊，值得注意的是分子求和时

你也可以用等差数列公式求，也可以用高斯公式求

左右两边求极限时，可以直接用高次幂公式∞/∞

得数为分子分母最高次项的系数之比

例4.1：

这个题只是在例4题目的基础上分母全为n，方法过程基本上差不多

例4.2：

这个题也是在例4题目的基础上在分母上多加了一项，虽得数一样但仍要细心

惊了！我竟然在A站学高数之夹逼定理