前言：

行列式是线性代数的头一个Boss，我当初在学行列式的时候，很容易行列式与矩阵傻傻的搞不清楚，我希望各位老哥们看完这篇文章最起码知道，行列式和矩阵并不是一回事，如果能知道他们两个之间的区别那就更好了

我本身就很烦大段大段的定义，生涩令人烦厌，我争取用我自己的视角来看待行列式，如果想看水平高的，市面上的教材大多数水平都比我高，你可以看他们的，受制于我的认知水平，如果文章并不符合你的预期，请多多包涵，不吝指教，我只是一名普通的大三学生

正文：

1.什么是行列式？

在说行列式之前，我想说说水

我们知道，水常见的有三态，分别是固态，液态，气态

如果有老哥非得较真说水不止有三态，那我把不常见的也列出来以供参考

还有：超临界流体、超固体、超流体、费米子凝聚态、等离子态、玻色-爱因斯坦凝聚态等等

冰块，水流，水蒸气，其本质都是水，行列式，矩阵也是

行列式是数字的一种表现形式，其本质跟数字没有多大区别，矩阵是方程组的一种表现形式，其本质跟方程组没有多大区别

大概可以这样说，行列式就是数字，而矩阵就是方程组

那么行列式是什么样子的

如图所示，两边是类似于绝对值的两条竖线 || ，这两条竖线就是行列式的标志，中间是一堆分布规则的数字

2.行列式有哪几种？

常见的有二阶，三阶，四阶行列式，至于更高的阶，在专接本考试和考研考试当中，考的概率并不大在此就不讨论了。

肯定有人会问，阶是什么意思？

就是行与列的意思，二阶代表的是两行两列，三阶代表三行三列，行列式必然为一个正方阵

那有没有行数和列数不相同的行列式呢？例如两行三列，一行四列，恕我直言，在我的认知范围内，没有，如果有，欢迎在评论区补充。

3.行列式如何计算？

行列式既然本质是一个数，那么肯定可以变成数，怎么变？

对于二阶行列式

其计算方法为主对角线上的元素乘积之和减去副对角线上的元素乘积之和

举个例子

如果有老哥分不清主副对角线，我教你，你想想主这个字的第一笔，`从左上到右下，这样就很清晰了

对于三阶行列式

其实有三种计算方法，我在这里先说两种，后续的一种属于万能方法，任意阶行列式都可以处理

第一种：

这个样，我们先想象一把刀，刀的朝向是左上到右下，，分成三组

按照颜色我们分成了三部分，红色，绿色，棕色，每一部分的元素都是三个

红色元素之积（a13*a21*a32）

绿色元素之积（a12*a23*a31）

棕色元素之积（a11*a22*a33）

三个颜色之和

D主=a13*a21*a32+a12*a23*a31+a11*a22*a33

为什么这么分，我也不知道为什么，记住就好了

接下来就是副对角线

这个样，我们再想象一把刀，刀的朝向是右上到左下，，分成三组

红色元素之积（a11*a23*a32）

绿色元素之积（a12*a21*a33）

棕色元素之积（a13*a22*a31）

三个颜色之和

D副=a11*a23*a32+a12*a21*a33+a13*a22*a31

该行列式的结果就是D=D主—D副

也就是D=（a13*a21*a32+a12*a23*a31+a11*a22*a33）—（a13*a21*a32+a12*a23*a31+a11*a22*a33）

=a13*a21*a32+a12*a23*a31+a11*a22*a33—a11*a23*a32—a12*a21*a33—a13*a22*a31

第二种：

最开始是这样的行列式

把第一列与第二列再抄一遍放在第三列右边

红色元素之积求和减去蓝色元素之积求和

举个例子

解：

4.行列式的性质

性质1　行列式与它的转置行列式相等。（转置即行变列，列变行）

性质2　互换行列式的两行(列)，行列式变号。

性质3　行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论　行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质4　行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。

推论　如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。

（我不知道word是否专门有行列式的符号∴两条竖线短请见谅）

性质5　若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和：

则D等于下列两个行列式之和

5.特殊的行列式

Ⅰ.上三角行列式与下三角行列式

对于三角行列式，一个非常容易混淆的概念是上三角行列式和下三角行列式。

上三角行列式是对角线下方的元素全为零，下三角行列式是对角线上方的元素全为零！

Ⅱ.范德蒙行列式

范德蒙行列式的重要特征是，第一行（或第一列）元素全为1，且每行（或每列）的元素构成等比数列，其形式如下：

Ⅲ.奇数阶反对称行列式

反对称行列式，就是主对角线两侧元素关于主对角线反对称，且主对角线元素为0。

对于奇数阶反对称行列式，其值为0。证明从略。

需要提醒一点的是，对称行列式的主对角线元素不需要一定为0！

当然对于奇数阶反对称行列式的这条性质，练习和真题中都没出现过，大家可以稍微了解下，知道有这么个性质就行！

6.余子式与代数余子式

在n阶行列式D中划去任意选定的k行、k列后，余下的元素按原来顺序组成的n-k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式A的余子式。如果k阶子式A在行列式D中的行和列的标号分别为i1，i2，…，ik和j1，j2，…，jk。则在A的余子式M前面添加符号：后,所得到的n-k阶行列式，称为行列式D的k阶子式A的代数余子式。