之前写了一篇关于求逆矩阵怎么求的文章，文章很火

有人反馈说，矩阵这一块很乱，好多矩阵，经常搞不清楚先求那个再求那个，今天来给大家梳理一下。

要想搞清楚逆矩阵和伴随矩阵之前，先得搞清楚矩阵是什么？

矩阵的定义：由个排列成一个m个行，n个列的表格，称为一个m行n列矩阵或矩阵，其中数称为矩阵的第i行第j列元素或（i,j）元素。
　　当全是实数时，也称它为实矩阵。通常用大写字母A，B，C等表示矩阵，为方便也可记为，或

元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示。
　　当时，称为n阶矩阵或n阶方阵。
　　当时，称矩阵为n维行向量。
　　当时，称矩阵为m维列向量。

接下来说说几个特殊的矩阵

几个特殊矩阵（均为方阵）

（1）n阶对角矩阵：形如或简写为的矩阵，称为对角矩阵。

（2）数量矩阵：当对角矩阵主对角线上元素全相同时，即形如的对角矩阵，称为数量矩阵。特别当时，即形为的n阶矩阵称为n阶单位矩阵，常记为En或E。
（3）上三角矩阵与下三角矩阵：形如的n阶矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

矩阵的相等

设，若，则称A与B是同型矩阵。若A与B同型，且，则称矩阵A与B相等，记成A=B。

矩阵的运算法则

一、矩阵的加法

定义：设均为矩阵，则规定　　
　　例如
　　由定义知：只有同型矩阵才可以相加，且矩阵加法实质上是对应元素相加，与两个行列式相加有本质区别。
矩阵加法满足下列运算律：
　　（1）交换律
　　（2）结合律
　　（3）
　　（4）消去律
　　（5）设，称为A的负矩阵，则由此可定义矩阵的减法：

　　例如：

二、数量乘法
定义2.2：设，k为任意一个数，则规定　　

例如
由定义可知：

数k与矩阵A的数乘运算是用k去乘A中每一个元素，它与数k与行列式的相乘又是完全不相同的。

矩阵的数乘运算满足下列运算律：

（1）结合律为任意两数。

（2）分配律，。

例1：已知，求矩阵X，使
　　解：

※三、矩阵的乘法
先看一个例子：
　　设，我们来求AB（说A为左矩阵，B为右矩阵）。矩阵乘法的关键是：左矩阵的行与右矩阵的列对应相乘再相加，现把A的三个行与B的两个列分别对应相乘再相加后得到矩阵：

　　　　
　　这就是A乘以B的乘积矩阵，即：

　　由此例可知：欲进行矩阵A与B的乘法运算，必须要求左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相同，而乘积矩阵的行数就是左矩阵的行数，乘积矩阵的列数就是右矩阵的列数。

如果用纯文字来叙述矩阵乘法的过程，就是

第一个矩阵的第一行每个数字，分别乘以第二个矩阵第一列对应位置数字的乘积之和就可以得到，换种说法就是结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值等于第一个矩阵的第m行与第二个矩阵的第n列对应位置的每个数字乘积之和

例题：设。求AB与BA。
　　解：先求AB，这里A作为左矩阵是3×3矩阵，B作为右矩阵是3×2矩阵，因而AB是有意义的。
　　　
　　　　而BA没有意义，因为B的列数与A的行数不相同。
例3：设，求AB与BA
　　解：由A与B均为2阶方阵，所以AB与BA都有意义。
　　　
　　　

由矩阵乘法定义以及上述例题，矩阵的乘法与两个普通数的乘法是有所不同的。

　　注意：
　　（ⅰ）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即一般地
　　（ⅱ）由AB=0并不能推出A=0或B=0，因而不满足消去律，即由AB=AC，一般地不能推出B=C。
我们只是说一般地，，但对某些矩阵A，B，有可能AB=BA，这时我们说A与B可交换，例如设，可验证A与B可交换。
　　显然只有同阶方阵才可能是可交换的。
矩阵乘法满足下列运算律。
　　（1）结合律
　　（2）分配律
　　（3）与数乘的结合律
　　（4）

矩阵的转置

1、 定义将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．

例如，矩阵的转置矩阵为．
　　2、运算性质（假设运算都是可行的）
　　(1)　
　　(2)　
　　(3)　
　　(4)　，是常数．

例题：

利用矩阵

　　验证运算性质：
　　解　；

　　而
　　　　
　　所以
　　　．

对称矩阵

定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

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文章部分资料来源于：

http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0605.html

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线性代数~矩阵概述