前言：

分部积分法可以说是高等数学不定积分里一道龙门，当初学的时候怎么也搞不懂什么时候哪个取u，哪个取v，困扰了很长时间，还记得老师讲的时候就说这部分比较难理解，你们自己在底下好好做题总结规律吧，当初在图书馆捣鼓了一个下午，才搞明白，现在用的轻车熟路了。微分，d(f(x))=f'(x)dx

分部积分法是什么？是一种求不定积分的一种方法

什么时候用分部积分法？ 当被积函数中出现两种不同类型的函数的时候首选分部积分法

怎么用分部积分法? 确定好u,v，基本上就解决一半了，然后记住公式套用就OK

分部积分法公式如何推导？

我们都知道在导数部分那一章，有个导数乘法公式是

两边同时求不定积分可得

移项可得

如果写成含x的等式可得

等式左边把v'(x)放在d微分的后面就相当于求v'(x)原函数，不就是v(x)么

也就是v'(x)dx=dv(x)

注：u=u(x),v=v(x)

上面的工作就是把

换成了

确定U的顺序如下，有两个版本口诀（U通俗来说即先不用动的函数）

一个是反对幂指三，一个是反对幂三指，具体题型具体分析，绝大多数题都是按照这个顺序来

（反：反三角函数；对，对数函数；幂：幂函数；指：指数函数；三：三角函数）

例题呈上：

1.（幂函数与三角函数）

过程如下：

在这个题里，根据反对幂三指确定U，x为幂函数，cosx为三角函数，即x为U，cosx为V‘

cosxdx=dsinx，原式变成xdsinx，套用公式，uv'-v'du+c

这个题用到的不定积分公式如下：

2.（幂级数与指数函数）

首先：

对该式第二项再按此模式进行分部积分，得：

故原式：

这个题用到的不定积分公式如下：

dx²=2xdx，即(x²)’=2x

3.（幂函数与反三角函数）

而该式第二项为：

故原积分式：

差不多套路都弄懂了吧，接下来上点难度

4.（看起来只有一个函数的）

这个题明明只有一个arctanx函数啊，怎么用不定积分

其实另外一个函数在d后面也就是x,这就相当于已经给你省略了一步，已经给你凑好了，直接套公式就可以了

5.（回头积分的，幂函数与三角函数）

简单的类型

再举个稍微复杂的栗子

关于复合函数

6.（关于正割，余割函数的）

在这里我就拿正割作为例子了

7.（看起来像有三种函数的）

先用乘法分配律展开

然后分成两项逐项求不定积分，有系数可以把系数提出来

8.（带有根号需要换元的）

过程如下：

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过程如下：

9.（复杂一点的）

过程如下：

结语：分部积分大多数题型上面已经覆盖到了，看完后一定要多加练习，熟能生巧。

最后的最后，附上导数公式和不定积分公式

（基本公式一定要记牢，要不然题目都做不了）

（基本公式一定要记牢，要不然题目都做不了）

（基本公式一定要记牢，要不然题目都做不了）

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