前言：这应该是我写过难度最高关于高等数学求极限的文章，以下举的例子综合性都比较强，我尽量会用大篇幅文字来进行铺垫，以减小你的思考成本，本人建议专接本的同学不要求全弄懂，但是里面的方法可以为自己所用消化吸收，而考研党一定要全部掌握吸收融会贯通，能够达到一看题就知道用什么方法，迅速解出来的水平。

正文：

1.先和积再极限

例题1

过程步骤倒是看得简略，但里面冗杂了级数，极限，多项式拆分，以及第二重要极限等知识点

解这个题首先求级数

这个玩意儿到底该怎么拆

先让分子变成1，最后在平衡系数，然后就变成了

接下来该怎么做，如何拆成两项，相信大家在出高中的时候就遇到过这种情况

通过分子通分，再平衡系数，分子分母消去同项以达到拆分化简的效果

别忘了原来的式子分子是2，正好跟算出来的1/2相消

那么原式就等于

当k等于1时

以此类推，你会发现中间项一减一加全被消掉了，只剩了个开头和结尾，剩下的项是

而原式就变成了

如果水平稍微高一点的话到这里就能看出来结果是什么了，思路就是这样

高次幂，第二重要极限，一下就出来了

如果还没掌握这种技巧就按步骤凑，凑成标准公式的形式，在这我就不赘述了，看最上面的步骤，但是我还是建议大家掌握这种技巧，毕竟考试的时候时间就是王道啊

2.夹逼定理

在这我就不举例题和解析了，我之前的文章写的很详细，我把文章链接放在这里以供参考

（点击下面两行文字的任意一个即可进入对应文章）

夹逼定理

夹逼定理习题篇

夹逼定理既是工具，也是一类题型，后面的题还用到了夹逼定理，希望各位务必搞懂

3.定积分定义

我先放三个公式

建议大家先记住第一个公式，然后再记住别的，说实在我也没记住呢，哈哈哈

例题2

对于这个题而言，我先补充一个公式

分母先提出一个1/n来凑定积分定义的第一个公式

然后就用三角代换，说起三角代换，是积分里的重难点之一，我之前也写过链接如下

常见的不定积分公式推导（续）

后续我会把这个文章更新一下的，你们先将就着看

简而言之，遇到√(a^2-x^2），令 x = asint，原式化为 a*cost。

再套用我给的那个公式

你会发现

而这两项加起来就等于Π/2

那么一个i就等于Π/4

例题3

这个题目就显得常规且简单多了，用这个题去理解定积分定义的第一个公式再合适不过了

我就不在这里解析了，相信你们能理解这个题是怎么做的

例题4

这个题第一步没问题吧，常规做法，把1/n提出去凑定积分定义第一公式，第二步为了使自变量统一成Πx，多乘了两个Π，前面自然乘以1/Π²，然后换元必换限

最后一步我需要再引入两个个公式，第一个叫做华理士公式（也称点火公式）

第二个公式是

为什么左边等于右边，我在这里给出证明过程

首先铺垫一点，sin(Π-t)=sint，正弦上为正

证明过程如下：

这两个公式相互配合就出来了最后结果，缺一不可

例题5

刚开始看这个题的时候一头雾水，都不知道怎么解什么鬼啊这是？

首先得凑成幂指函数的性质然后再利用（e^lnx=x）进行化简

这个题需要注意的是，在求定积分的时候lnx，x是大于0的，但在定积分上下限中是包含0的，所以得单独列出来求右极限进行单独讨论

例题6

这个最后一道题应该是我第一眼看着最令我头大的题，这个题的难度已经达到了考研难度的顶峰了。

这个题运用了

夹逼定理

高次幂求极限

定积分定义公式

上述补充的第二个公式

半角公式

凑微分

华理士公式

难度真心蛮高的，做熟前五个例题之后再建议食用该例题最佳

结语：如果看完本篇文章感觉人生都崩塌了失去了色彩，请千万不要灰心丧气，难度都是相对的，当你足够高的时候，就跟你现在看一年级的数学题的感觉是一样的，脚踏实地好好学，相信若干时间之后再回头看，你会觉得易如反掌，手到擒来

*本文素材来源于汤家凤的强化课

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n项和，积求极限